Critical Scaling for the Simple SIS Stochastic Epidemic
我们展示了一个标度律的临界SIS随机流行病：如果在时间0的人口组成的平方根N感染和N -平方根N易感的个人，那么当时间和人数目前感染的平方根N缩放，由此产生的过程收敛，为大N，一个扩散过程相关的Feller扩散的漂移的变化。因此，重新标度的流行病规模具有与标准奥恩斯坦-乌伦贝克过程的首次通过时间相一致的极限定律。这些结果与Martin-Lof关于简单SIR流行病的结果类似。
2005-12-12 math.PR
A SIR Stochastic Epidemic Model in Continuous Space: Law of Large Numbers and Central Limit Theorem
空间结构对传染病传播的影响是传染病传播中的一个重要问题。最近的研究，无论是确定性的还是随机的，都使人们有可能理解人口中个体的移动对地方病的持续存在或灭绝的重要性。本文研究了一类种群在$R^{d}$上遵循独立布朗运动驱动的随机微分方程运动的房室SIR随机流行病模型.我们定义了经验测量的序列，这些序列描述了易感、感染和移除个体的位置演变。其次，我们得到了这些测度序列的大总体近似，作为反应扩散方程组的弱解。最后利用中心极限定理研究了随机模型在大种群极限附近的涨落。该极限是一个分布值的Ornstein-Uhlenbeck过程，可以表示为随机偏微分方程组的解。
2023-01-06 math.PR
Laws of large numbers for epidemic models with countably many types
在寄生虫病的建模中，很自然地会根据宿主携带的寄生虫数量来区分宿主，从而导致可数无限的类型空间。证明确定性方程的类似物，在许多类型的模型中使用，作为对潜在随机模型的“大数定律”近似，以前要么是使用一些特殊的结构逐案进行，要么没有尝试。在本文中，我们证明了这类的一般定理，并补充它的收敛速率在$\ell_1$ -范数。
2009-01-16 math.PR
Law of large numbers for the SIR epidemic on a random graph with given degrees
我们研究了在给定顶点度的情况下，随机图上的传染病恢复（SIR）问题。在这个模型中，感染性顶点感染它们的每个易感邻居，并以恒定的速率恢复。假设最初只有几个感染顶点。我们证明了有一个阈值的参数涉及的利率和顶点度以下，只有少量的感染发生。在阈值以上，发生大爆发的概率远离零。我们的主要结果是，有条件的一个大的爆发，某些数量的利益，如感染性顶点的分数的演变，收敛到确定性的时间函数。我们还考虑了更一般的初始条件的流行病，并得出一个简单的疫苗接种策略是成功的标准。与此模型的早期结果相比，我们的方法只需要基本的正则性条件和一个一致有界的随机顶点的度的二阶矩。在途中，我们证明了类似的结果，流行病的配置模型多重图在更弱的条件下。从本质上讲，我们的主要结果只需要我们的过程的初始值收敛，即它是最好的。
2014-09-22 math.PR
Waning Immunity Fails to Restore a Positive Epidemic Threshold on Power-Law Networks
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文推翻了关于SIRS过程在幂律网络上存在正流行病阈值的猜想，证明在幂律度分布指数τ>2的情况下，SIRS过程的流行病阈值仍为零，并揭示了新的瓶颈结构。
2026-04-27 math.PR
Recent Advances in Epidemic Modeling: Non-Markov Stochastic Models and their Scaling Limits
本文综述了基于个体的非马尔可夫传染病模型的研究进展。它们包括传染率为常数、传染率变化或传染率与年龄相关、传染率与年龄恢复率（或传染期的一般规律）以及易感性/免疫力变化的流行病模型。重点讨论了大种群的标度极限、泛函大数定律（FLLN）和泛函中心极限定理（FCLT），以及一些马氏传染病模型的大偏差和中偏差.在FLLN中，极限是一组Volterra积分方程，而在FCLT中，极限是由高斯过程驱动的随机Volterra积分方程。我们将我们的确定性极限与Kermack和McKendrick在1927年、1932年和1933年发表的开创性论文中的结果联系起来，在这些论文中，已经考虑了不同的传染性和易感性/免疫性。我们还讨论了一些扩展，包括具有非齐性总体的模型，空间模型和控制问题，以及开放问题。
2022-09-23 math.PR
SIR epidemics in populations with large sub-communities
本文研究由大型子社区构成且内部传播强于跨社区传播的 SIR 流行病，通过社区内大规模疫情链近似传播过程，推导受感染个体数、受影响社区数及疫情严重程度的大数定律与中心极限型结果。
2024-04-05 math.PR
Moderate deviations and extinction of an epidemic
考虑一个传染病模型，其中传染病的传染病流是常数，且相应的确定性传染病模型具有唯一稳定的地方病平衡点。对于以确定性模型为大数定律极限的相伴随机模型，无病平衡点是一个吸收状态，过程迟早会达到。然而，对于大的总体规模，即当随机模型接近其确定性极限时，随机扰动阻止流行病所需的时间可能是巨大的。在本文中，我们讨论了如何中心极限定理，中等和大偏差允许我们给估计的消亡时的流行病，取决于人口的大小。
2019-05-22 math.PR
Spatial Epidemics: Critical Behavior in One Dimension
在简单平均场SIS和SIR传染病模型中，传染病通过独立的p-硬币投掷从有限总体的感染者传递到易感者。这些模型的空间变量，其中有限总体的大小N是位于一个晶格的网站和传染性接触仅限于个人在相邻的网站。这些模型的比例律的感染参数p是这样的流行病是临界的。它表明，在所有情况下，有一个临界阈值的数量最初感染：低于阈值，流行病的演变基本上是相同的方式，其分支信封，但在阈值演变像一个分支过程与大小依赖漂移。相应的标度极限分别为超布朗运动和带killing的Dawson-Watanabe过程。
2007-07-25 math.PR
Targeted Immunisation Thresholds for the Contact Process on Power-Law Trees
针对幂律树/无标度网络中均匀免疫无法阻断低感染率流行病传播的问题，研究靶向免疫最大度顶点的效果，发现最大允许度高于阈值时免疫效果微弱，低于同量级阈值时流行病存活概率骤降甚至清零。
2024-06-22 math.PR
A SIR epidemic model on a refining spatial grid II-Central limit theorem
针对考虑空间异质性的SIR流行病模型，借助泛函中心极限定理分析随机模型相对确定性模型的偏差，得到作为随机偏微分方程温和解的分布值Ornstein-Uhlenbeck高斯过程极限。
2024-12-09 math.PR
Multi-patch multi-group epidemic model with varying infectivity
本文给出了SIR随机流行病模型的一个大数定律结果，当种群规模趋于无穷大时，种群分布在$L$不同的斑块（斑块之间有迁移）和$K$不同的组（可能是年龄组）上.极限是一组Volterra型的积分方程，结果显示了空间和种群异质性的影响。该模型的新颖之处在于，受感染个体的传染性取决于感染年龄。更确切地说，每个感染个体都附加了一个随机感染年龄依赖性传染性函数，使得附加到不同个体的各种随机函数是独立同分布的。这个证明涉及到一个新的i.i.d.序列构造。通过使用MacKean-Vlasov型泊松驱动的随机方程的解（如在混沌理论的传播中），对$D$中的过程调用大数定律。我们还建立了一个身份使用Feynman-Kac公式的伴随向后常微分方程。这种方法的优点是，它假设的随机传染性函数的条件比我们在[20]中对齐次模型的早期工作要弱得多，在[20]中，采用了随机过程收敛的标准紧密性准则。为了说明这种新的方法，我们首先解释了齐次模型在弱假设下的新证明，然后描述了多块-多群模型，并证明了该模型的大数定律。
2022-06-23 math.PR
Critical scaling of stochastic epidemic models
在简单平均场SIS和SIR传染病模型中，传染病通过独立的$p-$抛硬币从有限总体中的感染者传播到易感者。这些模型的空间变量，其中有限的人口大小$N$位于一个网格的网站和传染性接触仅限于个人在相邻的网站。当传染参数$p$使得流行病是临界的时，给出了平均场和空间模型的标度律。它表明，在所有情况下，有一个临界阈值的数量最初感染：低于阈值，流行病的演变基本上是相同的方式，其分支信封，但在阈值演变像一个分支过程与大小依赖漂移。
2007-09-07 math.PR
Functional Limit Theorems for Non-Markovian Epidemic Models
本文研究了传染期（潜伏期/暴露期、免疫期）服从一般分布的非马尔可夫随机流行病模型（SIS、SIR、SIRS和SEIR）。我们使用感染的时间段（和潜伏期/暴露，免疫力）提供了一个表示的进化动态。取种群规模趋于无穷大时的极限，证明了这些模型中感兴趣过程的泛函大数定律和泛函中心极限定理.在FLLN中，极限是确定性Volterra积分方程系统的唯一解，而在FCLT中，极限过程是线性Volterra随机积分方程的多维高斯解。在FCLT的证明中，我们提供了一个重要的泊松随机措施表示的扩散缩放过程收敛到高斯分量驱动的极限过程。
2021-06-23 math.PR
Epidemics on networks with preventive rewiring
研究了定义在社会网络上的随机SIR（易感$\to$传染$\to$恢复）流行病模型.潜在的社会网络由Erdens-Rényi随机图描述，但在流行病期间，与传染性邻居相连的易感个体可能会断开或重新连接这种连接。大人口限制的模型推导出两个收敛结果的早期分支过程样的行为，并假设一个重大的爆发，主要阶段的流行病过程收敛到一个确定性的模型，这是相当于一个特定的对近似模型。大数定律的结果也得到了一个大爆发的最终规模（即感染的个人总数）。两个结果引人注目（适用于一系列参数设置）：（i）在感染率$λ$处于其阈值$λ_c$时，感染的限制性最终分数可能是不连续的（因此从$0$到严格正数的离散跳跃）和（ii）对于当重新布线必须是未感染个体时的情况，如果它是不连续的，当$λ$通过$λ_c$时，受感染的限制性最后部分从$0$跳跃到$1$。
2020-08-14 math.PR
Stochastic epidemics in a homogeneous community
这些注释描述了同质社区中的随机流行病。我们主要关注的是传染病传播的随机房室模型（即每个个体属于一个房室的模型，该房室代表其与所研究的流行病有关的状态：S代表易感，E代表暴露，I代表感染，R代表恢复）。在本说明中，我们仅限于同质混合社区。在第一章中，我们提出了我们的一般模型，并研究了流行病的早期阶段。第二章研究了马尔可夫模型的特殊情形，特别是在大种群的渐近情形下，得到了一个大数定律和一个中心极限定理。第3章考虑了封闭人群的情况，并描述了流行病的最终规模（即感染的总人数）。第四章考虑了具有恒定的传染病流入（无论是出生，移民或恢复个体的免疫力丧失）的模型，并利用CLT和大偏差来研究随机干扰需要多长时间才能停止一种流行病，这种流行病对于确定性流行病模型是稳定的。该文件结束时的附录，其中提出了几个数学概念，这是使用这些笔记，以及解决方案的许多练习，提出了在各个章节。
2020-02-05 math.PR
The SIR epidemic on a dynamic Erdős-Rényi random graph
本文研究动态非齐次 Erdős-Rényi 随机图上的 SIR 流行病模型，建立了流行病曲线的函数大数定律，并证明其满足常微分方程组，在平均度恒定且边动态与感染过程同时间尺度时发现新的方程组，首次严格分析动态随机图上的大规模流行病过程。
2024-04-19 math.PR
Functional Central Limit Theorem and SPDE for epidemic model with memory of the last infection and waning immunity
本文针对具有感染记忆和免疫力衰退的流行病模型，建立了泛函中心极限定理，以随机积分方程和SPDE刻画其波动，并给出平均感染力与易感性的替代表示。
2025-05-27 math.PR
Central limit theorem for a spatial stochastic epidemic model with mean field interaction
在这篇文章中，我们研究了一个相互作用的粒子系统的流行病学的背景下，个人（粒子）的特点是他们的位置和感染状态。我们开始在微观层面上的描述，其中个人的位移是由平均场的相互作用和状态依赖的扩散，而流行病学的动态描述的泊松过程与感染率的基础上分布的其他附近的个人，也是平均场类型。然后在适当的假设下，建立了一种形式的大数定律，证明了与上述系统相关的经验测度收敛于非线性McKean-Vlasov方程的唯一解的定律.作为一个自然的后续问题，我们研究这个随机系统在其极限附近的波动。我们证明了这个波动过程收敛到一个极限过程，它可以被刻画为线性随机偏微分方程的唯一解。与现有文献中采用耦合方法证明相互作用粒子系统的中心极限定理不同，本文的主要思想是利用半群形式和适当的估计，在适当的加权索伯列夫空间中直接研究涨落过程的线性化发展方程，并遵循希尔伯特方法.
2022-12-05 math.PR
Spatially dense stochastic epidemic models with infection-age dependent infectivity
本文研究地点数与每地点个体数均趋于无穷的随机空间流行病模型，通过泛函大数定律得到时空积分方程及带积分边界条件的感染年龄密度 PDE，并将其解释为 graphon 上的动力学。
2025-10-20 math.PR
SPDE for stochastic SIR epidemic models with infection-age dependent infectivity
本研究为具有感染年龄依赖性传染力的随机SIR模型建立了FLLN和FCLT，分别得到PDE和SPDE极限，并显式刻画解及在更强假设下证明SPDE解的唯一性。
2025-05-27 math.PR
From Individual-Based Stochastic Epidemics to Heterogeneous SIR Equations
School of Mathematical Sciences, University of Nottingham（诺丁汉大学数学科学学院）；Department of Mathematics and Statistics, Universit（数学与统计系，Universit）
该研究构建了异质性SIR流行病模型的随机框架，证明了相关大数定律，所得极限涵盖常见SIR系统，为对应确定性模型提供统一概率基础。
2026-08-25 math.PR q-bio.PE
Coloured Epidemic Models: Functional Law of Large Numbers and Propagation of Chaos
University of Nottingham（诺丁汉大学）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文提出一个带个体协变量的随机SIR流行病模型，通过相互作用粒子系统建立泛函大数定律和混沌传播，为异质性群体的参数估计提供理论基础。
2026-09-15 math.DS math.PR math.ST
General epidemiological models: Law of large numbers and contact tracing
本文研究一般假设下的固定规模流行病模型，通过分析“感染图”的局部收敛性，为大种群中的接触者追踪过程提供了数学表述，并将代际时间分布与传播链感染时间相关联。
2023-07-03 math.PR
A Law of Large Numbers for SIR on the Stochastic Block Model: A Proof via Herd Immunity
本文研究随机块模型上的SIR传染病模型动力学，通过新耦合方法和群体免疫相关技术，证明了任意时间范围下传染病轨迹收敛于常微分方程的大数定律，包括感染最终规模的对应定律。
2024-10-09 cs.SI math.PR
Stochastic epidemic models with varying infectivity and waning immunity
研究基于个体的随机流行病模型，证明泛函大数定律，推广Kermack-McKendrick PDE模型，并揭示地方性平衡阈值取决于感染后长时间易感性的调和平均值。
2025-03-27 math.PR q-bio.PE
Laws of large numbers for the frog model on the complete graph
青蛙模型是一种流行病在图上传播的随机模型，其中休眠的粒子开始在图上执行简单的随机游动，并且一旦它变得活跃就唤醒其他粒子。研究了具有$N + 1$顶点的完全图上的青蛙模型的两个版本。在我们考虑的第一个版本中，活性粒子具有几何分布的寿命。在第二个版本中，每个被唤醒的粒子的位移持续到它到达过程已经访问过的顶点。对于每一个模型，我们证明了作为$N \to \infty$，该过程的轨迹是很好地近似的三维离散时间动力系统。我们还研究了相应的确定性系统的长期行为。
2019-03-15 math.PR
PDE model for multi-patch epidemic models with migration and infection-age dependent infectivity
本文研究多斑块、可迁移且传染性依赖感染年龄的随机SIR流行病模型，通过泛函大数定律推导极限，并建立由积分方程边界条件确定的感染年龄密度PDE模型。
2023-08-18 math.PR q-bio.PE
Stochastic epidemic models with pulse vaccination, varying infectivity and waning immunity
Vanderbilt University（范德堡大学）
本文构建了含可变传染性、免疫力减弱及脉冲接种的随机非马尔可夫SIRS流行病模型，推导其大种群极限动力学，明确疾病存续阈值，为脉冲接种控制提供概率扩展框架。
2026-09-07 math.PR q-bio.PE
Epidemic models with varying infectivity on a refining spatial grid. I. The SI model
本文研究带感染年龄依赖传染性、非局部感染和马尔可夫迁移的时空 SI 模型，在 $N\to\infty$、$\varepsilon\to0$ 且 $N\varepsilon^d\to\infty$ 时证明函数型大数定律，极限为抛物型 PDE/积分方程组。
2023-06-04 math.DS math.PR
Functional Central limit theorems for epidemic models with varying infectivity and waning immunity
针对广义SIS流行病模型，本文证明了描述流行病动态围绕功能性大数定律极限随机波动的功能性中心极限定理，其极限由二维高斯过程驱动的随机非线性积分方程组给出。
2023-11-03 math.PR q-bio.PE
Epidemics on random intersection graphs
在本文中，我们考虑了一个模型的传播的随机SIR（易感$\to$传染性$\to$已感染）流行病的网络上的一个随机交图。个体属于随机数量的小集团，每个小集团的大小都是随机的，当且仅当两个个体都属于一个小集团时，感染才能在两个个体之间传播。集团的大小和集团的数量都遵循混合泊松分布。一个无限型的分支过程近似（与类型是由个人的传染期的长度）的早期阶段的流行病的发展和充分严格的证明相关的极限定理，人口规模趋于无穷大。这导致了一个门限参数$R_*$，因此在一个大的人群中，当且仅当$R_*>1$时，只有很少的初始感染者的流行病才能引起大的爆发。近似的无限型分支过程的生存概率的函数方程的确定;如果$R_*\le1$，这个方程没有非零解，而如果$R_*>1$，它被证明有正好一个非零解。利用一个近似于典型个体易感性集大小的单类型分支过程，证明了这种大爆发规模的大数定律。
2014-04-28 math.PR q-bio.PE
A stochastic SIR network epidemic model with preventive dropping of edges
研究了一个马尔可夫SIR（Susceptible-Infectious-Adverted）模型在一个配置模型网络上的流行病传播，在该模型中，易感个体可以通过将边缘丢弃给有传染性的邻居来采取预防措施.一个有效的程度制定的模型与密度依赖的人口过程的理论相结合，以获得一个大数定律和功能中心极限定理的流行病作为总体规模$N \to \infty$，假设个人的程度是有界的。证明了一个中心极限定理，证明了该传染病的最终规模.结果得到的Molloy-Reed（其中的程度的个人是确定性的）和纽曼Strogatz-瓦茨（其中的程度的个人是独立的，同分布）版本的配置模型。这两个版本产生相同的限制确定性模型，但在中心极限定理的渐近方差更大的纽曼-Strogatz-瓦茨版本。在有限确定性模型中，对于有边丢弃的模型，其基本再生数$R_0$和易感个体的过程与相应的无边丢弃的SIR模型相同，但恢复率增加，但当$R_0>1$大于$R_0>1$时，有边丢弃的模型发生大爆发的概率更大。的结果是专门的模型，而不下降的边缘，以产生约束的中心极限定理的最终规模的马尔可夫SIR流行病的配置模型网络，并为这些网络的巨型组件。数值研究表明，该理论的渐近近似是好的，即使是温和的$N$。
2019-01-21 math.PR q-bio.PE
