Inductive construction of stable envelopes
Andrei Okounkov
我们重新审视了等变椭圆上同调[arXiv：1604.00423]中稳定包络的构造，并在相当一般的情况下给出了它们的存在性和唯一性的直接归纳证明。我们还讨论了这种结构的专业化等变K-理论。
We revisit the construction of stable envelopes in equivariant elliptic cohomology [arXiv:1604.00423] and give a direct inductive proof of their existence and uniqueness in a rather general situation. We also discuss the specialization of this construction to equivariant K-theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Nonabelian stable envelopes, vertex functions with descendents, and integral solutions of $q$-difference equations
我们将椭圆稳定包络的构造推广到连通约化群的作用，并在相当一般的情况下给出了椭圆稳定包络的存在性和唯一性的直接归纳证明。我们表明这些有强大的枚举应用程序，特别是，顶点函数和他们的monodromy的计算。
Elliptic and K-theoretic stable envelopes and Newton polytopes
本文考虑部分旗簇的余切丛。我们构造了它们的$K$理论稳定包络，并定义了椭圆稳定包络的一个版本。我们期望我们的椭圆稳定包络与M. Aganagic和A. Okounkov.给出了$K$理论稳定包络和椭圆稳定包络的计算公式。我们证明了$K$理论稳定包络是我们的椭圆稳定包络的合适极限。这一现象是M. Aganagic和A. Okounkov.我们的稳定包络线是根据二十年前qKZ方程解的整表示理论中提出的椭圆权函数和三角权函数构造的。(More确切地说，椭圆权函数先前只出现在$\frak{gl}_2$的情况下。证明了三角权函数的新性质。也就是说，我们认为某些评价的三角权函数，这是多变量的洛朗多项式，并表明，牛顿多面体的评价是嵌入在牛顿多面体的相应的对角评价。该性质意味着三角权函数投影到$K$理论稳定包络的事实。
Elliptic stable envelope for Hilbert scheme of points in the plane
对于复平面上点的Hilbert格式，我们得到了椭圆稳定包络的一个显式公式。该公式具有杨图中树的和的结构。在极限下，我们得到了等变$K$ -理论（具有任意斜率）和等变上同调的稳定包络公式。
Elliptic stable envelopes of affine type $A$ quiver varieties
将$\mathbb{C}^2$中Hilbert点格式的椭圆稳定包络的Smirnov公式推广到具有正稳定性条件的仿射型$A$ Nakajima簇的情形.我们允许任意选择极化和相当普遍的腔室选择。本文是作者开发的Maple代码的伴侣，该代码实现了本文中描述的公式，并可在作者的网站上获得。
Euler characteristic of stable envelopes
在本文中，我们证明了一个公式的等变欧拉示性数的$K$-理论稳定的信封，一个对象称为指标顶点的余切丛的全旗簇。我们的公式证明了指标顶点是一个有理函数的幂级数展开。这个结果是这里考虑的各种3d镜像自对称性的结果。一般来说，人们期望类似的结果适用于任何两个由3d镜像对称相关的变种。
Pursuing quantum difference equations I: stable envelopes of subvarieties
设$X$是一个辛簇，它具有环面$A$的作用。设$ν\subset A$是有限循环子群.证明了子簇$X^ν\subset X$的K-理论稳定包络可以通过$X$的椭圆稳定包络的各种极限得到.详细地考虑了由复平面上点的Hilbert格式给出的$X$的一个例子。
Elliptic stable envelopes
我们构造了Nakajima簇的等变椭圆上同调的稳定包络。特别地，这给出了arXiv：1211.1287的结果的椭圆推广。我们将它们应用于计算单值性的$q$ -差分方程所产生的计数K-理论的有理曲线在Nakajima品种，包括量子Knizhnik-Zamolodchikov方程。
Stable envelopes for critical loci
本文提出临界稳定包的概念，用于研究对称GIT商空间中的稳定包，并展示了其在几何表示论和计数几何中的应用潜力。
3d Mirror Symmetry and Elliptic Stable Envelopes
本文考虑一对由三维镜像对称性联系起来的Grassmannian簇（X; X '），其中X =T*Gr（k，n）是n维空间k-平面Grassmannian的余切丛.我们给出了两边的椭圆稳定包络的公式。证明了X上的等变椭圆上同调类$\times$ X'（母函数）的存在性，其对X和X'的限制是这些簇的椭圆稳定包络.这意味着，X和X'的椭圆稳定包络的限制矩阵在一侧的同变参数与双侧的Kähler参数的换位和识别之后是相等的。
Symmetric quiver varieties and critical stable envelopes
本文研究了对称箭形簇的几何性质，证明其行为类似于普遍变形的Nakajima箭形簇，并通过双曲限制提供了临界稳定包络的新证明。
Stable envelopes for slices of the affine Grassmannian
本文研究了约化群仿射Grassmannian切片的上同调稳定包络，在$\mathbf{PSL}_2$情形构造了显式递推关系，并计算一般情形的一阶修正，从而得出乘以除子的精确公式。
Framed cohomological Hall algebras and cohomological stable envelopes
本文引入箭图带框架表示模栈的上同调霍尔代数，证明中岛簇不交并的等变上同调为其子代数且乘法等同于稳定包络映射，并给出用重言类计算稳定包络的显式归纳公式。
Hall algebra multiplication for stable envelopes on bow varieties
针对椭圆稳定包络这一量子群表示几何实现的基本组件，给出A型切尔基斯弓型簇上椭圆稳定包络的霍尔代数乘积公式，并结合3维镜像对称性质推导出同行列和01矩阵对的theta函数恒等式。
Shuffle products for elliptic stable envelopes of Nakajima varieties
我们找到了一个显式公式，该公式从那些Nakajima簇的框架向量是一个非零的基本向量，即只有一个酉非零项的维数向量的那些Nakajima簇中归纳出与一个非零的一个任意Nakajima簇的椭圆稳定包络。结果依赖于稳定包络的阿贝尔化。作为应用，我们将所得结果与平面上点的Hilbert格式的椭圆稳定包络的Smirnov公式相结合，得到了瞬子模空间的椭圆稳定包络.
Bow varieties: Stable envelopes and their 3d mirror symmetry
本文研究Cherkis弓形簇上的椭圆稳定包络，证明其满足由3d N=4量子场论镜像对称性启发的对偶性质，关键步骤是将大电荷膜分解为小电荷膜，并揭示了弓形簇几何的新特征。
Elliptic stable envelopes and hypertoric loop spaces
本文建立了超环簇椭圆稳定包络与环空间K理论稳定包络的联系，为椭圆稳定包络的范畴化提供了可能途径。
Interfaces and Quantum Algebras, I: Stable Envelopes
本文通过超对称界面、广义上同调理论和 Berry 联络，将 Okounkov 等人的稳定包络几何构造与量子场论联系起来，主要研究软破缺紧致化三维 N=4 理论，为辛对偶和 Bethe/规范对应等应用奠定基础。
Enumerative geometry via elliptic stable envelope
本文利用椭圆稳定包络构造 q-差分方程，在例子中与量子差分方程一致，从而将曲线计数与等变椭圆上同调联系起来。
Elliptic stable envelopes and 3d mirror symmetry
在这篇论文中，我们讨论了计数几何中的各种经典问题。我们专注于可以明确用于实际计算的思想和方法。我们的方法是基于研究极限的椭圆稳定包络转移等变或Kahler变量从椭圆上同调K-理论。本文证明了对于一个簇X，我们可以得到X的G-不动点的簇X^G的K-理论稳定包络，其中G是作用在X上的保辛形式的循环群.我们形式化的概念辛对偶，也被称为三维镜像对称。得到了椭圆稳定包络在壁面上极限的一个分解定理，推广了M.Aganagic和A. Okounkov的结果。这种方法允许我们扩展量子群、量子外尔群、R矩阵等的作用，关于辛对偶簇的K-理论的作用。对于平面上点的Hilbert格式，我们的结果推广了E.Gorsky和A. Negut的结果。提出了一种新的K-理论量子差分方程的求解方法。
Existence and orthogonality of stable envelopes for bow varieties
本文综述 A 型蝴蝶结簇的上同调稳定包络，重点证明其存在性与正交性，并以组合化、简化论证支撑显式计算。
Elliptic Stable Envelopes and Finite-dimensional Representations of Elliptic Quantum Group
在$n$ -矢量表示的张量积的Gelfand-Tsetlin基上，构造了与$sl_N$相关的面型即动力学椭圆量子群的有限维表示.利用$[1,n]$的划分，以组合的方式描述了结果。我们发现基矩阵从标准基到Gelfand-Tsetlin基的变化是由文献[Konno 17]中得到的椭圆权函数的特殊化给出的.将椭圆型权函数与Aganagic和Okounkov得到的椭圆型稳定包络进行了比较，证明了Gelfand-Tsetlin基（分别为标准基）到固定点类（分别为稳定类）在部分旗簇的余切丛$X$的等变椭圆上同调$E_T(X)$中。结果得到了椭圆量子群在$E_T(X)$上的几何表示.
Partial flag varieties, stable envelopes and weight functions
本文考虑GL_n部分旗簇λ=（λ_1，.）的余切丛T^*F_λ，λ_N），|λ| = \sum_i λ_i=n，环面T=（C^*）^{n+1}等变上同调H^*_T（T^*F_λ）.在[MO]中，在\oplus_{|λ|=n} H^* T（T^*F λ）上引入了Yangian模结构.我们确定这个Yangian模块结构与[GRTV]中介绍的Yangian模块结构。这将[MO]中描述的H^*_T（T^*F_λ）上的量子乘因子算符与[TV 2，MTV 1，GRTV]中动力学哈密顿算符的作用等同起来。为了构造这些标识，我们提供了一个公式的稳定包络映射，与部分旗品种和介绍[MO]。该公式是根据[TV 1]中引进的杨氏权函数，参考. [TV3，TV 4]，以构造qKZ方程的q-超几何解.
Shifted quantum groups via critical stable envelopes
本文通过临界稳定包络构造移位量子群，并将其与临界上同调Hall代数联系起来，扩展了Nakajima有向图变体的结果到临界情形。
Comparison of motivic Chern classes and stable envelopes for cotangent bundles
我们考虑一个复光滑射影簇，其作用是一个具有有限个不动点的代数环面。我们比较了Biavynicki-Birula胞腔的Motivic Chern类与余切丛的$K$ -理论稳定包络。我们证明，在一定的几何假设下，例如，满足齐性空间，这两个概念一致的归一化。
Twisted motivic Chern class and stable envelopes
本文对由奇异空间$X$和含有$X$奇异性的$\mathbb Q$ -Cartier因子组成的奇异对$(X,Δ)$，给出了{ \em扭曲motivic Chern类}的定义.该定义是一个混合物的motivic陈类的建设以前定义的Schelet-Sch {ü}rmann-Yokura与建设的乘子理想。扭曲motivic Chern类是Borisov-Libgober定义的椭圆类的极限。我们表明，与一个适当的选择的除数$Δ$的扭曲motivic陈类满足公理的稳定包络的K-理论。我们的构造是第一作者对基本斜率证明的结果的推广。
Iwahori-Coulomb branches, stable envelopes, and quantum cohomology of cotangent bundles of flag varieties
本文研究Iwahori-Coulomb分支在局部化equivariant量子上同调中的多项式性质，通过稳定包络和Demazure-Lusztig元素计算作用，并应用到旗流形切丛的量子上同调中。
Motivic Chern classes and K-theoretic stable envelopes
研究了奇异簇的一个K-理论示性类，即等变motivic Chern类.我们证明了motivic陈类的特点是由一个公理系统的启发“K-理论稳定的信封，”最近定义的Okounkov和量子群行动的模空间的K-理论代数的关系进行了研究。我们还给出了Schubert胞腔和矩阵Schubert胞腔的等变动机Chern类的显式公式。最后，我们计算的A2的表示的轨道的等变motivic陈类，从而产生的motivic陈类的行列式品种和更一般的退化轨迹的公式。
Elliptic Stable Envelopes for Certain Non-Symplectic Varieties and Dynamical $R$-Matrices for Superspin Chains from the Bethe/Gauge Correspondence
本研究将椭圆稳定包络理论推广至非辛簇，借助贝特/规范对应，通过三维$\n=2$规范理论的Janus配分函数求解超自旋链的动力学杨-巴克斯特方程，并验证了低维约化结果与已有数学结论一致。
Stable Envelopes, Vortex Moduli Spaces, and Verma Modules
本文显式构造了涡旋模空间的K理论与椭圆稳定包络，将量子差分方程等同于量子Knizhnik-Zamolodchikov方程，并应用于量子q-Langlands对应的分歧版本。
Integrals of stable envelopes for cotangent bundles to Grassmannians
本文研究了Grassmannians的cotangent bundles上自然torus作用的cohomological稳定包积分，通过equivariant局部化计算其非equivariant极限，并给出整数的组合公式。
Chevalley formulae for the motivic Chern classes of Schubert cells and for the stable envelopes
本文基于Lenart和Postnikov的λ链，推导了广义旗 manifold 中 Schubert 胞 motivic Chern 类与线丛类相乘的 Chevalley 公式，并探讨了稳定包在 T*(G/B) 中的墙穿越公式及多项式系数的正性性质。
New quiver-like varieties and Lie superalgebras
为了将李代数$gl(n)$的Yangian $R$ -矩阵的几何化推广到超代数$gl(M|N)$，我们引入了与$gl(M|N)$的表示相关的新的箭图簇.为了定义它们类似的Nakajima-Cherkis品种，我们重新制定了后者的建设，取代汉密尔顿约化与交叉的广义拉格朗日子簇的余切丛的李代数坐在顶点的顶点。新变种来自于用勒让德变换替换一些拉格朗日子变种。我们提出了superalgerba版本的稳定信封的新的颤抖般的品种，推广余切束的格拉斯曼。我们定义了Tarasov-Varchenko权函数的超代数推广，并证明了它们代表超稳定包络。超稳定包络和超权函数都根据$M+N=2$与$gl(M|N)$的Yangian $\check{R}$ -矩阵进行变换。
Trigonometric weight functions as K-theoretic stable envelope maps for the cotangent bundle of a flag variety
我们考虑$GL_n$部分旗簇的余切丛$T^*F_λ$、$λ=(λ_1,...,λ_N)$、$|λ|=\sum_iλ_i=n$和环面$T=(\C^\times)^{n+1}$等变K-理论代数$K_T(T^*F_λ)$ .引入K-理论稳定包络映射$\Stab_σ: \oplus_{|λ|=n} K_T((T^*F_λ)^T)\to\oplus_{|λ|=n}K_T(T^*F_λ)$，其中$σ\in S_n$ .利用这些映射，我们定义了一个量子回路代数作用在$\oplus_{|λ|=n}K_T(T^*F_λ)$上。我们描述了相关的Bethe代数$B^q(K_T(T^*F_λ))$的生成元和关系的离散Wronski映射。证明了极限Bethe代数$B^q(K_T(T^*F_λ))$，称为Gelfand-Zetlin代数，与代数$K_T(T^*F_λ)$的乘法算子代数重合.我们猜想Bethe代数$B^q(K_T(T^*F_λ))$与Givental和Lee在$K_T(T^*F_λ)$上引入的量子乘法代数是一致的.利用表示$K_T(T^*F_λ)$元素的Laurent多项式的Newton多边形定义稳定包络映射，并利用文[TV 1，TV 3]中引入的三角权函数构造三角qKZ方程的q-超几何解.本文有五个附录。特别地，在附录5中，我们通过生成元和关系描述了XXZ模型的Bethe代数。
3d mirror symmetry of the cotangent bundle of the full flag variety
Aganagic和Okounkov证明了椭圆稳定包络提供了称为顶点函数的可数不变量的极点抵消矩阵。这将一个系统的$q$ -差分方程全纯在$\boldsymbol{z}$与极点在$\boldsymbol{a}$的基础上的解决方案全纯在$\boldsymbol{a}$与极点在$\boldsymbol{z}$。所得到的函数预期是3d镜像对偶簇的顶点函数。本文证明了对于满旗簇的余切丛，在交换参数$\boldsymbol{a} \leftrightarrow \boldsymbol{z}$的情况下，用这种方法得到的函数恢复了同一旗簇的顶点函数.作为推论，我们推导出预期的三维镜像关系的椭圆稳定包络。
Chevalley-Monk formulas for bow varieties
本文证明了A型bow variety的tautological bundle的等变第一Chern类在stable envelope基下的乘法公式，推广了经典Chevalley-Monk公式，并可用标记stable envelope基的skein型图的交叉来表述。
Hecke algebra action on twisted motivic Chern classes and K-theoretic stable envelopes
本文通过引入作用于等变 K 理论的左右 Demazure-Lusztig 算子，推导了 Schubert 胞扭曲 motivic Chern 类的递归公式，揭示了其与 K 理论稳定包络的联系，并证明了算子生成的扭曲双重 Hecke 代数在 A 型中的作用。
Pursuing quantum difference equations II: 3D-mirror symmetry
考虑一对关于3D镜像对称的对偶辛簇。椭圆对偶界面的K-理论极限是乘积的等变K-理论类。我们发现，这类提供了对应的产品映射的K-理论稳定的信封的K-理论稳定的信封。这种构造允许我们推广各种表示论对象对K（X）的作用，如量子群、量子外尔群、R-矩阵等的作用，到他们的行动的K-理论的各种对偶X。特别地，我们将墙R-矩阵与对偶簇的R-矩阵联系起来。作为一个例子，我们将所得结果应用于复平面上n点的Hilbert格式.在这种情况下，我们到达E.Gorsky和A. Negut的插图。
The Hodge Numbers of the Moduli Spaces of Vector Bundles over a Riemann surface
Harder，Narasimhan，Desale和Ramanan利用数论方法和Weil定理得到了亏格至少为2的固定Riemann曲面上秩和度互质的稳定全纯向量丛的模空间的贝蒂数的归纳公式，Atiyah和Bott利用规范理论重新导出了该公式.在本文中，我们观察到，有类似的归纳公式确定这些模空间的Hodge数。
On the derived category of $\bar{M}_{0,n}$
利用Keel表示和Orlov定理，给出了$n$的模空间的导出范畴-亏格为零的点稳定曲线及其完全例外集的归纳描述，并对$\bar{M}_{0,6}$给出了详细的计算.
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