Santa Claus Schedules Jobs on Unrelated Machines
排序理论中的经典结果之一是Lenstra、Shmoys和Tardos提出的2-近似算法，用于求解在不相关机器上最小化完工时间的排序问题，即，如果在机器i上处理作业j，则需要时间p_{ij}。在引入二十多年后，即使在处理时间为{p_j，\infty }中的形式p_{ij}的限制模型中，它仍然是首选算法。这个问题，也被称为限制分配问题，是NP-难的近似在一个因子小于1.5，这也是最有名的下限的一般版本。我们的主要结果是一个多项式时间算法，估计的最优完工时间的限制分配问题的一个因素33/17 + ε \approx 1.9412 + ε，其中ε> 0是一个任意小的常数。结果是通过上界的完整性差距的某一强线性规划，称为配置LP，这是以前成功地用于相关的圣诞老人问题。类似于对该问题的最强分析，我们的证明基于局部搜索算法，该算法最终将找到上述近似保证的时间表，但不知道在多项式时间内收敛。
2011-03-21 cs.DS
The Submodular Santa Claus Problem in the Restricted Assignment Case
次模圣诞老人问题是由Goemans，Harvey，Iwata，and Mirrokni（SODA'09）在一个开创性的工作中引入的，作为他们结构结果的应用。在上述问题中，$n$不可分割的资源必须分配给$m$播放器，每个播放器具有单调子模块效用函数$f_i$。目标是最大化$\min_i f_i(S_i)$，其中$S_1,\dotsc,S_m$是资源的分区。Goemans等人的结果暗示了多项式时间$O(n^{1/2 +\varepsilon})$近似算法。从那时起，这个问题的进展仅限于线性情况，即所有的$f_i$都是线性函数。特别是，一系列的研究表明，有一个多项式时间常数近似算法的线性赋值函数的限制分配的情况下。这是一种特殊情况，其中每个参与者被给予一组期望的资源$Γ_i$，并且各个估值函数被定义为全局线性函数$f$的$f_i(S) = f(S \cap Γ_i)$。这也可以被解释为利用附加的分配限制来最大化$\min_i f(S_i)$，即，资源只能分配给特定的玩家。在本文中，我们取得了可比的进展，子模的变体。也就是说，如果$f$是一个单调的子模函数，我们可以在多项式时间内计算出一个$O(\log\log(n))$ -近似解。
2020-11-13 cs.DS
Online Algorithms for the Santa Claus Problem
圣诞老人问题是公平分配中的一个基本问题：目标是在异构代理之间划分一组异构项目，以便最大化任何代理收到的项目的最小值。在本文中，我们研究这个问题的在线版本的项目是事先不知道的，并已被分配给代理，因为他们到达随着时间的推移。如果项目的到达顺序是任意的，那么在最坏的情况下不存在好的分配规则。然而，我们表明，如果到达顺序是随机的，那么对于$n$代理和任何$\varepsilon > 0$，我们可以得到一个竞争比$1-\varepsilon$时，最优分配值至少$Ω(\log n / \varepsilon^2)$给每个代理（假设每个项目最多有单位值）。我们还表明，这个结果几乎是严格的：即，如果对于某个常数$C$，最优解的值最多为$C \ln n / \varepsilon$，那么即使对于随机到达顺序，也不存在$(1-\varepsilon)$ -竞争算法。
2023-03-06 cs.DS cs.GT
Distributed Santa Claus via Global Rounding
TU Graz（格拉茨工业大学）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文在CONGEST模型下研究了NP难的圣诞老人问题，提出首个分布式设定下的近似算法，证明计算O(logn/loglogn)近似解的复杂度为Θ(√n+D)轮，且给出更严格的下界。
2026-09-15 cs.DC cs.DS
Lift-and-Project Integrality Gaps for Santa Claus
本文研究了Santa Claus问题特例MMDA问题，构造了深度为3的实例证明仅1轮Sherali-Adams层级无法实现多对数近似，并展示了可将其提升至任意深度以挑战现有技术。
2024-10-17 cs.CC cs.DS
An EPTAS for Scheduling on Unrelated Machines of Few Different Types
在经典的不相关平行机排序问题中，一组工件必须分配给一组机器。工件的加工时间取决于机器，目标是最小化完工时间，即最大机器负载。众所周知，这个问题是NP难的，并且不允许近似保证小于$1.5$的多项式时间近似算法，除非P $=$ NP。我们考虑的情况下，只有一个常数$K$的机器类型。如果两台机器的所有工件的加工时间相同，则它们具有相同的类型。对于$K=1$，这个问题的变体已经是强NP难的。我们提出了一个有效的多项式时间近似方案（EPTAS）的问题，即对于任何$\varepsilon > 0$的最大完工时间的长度最多$(1+\varepsilon)$倍的最优分配可以在多项式时间内找到的输入长度和指数是独立的$1/\varepsilon$。特别地，我们实现了$2^{\mathcal{O}(K\log(K) \frac{1}{\varepsilon}\log^4 \frac{1}{\varepsilon})}+\mathrm{poly}(|I|)$的运行时间，其中$|I|$表示输入长度。此外，我们研究了其他三个问题的变种，并提出了一个EPTAS为他们每一个：圣诞老人的问题，其中最小的机器负载已被最大化的情况下，不相关的平行机与一个常数数量的统一类型，其中相同类型的机器表现得像一致相关的机器调度;和多维向量调度问题的变体，其中机器类型的维度和数量都是常数。对于圣诞老人问题，我们实现了相同的运行时…
2017-12-06 cs.DS
Additive Approximation Schemes for Load Balancing Problems
在本文中，我们引入了加法近似方案的概念，并将其应用于负载均衡问题。加法近似方案的目的是找到一个解决方案，在最多$εh$的目标，为一些合适的参数$h$的绝对误差。在参数$h$提供下限的情况下，加性近似方案意味着标准的乘性近似方案，并且当$h \ll$ OPT.On另一方面，当不存在PTAS（或不太可能存在）时，加性近似方案可以提供不同的近似概念。我们考虑的问题，分配工作的机器与上下界的机器的负载相同的机器。这种设置概括了最大完工时间最小化、圣诞老人问题（在相同的机器上）和最小化嫉妒的圣诞老人问题。对于最后一个问题，其目标是最小化最大和最小负载之间的差，最优目标值可能为零，因此获得任何乘法近似保证是NP难的。对于这类问题，我们提出了添加剂近似计划的$h = p_{\max}$，最大加工时间的工作。我们的技术贡献是双重的。首先，我们引入了一个新的放松的基础上，整体分配插槽的机器和分数分配工作的插槽（插槽MILP）。我们确定的插槽MILP，这使我们能够有效地解决它的（近）最优解的结构特性，假设有$O(1)$不同的下限和上限的机器负载（这是上述三个问题的相关设置）。第二个技术贡献是基于局部搜索的算法，其将解舍入到时隙MILP，在至多$ε\cdot p_{\max}$的目标负载间隔上引入附加误差。
2020-07-18 cs.DS
Quasi-Polynomial Local Search for Restricted Max-Min Fair Allocation
限制性最大最小公平分配问题（也称为限制性圣诞老人问题）是少数几个具有比近似算法更好的估计算法的问题之一。实际上，Asadpour等人证明，对于任何$ε>0$，可以使用某个配置LP来估计因子${1}/{(4+ε)}$内的最优值，但同时不知道如何有效地找到具有可比性能保证的解决方案。从他们的工作中产生的一个自然问题是，这些保障之间的差异是固有的，还是因为缺乏适当的技术。我们解决这个问题，给出了一个准多项式近似算法与上述性能保证。更具体地说，我们修改了Asadpour等人的局部搜索，并提供了一种新的分析，使我们能够显着提高其运行时间的界限：从$2^{O(n)}$到$n^{O(\log n)}$。我们的技术也有有趣的属性，虽然我们在分析中使用相当复杂的配置LP，我们从来没有真正解决它，因此产生的算法是纯粹的组合。
2014-01-17 cs.DS
Solving Restricted Versions of #SAT Faster than $2^m$: Algorithms and Lower Bounds
National University of Singapore（新加坡国立大学）；University of Bergen（卑尔根大学）；University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）
针对受限#SAT问题，该研究提出两种算法分别突破了$2^m$时间壁垒，还证明了相关问题的下界，且算法可推广到加权计数场景。
2026-10-14 cs.DS
Cost Preserving Dependent Rounding for Allocation Problems
提出一种保持成本不超过分数解的相依随机舍入方案，结合经典方法与线性规划技术，为 Budgeted Santa Claus Problem 导出了 O(log n)-近似算法。
2025-04-28 cs.DS
The Heterogeneous Capacitated $k$-Center Problem
在本文中，我们开始研究异构容量限制$k$ -中心问题：给定一个度量空间$X = (F \cup C, d)$，和一个收集的容量。目标是在$F$中的唯一设施位置打开每个容量，并将客户端分配给设施，以便分配给任何设施的客户端数量最多为安装的容量;目标是最小化客户端与其分配的设施之间的最大距离。如果所有的能力$c_i$的是相同的，该问题成为研究充分的一致capacitated $k$ -中心问题的常数因子近似是已知的。额外的选择，确定哪些能力应该安装在哪个位置，使我们的问题大大不同于这个问题，以及非均匀的推广研究，迄今为止在文献中。事实上，我们的贡献之一是在有关的异质性问题的特殊情况下，经典的圣诞老人问题。利用这种联系，并通过设计新的算法，我们得到了以下结果：（a）一个准多项式时间的$O(\log n/ε)$ -近似，其中每个容量都被$1+\varepsilon$破坏，（b）一个多项式时间的$O(1)$ -近似，其中每个容量都被一个$O(\log n)$因子破坏.我们得到了{ \em soft-capacities}版本的改进结果，其中我们可以在同一位置放置多个设施。
2016-11-22 cs.DS
MaxSAT with Absolute Value Functions: A Parameterized Perspective
布尔可满足性问题到最优化问题的自然推广是确定在合取范式中的命题公式中可以同时满足的子句的最大数量的任务。在加权最大可满足性问题中，每个子句都有一个正的权重，并寻求最大权重的分配。文献几乎只考虑了正权重的情况。虽然一般情况下的问题只受到这个约束的轻微限制，但许多特殊情况在没有负权重的情况下变得微不足道。在这项工作中，我们研究了具有负权重的问题，并观察到该问题在计算上变得更加困难-我们从参数化的角度将其形式化，因为如果存在负权重，则该问题的各种变体变得W[1]-困难。允许负权重也引入了问题的新变体：我们可以最大化该和的绝对值，而不是最大化满足子句的权重之和。这被证明是令人惊讶的表达，甚至仅限于在析取范式，每个子句最多两个文字的单调公式。然而，在没有绝对值的版本相比，我们证明，这些变种是固定参数听话。作为技术上的贡献，我们提出了一个核化的一个辅助问题，在超图中，我们寻求，给定一个边加权超图，诱导子图，最大化的绝对值的总和边权重。
2022-04-26 cs.CC cs.DS cs.LO
Cycle Cancellation for Submodular Fractional Allocations and Applications
本文提出了一种针对子模估值的循环消除算法，用于解决最大-最小、纳什社会福利和最大化分享等分配问题，获得了新的近似算法和结果。
2025-11-26 cs.DS cs.GT
Improved Integrality Gap in Max-Min Allocation: or Topology at the North Pole
本文引入拓扑方法替代组合论证，改进受限最大最小分配问题（圣诞老人问题）中配置LP的整数性间隙，将最佳界限从3.808降至3.534，并改进两值资源版本。
2025-01-27 cs.DM cs.DS
Structural Results for High-Multiplicity Scheduling on Uniform Machines
针对一致机器高重数调度问题，提出基于子实例分数解的邻近技术，获得新结构性结果，并给出匹配已知最优的算法及嫉妒最小化的fpt算法。
2024-09-23 cs.DS
Inapproximability Results for Scheduling with Interval and Resource Restrictions
在受限指派问题中，输入由一组机器和一组工件组成，每个工件都有一个加工时间和一个合格机器子集。目标是找到一个分配的工作，机器最大完工时间最小化，也就是说，最大的总和处理时间的任何机器接收。在这里，作业应该只分配给那些机器上，他们是合格的。众所周知，除非P=NP，否则对于约束指派问题，不存在近似保证小于1.5的多项式时间近似算法。在这项工作中，我们显示出硬度的结果与特定类型的限制的限制分配问题的变种。在间隔限制的情况下，机器可以完全排序，使得作业在连续的机器上都是合格的。我们解决了这个问题是否承认一个多项式时间近似计划（PTAS）的负面（除非P=NP）的公开问题。有几个特殊的情况下，这个问题已知承认一个PTAS。此外，我们考虑一个变种的资源限制，每台机器的能力和每个作业的需求为一个固定数量的资源。如果作业的需求最多是机器对每个资源的容量，则该作业在机器上合格。对于一个资源，这个问题是已知的，承认PTAS，对于两个，包含的情况下，间隔限制，并在一般情况下，该问题是密切相关的不相关的调度与低秩的处理时间矩阵。我们表明，有没有多项式时间的近似算法的速率小于48/47或1.5的调度与资源限制与2或4个资源，分别，除非P=NP。我们所有的结果都可以扩展到所谓的圣诞老人变量的问题，其目标是最大化任何机器接收的最小处理时间。
2019-07-08 cs.CC cs.DS
PTAS for Ordered Instances of Resource Allocation Problems with Restrictions on Inclusions
我们考虑的问题，分配一组$I$的$m$不可分割的资源（项目）的$n$客户（球员）竞争的资源的一组$P$。每个资源$j \in I$对于对$j$感兴趣的客户子集具有相同的值$v_j > 0$，而对于其余客户具有零值。每个客户得到的效用是分配给她的资源价值的总和。目标是找到一个可行的资源分配给感兴趣的客户，使得对于Max-Min分配问题（Min-Max分配问题），客户得到的效用的最小值（效用的最大值）最大化（最小化）。最大-最小分配问题也称为\textit{Fair Allocation problem}或\textit{Santa Claus problem}。Min-Max分配问题是不相关并行机上的排序问题，也称为$R \, | \, | C_{\max}$问题。在本文中，我们感兴趣的问题，承认一个多项式时间近似计划（PTAS）的情况下。我们表明，订购的资源和客户的属性是重要的，并铺平了道路的PTAS。对于最大-最小分配问题，我们从可以被视为\textit{convex bipartite graph}的问题的实例开始;存在资源排序的二分图，使得每个客户对一组\textit{consecutive}资源感兴趣（具有积极的评价）。我们证明了PTAS的包含自由的情况下。这类例子等价于二部置换图类。对于Min-Max分配问题，我们也得到了无包含实例的PTAS。这些实例不仅具有理论意义，而…
2016-10-11 cs.DM cs.DS
Maximizing the Minimum Eigenvalue in Constant Dimension
针对带拟阵约束的最小特征值最大化问题，提出基于凸规划松弛、重缩放猜测、pipage rounding 与矩阵 Chernoff 不等式的随机 $(1-\varepsilon)$ 近似算法，并推广到单调齐次函数。
2024-01-25 cs.DS
From k-SAT to k-CSP: Two Generalized Algorithms
Peking University（北京大学）；Beihang University（北京航空航天大学）
约束满足问题是一类重要的NP难问题，如命题可满足性问题。有界子句长度为k的约束SAT（k-SAT）的运行时间上界非平凡的算法可以分为三种类型：DPLL类、PPSZ-like和局部搜索，其中局部搜索算法已经推广到有界约束元数为k的CSP（k-CSP）。我们推广的DPLL类算法在其最简单的形式和PPSZ类算法从k-SAT到k-CSP。据我们所知，这是第一次尝试使用PPSZ-like策略来解决k-CSP，而之前很少有工作集中在k-CSP的DPLL或PPSZ-like策略上。
2008-01-21 cs.AI cs.CC cs.DS
Efficient Approximation Schemes for Stochastic Probing and Selection-Stopping Problems
本文提出通用框架，通过向多维 Santa Claus 问题归约，为随机探测与选择停止问题设计高效多项式时间近似方案（EPTAS），改进了现有结果。
2025-05-29 cs.DS cs.GT
Which NP-Hard SAT and CSP Problems Admit Exponentially Improved Algorithms?
本文研究了在变量否定下闭的潜在无限语言$Γ$（符号对称语言）的SAT（$Γ$）问题的复杂性。通过代数连接，这减少到$Γ$的受限部分多态性的研究，我们称之为\emph{pSDI-operations}（部分，自对偶和幂等）。首先，我们学习语言课程本身。我们对限制性最小的pSDI-操作的结构进行了分类，对应于最强大的语言$Γ$，并发现这些操作可以分为\emph{levels}，对应于粗略的难度概念;在每一个层次中都有一个最强的操作（部分$k$ -NU操作，保留$(k-1)$ -SAT）和最弱操作（$k$ -通用操作$u_k$，保留可通过有界次数多项式定义的问题）。我们发现，每一个符号对称的$Γ$不保留$u_k$实现所有$k$ -条款，因此，如果$Γ$不保留$u_k$的任何$k$，那么SAT（$Γ$）是平凡的SETH-硬，不能解决速度比$O^*(2^n)$，除非SETH失败。其次，我们研究了此类语言的SAT（$Γ$）的上界和下界。我们发现，在层次结构中的几个类对应的问题，可以解决的速度比$2^n$使用以前已知的算法策略，如子集和式满足在中间和快速矩阵乘法。此外，如果向日葵猜想对于具有k个集合的向日葵成立，则部分k-NU语言具有通过局部搜索的改进算法。补充这一点，我们表明，对于每一类有一个具体的下限$c$，这样SAT（$Γ$）不能解决的速度比$O^*(c^n)$的类中的所有问题，除非SET…
2018-01-29 cs.DS
Faster than Classical Quantum Algorithm for dense Formulas of Exact Satisfiability and Occupation Problems
提出了一种求解精确可满足性（XSAT）问题的精确量子算法。该算法是基于一个直观的方法，可以分为两个部分：第一，识别和有效表征的限制子空间，其中包含所有的有效分配的XSAT;第二，在这样的限制子空间的量子搜索。量子算法可以用来找到一个有效的分配（或证明不存在解决方案）或计算有效分配的总数。最坏情况下的查询复杂度分别由$O(\sqrt{2^{n-M^{\prime}}})$和$O(2^{n-M^{\prime}})$限定，其中$n$是变量的数量，而$M^{\prime}$是线性无关子句的数量。值得注意的是，所提出的量子算法的结果比任何已知的精确经典算法更快地解决XSAT的密集公式。作为一个具体的应用，我们提供了最坏情况下的复杂性的哈密顿循环问题后，将其映射到一个合适的XSAT。具体来说，我们表明，所提出的量子算法的时间复杂度是有界的$O(2^{n/4})$ 3-正则无向图，其中$n$是节点的数量。对于$(3,3)$ -正则二分图，同样的最坏情况复杂度也成立（当前最好的经典算法具有由$O(2^{31n/96})$限定的（最坏情况）运行时间）。最后，当与XSAT的启发式技术相比时，所提出的量子算法比经典的WalkSAT和绝热量子优化算法更快，用于约束密度接近可满足性阈值的随机实例，该区域中的实例通常是最难解决的。所提出的量子算法也可以扩展到被称为占领问题的XSAT的广义版本。
2016-08-29 cs.DS quant-ph
Exponentially faster fixed-parameter algorithms for high-multiplicity scheduling
本研究针对$N$-重整数规划，利用子矩阵非零行无重叠的划分结构设计新固定参数算法，在高重数调度问题中较现有成果实现作业类型数维度的指数级加速。
2024-07-10 cs.DS
On the Parameterized Complexity of Diverse SAT
该文在多样性框架下研究SAT问题，定义了MAX DIFFER SAT与EXACT DIFFER SAT，分析其在仿射、2-CNF、击中三类公式上的经典及参数化复杂度，得到多项可解性、NP难与W[1]难等结果。
2024-12-12 cs.DS
The Complexity of Boolean Connectivity Problem of $k$-Horn Formulas
Hokkaido University（北海道大学）；University of Hyogo（兵库大学）
本文研究k-Horn公式的布尔连通性问题{\textsc{Conn $k$-Horn}}的复杂性，提出无结构限制的指数级算法和两种多项式时间算法，还证明变量恰好出现三次时{\textsc{Conn $3$-Horn}}仍为coNP完全。
2026-08-21 cs.CC cs.DS
Solving SAT via Treewidth Backdoors in Linear Time: Beyond Sparsity
Hasso Plattner Institute（哈索·普拉特纳研究所）；Algorithms and Complexity Group, TU Wien（维也纳工业大学算法与复杂性组）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所离散数学组）
本文将弱t树宽后门的易处理性边界从稀疏性拓展至稠密公式领域，确定带符号半阶梯无为相关易处理性与难处理性的边界，推进了SAT问题的线性时间求解研究。
2026-10-13 cs.CC cs.DS
MAJORITY-3SAT (and Related Problems) in Polynomial Time
MIT（麻省理工学院）
多数SAT是确定合取范式（CNF）中的输入$n$变量公式是否至少具有满足赋值的$2^{n-1}$的问题。多数SAT和相关问题已经在各种对概率规划和推理的复杂性感兴趣的AI社区中得到了广泛的研究。虽然Majority-SAT被认为是PP完备的已经有40多年了，但它的一个自然变体的复杂性仍然是开放的：Majority-$k$ SAT，其中输入的CNF公式被限制为最多有$k$的子句宽度。我们证明，对于每一个$k$，多数- $k$ SAT是在P。事实上，对于任何正整数$k$和有理数$ρ\in (0,1)$与有界分母，我们给出了一个算法，可以确定是否一个给定的$k$ -CNF至少有$ρ\cdot 2^n$满足分配，在确定性线性时间（而以前最著名的算法在指数时间运行）。我们的算法有有趣的积极影响计数的复杂性和复杂性的推断，显着降低了已知的复杂性，如E-MAJ- $k$ SAT和MAJ-MAJ- $k$ SAT的相关问题。在我们的方法的核心是一个有效的方法，用于解决阈值计数问题，通过提取向日葵中发现的相应的一个$k$ -CNF集系统。我们还表明，多数- $k$ SAT的易处理性是有点脆弱。对于密切相关的GtMajority-SAT问题（我们问一个给定的公式是否有大于$2^{n-1}$满足分配），这是已知的PP-完全的，我们表明，$k$ SAT是在P的$k\le 3$，但成为NP-完全的$k\ge…
2021-11-15 cs.AI cs.CC cs.DS
