A Block-Based Triangle Counting Algorithm on Heterogeneous Environments
三角形计数是图算法中的基本构建块。在本文中，我们提出了一种基于块的三角形计数算法，以减少顺序和并行执行期间的数据移动。我们的基于块的配方使算法自然适合异构体系结构。图的邻接矩阵的划分问题是一个很好的研究。我们的任务分解更进一步：它划分图中的三角形集合。通过将这些小任务流式传输到计算资源，我们可以解决不适合设备的问题。我们证明了我们的方法的有效性，通过提供一个实现在一个计算节点上的多个插槽，核心和GPU。目前最先进的三角形枚举在2.1秒内处理一个三角形图，不包括CPU和GPU之间的数据复制时间。使用这个指标，我们的方法快了20%。当包括复制时间时，我们的算法需要3.2秒。这比发布的最快CPU时间快5.6倍。
2020-09-25 cs.DS
An Optimal Algorithm for Triangle Counting in the Stream
我们提出了一个新的算法来近似的三角形的数量在图$G$的边缘到达作为一个任意顺序流。如果$m$是$G$中的边数，$T$是三角形数，$Δ_E$是共享一条边的三角形的最大数，$Δ_V$是共享一个顶点的三角形的最大数，那么我们的算法需要空间：\[ \widetilde{O}\left(\frac{m}{T}\cdot \left(Δ_E + \sqrt{Δ_V}\right)\right) \]采用Braverman、Ostrovsky和Vilenchik的$Ω\left(\frac{m Δ_E}{T}\right)$下限（ICALP 2013），以及Kallaugher和Price的$Ω\left( \frac{m \sqrt{Δ_V}}{T}\right)$下界（SODA 2017），我们的算法在对数因子上是最优的，解决了图流中经典问题的复杂性。
2021-07-14 cs.DS
A Hybrid Sampling Scheme for Triangle Counting
我们研究了图流中三角形个数的估计问题。没有流算法可以在所有图上获得次线性空间，因此该领域的方法根据输入图的参数（例如共享单条边的三角形的最大数量）来限制空间。我们给出了一个采样算法，另外参数化的最大数量的三角形共享一个顶点。我们的边界匹配最好的已知的旋转栅门结果在所有的图，并得到更好的性能简单的图，如$G(n, p)$或一组独立的三角形。我们补充的上限与下限表明，没有采样算法可以做得更好，对这些图的对数因子以上。特别地，当所有三角形共享公共顶点时，任何插入流算法必须使用$\sqrt{T}$空间，并且当所有三角形独立时，任何采样算法必须获取$T^\frac{1}{3}$样本。我们添加了另一个下界，也匹配我们的算法的性能，适用于所有的图形类。这个下限涵盖了“三角形相关”的采样算法，一个子类，包括我们的算法和所有以前的采样算法的问题。最后，我们展示了如何推广我们的算法来计算任意子图的恒定大小。
2019-04-16 cs.DS
Near Uniform Triangle Sampling Over Adjacency List Graph Streams
针对邻接表图流模型下的近似均匀三角形采样问题，设计空间复杂度与计数类算法相当的高效流算法，同时补充顶点、边到达模型的相关结果，丰富图流采样研究。
2024-05-16 cs.DS
Approximate Triangle Counting via Sampling and Fast Matrix Multiplication
有一个简单的$O(\frac{n^3}{T})$时间算法用于近似三角形计数，其中$T$是图中三角形的数量，$n$是顶点的数量。同时，可以使用时间上的快速矩阵乘法$\tilde{O}(n^ω)$来精确地计数三角形。是否有可能在保持$n^ω$对$n$的依赖性的同时，获得对三角形$T$数量的负依赖性？我们积极回答这个问题，提供了一个算法，运行在时间$O\big(\frac{n^ω}{T^{ω- 2}}\big) \cdot \text{poly}(n^{o(1)}/ε)$。这是最佳的，因为只要$T$的指数独立于$n, T$，它就不能在保持对$n$的依赖性的同时得到改善;这是根据Eden和Rosenbaum的下限得出的[APPROX/RANDOM 2018]。我们的算法改进了现有技术，当$T = ω(1)$和$T = o(n)$。我们还考虑了稀疏图中近似三角形计数的问题，参数化的边缘$m$的数量。最著名的算法在时间上运行$\tilde{O}\big(\frac{m^{3/2}}{T}\big)$ [Eden等人，SIAM Journal on Computing，2017]。还有一个众所周知的算法，用于精确的三角形计数，它在时间上运行$\tilde{O}(m^{2ω/(ω+ 1)})$。我们再次得到了一个算法，保留了$m$的指数，同时在具有大量三角形的图上运行得更快。具体来说，我们的算法在…
2021-05-16 cs.DS
Breaking the hegemony of the triangle method in clique detection
我们考虑的基本问题的检测/计数的副本的固定模式图在主机图。关于这个问题的最新进展还没有包括完整的模式图，即，集团（及其补充，即，在诱导设置中的无边缘图案图）。上述模式的最快算法是基于三角形检测/计数的简单简化。我们提供了一种基于多维矩阵乘积的检测/计数固定大小团的副本的替代方法。在$K_4$和$K_5.$的情况下，它至少与三角形方法一样有时间效率。多维矩阵乘积的复杂性本身就令人感兴趣。我们还提供了另一种用于检测/计数$K_r$拷贝的替代方法，同样对于$r\in \{ 4,\ 5 \}$是时间有效的。
2021-09-30 cs.DS
Parameter-Free Triangle Counting
Yale University（耶鲁大学）；University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
本文提出无参数流式三角形计数算法，无需先验知识即可近似三角形数，使用O(p)遍和期望次线性空间，并证明任何无参数乘法近似算法需线性空间的下界。
2026-09-22 cs.DS
How the Degeneracy Helps for Triangle Counting in Graph Streams
我们重新研究了图流中三角形计数估计的问题。给定一个表示为$m$边流的图，我们的目标是使用小空间算法计算三角形计数$T$的$(1\pm\varepsilon)$ -近似。对于任意阶和恒定的遍数，已知空间复杂度基本上为$Θ(\min(m^{3/2}/T, m/\sqrt{T}))$（McGregor等人，PODS 2016，Bera等人，STACS 2017）。我们给出了一个（恒定通过，任意顺序）流算法，可以绕过这个下限为\emph{low degeneracy graphs}。退化度$κ$是密度的一个微妙的度量，并且常数退化图的类别非常丰富（包含平面图，小闭族和偏好连接图）。我们设计了一个具有空间复杂度的流算法$\widetilde{O}(mκ/T)$。对于常数退化图，此界是$\widetilde{O}(m/T)$，它显著小于$m^{3/2}/T$和$m/\sqrt{T}$。我们补充我们的算法结果与几乎匹配的下限$Ω(mκ/T)$。
2020-03-29 cs.DS
DTC: Real-Time and Accurate Distributed Triangle Counting in Fully Dynamic Graph Streams
Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算技术研究所）；Zhongguancun Laboratory（中关村实验室）；The University of Hong Kong（香港大学）
DTC提出了一种新的分布式流算法，用于在完全动态图流中实现高精度的三角形计数，通过多台机器资源优化和边插入补偿技术，显著提升了计数的准确性和效率。
2026-01-25 cs.DS
Triangle counting in dynamic graph streams
在过去的十年中，使用有限的内存来估计图流中的三角形数量已经成为一个热门话题。不同的变化的问题进行了研究，这取决于是否提供的图形边缘以任意顺序或发病率列表。然而，除了少数例外，算法已经考虑了{ \em仅插入}流。我们提出了一个新的算法估计的三角形的数量{ \em动态}图流中的边缘可以插入和删除。我们表明，我们的算法实现了更好的时间和空间复杂度比以前的解决方案的各种图形类，例如稀疏图形与相对较少的三角形。此外，对于具有恒定传递系数的图，这是真实图中的常见情况，这是第一个实现每条边的恒定处理时间的算法。结果是通过一种新的方法相结合的顶点三元组的采样和稀疏化的输入图。在算法的分析过程中，我们提出了一个下界的两两独立的2-路在一般的图，这可能是独立的利益。在文章的最后，我们讨论了三角形计数算法的空间复杂度的下界，不对图的结构作任何假设。
2015-07-14 cs.DS
Counting Triangles in Graph Streams with Repeatable and Forgettable Edges
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；Reykjavik University（雷克雅未克大学）；University of Nebraska–Lincoln（内布拉斯加大学林肯分校）
针对图流中边可重复到达的现实场景，提出具有最优空间复杂度的三角形计数算法，并扩展至可遗忘边模型，实现单遍及常数遍近似计算。
2026-09-18 cs.DS
Faster and Generalized Temporal Triangle Counting, via Degeneracy Ordering
三角形计数是网络分析中的一项基本技术，在各种输入模型中得到了广泛的关注。绝大多数三角形计数算法都是针对静态图的。然而，许多现实世界的图是有向的和时间的，其中边带有时间戳。时间三角形产生更多的信息，因为它们同时考虑了图形拓扑和时间戳。时间三角形计数已经看到了一些最近的结果，但有不同的时间三角形的定义。在所有情况下，时间三角形模式对边之间的时间间隔（三角形中）施加约束。我们定义了一个一般的概念$(δ_{1,3}, δ_{1,2}, δ_{2,3})$ -时间三角形，允许单独的时间约束的所有对边缘。我们的主要结果是一个新的算法，DOTTT（退化导向的时间三角形累加器），精确计数所有有向变量的$(δ_{1,3}, δ_{1,2}, δ_{2,3})$ -时间三角形。使用经典的退化排序的思想与仔细的组合参数，我们可以证明DOTTT运行在$O(mκ\log m)$时间，其中$m$是（时间）边的数量和$κ$是图的退化（最大核心数）。直到对数因子，这匹配最佳静态三角形计数器的运行时间。而且，这种运行时间比现有的更好。DOTTT具有出色的实用性能，运行速度是现有最先进的时间三角计数器的两倍（并且更通用）。例如，DOTTT在商品机器上不到一个小时的时间内计算了比特币时间网络中所有类型的时间查询，其中有5亿条边。
2021-06-05 cs.DS cs.SI
Edge-Based Wedge Sampling to Estimate Triangle Counts in Very Large Graphs
图中三角形的数量有助于推断图所建模的网络的大量重要特征。然而，找到这个数字的确切值是计算昂贵的。因此，已经提出了许多基于边缘或楔形（相邻边缘对）的随机采样的近似算法来估计该值。我们认为，对于具有幂律度分布的大型稀疏图，随机边缘采样需要在提供足够的信息用于精确估计之前对大量边缘进行采样，并且现有的楔形采样方法导致有偏采样，这反过来又导致不太准确的估计。在本文中，我们提出了一种边缘和楔形采样之间的混合算法，解决了这两种方法的不足之处。我们从均匀的边缘采样开始，然后扩展每个选定的边缘以形成一个楔形，这对于估计整个三角形计数来说是更有用的。我们所做的核心估计是第一阶段中每个采样边参与的三角形数量。这种方法以非常小的采样率提供准确的近似值，在样本量方面超过最先进的8倍，同时提供95%置信度的估计。
2017-10-27 cs.DS
Cover Edge-Based Novel Triangle Counting
提出覆盖边集及基于BFS的构造方法，设计串行、OpenMP并行和分布式三角形计数算法，实验表明其性能优异且分布式通信大幅降低。
2024-03-05 cs.DS
Fast Triangle Counting
本文提出一种新的串行三角形计数算法，在真实与合成图上达到与最快现有方法相当的性能，并在最新Intel Xeon处理器上完成实验验证。
2023-09-20 cs.DC cs.DS
Publishing Below-Threshold Triangle Counts under Local Weight Differential Privacy
The University of Tokyo（东京大学）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）
提出一种在局部权重差分隐私下对加权图中低于阈值的三角形进行计数的算法，通过两轮通信和私有化信息实现，并引入偏差和无偏估计器及两种改进方法。
2026-10-10 cs.DS
WRS: Waiting Room Sampling for Accurate Triangle Counting in Real Graph Streams
如果我们不能存储图流中的所有边，我们应该存储哪些边来准确估计三角形计数？计数三角形（即，长度为3的循环）是在社会网络分析、web挖掘、异常检测等中具有许多应用的基本图问题。最近，已经做出了很多努力来在具有有限空间的流设置中准确地估计全局和局部三角形计数。虽然现有的方法使用采样技术，而不考虑时间依赖性的边缘，我们观察到时间的局部性，在真正的动态图。也就是说，未来的边更可能与最近的边形成三角形，而不是与较旧的边形成三角形。在这项工作中，我们提出了一个单通流算法称为等候室采样（WRS）的全球和当地的三角形计数。WRS利用时间局部性，总是存储最近的边缘，未来的边缘更有可能形成三角形，在等待室，而它使用水库采样的其余边缘。我们的理论和实证分析表明，WRS是：（a）快速和“任何时间”：在线性时间内运行，总是保持和更新估计，而新的边缘到达，（b）有效的：产生高达47%的估计误差小于其最好的竞争对手，和（c）理论上的声音：给出无偏估计的时间局部性下的小方差。
2017-09-19 cs.DB cs.DS
Approximate Triangle Counting
三角形计数是图挖掘中的一个重要问题。在复杂网络分析中，顶点的聚类系数和图的传递率是两个常用的度量。此外，三角形已成功地用于几个现实世界的应用。然而，精确的三角形计数是一个昂贵的计算。在本文中，我们提出了一个实用的抽样算法计数三角形图的分析。我们的分析产生的采样率的最佳值，从而导致巨大的加速范围从\emph{2800} x到\emph{70000} x时，应用于现实世界的网络。同时，估计的准确性是极好的。我们的贡献包括在具有数百万个节点和边的图上进行实验，在那里我们展示了我们提出的方法的实用性。最后，我们的算法的实现是\pegasus库的一部分（代码和数据集可在（http：//www.cs.cmu.edu/jpctsourak/）获得。）一个在Hadoop中实现的Peta-Graph Mining库，Hadoop是Mapreduce的开源版本。
2009-06-30 cs.DM cs.DS
On Triangle Estimation using Tripartite Independent Set Queries
图中三角形个数的估计是次线性算法中最基本的问题之一。在这项工作中，我们提供了一个算法，近似计数的三角形的数量在一个图中只使用多对数查询时，\emph{the number of triangles on any edge in the graph is polylogarithmically bounded}。我们的查询oracle { \em三分独立集}（TIS）将三个不相交的顶点集$A$、$B$和$C$作为输入，并回答是否存在在这三个集合中的每一个中具有一个端点的三角形。我们的查询模型通常属于\emph{group queries}类（Ron和Tsur，ACM ToCT，2016; Dell和Lapinskas，STOC 2018），特别是受到Beame的{ \em二分独立集}（BIS）查询oracle { \em et al.}的启发。(ITCS 2018年）。我们扩展了Beame { \em et al.}的算法框架，用\tis代替\bis，用于近似计数图形中的三角形。
2020-07-31 cs.DS
Colorful Triangle Counting and a MapReduce Implementation
本文介绍了一种新的计算图中三角形个数的随机算法。我们表明，在温和的条件下，我们的算法的估计是强烈集中在周围的三角形的真实数量。具体地，如果$p \geq \max{(\frac{Δ\log{n}}{t}, \frac{\log{n}}{\sqrt{t}})}$，其中$n$、$t$、$Δ$表示$G$中的顶点数、$G$中的三角形数、包含$G$的边的三角形的最大数，则对于任何常数$ε>0$，我们的无偏估计$T$集中在其期望值附近，即，$ \Prob{|T - \Mean{T}| \geq ε\Mean{T}} = o(1)$。最后，我们提出了一个\textsc{MapReduce}实现我们的算法。
2011-03-31 cs.DM cs.DS cs.SI
Triangle Counting Through Cover-Edges
本文提出覆盖边集概念，并基于BFS设计顺序和并行三角形计数算法，显著减少大规模图上的通信量，在Graph500规模36和42图上分别降低1156倍和2368倍。
2023-09-16 cs.DC cs.DS
Approximately Counting Triangles in Sublinear Time
我们考虑的问题估计的三角形的数量在一个图。这个问题已经在理论和实践中得到了广泛的研究，但所有现有的算法都读取整个图。在这项工作中，我们设计了一个{ \em次线性时间\/}算法近似图中的三角形的数量，该算法被赋予查询访问图。允许的查询是度查询、顶点对查询和邻居查询。我们表明，对于任何给定的近似参数$0<ε<1$，该算法提供了一个估计$\widehat{t}$，使具有高的恒定概率，$(1-ε)\cdot t< \widehat{t}<(1+ε)\cdot t$，其中$t$是图$G$中的三角形的数量。该算法的预期查询复杂度为$\!\left(\frac{n}{t^{1/3}} + \min\left\{m, \frac{m^{3/2}}{t}\right\}\right)\cdot {\rm poly}(\log n, 1/ε)$，其中$n$是图中的顶点数，$m$是图中的边数，预期运行时间为$\!\left(\frac{n}{t^{1/3}} + \frac{m^{3/2}}{t}\right)\cdot {\rm poly}(\log n, 1/ε)$。我们还证明了$Ω\!\left(\frac{n}{t^{1/3}} + \min\left\{m, \frac{m^{3/2}}{t}\right\}\right)$查询是必要的，从而建立该算法的查询复杂性是最佳的$n$（和依赖于$1/…
2015-09-22 cs.DS
Triangle Counting in Hypergraph Streams: A Complete and Practical Approach
针对超图流三角形计数中结构分类不全和固定采样不适应严格内存的问题，提出完整三角形分类及 HTCount 与 HTCount-P，实现低误差、高吞吐估计。
2025-08-31 cs.DS cs.GR
A simpler sublinear algorithm for approximating the triangle count
Eden，Levi和Ron（ECCC 2015）的最新结果提供了一个次线性时间算法来估计图中三角形的数量。给定一个无向图$G$，可以查询顶点的度、顶点之间边的存在性以及顶点的第$i$个邻居。假设图有$n$顶点、$m$边和$t$三角形。在该模型中，Eden等人提供了一个$O(\poly(\eps^{-1}\log n)(n/t^{1/3} + m^{3/2}/t))$时间算法，以获得三角形计数$t$的$(1+\eps)$-乘法近似。本文提供了一种更简单的算法，具有相同的运行时间（直到$\poly(\eps^{-1}\log n)$因子的差异），具有基本上更简单的分析。
2015-05-08 cs.DM cs.DS cs.SI
Testable algorithms for approximately counting edges and triangles in sublinear time and space
针对亚线性时间边和三角形计数问题，提出无需 Arboricity 前提的自适应可测试算法，在时间 O*(m·α(G)/t + m/t^{2/3}) 内保证 (1±ε) 近似，并证明开销下界，适用于流模型。
2025-09-24 cs.DS
Wedge Sampling for Computing Clustering Coefficients and Triangle Counts on Large Graphs
图用于在各种上下文中对交互进行建模，并且越来越需要快速评估此类图的结构。一些最有用的图形指标是基于三角形的，比如那些衡量社会凝聚力的指标。计算它们的算法可能非常昂贵，即使是只有数百万条边的中等大小的图。以前的工作已经考虑了节点和边缘采样;相比之下，我们考虑楔形采样，它提供了比竞争技术更快，更准确的近似。此外，楔形采样能够估计局部聚类系数、度聚类系数、均匀三角形采样和定向三角形计数。我们的方法为所有计算提供了可证明和实用的概率误差估计。我们提供了大量的结果，表明我们的方法比最先进的替代方案更准确，更快。
2014-01-14 cs.DS cs.SI
CoCoS: Fast and Accurate Distributed Triangle Counting in Graph Streams
给定一个图流，我们如何使用多台机器和有限的存储来估计其中的三角形数量？具体来说，应该如何在机器上处理和采样边缘，以实现快速准确的估计？三角形的计数（即，大小为3的集团）已被证明在包括异常检测、社区发现和链接推荐的许多应用中是有用的。对于大型动态图中的三角形计数，最近的工作主要集中在流式算法和分布式算法上，但很少关注它们的组合，以实现“两全其美”。在这项工作中，我们提出了CoCoS，一种快速准确的分布式流算法，用于估计全局三角形的计数（即，所有三角形）和与每个节点关联的局部三角形。在输入流上进行一次传递，COCOS仔细地处理并存储多台机器上的边，以便最大限度地减少计算和存储资源的冗余使用。与基线相比，CoCoS（a）准确：估计误差最多小39倍，（b）快速：最多快10.4倍，随输入流的大小线性扩展，（c）理论上合理：产生无偏估计。
2021-02-27 cs.DB cs.DC cs.DS
Efficient Approximate Temporal Triangle Counting in Streaming with Predictions
University of Padova（帕多瓦大学）；KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
针对现有算法难以处理大规模时间图三角形计数的问题，提出结合预测与采样的流式算法STEP，可亚线性内存下无偏准确估计全部八种时间三角形数量，效率优于现有最优方法。
2025-06-16 cs.DS cs.LG cs.SI
Counting Balanced Triangles on Social Networks With Uncertain Edge Signs
Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Shenzhen Institute of Computing Sciences（深圳计算科学研究院）
本文提出了一种在具有不确定边符号的社会网络中快速计算平衡三角形的方法，结合概率信息优化搜索空间，并通过采样方法提高效率。
2026-02-15 cs.DS cs.SI
Improved Massively Parallel Triangle Counting in $O(1)$ Rounds
本文针对有界树荫度图提出一种简单的大规模并行三角形计数算法，在不增加每台机器空间和总空间的情况下将轮数从 O(log log n) 改进到最优的 O(1)，解决了 Im 等人综述中列出的开放问题。
2024-05-01 cs.DC cs.DS
On the Complexity of Triangle Counting using Emptiness Queries
本研究解决了使用BIS预言机估计三角形的查询复杂度问题，同时证明了更强的EE预言机的相关下界，回应了Beame等人提出的高阶图结构估计开放问题。
2023-05-05 cs.DS
Sampling and counting triangle-free graphs near the critical density
针对临界密度附近无三角图的采样与计数难题，提出两种分别适用于不同密度区间的高效采样及概率近似算法，为超图硬核模型相关问题提供新解法。
2024-10-30 cs.DS math.CO
A space efficient streaming algorithm for triangle counting using the birthday paradox
我们设计了一个空间有效的算法，近似的传递性（全局聚类系数）和总三角形计数，只有一个单一的通过一个图形流的边缘。我们的过程是基于经典的概率结果，生日悖论。当传递性是常数，有更多的边缘比楔形（社交网络的共同属性），我们可以证明，我们的算法需要$O(\sqrt{n})$空间（$n$是顶点的数量），以提供准确的估计。我们运行一组详细的实验上的各种真正的图形，并证明该算法的内存需求是一个很小的部分的图形。例如，即使对于一个有2亿条边的图，我们的算法也只存储了6万条边来给出准确的结果。作为一种单通道流算法，我们的过程还通过存储极小部分的边来维护图的传递性/三角形数量的实时估计。
2013-12-04 cs.DM cs.DS cs.SI
Parallel Algorithms for Counting Triangles in Networks with Large Degrees
求网络中三角形的个数是复杂网络分析中的一个重要问题。三角形的数目在数据采掘中也有重要的应用。现有的分布式内存并行算法计算三角形的映射减少或消息传递接口（MPI）的基础上，并与给定的网络重叠的分区。这些算法是为非常稀疏的网络而设计的，当节点的度相对较大时不能很好地工作。对于度较大的网络，基于Map-Reduce的算法会生成非常大的中间数据，而在基于MPI的算法中，每个分区都可以与原始网络一样大，从而消除了划分网络的好处。在本文中，我们提出了两个有效的MPI为基础的并行算法计算三角形在大规模网络与大的程度。第一个算法是一个空间有效的算法，用于不适合单个计算节点的主内存的网络。该算法将网络划分为不重叠的分区。第二种算法是针对每个节点的主存储器足够大以包含整个网络的情况。我们观察到，对于这种情况下，计算负载可以动态平衡，并提出了一个动态的负载均衡计划，显着提高性能。我们的两种算法都可以很好地扩展到大型网络和大量的处理器。
2014-06-22 cs.DC cs.DS cs.SI
Engineering a Distributed-Memory Triangle Counting Algorithm
针对巨型图的三角形计数任务，提出一种分布式内存算法，通过本地计数、异步稀疏全交换操作和间接路由减少通信与开销，可扩展至32768核，速度比此前最优水平最高快18倍。
2023-07-21 cs.DC cs.DS cs.SI
Efficient Triangle Counting in Large Graphs via Degree-based Vertex Partitioning
三角形的数量是计算上昂贵的图统计，其经常用于复杂网络分析（例如，传递率），在各种随机图模型中（例如，指数随机图模型）以及重要的现实世界应用，如垃圾邮件检测、Web隐藏主题结构的发现和链接推荐。对具有数百万和数十亿条边的图中的三角形进行计数需要快速运行、使用少量空间、提供三角形数量的准确估计并且优选地是可并行化的算法。在本文中，我们提出了一个有效的三角形计数算法，它可以适用于半流模型。我们的算法的关键思想是结合Tsourakakis等人的采样算法。和分区的顶点集分别为一个高的程度和一个低的程度子集，在阿隆，Yuster和Zwick工作适当地对待每个集合。我们得到了一个运行时间$O \left(m + \frac{m^{3/2} Δ\log{n}}{t ε^2} \right)$和一个$ε$近似（乘法误差），其中$n$是顶点数，$m$是边数，$Δ$是边所包含的最大三角形数。此外，我们展示了如何该算法可以适应半流模型的空间使用$O\left(m^{1/2}\log{n} + \frac{m^{3/2} Δ\log{n}}{t ε^2} \right)$和一个常数的通过（三）的图形流。我们应用我们的方法在各种网络中有数百万的边缘，我们得到了很好的结果。最后，我们提出了一种基于随机投影的三角形计数方法，并给出了一个获得低方差估计的充分条件。
2010-11-01 cs.DS cs.SI physics.soc-ph
TRIÈST: Counting Local and Global Triangles in Fully-dynamic Streams with Fixed Memory Size
我们提出了TRIBUST，一套单通道流算法来计算全局和局部（即，关联到每个顶点）的三角形的数量表示为边插入和删除的对抗流的全动态图。我们的算法使用水库采样及其变种，以利用用户指定的内存空间在任何时候。这与使用难以选择的参数（例如，固定的采样概率），并且不保证它们将使用的存储器量。我们展示了这些数量的估计和新的浓度范围的方差的全面分析。我们在非常大的图上的实验结果表明，TRIBUIST在准确性上优于最先进的方法，并且具有较小的更新时间。
2016-06-28 cs.DB cs.DS
Counting Triangles in Real-World Graph Streams: Dealing with Repeated Edges and Time Windows
真实世界的图形通常表现为大量的边的时间流。实时分析这种大型图形流的需求导致了低内存、单通道流式图形算法的进展。这些算法是为简单图设计的，假设边在流中不重复。然而，真实的图流几乎总是多重图，即，它们包含许多重复的边。没有重复边缘的假设需要一个额外的通道 * 存储所有边缘 *，仅用于重复数据删除，这违背了小内存算法的目的。我们描述了一个算法，用于估计三角形计数的多重图流的边缘。我们表明，所有以前的流算法三角形计数失败的多重图流，尽管他们令人印象深刻的精度为简单的图形。重复边产生的偏差是一个主要问题，并导致这些算法误入歧途。我们的算法通过仔细的去偏策略避免了这些偏差，并具有可证明的理论保证和出色的经验性能。我们的算法建立在前面介绍的楔形抽样方法。分析时间图的另一个挑战是找到正确的时间窗口大小。我们的算法无缝地处理多个时间窗口，并且不需要先验地承诺任何窗口大小。我们应用我们的算法，发现迷人的传递性和三角形的趋势，在现实世界的图形流。
2014-10-14 cs.DM cs.DS cs.SI
Arboricity Matters in Triangle Counting with Random Edges
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）
针对无向图三角形计数问题，提出一种结合树荫度与RandomEdge查询的亚线性随机算法，给出匹配度较高的上下界查询复杂度。
2026-10-12 cs.DS
Equivalences between triangle and range query problems
我们定义了一个自然类的范围查询问题，并证明了所有的问题在这个类有相同的时间复杂度（多对数因子）。等价性是非常普遍的，甚至适用于在线算法。这使我们能够获得新的改进算法的类中的所有问题。然后，我们专注于特殊情况下的问题时，查询是离线的，查询的数量是线性的。我们表明，我们的范围查询问题是运行时等效的（多对数因子）计数为每个边缘$e$在$m$边缘图的三角形通过$e$的数量。这个自然三角形问题可以使用在$O(m^{2ω/(ω+1)}) \leq O(m^{1.41})$时间内运行的最著名的三角形计数算法来解决。此外，如果是$ω=2$，则在3SUM假设下，已知$O(m^{2ω/(ω+1)})$运行时间很紧（在$m^{o(1)}$因子内）。在这种情况下，我们的等价解决了范围查询问题的复杂性。我们的问题构成了第一个等价类，这个特殊的运行时间限制。为了更好地理解这些问题的复杂性，我们还提供了一个更深入的了解三角形问题的家庭，特别是显示三角形列表和每边三角形检测和计数之间的黑盒减少。作为我们的减少的副产品，我们得到一个简单的三角形列表算法匹配的所有政权的三角形的数量的最先进的。我们也给出了一些不一定严格的，但仍然令人惊讶的减少矩阵产品的变种，如$(\min,\max)$产品。
2020-04-08 cs.CC cs.DS
Triangle and Four Cycle Counting with Predictions in Graph Streams
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Microsoft Research（微软研究院）；Boston University（波士顿大学）
我们提出了数据驱动的一次通过流算法，用于估计三角形和四个周期的数量，这是图分析中的两个基本问题，在图数据流文献中被广泛研究。最近，（Hsu 2018）和（Jiang 2020）在其他数据流问题中应用了机器学习技术，使用经过训练的预言机，可以预测流元素的某些属性，以改进先前不使用预言机的“经典”算法。在本文中，我们探讨了一个“重边”的神谕在多个图边流模型的权力。在邻接表模型中，我们提出了一个一遍三角形计数算法，改进了以前的空间上界没有这样的预言。在任意阶模型中，我们提出了三角形和四个周期估计的算法，具有较少的通过和相同的空间复杂度在以前的算法，我们表明这些界限是最佳的。我们分析了我们的算法在几个噪声模型下，即使在预言机出错的情况下，该算法也表现良好。我们的方法扩展了以前的工作“经典”流算法，以前的多通道和随机顺序流算法可以被看作是我们的算法的特殊情况下，第一次通过或随机顺序被用来实现重边预言。最后，我们的实验表明，所提出的方法相比，国家的最先进的流媒体算法的优势。
2022-03-17 cs.DS cs.LG
Retrieving Top Weighted Triangles in Graphs
图中的模式计数是许多网络分析任务的基础，并且已经开发了许多方法来将子图计数扩展到大型图。许多现实世界的网络带有节点之间的连接强度的自然概念，通常由加权图建模，但现有的可扩展图模式挖掘算法是针对未加权图设计的。在这里，我们开发了一套确定性和随机采样算法，使快速发现的3-团（三角形）在一个图形中的最大重量，其中重量是衡量一个三角形的边缘的广义平均值。例如，我们提出的算法之一，可以找到前1000个加权三角形的加权图与数十亿条边在30秒内的商品服务器上，这是数量级的速度比现有的“快速”枚举计划。因此，我们的方法打开了大门，可扩展的模式挖掘加权图。
2019-10-01 cs.DS cs.SI
Parallel Triangle Counting in Massive Streaming Graphs
图中三角形的数量是一个基本的度量，用于社会网络分析、链接分类和推荐等。在这些应用程序和现代图形数据集都是大型和动态的趋势的驱动下，我们提出了一个快速和高速缓存高效的并行算法的设计和实现，用于估计三角形的数量在一个巨大的无向图的边缘到达流。它结合了流算法和并行算法的优点。通过构建流算法框架，该算法具有较小的内存占用。通过利用Cache-Oblivious框架，它可以有效地利用现代多核机器的存储层次结构，而无需知道其特定参数。我们证明了理论界的准确性，内存访问成本，并行运行时的复杂性，以及经验表明，该算法产生准确的结果和大幅加速相比，优化的顺序实现。(This是CIKM'13论文的扩展版本。
2013-08-09 cs.DB cs.DC cs.DS
Comparing MapReduce and Pipeline Implementations for Counting Triangles
为计算问题定义并行解决方案的一种常见方法是找到一种使用分治范式的方法，以便使处理器处理自己的数据并以并行方式调度。MapReduce是一个遵循这种范式的编程模型，通过将问题分解为输入数据的子集上的步骤，并结合每个步骤的结果来产生最终结果，从而允许定义有效的解决方案。尽管MapReduce用于实现各种各样的计算问题，但每当复制因子增加或输入的大小大于每个处理器上可用的资源时，MapReduce的性能就会受到负面影响。在本文中，我们展示了另一种方法来实现分而治之的范例，命名为动态管道。动态流水线的主要特点是说明了一个著名的问题，在一个图中的三角形计数的并行实现。当输入图不适合内存或动态生成时，这个问题特别有趣。为了评估管道的属性，在Go语言中实现了一个动态的进程管道和MapReduce的ad-hoc版本，利用其处理通道和派生进程的能力。对不同拓扑结构、大小和密度的图进行了实证评估。观察到的结果表明，动态管道允许一个有效的实施的问题，计算三角形的图形，特别是在密集和大型图形，大大减少了执行时间的MapReduce实现。
2017-01-12 cs.DC cs.DS
Fast and Accurate Triangle Counting in Graph Streams Using Predictions
University of Padova（帕多瓦大学）
本文提出首个使用预测的图流三角形计数估计算法，结合候车室采样、蓄水池采样与基于节点度数的边重度预测器，在给定内存预算下比现有方法更快更准确。
2024-09-23 cs.DS cs.LG
Scalable Triangle Counting: The Threshold Algorithm
Yale University（耶鲁大学）；University of Massachusetts（马萨诸塞大学）
提出一种无需先验估计的阈值算法，通过停止规则自适应选择前缀长度，实现随机顺序边流上单遍三角形计数的近似，内存高效且误差可控。
2026-09-15 cs.DB cs.DS
Beyond Triangles: A Distributed Framework for Estimating 3-profiles of Large Graphs
研究了大型图的$3$-轮廓的逼近问题。$3$-配置文件是三角形计数的推广，三角形计数指定小图作为大图的导出子图出现的次数。我们的算法使用了新的概念，$3$-配置文件稀疏：稀疏的图形，可以用来近似完整的$3$-配置文件计数为一个给定的大型图。此外，我们研究的问题估计本地和自我$3$-配置文件，两个图形的数量，表征局部邻域的每个顶点的一个图。我们的算法是分布式的，并作为一个顶点程序运行在GraphLab PowerGraph框架。我们引入了边缘旋转的概念，它允许我们收集$2$跳信息，而无需在每个顶点保持一个明确的$2$跳邻域列表。这使得能够以最少的通信并行计算所有本地$3$-简档。我们在Amazon EC2上的几个扩展到$640$核心的实验中测试了实现。我们发现，我们的算法可以估计的$3$-配置文件的一个图形在大约相同的时间三角形计数。对于更难的自我$3$-配置文件的问题，我们介绍了一种算法，可以并行估计几十万个顶点的配置文件，在分钟的时间尺度。
2015-06-22 cs.DC cs.DS cs.IT
