Double-Recurrence Fibonacci Numbers and Generalizations
令$(F_n)_{n\geq 0}$是由递归$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$给出的斐波那契序列，对于$n\geq 0$，其中$F_0=0$和$F_1=1$。这个序列有几种推广，也有几个有趣的恒等式。本文研究了由${F(m,n) = F(m-1, n-1)+F (m-2, n-2)}$给出的一个齐次递推关系，它在某种程度上推广了二元Fibonacci数列的线性递推关系，称为{ \it双递推斐波那契数}，其中$F (m, 0) = F_m$，$F (m, 1) = F_{m+1}$，$F (0, n) = F_n$和$F (1, n) = F_{n+1}$ .我们展示了一个公式来计算这个双重递归的值，只有在斐波那契数，如某些身份的总和概述。最后，研究了一个一般的案例。
2019-03-18 math.NT
On The Horadam Hybrid Quaternions
本文定义了Horadam混合四元数，并给出了它们的一些性质。此外，我们还研究了Fibonacci混合四元数和Lucas混合四元数之间的关系，它们连接了Fibonacci四元数和Lucas四元数。进而给出了这些四元数的比内公式和Cassini恒等式。
2020-12-15 math.NT
The generalized bi-periodic Fibonacci quaternions and octonions
本文进一步推广了双周期Fibonacci四元数和八元数.我们给出了这些四元数和八元数的生成函数、比内公式和一些基本性质。本文的结果不仅推广了双周期Fibonacci四元数和八元数，而且还包括了广义双周期Fibonacci四元数的矩阵表示和范数值等新结果.
2018-02-16 math.NT
Generalized Lucas Numbers and Relations with Generalized Fibonacci Numbers
本文利用广义Lucas多项式的矩阵表示给出了Lucas数的一个新的推广。给出了这一新推广的一些性质以及广义k阶Lucas数与广义k阶斐波那契数之间的一些关系.此外，利用广义斐波那契数的性质，得到了广义k阶Lucas数的比内公式和组合表示.
2011-11-10 math.NT
Linear Properties of Generalized $n$-step Fibonacci Numbers
我们提出了许多有趣的，大多是新的，结果涉及$n$ -步骤斐波那契数和$n$ -步骤卢卡斯数和推广。考虑的性质包括递归关系，求和恒等式，包括二项式和双二项式求和恒等式，部分和和普通生成函数。对于小的$n$值给出了明确的例子。
2018-08-06 math.NT
Fibonacci Modules and Multiple Fibonacci Sequences
引入了双Fibonacci序列，并将其与Fibonacci模的运算联系起来。概括和例子也进行了讨论。
2008-10-22 math.AC math.NT
On a four-parameters generalization of some special sequences
我们引入了一个新的四参数序列，同时推广了一些著名的整数序列，包括Fibonacci，Padovan，Jacobsthatl，Pell和Lucas数。组合的解释进行了讨论，这个一般序列的许多身份推导。因此，Fibonacci，Lucas，Pell，Jacobsthal，Padovan和Narayana数的一些恒等式以及它们的一些推广被获得。我们还提出了新序列的卡西尼公式。
2017-05-14 math.NT
$k$--Fibonacci numbers with two blocks of repdigits
研究\(k\) - 斐波那契数列，找出所有由两个重复数字拼接而成的\(k\) - 斐波那契数，推广了之前关于斐波那契数和 Tribonacci 数相关问题的结果。
2026-07-22 math.NT
The sequences of Fibonacci and Lucas for each real quadratic fields $\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$
我们在任何二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$上构造斐波那契和卢卡斯的序列，其中$d>0$无平方，注意到一般情况下，对于$d = 5$的情况，斐波那契和卢卡斯的经典序列在各自的变体下仍然有效。对于这种结构，我们使用的基本单位$\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$，然后我们观察到的推广的任何单位的$\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$，在一定条件下，这种结构对应于$k$ -Fibonacci序列的一些$k\in \mathbb{N}$。当然，对于这两种序列，我们得到了它们的生成函数、黄金分割比、Binet公式以及它们所保持的一些恒等式。
2019-04-30 math.NT
A determinant of generalized Fibonacci numbers
我们评估一个行列式的广义斐波那契数，从而提供了一个共同的概括的几个行列式的评估结果，以前已经出现在文献中，所有这些扩展卡西尼的身份斐波那契数。
2012-04-03 math.CO math.NT
A Generalization of Fibonacci Far-Difference Representations and Gaussian Behavior
基B展开式的一个自然推广是泽肯多夫定理：每个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数$\{F_n\}$的和，其中有$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$和$F_1=1, F_2=2$。相反，如果我们允许分解中斐波那契数的系数为零或$\pm 1$，则所得表达式称为远差表示。阿尔珀特证明了一个远差表示存在，并且在某些限制下是唯一的，这些限制推广了非连续性，特别是两个相邻的相同符号的和数必须至少相隔4个索引，而相反符号的和数必须至少相隔3个索引。我们证明了一个远差表示可以使用Skipponacci数集，这是由$S^{(k)}_{n+1} = S^{(k)}_{n} + S^{(k)}_{n-k}$的形式为$k \ge 0$的递归关系产生的。每个整数都可以唯一地写成$\pm S^{(k)}_n $的和，使得每两个相同符号的项的索引相差至少2k+2，并且每两个相反符号的项的索引相差至少k+2。此外，我们证明了在给定的Skipponacci分解的正项和负项的数量收敛到高斯，与可计算的相关系数，这是一个有理函数的最小根的特征多项式的递归。证明使用递归来获得具有固定数量的和数的生成函数，我们证明收敛到高斯的生成函数。接下来，我们探索的间隙之间的分布和，并表明，对于任何k的找到一个间隙的长度$j \ge 2k+2$的概率几何衰减，衰减率等于给定的k-Skipponacci递归的最大根。最后，…
2014-05-10 math.NT
Some basic properties of the generalized bi-periodic Fibonacci and Lucas sequences
本文考虑了由递推关系wn = x（n）wn-1+ cwn-2定义的Horadam序列fwng的一个推广，其中n为偶数时x（n）= a，n为奇数时x（n）= b，具有任意的初始条件w 0，w1和非零的实数a，b和c.作为特殊情况，通过取初始条件0，1和2，b，我们分别定义序列{un}和{vn}。利用矩阵方法得到了序列{un}，{vn}和{wn}的一些基本性质.
2019-10-09 math.NT
On Pell numbers representable as product of two generalized Fibonacci numbers
本文研究佩尔数何时可表示为两个 k-斐波那契数之积，利用对数线性形式下界、连分数性质及丢番图逼近工具完全解决该问题，推广了多个已有结果。
2025-07-18 math.NT
Inverses of Fibonacci and Lucas Numbers via Rational Indices
Bilecik Seyh Edebali University（比莱克谢赫埃德巴利大学）
研究通过分母函数求有理指数的斐波那契数和卢卡斯数的逆，推导\(F_X\)的一般显式公式，确定其与卢卡斯数及斐波那契序列的关系，计算相关数的单位，证明乘法逆元存在，揭示序列新结构性质。
2026-07-24 math.NT
Generalized Fibonacci Sequences and Binet-Fibonacci Curves
本文研究了Fibonacci数列的几种推广，如任意初值的数列、两个或多个Fibonacci数列的加法和任意基的Fibonacci多项式。对于指数全等的斐波那契数，利用广义Fibonacci多项式和Lucas数导出了一般公式.将比内公式推广到任意实数，构造了复平面上的Binet-Fibonacci曲线。对于正数，曲线以指数消失的幅度振荡，而对于负数，它变成比奈斐波那契螺旋。与鹦鹉螺曲线的比较显示出非常相似的行为。计算了曲线下的面积和曲率特征，以及相关特征的渐近性。当n趋于无穷大时，该区域逐渐变得无限宽，高度无限小，使得面积具有有限值$A_{\infty}=\frac{2}{5 π} ln(φ)$。
2017-07-28 math.HO math.NT
Diophantine equations over the generalized Fibonacci sequences: exploring sums of powers
本研究围绕经典斐波那契恒等式的推广展开，分别在k-广义斐波那契数、普通斐波那契数的幂次及连续项幂和场景下求解三类丢番图方程，推广了已有相关研究结论。
2025-01-15 math.NT
Zeckendorf's Theorem Using Indices in an Arithmetic Progression
Zeckendorf定理指出，任何正整数都可以唯一地分解为不同的、不相邻的斐波那契数之和。有许多推广，包括结果存在的分解使用甚至指数斐波那契数。我们进一步扩展这些，并证明了类似的结果举行时，只使用指数在一个给定的等差数列。作为我们证明的一部分，我们为斐波那契数生成了一系列新的递归式，这些递归式本身就很有趣。
2020-10-26 math.NT
Generalization of an Identity of Andrews
我们考虑一个由G. G发现的将斐波那契数与帕斯卡三角形联系起来的恒等式。E.安德鲁斯几位作者提供了证明这一身份，他们都相当参与或依赖于复杂的数论参数。不仅给出了一个简单初等的证明，而且证明了该恒等式推广到了Pascal三角形以外的数组。作为应用，我们得到的身份三项式系数和加泰罗尼亚的三角形斐波那契数。
2006-10-05 math.CO math.NT
Fibonacci-like sequences for variants of the tower of Hanoi, and corresponding graphs and gray codes
我们以一种非常自然的方式修改了经典的汉诺塔问题的规则，得到了解决问题的最优算法中所涉及的Fibonacci序列，并展示了这种变体的一些好的性质。特别地，我们从这个Hanoi-Fibonacci塔中推导出了一个不含因子11的二进制字集上的类格雷码，它具有一些有趣的性质，并由此得到了Hanoi-Fibonacci塔的迭代算法.这种算法涉及斐波那契替换。最后，我们简要地将研究扩展到一些自然的概括。
2022-06-07 cs.DM math.CO math.NT
The dying rabbit problem revisited
在本文中，我们研究了Fibonacci序列的推广，其中兔子是致命的，需要两个多月才能成熟。特别是，我们给出了这些序列的一般递推关系（改进了Hoggatt，VE.，小的; Lind，D. a.“垂死的兔子”斐波那契夸脱7，1969年第5期，482 - 487页），并明确地计算了它们的通项（扩展了Miles，E. P.，Jr.广义Fibonacci数及其相关矩阵。《美国数学月刊》1960年第67期，第745 - 752页）。顺便，作为一个技术要求，我们还研究了所考虑的序列的特征多项式的正实根的行为。
2007-10-11 math.NT
Polynomial values with integer coefficients of the generating functions for Fibonacci polynomials
本文将Fibonacci序列生成函数取整数值的判别结果推广到满足带系数递推关系的Fibonacci多项式，并在$\sqrt d$代入时给出同形式结论。
2023-07-17 math.NT
Using Fibonacci Numbers and Chebyshev Polynomials to Express Fox Coloring Groups and Alexander-Burau-Fox Modules of Diagrams of Wheel Graphs
本文利用斐波那契数列和切比雪夫多项式，计算轮图图表（即辫子闭包）的约化Fox着色群及Alexander-Burau-Fox模，推广了相关结果。
2025-02-24 math.GT math.NT
Primes as sums of Fibonacci numbers
本文的目的是讨论素数与斐波那契数和的关系。我们的一个主要结果是，对于每一个足够大的整数$k$，存在一个可以表示为$k$不同和非连续斐波那契数之和的素数。这个性质与某些形态序列的素数定理密切相关，并基于此。这样一个素数定理的证明，结合相应的局部结果，是本文的中心贡献，从中我们得到了开头所述的结果。这类问题已经在基本$q$扩展的上下文中进行了深入的讨论。Gelfond问题（1968/1969）和Sarnak猜想是这一发展的驱动力。Mauduit和Rivat解决了素数位数和（2010年）和平方数和（2009年）的问题，因此只留下了第三个Gelfond问题的一部分。后来，第二作者（2017）证明了Sarnak猜想的所有自动序列，这是基于整数的q进制扩展，并推广了基$q$中的数字和函数。为了得到斐波那契数的相应结果，我们必须对Mauduit和Rivat的方法作相当大的推广.事实上，我们与这种方法有很大的不同，我们证明了$\exp(2πi \vartheta\mathsf z(n))$有\emph{level of distribution} $1$（这里$\mathsf z(n)$是将$n$写成它们的和所需的斐波那契数的个数）。后一个结果形成了一个重要的组成部分，我们的治疗发生的总和类型$\textrm I$和$\textrm{II}$和使用Gowers规范相关的$\mathsf z(n)$…
2022-08-16 math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem: The Kentucky Sequence
根据Zeckendorf定理，斐波那契数列的一个等价定义（适当规范化）是它是唯一的递增整数序列，使得每个正数都可以唯一地写成不相邻元素的和;这被称为合法分解。以前的工作研究了分布的被加数和它们之间的间距，在法律分解所产生的斐波那契数和其他线性递归关系与非负积分系数。这些结果中的许多仅限于定义复发中的首项为阳性的情况。我们研究了一个推广的斐波那契数与一个简单的概念的合法性，导致复发的首项消失。我们再次有独特的合法分解，高斯行为的数量的被加数，和几何衰减的差距的分布。
2014-09-01 math.NT
A Generalization of the Binomial Interpolated Operator and its Action on Linear Recurrent Sequences
本文研究了一种推广的二项式插值算子在线性递归序列集上的作用。我们发现零的特征多项式的变化，我们证明了这些运营商的子集形成一个组，相对于一个定义良好的组合法。此外，我们研究了大量的线性递归序列固定的这些运营商和许多其他有趣的性质。最后，将所得结果应用于整数序列，得到了Catalan数、斐波那契数、Lucas数和三角数之间的关系式.
2012-12-15 math.NT
Fixed Sequences for a Generalization of the Binomial Interpolated Operator and for some Other Operators
本文研究了作用在序列上的几个重要算子的特征序列。利用含有生成函数的函数方程，完全解决了广义二项式算子的固定序列的刻画问题。给出了整数序列的一些应用。特别是，我们展示了如何生成固定序列的广义二项式和它们的关系与Worpitzky变换。我们用一些有趣的例子和恒等式来说明这一事实，这些例子和恒等式与Fibonacci、Catalan、Motzkin和欧拉数有关。最后求出了插值逆算子、广义二项式算子和Revert算子的互合成的特征序列。
2012-12-20 math.NT
Computing Hyperfibonacci Numbers by Means of Matrix Transformations and Jordan Forms
Faculty of Electrical Engineering, Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Split（斯普利特大学电气、机械与船舶工程学院）
提出超斐波那契数的变换矩阵，利用若尔当标准型推导其幂次，得到用斐波那契数表示第r代超斐波那契数的简洁公式。
2026-06-17 math.NT
On the number of summands in Zeckendorf decompositions
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的表示为非连续的斐波那契数之和。一旦显示了这一点，很自然地会问需要多少个被加数。Lekkerkerker使用连分数方法证明了$[F_n, F_{n+1})$中整数所需的这种被加数的平均数是$n / (φ^2 + 1) + O(1)$，其中$φ= \frac{1+\sqrt{5}}2$是黄金平均数。令人惊讶的是，似乎没有人研究被和数的分布;我们的主要结果是，这收敛到高斯$n\to\infty$。此外，这样的结果不仅适用于斐波那契数，而且适用于许多其他问题，例如具有非负整数系数的线性递归关系（这是数的基$B$展开式的推广）和远差表示。一般来说，证明涉及采用组合的观点，并通过部分分式展开和微分恒等式分析产生的生成函数。由此产生的论点变得相当技术性;本文的目的是集中在特殊和最有趣的情况下的斐波那契数，其中的障碍消失和证明遵循一些组合和斯特林公式;见[MW]的证明在一般情况下。
2010-08-19 math.NT
A Generalization of Zeckendorf's Theorem via Circumscribed $m$-gons
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地分解为非连续斐波那契数之和，其中斐波那契数满足$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，对于$n\geq 3$，$F_1=1$和$F_2=2$。在这种分解中，被加数的分布收敛于高斯分布，被加数之间的间隔收敛于几何衰减，最长间隔的分布类似于有偏硬币中最长的正面运行;这些结果也更普遍地成立，尽管由于技术原因，以前的工作需要假设递归关系中的系数是非负的，第一项是正的。我们扩展这些结果，通过创建一个无限的家庭的整数序列称为$m$ -ESTA序列所产生的尺规作图法使用外切$m$ -ESTA。它们满足递归，其中第一个$m+1$前导项消失，因此不能由现有技术处理。我们提供了一个合法的分解的概念，并证明了存在的分解是唯一的。然后，我们检查的分布的数目的和使用的分解，并证明它显示高斯行为。有几何衰减的差距的分布，无论是从间隔中的所有整数的差距，几乎肯定在分布的个别差距措施相关联的每个整数的间隔。最后，我们证明，最长的差距之间的被加数的分布是强烈集中在其平均值，表现类似于在最长的头在投掷硬币。
2015-12-01 math.NT
