Shortest Secure Path in a Voronoi Diagram

Crack Modeling via Minimum-Weight Surfaces in 3d Voronoi Diagrams

Shortest paths play an important role in mathematical modeling and image processing. Usually, shortest path problems are formulated on planar graphs that consist of vertices and weighted arcs. In this context, one is interested in finding a path of minimum weight from a start vertex to an end vertex. The concept of minimum-weight surfaces extends shortest paths to 3d. The minimum-weight surface problem is formulated on a cellular complex with weighted facets. A cycle on the arcs of the complex serves as input and one is interested in finding a surface of minimum weight bounded by that cycle. I…

线性时间测地最远点沃罗诺伊图

Geodesic farthest-point Voronoi diagram in linear time

设$P$是具有$n$顶点的简单多边形。对于$P$中的任意两点，它们之间的测地线距离是$P$中包含的所有路径中连接它们的最短路径的长度。给定$m$点的集合$S$是$P$的顶点的子集，我们提出了一个随机算法来计算$P$在期望$O(n + m)$时间内运行的$S$的测地线最远点沃罗诺伊图.也就是说，将$P$划分为单元，每个站点最多一个单元，使得单元中的每个点相对于测地线距离具有相同的最远站点。特别地，当$S$是包含在$P$中的$m$位点的任意集合时，该算法可以扩展到在预期的$O(n + m\log m)$时间内运行，从而解决了Mitchell在《计算几何手册》第27章中提出的公开问题。

The geodesic edge center of a simple polygon

The geodesic edge center of a polygon is a point c inside the polygon that minimizes the maximum geodesic distance from c to any edge of the polygon, where geodesic distance is the shortest path distance inside the polygon. We give a linear-time algorithm to find a geodesic edge center of a simple polygon. This improves on the previous O(n log n) time algorithm by Lubiw and Naredla [European Symposium on Algorithms, 2021]. The algorithm builds on an algorithm to find the geodesic vertex center of a simple polygon due to Pollack, Sharir, and Rote [Discrete & Computational Geometry, 1989] and an…

格关于任意范数的Voronoi胞

Voronoi Cells of Lattices with Respect to Arbitrary Norms

我们研究了格的Voronoi胞关于任意范数的几何和复杂性。在积极的一面，我们证明了严格凸和光滑范数的格的Voronoi细胞在任何维度的几何是类似于欧几里德的情况下，即，Voronoi单元由所谓的Voronoi相关向量定义，并且Voronoi单元的小平面与这些向量一一对应。在消极的一面，我们表明，Voronoi细胞的组合更复杂的任意严格凸和光滑的规范比在欧几里得的情况下。特别是，我们构造了一个家庭的三维格的Voronoi相关向量的数量关于$\ell_3$ -范数是无界的。我们的结果表明，Micciancio和Voulgaris的突破单指数时间算法解决最短和最接近的向量问题的欧几里德范数不能扩展到实现确定性单指数时间算法的格问题关于任意$\ell_p$ -范数。事实上，Micciancio和Voulgaris的算法及其运行时间分析关键地依赖于这样的事实，即对于欧几里得范数，Voronoi相关向量的数量在格维中是单指数的。

计算平面内多个障碍物间的L1最短路径

Computing L1 Shortest Paths among Polygonal Obstacles in the Plane

给定一个点$s$和一组完全$n$顶点的$h$两两不相交的多边形障碍物，我们提出了一个新的算法，用于在$O(T)$时间和O（n）空间中构造大小为O（n）的$L_1$最短路径图，使得对于任何查询点$t$，$L_1$最短障碍物的长度-可以在$O(\log n)$时间内报告从$s$到$t$的回避路径，并且可以在与路径的边的数量成比例的附加时间内找到实际的最短路径，其中$T$是用于对自由空间进行三角测量的时间。目前已知，对于任意小的常数$ε>0$，$T=O(n+h\log^{1+ε}h)$。如果三角测量可以最优地完成（即，$T=O(n+h\log h)$），则我们的算法是最优的。以前，最好的算法在$O(n\log n)$时间和O（n）空间中计算这样的$L_1$最短路径图。我们的技术可以扩展到其他相关问题，例如，为多边形域中的一组点位置计算$L_1$测地Voronoi图，找到具有固定方向的最短路径，找到近似欧几里德最短路径等。

加权三维域上最短路径的近似算法

An Approximation Algorithm for Computing Shortest Paths in Weighted 3-d Domains

本文提出了第一个计算加权三维域上最短路径的多项式时间近似算法。给定一个由正权$n$四面体组成的多面体域$\D$和一个实数$\eps\in(0,1)$，该算法在$O(\C(\D)\frac{n}{\eps^{2.5}}\log\frac{n}{\eps}\log^3\frac{1}{\eps})$时间内构造$\D$中从一个固定源顶点到$\D$中所有顶点的路径，其代价至多为$1+\eps$乘以（加权）最短路径的代价，其中$\C(\D)$是与四面体纵横比有关的几何参数.该算法的效率是基于对加权三维域中的测地线路径和加性沃罗诺伊图的局部行为的深入研究，这是独立的利益。本文将Aleksandrov，Maheshwari和Sack [JACM 2005]的结果扩展到三维。