Reverse superposition estimates in Sobolev spaces
Jean Van Schaftingen
研究了在齐性索伯列夫空间$\dot{W}^{s, p} (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$中，函数$p \ge 1$的范数何时以及如何受复合函数$s > 1/p$的范数控制.
We study when and how the norm of a function $u$ in the homogeneous Sobolev spaces $\dot{W}^{s, p} (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$, with $p \ge 1$ and either $s = 1$ or $s > 1/p$, is controlled by the norm of composite function $f \circ u$ in the same space.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Uniform Continuity and Brézis-Lieb Type Splitting for Superposition Operators in Sobolev Space
使用浓度紧参数，我们证明了一个变种的Brezis-Lieb引理弱假设的非线性比以前已知的。关于索伯列夫空间中叠加算子一致连续性的一个中间结果是独立的.
Reverse Stein-Weiss, Hardy-Littlewood-Sobolev, Hardy, Sobolev and Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities on homogeneous groups
本文证明了一般齐次李群上的逆Stein-Weiss不等式。所得结果推广了以前已知的不等式。齐次范数的特殊性质和逆积分Hardy不等式在我们的证明中起着关键作用。同时，我们证明了齐次群上的逆Hardy，Hardy-Littlewood-Sobolev，Lp-Sobolev和Lp-Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式.
A simple proof of reverse Sobolev inequalities on the sphere and Sobolev trace inequalities on the unit ball
本文给出球面上反向Sobolev不等式及单位球上Sobolev迹不等式的简单证明，利用反向HLS不等式和质心条件，并建立定量稳定性。
Sharp reversed Hardy--Littlewood--Sobolev inequality on the half space $\mathbb R_+^n$
这是第二次在我们的一系列文件有关的一些逆转Hardy-Littlewood-Sobolev不等式。本文在半空间$\mathbb R_+^n$ \[ \int_{\mathbb R_+^n} \int_{\partial \mathbb R_+^n} f(x) |x-y|^λg(y) dx dy \geqslant \mathscr C_{n,p,r} \|f\|_{L^p(\partial \mathbb R_+^n)} \, \|g\|_{L^r(\mathbb R_+^n)} \]上对任意非负函数$f\in L^p(\partial \mathbb R_+^n)$，$g\in L^r(\mathbb R_+^n)$和$p,r\in (0,1)$，$λ> 0$建立了如下尖锐的反向Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，使得$(1-1/n)1/p + 1/r -(λ-1) /n =2$ .还考虑了$\mathscr C_{n,p,r}$的一些估计以及该不等式极值函数的存在性。本文还介绍了一些新的观点。
Reverse Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities
研究了一类新的含正指数幂律核的逆Hardy-Littlewood-Sobolev不等式.我们调查的容许参数的范围和最佳功能的特点。一个引人注目的开放性问题是浓度的可能性，分析并联系到非线性扩散方程的平均场漂移。
Sharp reversed Hardy-Littlewood-Sobolev inequality on $\mathbb R^n$
这是第一次在我们的一系列文件有关的一些Hardy-Littlewood-Sobolev型不等式。本文的主要目的是在全空间$\mathbb R^n$ \[\int_{\mathbb R^n} \int_{\mathbb R^n} f(x) |x-y|^λg(y) dx dy \geqslant \mathscr C_{n,p,r} \|f\|_{L^p (\mathbb R^n)}\, \|g\|_{L^r (\mathbb R^n)}\]中对任意非负函数$f\in L^p(\mathbb R^n)$，$g\in L^r(\mathbb R^n)$和$p,r\in (0,1)$，$λ> 0$建立如下尖锐的反向HLS不等式，使得$1/p + 1/r -λ/n =2$ .我们还将探讨$\mathscr C_{n,p,r}$的一些估计和上述不等式的最优函数的存在性，这将有助于文献中的一些现有结果。
Reversed Hardy-Littlewood-Sobolev inequality on Heisenberg group $\mathbb{H}^n$ and CR sphere $\mathbb{S}^{2n+1}$
本文主要研究Heisenberg群$\mathbb{H}^n$和CR球$\mathbb{S}^{2n+1}$上的逆Hardy-Littlewood-Sobolev（HLS）不等式.首先，我们建立了一个大致反向的HLS不等式，并给出了sharp常数的一个明确的下界。然后，利用次临界方法和一些紧性技巧证明了具有锐常数的极值函数的存在性。我们的方法不需要重排，可以用来研究经典的HLS不等式和其它类似的不等式。
Reverse Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities
研究了一类新的含正指数幂律核的逆Hardy-Littlewood-Sobolev不等式.我们研究了容许参数的范围和最优函数的性质。一个引人注目的开放性问题是浓度的可能性，分析和自由能泛函和非线性扩散方程涉及平均场漂移。
Reverse conformally invariant Sobolev inequalities on the sphere
针对n维球面上阶数2s>n的算子对应的共形不变Sobolev不等式最佳常数优化问题，将已有结论推广至s为非整数的情形，解决了所有n≥2维度下不等式的成立性问题。
On a Sobolev critical problem for the superposition of a local and nonlocal operator with the "wrong sign''
本文研究了由局部和非局部算子叠加形成的混合阶算子的临界问题，通过引入具有"错误符号"的分数拉普拉斯算子，实现了非平凡解的产生。
Reversed Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities with vertical weights on the upper half space
本文研究上半空间中带垂直权的逆 HLS 不等式，利用重整化法、移动球法和弱 Pohozaev 恒等式证明最佳常数可达、分类极值函数并给出正解存在条件。
Sharp reversed Hardy-Littlewood-Sobolev inequality with extended kernel
本文证明了对任意非负函数$f\in L^{p}(\partial\mathbb{R}_+^n)$和$g\in L^{q'}(\mathbb{R}_+^n)$，具有扩展核\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}_+^n}\int_{\partial\mathbb{R}^n_+} \frac{x_n^β}{|x-y|^{n-α}}f(y)g(x) dydx\geq C_{n,α,β,p}\|f\|_{L^{p}(\partial\mathbb{R}_+^n)} \|g\|_{L^{q'}(\mathbb{R}_+^n)} \end{equation*}的反向Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，其中$n\geq2$，$p,\ q'\in (0,1)$，$α>n$，$0\leqβ<\frac{α-n}{n-1}$，$p>\frac{n-1}{α-1-(n-1)β}$使得$\frac{n-1}{n}\frac{1}{p}+\frac{1}{q'}-\frac{α+β-1}{n}=1$ .我们证明了上述不等式极值函数的存在性。此外，在共形不变的情况下，我们分类所有的极值函数，从而通过一个移动球的变体方法，可以执行\emph{without lifting the regularity of Lebesgue measurable solution…
A reverse Holder inequality for extremal Sobolev functions
设$n \geq 2$，$Ω\subset \mathbf{R}^n$为光滑边界的有界区域，$1 \leq p \leq 2$ .本文证明了一个逆Holder不等式，它适用于实现Sobolev不等式中最佳常数的函数$u$，即$$\mathcal{C}_p(Ω) = \inf \left \{ \frac{\int_Ω|\nabla v|^2}{\left ( \int_Ω|v|^p \right )^{2/p}} \right \} = \frac{\int_Ω|\nabla u|^2}{\left ( \int_Ω|u|^p \right )^{2/p}}.$$.对于任何$q > p$，我们的不等式都有$\| u \|_{L^p} \geq K \| u \|_{L^q}$的形式，其中$K$只依赖于$n$，$p$，$q$和$\mathcal{C}_p(Ω)$ .这一结果推广了Chiti的工作，关于第一Dirichlet特征函数的拉普拉斯算子，和范登伯格，关于扭转函数。
Stability inequalities with explicit constants for a family of reverse Sobolev inequalities on the sphere
本文证明了球面上反向 Sobolev 不等式在完整容许参数范围内的稳定性不等式，克服了算子非正定的困难，并揭示了参数在 (1,2) 区间时该不等式具有显式最佳常数且无最优解的首例现象。
Uniform boundedness principles for Sobolev maps into manifolds
给定一个连通黎曼流形$\mathcal{N}$，一个\(m\) -维黎曼流形$\mathcal{M}$（它是紧致的或欧几里得空间），$p\in [1, +\infty)$和$s\in (0,1]$，对于迹的满射性，弱有界逼近，提升和叠加问题，我们建立了非线性索伯列夫空间$W^{s,p}(\mathcal{M}, \mathcal{N})$中每个映射所满足的定性性质蕴含着相应的一致定量界.这个结果是经典的Banach-Steinhaus一致有界性原理在线性巴拿赫空间中的非线性对应。
Weighted and Sobolev Estimates for Fractional Schrödinger Operators with Reverse Hölder Potentials
该研究针对$\boldsymbol{R}^n$上两类带反向赫尔德势的分数阶薛定谔算子，建立了加权与索伯列夫等估计，推导了半群质量衰减、算子映射性质等结果，丰富了分数阶算子的正则性理论。
Reversed Hardy-Littewood-Sobolev inequality
经典的尖锐Hardy-Littlewood-Sobolev不等式指出，对于$1<p, t<\infty$和$0<λ=n-α<n$，$ 1/p +1 /t+ λ/n=2$，存在一个最佳常数$N(n,λ,p)>0$，使得$$ |\int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)|x-y|^{-λ} g(y) dx dy|\le N(n,λ,p)||f||_{L^p(\mathbb{R}^n)}||g||_{L^t(\mathbb{R}^n)} $$对所有PDMATHAMR成立。尖锐形式是由于Lieb，他证明了具有尖锐常数的不等式的极值函数的存在性，并计算了$p=t$情况下的最佳常数（或其中之一为2）。除了Stein和Weiss在1960年考虑了$p\in ((n-1)/n, n/α)$的情况（因此$α$可能大于$n$）外，没有关于$α>n$的其他结果。本文证明了$0<p, t<1$，$λ<0$的反向Hardy-Littlewood-Sobolev不等式对所有非负$f\in L^p(\mathbb{R}^n), g\in L^t(\mathbb{R}^n).$成立。对于$p=t$，证明了极值函数的存在性，并利用移动球方法对所有极值函数进行了分类，计算了最佳常数。
Sobolev spaces and calculus of variations on fractals
本说明包含一个审查$p$ -能源和索伯列夫空间的度量测度空间进行强当地正规狄利克雷形式。这些索伯列夫空间然后被用来推广变分学的一些基本结果，如凸泛函的极小的存在性和某些约束极小化问题。这适用于一些非经典的情况下，如退化扩散，叠加的扩散和扩散的分形或产品的分形。
Fractional Sobolev Inequalities: Symmetrization, Isoperimetry and Interpolation
利用Peetre $K-$泛函和等周轮廓得到了度量空间中新的振动不等式.所提供的应用包括分数Sobolev不等式和Morrey-Sobolev嵌入定理在不同情况下的详细研究。特别是，我们包括高斯措施以及高斯和指数之间的概率措施的详细研究。我们展示了一种反向Polya-Szego原理，它允许我们使用对称化不等式从有界性获得连续性作为自我改进。我们的方法也允许精确估计广义Sobolev和Besov空间的增长包络的度量空间。我们还考虑嵌入到$BMO$和他们的连接到Sobolev嵌入。
On the rate of change of the best constant in the Sobolev inequality
我们估计了向外移动的欧几里得整环的Sobolev不等式中最佳常数的变化率。一路上，我们证明了一个不等式，该不等式逆转了通常的Holder不等式，这可能具有独立的意义。
A Non-analytic Superposition Result on Gevrey-modulation Spaces
在定义了经典的加权调制空间之后，我们给出了一些基本性质。在这项工作中，我们还选择了一种方法，在频率均匀分解和讨论的权重调制空间的Gevrey调制空间的定义，我们离开Sobolev框架，并进行到Gevrey框架，以获得更好的结果。证明了Gevrey-调制空间是乘法代数。此外，我们还得到了一个非解析的叠加结果，从而讨论了Gevrey调制空间应用于非线性偏微分方程的可能性。
Subcritical Approach to Sharp Hardy-Littlewood-Sobolev Type Inequalities on the Upper Half Space
本文建立了上半空间上的反向Hardy-Littlewood-Sobolev（简称HLS）不等式，并通过引入统一的方法得到了上半空间上一个新的HLS型积分不等式（推广了Hang，Wang和Yan在\cite{HWY2008}中发现的一个不等式）.用移动球法对极值函数进行分类，并计算出最佳常数。新的方法也可以用来得到经典的HLS不等式和其它类似的不等式。
On Hardy-Littlewood-Sobolev estimates for degenerate Laplacians
本文研究退化拉普拉斯算子的分数次幂的范数不等式，扩展了经典Riesz势的结果，并基于退化热核的大小估计提出方法。
An isoperimetric inequality for extremal Sobolev functions
设D是n维欧几里得空间中的有界区域，其中n>2，且1<p<（2n）/（n-2）.证明了Sobolev不等式中实现等式的函数的一个逆Holder不等式，并找到了它们的（p-1）-范数关于它们的p-范数的一个下界.这个不等式是尖锐的，它是一个等式当且仅当域是一个圆球。我们的结果推广了Payne和Rayner的一个定理，我们的证明依赖于积分重排和对径向情况下的常微分方程的分析。
On Scales of Sobolev spaces associated to generalized Hardy operators
考虑具有Hardy位势的分数Laplacian算子，研究了由该算子生成的齐次$L^p$索伯列夫空间的标度.除了广义和反向的哈代不等式，分析依赖于一个Hörmander乘数定理，这是至关重要的，以构建一个基本的Littlewood-Paley理论。结果扩展了最近在$L^2$中得到的结果，但由于相关热核的缓慢衰减，一般不包括负耦合常数。
Equivalence of Sobolev norms involving generalized Hardy operators
本文研究带哈代位势的分数阶薛定谔算子所生成的齐次索伯列夫空间与通常齐次索伯列夫空间的等价性，得到广义及反向哈代不等式，并推广了非分数阶情形下的近期结果。
Hardy-Sobolev type inequalities and their applications
本文主要讨论Hardy-Sobolev型不等式的各种应用。我们推导出一个新的$L^2$估计的$\bar{\partial}-$方程上的${\mathbb C}^n$产生一个定量推广的Hartogs扩张定理的情况下，奇点集不一定是紧的。证明了对${\mathbb R}^n$上的任意负次调和函数$ψ$，$n>2$，$\log |ψ|$的BMO范数上有界于$2\sqrt{n-2}$，且对每个$0<γ<1$，$|ψ|^γ$满足逆Hölder不等式.我们还证明了每一个多重次调和函数都是局部BMO的。给出了完备黎曼流形上次调和函数的几个Liouville定理。由此得到了一个Margulis型定理，即如果${\mathbb C}^n$中的有界域覆盖了射影代数簇中的一个Zebriki开集，则覆盖的甲板变换群具有平凡中心.
Dimension-independent functional inequalities by tensorization and projection arguments
本文利用张量积化与投影论证及输运型不等式，证明马尔可夫半群梯度估计常数可维数无关，并应用于亚椭圆扩散、亚强制扩散及李群等，得到维数无关的反庞加莱、反对数索博列夫不等式与梯度界。
On the global well-posedness for the nonlocal Fokas-Lenells equation with the weighted Sobolev initial data on the line
研究具有加权Sobolev初值的反向时空非局部Fokas-Lenells方程柯西问题，通过逆散射变换及谱均匀化变换等方法，在初始数据定量小条件下，证明解的整体存在唯一性及解映射的Lipschitz连续性。
Hardy inequalities on metric measure spaces, III: The case $q\leq p<0$ and applications
本文在具有两个负指数的度量测度空间上得到了积分Hardy不等式的一个逆形式。作为应用，我们证明了齐次李群上具有两个负指数和任意拟范数的逆Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Stein-Weiss不等式，这个结果在欧氏空间中是新的.这项工作进一步补充了\cite{RV}和\cite{RV21}中考虑的$p$和$q$（即$q\leq p<0$）的范围，其中分别处理了$1<p\leq q<\infty$和$p>q$的病例。
Well posedness of Lagrangian flows and continuity equations in metric measure spaces
我们建立，在一个相当一般的设置，一个类似的DiPerna-Lions理论的适定性流的常微分方程的Sobolev向量场。关键的结果是一个适定性的结果相关联的连续性方程适当定义的Sobolev向量场，通过一个换向器估计，和一个抽象的叠加原理（可能扩展）度量测度空间，通过嵌入到$\mathbb{R}^\infty$。当专门设置欧几里德或无限维（例如高斯）空间，以前已知的结果的大部分是恢复一次。此外，类${\sf RCD}(K,\infty)$度量测度空间对象的广泛最近的研究适合我们的框架。因此，我们提供了，第一次，适定性结果常微分方程的低正则性假设下的速度和非光滑的上下文中。
Eigenvalue stability of Hermitian and normal matrices
研究Hermitian和正常矩阵特征值映射的连续性，证明其在Sobolev空间中的非均匀连续性，并探讨其在奇异值、矩阵条件数等应用中的稳定性。
Pointwise Characterization of Besov and Triebel-Lizorkin Spaces on Spaces of Homogeneous Type
本文通过阐明Hajerasz-Sobolev空间、Hajerasz-Besov和Hajerasz-Triebel-Lizorkin空间、大Besov和Triebel-Lizorkin空间、Besov和Triebel-Lizorkin空间之间的关系，建立了齐型空间上Besov和Triebel-Lizorkin空间的点态特征.本文的一个主要创新之处在于，本文给出的所有结果都摆脱了对测度的反向加倍条件和拟度量的度量条件的依赖.此外，即使底层空间是RD-空间，非齐次版本的点态特征也是新的。
Upper and lower $\dot{H}^{m}$ estimates for solutions to parabolic equations
本文证明了一类较一般的抛物型方程解的齐次Sobolev范数的上、下衰减估计。根据Kreiss，Hagstrom，Lorenz和Zingano的想法，我们使用解的最终正则性来直接处理物理空间中的光滑解，从$L^2$范数到高阶导数的自举衰减估计。除了通过这种方法得到上界和下界，我们还得到相反的结果：从高阶导数衰减估计，我们推导出的$L^2$范数的界限。我们使用这些一般的结果来证明新的衰减估计的一些方程，并恢复一些众所周知的结果。
Higher gradients estimates in Morrey spaces for weak solutions to linear ultraparabolic equations
本文研究一类具有VMO系数和有界系数的线性超抛物方程$a_{ij} (z)$ .假设通过在任何点${z_0} \in {\mathbb{R}^{N + 1}}$冻结系数$a_{ij}(z)$而获得的算子$L_0$是次椭圆的。首先通过选取一个截断函数建立了一个Caccioppoli型不等式，利用$L_0$基本解的性质建立了一个Sobolev型不等式，利用一个新的截断函数建立了一个Poincaré型不等式.然后在齐性空间上利用逆Hölder不等式得到了弱解的$L^p$估计.最后，通过研究一个具有非齐次边值条件的变系数齐次超抛物方程和一个具有齐次边值条件的变系数齐次超抛物方程，给出了上述方程的弱解的较高的Morrey估计.
Maz'ya--Shaposhnikova Representation of Quasi-Norms of Ball Quasi-Banach Function Spaces on Spaces of Homogeneous Type with Weak Reverse Doubling Property
本文提出弱反倍增条件和弱测度密度条件，建立了球准Banach函数空间的准范数表示公式，并发现当空间有限时该极限趋于零。
Profile decomposition and multiple positive solutions for the perturbed CR Yamabe equation on the Heisenberg group
本文针对Heisenberg群上扰动CR Yamabe方程，建立Palais-Smale剖面分解与改进的Folland-Stein-Sobolev不等式，证明其多重正解，解决临界嵌入紧性缺失问题。
Gradient estimates for heat kernels and harmonic functions
设$(X,d,μ)$是一个具有Dirichlet形式$\E$的二重度量测度空间，它是由“carré du champ”导出的.假设$(X,d,μ,\E)$支持尺度不变的$L^2$-Poincaré不等式。本文研究了$p\in (2,\infty]$的调和函数、热核和Riesz变换的下列性质：（i）$(G_p)$：$L^p$ -伴随热半群梯度的估计;（ii）$(RH_p)$：$L^p$ -调和函数梯度的逆Hölder不等式;（iii）$(R_p)$：$L^p$ -Riesz变换的有界性（$p<\infty$）;（iv）$(GBE)$：广义Bakry-Émery条件。证明了对于$p\in (2,\infty)$，（i），（ii），（iii）是等价的，而对于$p=\infty$，（i），（ii），（iv）是等价的.此外，其中一些等价性在比$L^2$ -Poincaré不等式更弱的条件下仍然成立。我们的结果给出了$p=\infty$的Li-Yau的热核梯度估计的特征，而对于$p\in (2,\infty)$，它是对Auscher-Coulhon-Duong-Hofmann [7]和Auscher-Coulhon [6]的早期结果的实质性改进和推广.给出了等周不等式和Sobolev不等式的应用。我们的结果适用于黎曼和次黎曼流形以及非光滑空间，并退化椭圆/抛物方程在这些设置。
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