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arXiv 2007.01469math.AP
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热核满足Poisson型界的算子在$L^p$空间中的薛定谔方程

The Schrödinger equation in $L^p$ spaces for operators with heat kernel satisfying Poisson type bounds

Peng Chen, Xuan Thinh Duong, Zhijie Fan, Ji Li, Lixin Yan

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摘要：

设$L$是作用在$L^2(X)$上的非负自伴算子，其中$X$是具有维数$n$的齐型空间.本文研究了薛定谔方程初值问题解的尖端点$L^p$估计，证明了对于所有由$i \partial_t u + L u=0 $生成的半群$e^{-tL}$的$f\in L^p(X), 1<p<\infty,$ \begin{eqnarray*} \left\| e^{itL} (I+L)^{-{σn}} f\right\|_{p} \leq C(1+|t|)^{σn} \|f\|_{p}, \ \ \ t\in{\mathbb R}, \ \ \ σ\geq \big|{1\over 2}-{1\over p}\big|, \end{eqnarray*}，$e^{-tL}$满足Poisson型上界.这推广了以前在\cite{CDLY1}中的结果，其中由$L$生成的半群$e^{-tL}$满足指数衰减。

英文摘要：

Let $L$ be a non-negative self-adjoint operator acting on $L^2(X)$ where $X$ is a space of homogeneous type with a dimension $n$. In this paper, we study sharp endpoint $L^p$-Sobolev estimates for the solution of the initial value problem for the Schrödinger equation, $i \partial_t u + L u=0 $ and show that for all $f\in L^p(X), 1<p<\infty,$ \begin{eqnarray*} \left\| e^{itL} (I+L)^{-{σn}} f\right\|_{p} \leq C(1+|t|)^{σn} \|f\|_{p}, \ \ \ t\in{\mathbb R}, \ \ \ σ\geq \big|{1\over 2}-{1\over p}\big|, \end{eqnarray*} where the semigroup $e^{-tL}$ generated by $L$ satisfies a Poisson type upper bound. This extends the previous result in \cite{CDLY1} in which the semigroup $e^{-tL}$ generated by $L$ satisfies the exponential decay.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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