A flow approach to Bartnik's static metric extension conjecture in axisymmetry
我们调查Bartnik的静态度量扩展猜想的轴对称的额外假设下，给定的Bartnik数据和所需的静态扩展。要做到这一点，我们建议一个几何流的方法，再加上Weyl-Papapetrou形式主义的轴对称静态解决方案的爱因斯坦真空方程。椭圆型Weyl-Papapetrou方程组在我们的方法中成为一个自由边界值问题。我们研究这个新的流动和耦合流-自由边界值问题的数值和轴对称静态扩展轴对称Bartnik数据在许多情况下，包括附近的圆球在空间史瓦西的正质量。
2019-07-30 gr-qc math.DG
Local Well-Posedness for the Bartnik Stationary Extension Problem near Schwarzschild Spheres
Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文研究了Bartnik静止扩展问题在Schwarzschild球体附近局部适定性，通过解耦线性方程和建立边界值问题，证明了在特定条件下该问题的解存在且唯一。
2025-12-19 gr-qc math.AP math.DG
Static vacuum extensions with prescribed Bartnik boundary data near a general static vacuum metric
该研究引入两类静态正则概念，证明其为指定Bartnik边界数据的渐近平坦静态真空度量局部适定性的充分条件，验证了一大类边界数据的Bartnik静态真空延拓猜想并给出新例子。
2024-03-12 gr-qc math.DG
Existence of static vacuum extensions with prescribed Bartnik boundary data
证明了在欧几里得空间中任意星形超曲面或一般扰动超曲面族上，当Bartnik边界数据接近诱导边界数据时，渐近平坦的静态真空度规的存在性和局部唯一性.证明了Bartnik静态扩张猜想在大类边界数据下的存在性，得到的静态真空度规在欧氏度量的邻域内是几何唯一的.
2022-03-01 gr-qc math.DG
A survey on extensions of Riemannian manifolds and Bartnik mass estimates
Mantoulidis和Schoen开发了一种新的技术来手工制作黎曼流形$(Σ\cong \mathbb{S}^2,g)$的渐近平坦扩展，其中$g$满足$λ_1 = λ_1(-Δ_g + K(g))>0$，其中$λ_1$是算子$-Δ_g+K(g)$的第一特征值，$K(g)$是$g$的高斯曲率，并控制扩展的ADM质量。值得注意的是，这个过程允许他们在这个所谓的最小情况下计算巴特尼克质量;巴特尼克质量是广义相对论中准局部质量的概念，计算起来非常具有挑战性。在这项调查中，我们描述了Mantoulidis-Schoen建设，其影响和影响在随后的研究相关的Bartnik质量估计时，最小假设下降，其适应其他设置的兴趣在广义相对论。
2019-10-28 gr-qc math.DG
Ellipticity of Bartnik boundary data for stationary vacuum spacetimes
我们建立了时空中定态真空度规的模空间$\mathbb E$，并在$\mathbb E$中建立了一个定义良好的边界映射$Π$，用其Bartnik边界数据指定一个度规类.此外，我们证明了边界映射$Π$是Fredholm，证明了定态真空方程（结合适当的规范项）和Bartnik边界条件形成了一个椭圆边值问题.作为一个应用程序，我们表明，Bartnik边界数据附近的标准平坦边界数据承认一个唯一的（最多的同构）平稳真空扩展本地。
2019-07-11 gr-qc math.AP math.DG
On the Bartnik extension problem for the static vacuum Einstein equations
我们发展了一个框架来理解静态真空爱因斯坦方程的渐近平坦解的存在性与指定的边界数据组成的诱导度规和中曲率的2-球。得到了一个部分存在性结果，并部分解决了Bartnik关于这种静态真空扩张的一个猜想。这种扩张的存在性和唯一性与Bartnik的准局部质量定义密切相关。
2013-05-04 gr-qc math-ph math.DG
The Bartnik quasi-local mass conjectures
本文提出了一个分析Bartnik静态真空延拓猜想的框架，证明该猜想一般不成立，但理解其有效范围仍是基本的开放问题。
2023-08-02 gr-qc math.DG
Asymptotically flat extensions of CMC Bartnik data
设$g$是具有正高斯曲率的$2$ -球面$\mathbb{S}^2$上的度量，$H$是正常数.在适当的条件下，$(g, H)$，我们构造光滑，渐近平坦的$3$ -流形$M$与非负的标量曲率，外极小化边界等距$(\mathbb{S}^2, g)$和平均曲率$H$，使近无穷$M$等距的空间史瓦西流形的质量$m$可以任意接近霍金质量的常数倍的$(\mathbb{S}^2,g,H)$。此外，该常数乘法因子仅取决于$(g, H)$，并且倾向于$1$，因为$H$倾向于$0$。结果提供了一个新的上限的Bartnik质量与这样的边界数据。
2017-04-16 gr-qc math.DG
Bartnik mass via vacuum extensions
我们构造了Bartnik数据$(Σ, γ, H)$的渐近平坦的标量平坦扩展，其中$γ$是两球$Σ$上正高斯曲率的度量，$H$是$Σ$上正或恒零的函数，使得扩展的质量可以任意接近$(Σ, γ)$的半面积半径。在$H \equiv 0$的情况下，结果给出了Mantoulidis和Schoen定理的类似物，但扩展具有消失的标量曲率。在广义相对论的初始数据集的背景下，结果产生渐近平坦的，时间对称的，真空的初始数据与一个明显的地平线$(Σ, γ)$，对于任何度量$γ$具有正高斯曲率，使得初始数据的质量是任意接近黎曼彭罗斯不等式的最佳值。我们使用的方法是从\cite{ShiTam02}的Shi-Tam型度量结构和由第一命名作者在\cite{Miao09}中发现的改进的Shi-Tam单调性。
2019-09-11 gr-qc math.DG
Smoothing the Bartnik boundary conditions and other results on Bartnik's quasi-local mass
在文献中出现了相当多的不同版本的巴特尼克的准局部质量的定义，这是不是一个先验清楚，他们中的任何产生相同的价值一般。在本文中，我们取得了进展，协调这些定义。差异的来源有两个方面：边界条件的选择（有三个变体）和非简并或“无视界”条件（至少六个变体）。为了解决边界条件，我们表明，给定一个非负数量曲率的三维区域$Ω$，（$R \geq 0$）以Lipschitz方式在$\partial Ω$上扩展到具有$R \geq 0$的渐近平坦3-流形（也沿着$\partial Ω$分布地保持），存在$C^0$范数中任意小的平滑，使得保持$R \geq 0$和$Ω$的几何形状，ADM的质量变化很小。由此我们可以证明，对于两个合理的非简并条件，三个边界条件产生等效的Bartnik质量。我们还讨论了各种非简并条件的微妙之处，并产生一个非平凡的不等式之间的无视界版本的Bartnik质量和布雷的替代这与向外最小化的条件。
2019-10-08 gr-qc math.DG
Asymptotically flat extensions with charge
巴特尼克质量是一个准局部质量的概念，非常难以计算。Mantoulidis和Schoen [2016]开发了一种新的技术来构建最小Bartnik数据的渐近平坦扩展，使得这些扩展的ADM质量得到很好的控制，因此，他们能够计算满足稳定性条件的最小球体的Bartnik质量。在这项工作中，我们开发扩展和胶合工具，à la Mantoulidis和Schoen，用于爱因斯坦-麦克斯韦方程组的时间对称初始数据集，使我们能够计算适当的带电最小Bartnik数据的带电Barnik质量的ad-hoc概念的值。
2019-03-29 gr-qc math.DG
Maximum capacity of Bartnik data and a generalization of static metrics
Union College（联合学院）
本文研究了Bartnik数据的最大容量问题，并提出了一种结合谐波函数和应力能张量的静态度量推广，分析了其常数标量曲率和临界点性质。
2026-02-12 gr-qc math.DG
Embeddings, immersions and the Bartnik quasi-local mass conjectures
给定一个非负数量曲率的黎曼3球$(\bar B, g)$，Bartnik证明$(\bar B, g)$允许一个最小可能ADM质量的渐近平坦（AF）扩展（没有视界），并且这样一个质量最小化器是静态真空爱因斯坦方程的AF解，由$(\bar B, g)$边界数据上的自然几何条件唯一确定。我们证明了第二种说法的有效性，即~这种质量最小化器，如果它们存在的话，确实是静态真空方程的AF解。另一方面，我们证明了第一种说法是不正确的一般，有一个相当大的一类机构$(\bar B, g)$的最小质量扩展不存在。
2019-02-27 gr-qc math.DG
On Existence of Static Metric Extensions in General Relativity
受广义相对论中准定域质量问题的启发，我们研究了R.巴特尼克\cite{Bartnik_energy}。我们表明，对于任何度量$\bar{B}_1$是足够接近的欧几里德度量和反射不变的边界数据，总是存在一个渐近平坦和标量平坦的{ \em静态}度量扩展$M = \R^3 \setminus B_1$，使它满足Bartnik的几何边界条件\cite{Bartnik_energy}上$\partial B_1$。
2003-09-17 math-ph math.DG math.MP
Second-order mass estimates for static vacuum metrics with small Bartnik data
该研究针对欧氏空间单位球面小扰动下的2-球面Bartnik数据，二阶估计对应渐近平坦静态真空延拓的质量，并推导出小度量球面Bartnik质量的五阶半径上界。
2024-08-15 gr-qc math.DG
The Bartnik-Bray outer mass of small metric spheres in time-symmetric 3-slices
给定一个球，其Bartnik数据接近于欧氏空间中的圆球的Bartnik数据，我们计算其Bartnik-Bray外质量到数据与标准球的偏差的一阶。霍金质量给出了一个众所周知的下界，而上界是通过估计静态真空扩展的质量得到的。作为一个应用，我们证实了在时间对称切片中，收缩到一点的同心测地线球的质量体积比收敛到其中心的能量密度，这与物理预期和其它准局域质量的行为一致.对于收缩到一个平坦点的球，我们也可以计算半径的五阶外质量-该项与中心处的数量曲率的拉普拉斯算子成比例-但我们的估计不够精确，无法在一个仅仅是标量平坦的点处识别该项。特别是，它无法分辨引力对质量的贡献。
2017-10-13 gr-qc math.DG
Monotonicity of Causal Killing Vectors and Geometry of ADM Mass Minimizers
本文研究了ADM质量极小化初始数据集，证明了正质量定理等号情形与正Bartnik质量极小化子的时空嵌入性质，并利用因果Killing向量场Lorentzian长度的新单调性公式证实了Bartnik平稳真空猜想。
2025-10-11 gr-qc math.DG
Spacetime Bartnik Mass Positivity and Temporal Monotonicity for Black Holes
Kungliga Tekniska högskolan（皇家理工学院）；Stony Brook University（石溪大学）；Universidad de Salamanca（萨拉曼卡大学）；Universität Wien（维也纳大学）
定义Bartnik型拟局部质量，证明其在两类黑洞相关区域上的正性和时间单调性。
2026-09-29 gr-qc math-ph math.DG
Staticity of Asymptotically Hyperbolic Minimal Mass Extensions
本文定义了扩张为渐近双曲流形的域的 Bartnik 质量，并证明实现该质量的容许扩张必具静态势，同时为非静态扩张构造了质量更小且等距包含该域的单参数度量族。
2023-05-16 math.DG
Constructing electrically charged Riemannian manifolds with minimal boundary, prescribed asymptotics, and controlled mass
在2015年，Mantoulidis和Schoen构造了具有非负数量曲率的$3$维渐近欧氏流形，其ADM质量可以任意接近黎曼彭罗斯不等式的最优值，而最外层极小曲面的内在几何可以“远离”圆形。由此产生的流形，称为扩展，在几何上不“接近”空间史瓦西流形。这表明黎曼彭罗斯不等式的不稳定性。后来，Cabrera Pacheco和Miao根据$n+1$的尺寸进行了改造。在Alaee、Cabrera Pacheco和Cederbaum以及Cabrera Pacheco、Cederbaum和McCormick最近的论文中，分别对渐近欧几里德带电黎曼流形和渐近双曲黎曼流形进行了类似的构造，得到了$3$ -维延拓。本文通过构造$n\geq2$在$n+1$维数上的带电荷的渐近双曲或渐近欧氏扩张，综合推广了上述结果.我们详细研究了这些流形的次极值，考虑到迄今为止未研究的情况下的极值与电荷的扩展，并允许更一般的条件，我们的扩展度量。除了建议一个自然的广义黎曼彭罗斯不等式的不稳定性，构造的扩展给洞察到一个特设的广义概念的Bartnik质量，类似于Bartnik质量估计的极小曲面证明Mantoulidis和Schoen通过他们的扩展，并统一的Bartnik质量估计在上述各种情况下。
2023-01-11 gr-qc math.DG
Static potentials and area minimizing hypersurfaces
我们证明了，如果一个渐近平坦的具有视界边界的流形存在整体静势，则该静势在边界上必为零。我们还证明了，如果一个渐近平坦的流形的视界边界允许一个无界的静态势在外部区域，那么该流形必须包含一个完整的非紧面积极小化超曲面。得到了与黎曼正质量定理和Bartnik准定域质量有关的一些结果。
2017-10-02 math.DG
Strict Stability of the ADM Mass and Static Vacuum Extensions
Institute of Geometry and Physics, University of Science and Technology of China（中国科学院几何与物理研究所）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Department of Mathematics, University of Connecticut（康涅狄格大学数学系）
本文在带边界的渐近平流形上定义ADM质量的严格稳定性，证明严格稳定的静态真空度量是局部质量极小元，并给出Bartnik边界数据静态真空延拓存在性的新证明。
2026-09-24 math.DG
Variational Effect of Boundary Mean Curvature on ADM Mass in General Relativity
本文推广了\cite{Miao}的思想和技巧，研究了边界几何对渐近平坦流形ADM质量的变分效应。证明了对于拟凸边界的有界黎曼区域的Lipschitz渐近平坦度量扩张，如果扩张的边界平均曲率受控于但不恒等于给定区域所确定的边界平均曲率，则可以在提高边界平均曲率的同时降低其ADM质量.因此，我们的分析意味着，对于一个区域的拟凸边界，几何边界条件成立Bartnik的最小质量扩张猜想\cite{Bartnik_energy}。
2003-09-18 math-ph math.DG math.MP
New asymptotically flat static vacuum metrics with near Euclidean boundary data
针对Bartnik近欧几里得边界数据的静态真空延拓猜想，研究改进了此前的静态正则超曲面结果，证明一类光滑单侧超曲面族的开稠子族中任意超曲面均为静态正则，采用了受相关猜想研究启发的新论证。
2022-05-31 gr-qc math.DG
On the size of the singular set of minimizing harmonic maps into the 2-sphere in dimension four and higher
我们将我们最近的预印本[arXiv：1811.00515]的结果扩展到更高的维度$n \geq 4$。对于从$n$维域到二维球面的极小调和映射$u\in W^{1,2}(Ω,\mathbb{S}^2)$，我们证明了：（1）Almgren和Lieb线性定律的推广，即\[\mathcal{H}^{n-3}(\textrm{sing} u) \le C \int_{\partial Ω} |\nabla_T u|^{n-1} \,d\mathcal{H}^{n-1};\];（2）Hardt和Lin稳定性定理的推广，即奇异集的大小在边界的$W^{1,n-1}$范数的小扰动下是稳定的.
2019-02-08 math.AP math.DG
On the size of the singular set of minimizing harmonic maps
本文考虑从$Ω\subset \mathbb{R}^n$到闭黎曼流形$\mathcal{N}$的极小调和映射$u$，证明了：（1）Almgren和Lieb线性律对$n \geq 4$的推广.也就是说，如果目标流形$\mathcal{N}$的基本群是有限的，我们有\[ \mathcal{H}^{n-3}(\textrm{sing } u) \le C \int_{\partial Ω} |\nabla_T u|^{n-1} \,d \mathcal{H}^{n-1}; \]（2）Hardt和Lin稳定性定理的推广。即假设目标流形是$\mathcal{N}=\mathbb{S}^2$，我们得到了$u$的奇异集在边界数据的小$W^{1,n-1}$扰动下是稳定的.在维度$n=3$中，这两个结果都被证明与较弱的假设保持一致，即，仅假设我们的映射的迹位于分数空间$W^{s,p}$中，其中$s \in (\frac{1}{2},1]$和$p \in [2,\infty)$满足$sp \geq 2$。我们还讨论了锐度。
2021-02-11 math.AP math.DG
Lipschitz approximation of almost $\mathbb G$-perimeter minimizing boundaries in plentiful groups
本文证明丰富群中内蕴周长几乎最小化边界可由内蕴Lipschitz图逼近，首次将正则性理论推广至Heisenberg群之外。
2023-12-24 math.AP math.DG
Mass, capacitary functions, and the mass-to-capacity ratio
该研究探讨非负标量曲率渐近平坦3维流形的ADM质量、调和函数与边界容量的关联，推导单调量、几何不等式与质容比恒等式，给出正质量定理新证明，并研究质容比约束下流形的性质。
2022-10-10 gr-qc math.DG
On extending calibration pairs
本文研究了如何在各种情况下将局部校准对扩展为全局校准对。因此，新的发现，涉及质量最小化的性能展出。特别地，我们证明了光滑黎曼流形$X$的一个$\mathbb R$ -同调非平凡连通子流形$M$对于同一共形类中的某些度量是同调质量最小的.此外，对于具有多个连通分量的$M$或对于互不相交的集合（见§3.5），得到了几种推广。对于具有某些奇点的子流形，我们还建立了生成全局校准对的扩张定理。结合这些结果，我们发现，在某些黎曼流形中，存在不能用任何光滑标定来标定的同调质量极小光滑子流形。
2019-06-25 math.AT math.DG
