Deflation and augmentation techniques in Krylov subspace methods for the solution of linear systems
INRIA（法国国家研究院）
本文综述了针对非Hermitian和Hermitian正定线性系统的Krylov子空间方法中的紧缩与增广加速收敛技术。
2013-03-21 cs.NA math.NA
Computing low-rank approximations of the Fréchet derivative of a matrix function using Krylov subspace methods
矩阵函数$f(A)$的Fréchet导数$L_f(A,E)$在许多不同的应用中起着重要的作用，包括条件数估计和网络分析。当方向项$E$为秩1时，我们给出了几种不同的Krylov子空间方法来计算$L_f(A,E)$的低秩逼近（这可以很容易地推广到一般的低秩逼近）.我们分析了所得到的方法的收敛性的重要特殊情况下，$A$是埃尔米特和$f$是指数，对数或Stieltjes函数。在一些数值测试中，包括基准集合和现实世界的应用程序的矩阵，我们证明和比较所提出的方法的准确性和效率。
2020-08-29 cs.NA math.NA
A Rational Krylov Subspace Method for the Computation of the Matrix Exponential Operator
本研究针对大型稀疏矩阵下矩阵指数算子近似计算问题，提出有理块Lanczos算法，推导了收敛误差估计与界，数值实验验证了方法的计算效率。
2023-08-28 cs.NA math.NA
Randomized sketching for Krylov approximations of large-scale matrix functions
f（A）b的计算，即矩阵函数对向量的作用，是科学计算的许多领域中出现的一项任务。在许多应用中，矩阵A是稀疏的，但如此之大，以至于只能存储相当少量的Krylov基向量。在这里，我们讨论了一种新的方法来克服这些限制，随机素描结合整表示的f（A）b。介绍了两种不同的近似，一种基于草图FOM和另一种基于草图GMRES近似。对于正实矩阵的Stieltjes函数，分析了后一种方法的收敛性。我们还推导出一个封闭的形式表达的草图FOM逼近和约束其距离的完整FOM逼近。数值实验证明了所提出的草图绘制方法的潜力。
2023-03-17 cs.NA math.NA
Error Bounds for the Krylov Subspace Methods for Computations of Matrix Exponentials
University of Kentucky（肯塔基大学）
本文提出新的后验和先验误差界，用于计算矩阵指数$e^{-τA}v$，分析了Hermitian部分和 skew-Hermitian 部分的特征值对收敛的影响，并通过数值例子验证了理论结果。
2016-03-23 cs.NA math.NA
A study of defect-based error estimates for the Krylov approximation of $φ$-functions
以前最近的工作，专门研究多项式Krylov技术的近似矩阵指数${\rm e}^{tA}v$的行动，扩展到相关的情况下$φ$ -功能（发生在类的指数积分）。特别是，一个后验误差界和估计，基于Krylov近似的缺陷（残差）的概念被认为是。可计算的误差界和估计进行了讨论和分析。这包括一个新的误差界，在特定情况下与现有的误差界相比具有优势。各种误差界的准确性的特点是与相应的Ritz值的$A$。Ritz值产生$A$的谱的性质（具体性质是先验已知的，例如对于厄米特矩阵或斜埃尔米特矩阵）与实际起始向量$v$的关系，并且可以被计算。这给出了理论结果以及量化运行中达到的准确度的标准。对于其他现有的误差估计的可靠性和性能进行了研究，通过类似的技术。有限精度（浮点运算）的影响也被考虑在内。
2020-01-31 cs.NA math.NA
A Unified Rational Krylov Method for Elliptic and Parabolic Fractional Diffusion Problems
我们提出了一个统一的框架，有效地近似解方案的分数扩散问题的固定和抛物型。在离散化之后，我们可以采取这样的观点，即通过$f^{\boldsymbolτ}(L)\mathbf{b}$形式的矩阵-向量积获得解，其中$L$是空间算子的离散化矩阵，$\mathbf{b}$是预定向量，而$f^{\boldsymbolτ}$是参数函数，例如分数幂或Mittag-Leffler函数。在Stieltjes和完全Bernstein函数的抽象框架下，我们应用有理Krylov方法，并基于Zolotarëv最小偏差问题证明了当使用极点时的一致收敛性.后者特别适合于分数扩散，因为它们允许映射$\boldsymbolτ\mapsto f^{\boldsymbolτ}(L)\mathbf{b}$的有效查询，并且不会随着分数参数接近零而退化。我们还提出了各种新的和现有的极点选择策略，我们开发了一个可计算的错误证书。我们的数值实验包括时空分数扩散问题的详细参数研究，并比较我们的证书所预测的极点的性能。
2021-04-16 cs.NA math.NA
Block Krylov subspaces and orthogonal matrix polynomials: a structural correspondence with applications to unitary matrices
KU Leuven（鲁汶大学）
本文研究了块Krylov子空间与矩阵正交函数之间的联系，提出了一种统一的框架用于分析和构造正交基和递推关系，并在单位ary矩阵情况下展示了如何将正交矩阵多项式的Szegő递推和CMV框架转移到块Krylov设置中。
2026-05-16 cs.NA math.NA
A Krylov Eigenvalue Solver Based on Filtered Time Domain Solutions
本文提出一种求解大规模广义 Hermitian 矩阵特征值问题的方法，通过结合显式时域积分器、滤波和 Krylov 迭代，高效计算给定区域内的特征值，并在小规模模型和三维猎号声学共振问题中验证了可靠性与效率。
2024-02-13 cs.NA math.NA
Minimal Residual Methods for Complex Symmetric, Skew Symmetric, and Skew Hermitian Systems
Computation Institute, University of Chicago（芝加哥大学计算研究所）
本文扩展了MINRES和MINRES-QLP算法以处理复杂对称、斜对称和斜厄米特系统，提供更稳定的解决方案，适用于各种情况。
2014-01-13 cs.MS cs.NA math.NA
A low-memory Lanczos method with rational Krylov compression for matrix functions
本研究提出一种结合有理Lanczos算法与基于有理Krylov子空间基压缩的低内存方法，用于计算厄米矩阵函数对向量的作用，可大幅降低内存需求，误差可忽略，性能具竞争力。
2024-03-07 cs.NA math.NA
A Multilevel Spectral Indicator Method for Eigenvalues of Large Non-Hermitian Matrices
最近提出了一种新的本征解算器族，称为谱指示器方法（SIM）。给定复平面上的区域，SIM首先通过光谱投影计算指示符。指示符用于测试区域是否包含特征值。然后对包含特征值的区域进行细分和测试。重复该过程，直到在指定的精度内识别特征值。本文利用Cayley变换和Krylov子空间，提出了一种高效的多层特征值求解器。与早期版本的SIM相比，该方法使用更少的内存，并且特别适合于计算大型稀疏（非Hermitian）矩阵的许多特征值。文中给出了几个实例。
2020-06-29 cs.NA math.NA
Shifted Lanczos method for quadratic forms with Hermitian matrix resolvents
埃尔米特矩阵预解式的二次型涉及移位线性系的解。Hermitian Lanczos方法将给定的向量和矩阵约简为Jacobi矩阵（具有正的超对角和次对角元素的实对称三对角矩阵），并使用Jacobi矩阵近似二次型。本研究发展了一种直接处理埃尔米特矩阵预解式的移位Lanczos方法。我们推导出一个矩阵表示的线性算子，通过解决与移位Lanczos方法相关的Vorobyev矩问题近似的预解式。我们表明，一个条目的雅可比矩阵预解式可以近似的二次型，匹配的时刻。我们给出了一个充分条件，使该方法不会崩溃，误差界，和误差估计。数值实验矩阵从现实世界中的应用比较，所提出的方法与以前的方法，并表明，所提出的方法优于行之有效的方法在解决一些问题。
2020-10-14 cs.NA math.NA
Parallel approximation of the exponential of Hermitian matrices
本文提出一种基于有理近似和部分分式分解的并行算法，用于计算Hermitian矩阵指数，分析了舍入误差影响，并通过数值实验验证了其相比Krylov算法的高效性。
2023-06-29 cs.DC cs.NA math.NA
Sketch-and-Restart: Randomized Sketching in Quadrature-Based Restarting for Matrix Functions
The University of Manchester（曼彻斯特大学）；Fudan University（复旦大学）
针对大型稀疏非埃尔米特矩阵函数计算问题，提出草图与重启框架，结合求积重启和类阿诺尔迪分解，开发两类重启算法，建立收敛性，经数值实验验证该框架在计算节省、存储减少和加速方面的有效性。
2026-10-28 cs.NA math.NA
A Lie algebra view of matrix splittings
本文从李代数视角解释经典矩阵分裂为矩阵分解的线性化，通过将分裂专门化到经典矩阵群及其代数得到新分裂，还推导了HSS迭代的结构化推广并给出收敛充分条件。
2025-08-24 cs.NA math.NA
A modified version of the PRESB preconditioner for a class of non-Hermitian complex systems of linear equations
针对一类二阶块非埃尔米特复线性方程组，提出改进的PRESB预条件子，分析其谱性质，给出迭代求解方案，并通过数值实验验证其在PDE约束优化问题中的有效性。
2024-05-14 cs.NA math.NA
Circulant preconditioners for functions of Hermitian Toeplitz matrices
University of Oxford（牛津大学）
本文研究了循环预条件子在Hermitian Toeplitz矩阵函数系统中的应用，提出绝对值超优化循环预条件子，并通过理论分析和数值实验验证了其在求解此类系统时的有效性，证明预条件矩阵的特征值聚集于±1，从而保证Krylov子空间方法的快速收敛。
2018-07-28 cs.NA math.NA
A thick-restart Lanczos type method for Hermitian $J$-symmetric eigenvalue problems
针对Hermitian $J$ -对称矩阵提出了一种厚重启动Lanczos型算法.由于Hermitian $J$ -对称矩阵具有双重退化谱或双重重特征值，且退化特征向量之间具有简单的关系，我们可以通过将Krylov子空间的搜索空间限制在由每对退化特征向量对中的一个构成的搜索空间来改善Lanczos算法的收敛性.我们表明，Lanczos迭代是兼容的$J$ -对称性，使子空间可以分为两个子空间是相互正交的。该算法在两个子空间中的一个子空间中搜索特征向量，而不需要重数。与它们配对的其他特征向量可以通过$J$ -对称性的简单关系容易地重构。我们测试我们的算法随机生成的小密集矩阵和稀疏的大矩阵源自量子场论。
2020-09-11 cs.NA hep-lat math.NA
Optimal near-optimality bounds for the Lanczos method for matrix functions
NYU（纽约大学）；Flatiron Institute（平顿研究所）
该研究针对埃尔米特正定矩阵，证明了Stieltjes函数下Lanczos方法近似矩阵函数的误差界，强化推广了已有结果并确定了该界的最优性。
2026-08-10 cs.NA math.NA
A note on indefinite matrix splitting and preconditioning
本文研究了实对称不定和复 Hermitian 不定系数矩阵的分裂与预条件问题，证明除非精确保持惯性，否则无分裂矩阵能导致收缩的定常迭代，并指出其对不定系统预条件和多重网格平滑的影响。
2025-04-07 cs.NA math.NA
$TimeEvolver$: A Program for Time Evolution With Improved Error Bound
我们提出了$TimeEvolver$，一个程序计算时间演化的一般量子系统。它依赖于著名的Krylov子空间技术来解决将大稀疏矩阵$i H$的指数与初始向量$v$相乘的问题，其中$H$是哈密顿量。事实上，$H$是厄米特使得有可能提供一个容易计算的边界上的准确性的克雷洛夫近似。除了数值循环的影响，所得到的后验误差界是严格的，这是一个关键的新颖性相比，现有的软件包，如$Expokit$（R。Sidje，ACM Trans. Math. Softw. 24（1）1998）。在标准笔记本上，$TimeEvolver$允许在维度大于$10^6$的希尔伯特空间中以可调精度计算时间演化。此外，我们还提供了从哈密顿算子的更抽象表示导出矩阵$H$的例程。
2022-05-30 cs.NA hep-th math.NA
Polynomial Preconditioning for the Action of the Matrix Square Root and Inverse Square Root
本文提出用 polynomial 预处理加速 Krylov 子空间方法计算矩阵平方根与逆平方根对向量的作用，以减小子空间规模、降低存储和计算成本，并通过数值实验验证其有效性。
2024-01-12 cs.NA math.NA
2-norm error bounds and estimates for Lanczos approximations to linear systems and rational matrix functions
Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）；Jülich Supercomputing Centre, Forschungszentrum Jülich GmbH（于利希超级计算中心，于利希研究中心有限公司）
通过二次 Lanczos 过程，提出一种高效计算有理矩阵函数作用到向量上的 Lanczos 逼近的可计算误差估计和误差界的方法，特别包括线性系统 Ax=b 的解，并首次实现了在已知 A 的最小特征值下界时，对 2-范数误差的上界估计。
2012-12-03 cs.NA hep-lat math.NA
