首页/论文/2007.14389

arXiv 2007.143892020-07-28math.CO

极小补数的渐近性质

Asymptotic behaviour of minimal complements

Arindam Biswas, Jyoti Prakash Saha

摘要：

极小补的概念是由Nathanson在2011年引入的，作为网的度量概念的自然群论类似物。给定群$G$中的两个非空子集$W,W'$，如果$W\cdot W'=G$，则集合$W'$称为$W$的补集，如果没有$W'$的真子集是$W$的补集，则它是最小的。逆问题是问哪些集合可以或不可以作为最小补集出现。我们展示了一些新的反问题的结果，并探讨如何自然地产生的问题，这些集的渐近行为的反问题的研究，其中一些提供部分答案。

英文摘要：

The notion of minimal complements was introduced by Nathanson in 2011 as a natural group-theoretic analogue of the metric concept of nets. Given two non-empty subsets $W,W'$ in a group $G$, the set $W'$ is said to be a complement to $W$ if $W\cdot W'=G$ and it is minimal if no proper subset of $W'$ is a complement to $W$. The inverse problem asks which sets may or not occur as minimal complements. We show some new results on the inverse problem and investigate how the study of the inverse problem naturally gives rise to questions about the asymptotic behaviour of these sets, providing partial answers to some of them.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

互补于最小素图的5环

5-cycles in the complement of minimal prime graphs

本文研究了最小素图补图的循环结构，证明了补图中每条边都包含在5环中，强化了关于诱导5环的存在性结论。

2026-02-01math.CO

作为极小可加补的最终周期集

On Eventually Periodic Sets as Minimal Additive Complements

我们称阿贝尔群$G$的子集$C$为\textit{arises as a minimal additive complement}，如果存在$G$的另一个子集$W$，使得$C+W=\{c+w:c\in C,\ w\in W\}=G$，并且不存在真子集$C'\supset C$，使得$C'+W=G$。在他们最近的论文中，Burcroff和Luntzlara研究了“最终周期集”的条件，这些条件是无限（在正方向上）等差数列和单元素的有限工会，作为$\mathbb Z$中的最小加法补充出现。在本文中，我们将进一步研究这个问题。以周期$m$上界的形式给出了最终周期集是极小可加补集的充分条件，特别证明了“所有最终周期集都是最终极小可加补集”.此外，我们推广到一个框架中，“模式”的点被投射到$\mathbb Z$，我们表明，所有的集合出现这种方式最终是最小的添加剂补充。我们还介绍了一种形式主义的正式权力系列，纯粹作为一个簿记员在写下来的证明。通过我们的工作，我们能够回答一个问题的Burcroff和Luntzlara在一大类的情况下。

2020-10-23math.CO

二度顶点在极小素图补图中的作用

Degree 2 vertices in minimal prime graph complements

本文研究极小素图补图中二度顶点的结构，证明其结构为有限重复的5-cycle，属于reseminant图类。

2025-11-30math.CO

整数中作为极小可加补数产生的集合

Sets Arising as Minimal Additive Complements in the Integers

阿贝尔群$G$的子集$C$是$W \subseteq G$的最小加法补，如果对任意真子集$C' \subset C$，$C + W = G$和$C' + W \neq G$都是。在本文中，我们研究了哪些整数集合作为最小加法补出现。我们证实了Kwon的一个猜想，证明了具有任意大间隙的有界下集是作为最小的加法补充而出现的。此外，我们的建设表明，任何这样的集合属于一个共同的最小对，加强了一个结果的Biswas和Saha的空缺序列。我们绑定的上，下Banach密度的syndetic集，作为最小的添加剂补充有限集。本文给出了最终周期集成为极小可加补集的若干必要条件，并证明了这些必要条件对于某些类最终周期集也是充分的.最后，我们给出了关于极小可加补数结构的几个定理和问题。

2020-07-09math.COmath.NT

图的控制图，中位图，部分立方体及极小控制集的补为极小控制集的图

On dominating graph of graphs, median graphs and partial cubes, and graphs in which complement of every minimal dominating set is minimal dominating

图G的控制图是这样的图，其顶点对应于图G的控制集，并且当两个顶点对应的控制集恰好有一个顶点不同时，两个顶点相邻。研究控制图的性质已成为控制论中一个日益有趣的课题。另一方面，中值图和部分立方体是图论中的两个基本图类。在本文中，我们将控制论与中位图和部分立方体理论联系起来。作为主要结果，我们证明了以下条件对每个没有孤立点的图$G \not \simeq C_4$都是等价的，特别是简单的第三个条件完全刻画了前两个条件，其中涉及到控制图、中值图和极小控制集的补的三个概念：- G的控制图是一个中值图，-G的每一个极小控制集的补是一个极小控制集，-G的每一个顶点都是1度的或与1度的顶点相邻。作为另一个结果，我们证明了每个图的控制图是一个部分立方体，并给出了一些例子来说明不是所有的部分立方体或中位数图同构于图的控制图。上述结果是本文的另一个亮点，为中值图和部分立方体的例子提供了新的无限来源。

2022-12-08math.CO

极小补与极大补的反问题

Inverse problems for minimal complements and maximal supplements

给定一个阿贝尔群$G$的子集$W$，如果$W+C=G$，则子集$C$称为$W$的加法补;此外，如果没有$C$的真子集具有此性质，则我们说$C$是$W$的极小补。很自然地会问，哪些子集$C$可以作为某些$W$的最小补集出现。证明了在有限阿贝尔群$G$中，每个大小为$|C| \leq 2^{2/3}|G|^{1/3}/((3e \log |G|)^{2/3}$的非空子集$C$是某个$W$的极小补.作为推论，我们推出了无限阿贝尔群的每个有限非空子集都是极小补。我们还得到了几个类似的结果的“双重”问题的最大补充。

2020-12-30math.COmath.NT

更多相关论文收起更多论文

关于整数的极小可加补数

On minimal additive complements of integers

令$C,W\subseteq \mathbb{Z}$。如果是$C+W=\mathbb{Z}$，则集合$C$被称为$\mathbb{Z}$中$W$的加法补码。如果没有$C$的真子集是$W$的加法补，则称$C$为极小加法补。令$X\subseteq \mathbb{N}$。如果存在一个正整数$T$，使得对于所有足够大的整数$x\in X$，$x+T\in X$，那么我们称$X$最终为周期的。本文研究了当$W$最终为周期或非周期时，$W$的极小补的存在性.这部分回答了Nathanson的一个问题。

2018-04-25math.COmath.NT

关于非极小补

On non-minimal complements

最小补数的概念是由Nathanson在2011年提出的。从那时起，集合的极小补的存在性或不存在性得到了广泛的研究。近年来，反问题的研究，即，当最小补充获得牵引力时，这些集合可以或不可以发生。例如，Kwon，Alon-Kravitz-Larson，Burcroff-Luntzlara的作品以及作者的作品，阐明了这方面的一些问题。这些作品主要集中在该组的整数，或对阿贝尔群。在这项工作中，我们的动机是双重的：（i）显示一些新的结果的反问题，（ii）集中在反问题不一定阿贝尔群。作为一个副产品，我们得到了新的结果，非极小补的整数组，更一般地说，在任何非极小生成的阿贝尔群的正秩和任何自由阿尔贝群的正秩。此外，我们还证明了在这些群中存在不可数多个子集，它们是“鲁棒”的非极小补集。

2020-07-16math.COmath.GR

关于群的极小补

On minimal complements in groups

设$W,W'\subseteq G$是任意群$G$中的非空子集。如果$WW'=G$成立，则集合$W'$称为$W$的补集;如果没有$W'$的真子集是$W$的补集，则集合$W'$是最小的。我们表明，如果$W$是有限的，那么每一个补充$W$有一个最小的补充，回答问题的Nathanson。这也证明了在有限生成群中每个$r\geqslant 0$都存在极小$r$ -网.进一步，我们给出了群生成的阿贝尔群中某类无穷子集的极小补存在的充要条件，部分回答了Nathanson的另一个问题.最后，我们提供了无穷多的例子，无限子集的阿贝尔群的任意有限秩承认最小的补充。

2020-05-31math.COmath.GRmath.NT

关于极小加法补集的一个注记

A Note on Minimal Additive Complements

本文研究整数集中的极小加法补集，部分回答了 Kiss、Sándor 和 Yang 关于一类周期并有限扰动集合的问题，并建立刻画可作为极小加法补集之集合的对偶结果。

2018-08-26math.COmath.NT

关于可加余极小对

On additive co-minimal pairs

阿贝尔群群$G$中的一对非空子集$(W,W')$是加法补对，如果$W+W'=G$。如果$W+(W'\setminus \{w'\}) \neq G, \forall \,w'\in W'$，则认为$W'$对$W$最小。一般来说，给定群中的任意子集，极小补的存在性取决于它的结构。对偶问题要求给定这样一个集合，它是否是某个子集的最小补集。加法补数已经在整数表示的背景下进行了研究，因为Erdés，Hanani，Lorentz和其他人的时间。最小补数的概念是由Nathanson提出的。本文研究了互补对$(W,W')$的紧度性质，使得$W$和$W'$彼此最小.这些被称为共同极小对，我们表明，任何非空有限集在任意自由阿尔贝群属于一些共同极小对。我们还研究了形成余极小对的无限集合。在另一个极端，受整数中的无界等差数列的启发，我们研究的是永远不可能成为任何最小对的一部分的集合。这就引出了对$G$的共极小性、子群、近似子群和渐近近似子群的讨论。

2020-05-31math.COmath.GR

群生成的阿贝尔群中的极小可加补

Minimal additive complements in finitely generated abelian groups

给定任意阿贝尔群$G$中的两个非空子集$W,W'\subseteq G$，如果$W + W'=G$，则称$W'$是$W$的加法补;如果没有$W'$的真子集是$W$的补，则称$W'$是极小的。这个概念是由Nathanson提出的，他以前的工作，Chen-Yang，Kiss-Sàndor-Yang等专注于$G =\mathbb{Z}$。在较高秩的情况下，最近的工作，作者治疗一类子集，即最终周期集。然而，对于非上述类型的无限子集，极小补的存在或不存在的问题是开放的。在这篇文章中，我们研究的子集，最终不是周期的。我们引入了“尖峰子集”的概念，并给出了它们存在极小补的充要条件。这为Nathanson的一个问题提供了部分答案。

2019-02-04math.COmath.GRmath.NT

整数的渐近补数

Asymptotic complements in the integers

令$W\subseteq \mathbb{Z}$为整数的非空子集。一个非空集$C\subseteq \mathbb{Z}$称为$W$的渐近补，如果$W+C$包含除有限大小的集合之外的几乎所有整数。如果$C$是渐近补，则称$C$是最小渐近补，但$C\setminus \lbrace c\rbrace$不是渐近补$\forall c\in C$。渐近补已经研究的背景下表示的整数，因为时间的Erdens，Hanani，洛伦兹和其他人，而概念的最小渐近补是由于内桑森。本文研究了$\mathbb{Z}$中的极小渐近补，并讨论了Nathanson关于极小渐近补的存在性和不存在性问题.

2019-12-10math.COmath.NT

一个微分代数与环面排列的补的同伦型

A differential algebra and the homotopy type of the complement of a toric arrangement

我们证明了复曲面排列的补集的有理同伦类型完全由两组组合数据决定。这是通过在Q上引入一个微分分次代数而得到的，该代数的极小模型等价于该排列的Sullivan极小模型。

2020-07-04math.ATmath.CO

Bishnoi猜想关于最小t重块集的解

Solution to Bishnoi's conjecture on minimal t-fold blocking sets of maximal size

Bishnoi证明了如果素数幂阶的射影平面中的极小t-重阻塞集具有最大尺寸，则它要么是一个射影平面减一点，要么是Baer子平面的补，要么是一个酉集。本文证明了这一猜想。

2017-05-09math.CO

极大超图色数的正则性

Regular behaviour of the maximal hypergraph chromatic number

设$m(n,r)$表示$n$ -一致超图中不可$r$ -着色的最小边数.我们证明了对于任何固定的$n$序列$a_r := m(n,r)/r^n$都有一个极限，这是Alon证明的。我们还证明了这个声明的列表着色类似。

2019-08-17math.CO

两条最长路的交不是分隔符的极小图

Minimal graph in which the intersection of two longest paths is not a separator

本文证明了对于一个具有$n\le 10$个顶点的连通单图$G$，以及$G$中的两条最长路$C$和$D$，顶点集$V(C)\cap V(D)$的交是一个分离子.这表明，以前用$n=11$找到的图，其中两条最长路径的顶点集$V(C)\cap V(D)$的交集的补是连通的，是最小的。

2021-05-25math.CO

环面排列的极小性

Minimality of toric arrangements

我们证明了环面排列的补集具有极小CW复形的同伦型。作为推论，我们得到了这些空间的整数上同调是无挠的。我们使用离散的莫尔斯理论，提供了一系列的细胞崩溃，导致一个最小的复杂。

2013-03-26math.ATmath.CO

超可解排列的$\textbf{nbc}$极小复形

The $\textbf{nbc}$ minimal complex of supersolvable arrangements

本文给出了等价于超可解排列$\mathcal{A}$的补的最小CW-复同伦、与$\mathcal{A}$相关的Orlik-Solomon代数的$\textbf{nbc}$基和$\mathcal{A}$的腔室集之间的双射的一个非常自然的描述.我们使用这些双射得到的结果的第一（上）同调群组的米尔诺纤维的$\mathcal{A}$和描述的对称群和$\textbf{nbc}$基础的编织安排之间的双射。

2015-03-19math.AGmath.CO