Large rainbow matchings in edge-colored graphs with given average color degree
边有色图中的彩虹匹配是指没有两条边具有相同颜色的匹配。顶点v的颜色度是入射到v的边上的不同颜色的数量。27（2020）]研究了平均色度至少为2k的边有色图G中彩虹匹配的存在性，并证明了G中存在大小为k的彩虹行进的若干充分条件。其充分条件包括：|V（G）|>=12k^2+4k，或G是一个适当边-有色图，|V（G）|>=8k。本文证明了任意边-有色图G| V（G）|>=4k-4且平均色度至少为2k-1，包含大小为k的彩虹匹配。此外，我们还证明了每一个平均度至少为2k-1的强边有色图G都包含一个大小至少为k的彩虹匹配。对于完全图，该界是尖锐的.
2021-05-22 math.CO
A note on randomly colored matchings in random bipartite graphs
本文给出了一个二部图，它至少包含一个完美匹配，其中每个边都是从一个集合$Q=\{c_1,c_2,\ldots,c_q}\$. Let $ Q_i= \set{e\in E(G):c(e)=c_i} $, where $ c（e）$ denotes the color of $ e $. The perfect matching color profile $ mcp（G）$ is defined to be the set of vectors $（m_1，m_2，\ldots，m_q）\in [n]^q $ such that there exists a perfect matching $ M $ such that $着色的|M \cap Q_i| =m_i$。本文给出了随机着色随机二部图的匹配颜色轮廓的界。
2019-09-23 math.CO
Monochromatic connected matchings in 2-edge-colored multipartite graphs
图$G$中的匹配$M$是连通的，如果$M$的所有边都在$G$的相同分量中。继Jubuczak之后，已经有许多结果使用簇图中关于大图的规则划分的大连通匹配的存在性来证明这些图中存在长路径和其他结构。证明了$2$ -边着色多部图中单色连通匹配的大小的Ramsey型精确界。此外，我们证明了这样的匹配的稳定性定理。
2021-10-13 math.CO
Automorphisms and quotients of 2-colored quasi best match graphs
本文研究系统发育学中的2-着色拟最佳匹配图的自同构群结构，并展示如何构造具有大自同构群的此类图。
2025-02-26 math.CO
Matching, Path Covers, and Total Forcing Sets
图$G$的顶点的动态着色从着色顶点的初始子集$S$开始，所有剩余的顶点是未着色的。在每个离散时间间隔，一个着色顶点与恰好一个非着色邻居迫使这个非着色邻居着色。初始集合$S$被称为$G$的强制集合，如果通过迭代地应用强制过程，$G$中的每个顶点都被着色。如果初始集$S$具有导出$G$的无孤立点子图的附加性质，则称$S$为$G$的全强制集.在$G$中，总强迫集的最小基数是它的总强迫数，记为$F_t(G)$。$G$的路径覆盖数，记为$\pc(G)$，是使得每个顶点属于覆盖中的路径的顶点不相交路径的最小数目，而$G$的匹配数，记为$α'(T)$，是$G$的最大匹配中的边的数目。设$T$是一棵至少为2阶的树。我们观察到，$\pc(T) + 1 \le F_t(T) \le 2\pc(T)$，我们证明，$F_t(T) \le α'(T) + \pc(T)$。此外，我们的特征的极值树实现平等，在这些界限。
2018-01-14 math.CO
Rainbow matchings in edge-colored graphs
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学数学与统计学院）
本文研究一般边着色图中在边数与颜色数之和条件下大小为 k 的彩虹匹配的存在性，并证明所用条件是紧的。
2025-11-06 math.CO
Oscillating Rim Hook Tableaux and Colored Matchings
出于问题的B型模拟的双射之间的振荡tableaux和匹配，我们发现振荡m-边缘钩tableaux和m-着色匹配，其中m是一个正整数之间的对应关系。振荡m-rim钩表被定义为从空形状开始并以空形状结束的杨氏图的序列$(λ^0,λ^1,...,λ^{2n})$，使得通过添加m-rim钩或通过删除m-rim钩从$λ^{i-1}$获得$λ^{i}$。我们的双射依赖于White提出的广义Schensted算法。一个摆动的2-rim hook画面也被称为摆动的多米诺骨牌画面。当我们把注意力限制在长度为2n的两列振荡多米诺骨牌表时，我们会得到这样的表和$\{1, 2,..., 2n\}$上的非交叉2-色匹配之间的双射，它们由两个连续Catalan数的乘积$C_nC_{n+1}$计数。如果没有两个相同颜色的弧相交，则双色匹配是非相交的。我们发现，振荡多米诺骨牌tableaux最多有两列是在一对一的对应与戴克路径包装。长度为2n的Dyck路径包装是一个对（D，E），其中D是长度为2n的Dyck路径，E是被D弱覆盖的长度为2n的分散Dyck路径。因此我们推出了长度为2n的Dyck路填充可以用$C_nC_{n+1}$来计数.
2011-05-22 math.CO
Almost-perfect colorful matchings in three-edge-colored bipartite graphs
该研究证明了三边着色二分图中存在满足各颜色边数指定条件的几乎完美彩色匹配，验证了Ryser-Brualdi-Stein猜想的三色多重扩展版本，且所得和的上界为最优。
2025-07-29 math.CO
Rainbow spanning structures in strongly edge-colored graphs
Central China Normal University（华中师范大学）；Jianghan University（江汉大学）
本文研究了强边着色图中彩虹哈密尔顿回路的存在条件，证明了在足够大的n下，满足最小度数要求的图中必然存在彩虹哈密尔顿回路，并探讨了彩虹路径和完美匹配的最优条件。
2026-01-22 math.CO
Rainbow Greedy Matching Algorithms
本文研究在具有随机着色边的随机图中寻找大彩虹匹配的问题，并分析了两种基于无色版本改进的贪心算法在该问题上的性能。
2023-07-02 math.CO
Large rainbow matchings in edge-colored graphs
University College London (UCL)（伦敦大学学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
通过放宽颜色数量、正常着色条件和图类型，证明了在边着色图中存在大彩虹匹配的充分条件，并构造反例反驳了Aharoni和Berger的猜想。
2026-05-27 math.CO
Coloring graphs by translates in the circle
分数和循环色数是图的色数的两个研究最多的非整数加细。从图的着色基的定义出发，这起源于与遍历论相关的工作，我们形式化了图的回转着色的概念：顶点由圆群中的单个博雷尔集的平移着色，并且相邻的顶点接收不相交的平移。图的回转色数总是介于分数色数和圈色数之间。研究了回转着色的基本性质。特别地，我们构造了图的回转色数严格介于分数色数和循环色数之间的例子。我们还建立了几个等价的定义的旋色数，包括一个版本，涉及所有有限的阿贝尔群。
2021-01-11 math.CO
Complexity Results for Rainbow Matchings
边着色图中的彩虹匹配是边具有不同颜色的匹配。我们解决以下问题的复杂性问题，\mrbm：给定一个边着色图$G$，多大是最大的彩虹匹配$G$？我们提出了几个鲜明的对比，在这个问题的复杂性。我们表明，除其他外，* 可以近似的多项式算法的近似比$2/3-\eps$。* 是APX完全的，即使当被限制为没有$5$ -顶点路径的正确边着色的线性森林时，并且对于没有$4$ -顶点路径的边着色的森林，在关于边着色的$m$ -边的多项式时间上的%时间$O(m^{3/2})$内可解。* 是APX完全的，即使当被限制为没有$8$ -顶点路径的正确边着色的树时，并且对于没有$7$ -顶点路径的边着色树，在边着色$n$ -顶点多项式时间上的%时间$O(n^{7/2})$内可解。这些结果提供了一个二分法定理的复杂性问题的森林和树木的禁止路径。后者有些令人惊讶，因为据我们所知，在我们的结果之前，没有（未加权）图问题是NP-难的简单路径。我们还解决了问题的参数化的复杂性。
2013-12-27 cs.DM math.CO
Arc-Completion of 2-Colored Best Match Graphs to Binary-Explainable Best Match Graphs
最佳匹配图（BMG）是顶点着色的有向图，它自然地出现在数学遗传学中，以形式化进化最接近基因的概念。一个先验未知的系统发育树BMG是由唯一的最低分辨率树解释。我们证明了一个生根，叶色树的属性是最低解决一些BMG是保存的内部边缘的收缩。对于特殊情况下的两个颜色的BMG，这导致了最低解析树（LRT）的二进制可解释的树和一个简单的，多项式时间的算法的最小基数完成的弧集的BMG，以达到一个BMG，可以解释的二叉树的特征。
2021-03-11 cs.DM cs.DS math.CO
Odd Properly Colored Cycles in Edge-Colored Graphs
Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）
本文研究边着色图中奇数正常着色圈的存在性判定，并作为副产品给出检测给定边集中具有偶数或奇数条边的图中完美匹配的方法。
2026-09-23 math.CO
Rainbow Perfect and Near-Perfect Matchings in Complete Graphs with Edges Colored by Circular Distance
给定一个$n$顶点上的边着色完全图$K_n$，如果所有边都有不同的颜色，则$K_n$中顶点数为偶数（分别为奇数）的完美（分别为近完美）匹配$M$是彩虹图.本文考虑$K_n$的一个圆距离边染色，用$K^{\bullet}_n$表示完全图.我们证明了当$K^{\bullet}_n$有偶数个顶点时，它包含彩虹完美匹配当且仅当$n=8k$或$n=8k+2$，其中$k$是非负整数.在顶点数为奇数的情况下，Kirkman匹配被称为$K^{\bullet}_n$中的彩虹近完美匹配。然而，现实世界的应用程序有时需要多个彩虹近乎完美的匹配。我们提出了一种使用递归算法在$K^{\bullet}_n$中产生多个彩虹近完美匹配的方法。
2020-12-11 cs.DM math.CO
Bounded degree graphs and hypergraphs with no full rainbow matchings
Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo（滑铁卢大学组合优化系）；Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）
本文通过构造特定边染色的多超图，证明了全彩虹匹配定理的最优性，并推翻了相关猜想，同时展示了颜色度推广的Galvin定理不成立。
2025-12-18 math.CO
Rainbow Matchings and Hamilton Cycles in Random Graphs
设$HP_{n,m,k}$是从所有$k$ -均匀的$k$ -部超图中均匀地画出的，其中每个部分的划分是$[n]$的不相交副本.我们让$HP^{(\k)}_{n,m,k}$是一个边缘着色版本，其中我们从$\k$颜色之一中随机为每个边缘着色。我们表明，如果$\k=n$和$m=Kn\log n$，其中$K$是足够大的，然后w. h. p.有彩虹色的完美匹配。也就是说，完美的匹配，其中每个边缘都有不同的颜色。我们还证明了，如果$n$是偶数，且$m=Kn\log n$中$K$足够大，则在$G^{(n)}_{n,m}$中存在彩虹色Hamilton圈.这里，$G^{(n)}_{n,m}$表示具有$n$颜色的$G_{n,m}$的随机边缘着色。当$n$是奇数时，我们的证明需要$m=\om(n\log n)$才有彩虹Hamilton圈。
2014-01-28 math.CO
Rainbow matchings and partial transversals of Latin squares
本文考虑了边着色图，即两条边不能有一个端点，所以每一个颜色类都是一个匹配。如果匹配的边具有不同的颜色，则称为\it彩虹\rm。图的最小度记为$δ(G)$。我们证明了具有$|V(G)|\ge 4δ(G)-3$的适当边着色图$G$具有大小为$δ(G)$的彩虹匹配，这对Wang最近提出的一个问题给出了最好的估计.由于显然至少需要$2δ(G)$顶点来保证大小为$δ(G)$的彩虹匹配，我们研究当$|V(G)|\ge 2δ(G)$。我们证明了任何具有$|V(G)|\ge 2δ$的正确边着色图$G$都包含大小至少为$δ- 2δ(G)^{2/3}$的彩虹匹配。这个结果扩展了（具有较弱的误差项）众所周知的结果，即完全二分图$K_{n,n}$的因子分解具有大小为$n-o(n)$的彩虹匹配，或者等价地，每个拉丁方的顺序$n$具有大小为$n-o(n)$的部分横截（Ryser - Brualdi猜想的渐近版本）。在这个方向上，我们还表明，每一个拉丁方的顺序$n$有一个{ \em无圈部分断面}的大小为$n-o(n)$。
2012-08-28 math.CO
The threshold for the full perfect matching color profile in a random coloring of random graphs
考虑一个图$G$，它的边集$E(G)$从一个集$Q = \set{c_1,c_2, \ldots, c_q}$着色.令$Q_i$是用$c_i$着色的所有边的集合。最近，Frieze定义了由$\mcp(G)$表示的完美匹配颜色轮廓的概念，其是向量$(m_1, m_2, \ldots, m_q) \in [n]^q$的集合，使得对于所有$i$，在$G$中存在与$|Q_i \cap M| = m_i$完美匹配的$M$。设$\a_1, \a_2, \ldots, \a_q$为正常数，使得$\sum_{i=1}^q \a_i = 1$。设$G$是随机二部图$G_{n,n,p}$。假设$G$的边以概率$α_i$用颜色$c_i$独立着色。我们确定事件$\mcp(G) = \set{(m_1, \ldots, m_q) \in [0,n]^q : m_1 + \cdots + m_q = n}$的阈值，回答Frieze提出的一个问题。我们进一步扩展我们的方法，找到一个随机着色的随机图$G_{n,p}$的同一事件的阈值。
2020-12-04 math.CO
Least resolved trees for two-colored best match graphs
2-着色最佳匹配图（2-BMG）形成了出现在系统发育组合学中的无汇双传递图的子类。在那里，2-BMG描述了一对物种之间进化上最密切相关的基因。它们是由一个独特的最小分辨树（LRT）。引入支持点的概念，我们推导出一个$O(|V|+|E|\log^2|V|)$的时间算法来识别2-BMG和构造其LRT。该方法可以扩展到识别具有相同复杂度的二进制可解释2-BMG。实证比较强调了新算法的效率。
2021-01-18 cs.CC cs.DM math.CO
Minimal colorings for properly colored subgraphs in complete graphs
令$pr(K_{n}, G)$为在没有$G$的正确着色副本的情况下$K_{n}$的边着色中的最大颜色数。在本文中，我们表明，$pr(K_{n}, G)-ex(n, \mathcal{G'})=o(n^{2}), $其中$\mathcal{G'}=\{G-M: M \text{ is a matching of }G\}$。此外，我们确定了$l\ge 27$和$n\ge 2l^{3}$的$pr(K_{n}, P_{l})$值以及$pr(K_{n}, G)$的精确值，其中$G$分别为$C_{5}, C_{6}$和$K_{4}^{-}$。并给出了$pr(K_{n}, K_{2,3})$的上界和下界.
2019-11-11 math.CO
Bijections between colored compositions, Dyck paths, and polygon partitions
该研究通过识别并装饰合成、Dyck 路径与凸多边形剖分中的构建块，构造了保持部分且支持彩色情形的双射，从而统一刻画三类组合对象。
2024-03-07 math.CO
Monochromatic spanning trees and matchings in ordered complete graphs
本研究细化有序完全图中单色生成树与匹配的存在性，证明禁止一种关系时必有单色生成树，并给出匹配 Ramsey 数的加强猜想及部分证明。
2023-11-12 math.CO
Asymptotic enumeration of perfect matchings in $m$-barrel fullerene graphs
一个连通的平面三次图称为$m$ -桶富勒烯，记为$F(m,k)$，如果它具有以下结构：第一个圈是$m$ -边形。则$m$ -边形以$m$五边形为界。在那之后，我们有额外的k层六边形。在最后一个圆上，$m$ -五边形连接到第二个$m$ -边形。本文用两种不同的方法渐近地计算了$m$ -桶富勒烯图中六角层数较多时的完美匹配数，并证明了结果是相等的。
2017-10-14 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-edge-colored multipartite graphs
我们解决了四个类似的问题：对于每个固定的$s$和大的$n$，我们描述了$n_1,\ldots,n_s$的所有值，使得对于完全$s$ -部图$K_{n_1,\ldots,n_s}$的每个$2$ -边染色，存在单色的（i）具有$2n$顶点的圈$C_{2n}$，（ii）至少具有$2n$顶点的圈$C_{\geq 2n}$，（iii）具有$2n$顶点的路$P_{2n}$，以及（iv）具有$2n+1$顶点的路径$P_{2n+1}$。这意味着Gyárfás，Ruszinkó，Sárkozy和Szemerédi猜想的一个推广，即对于完全$3$ -部图$K_{n,n,n}$的每个$2$ -边染色，都有一条单色路$P_{2n+1}$。一个重要的工具是我们最近的稳定性定理单色连接匹配。
2019-05-12 math.CO
Complexity of Modification Problems for Reciprocal Best Match Graphs
互惠最佳匹配图（RBMG）是顶点着色图，其顶点表示基因，颜色表示基因所在的物种。边缘识别与底层进化树关系最密切的基因对。在实际应用中，该树是未知的，并且通过量化序列相似性来推断RBMG的边缘。由于数据中的噪声，这些经验确定的图表通常违反了“生物学可行”的RBMG的条件。因此，它是计算生物学的实际利益，以纠正初始估计。这里我们考虑删除（最多删除$k$边）和编辑（最多添加或删除$k$边）问题。我们证明了从顶点着色图中获得RBMG的删除和编辑问题的决策版本是NP-困难的。使用已知的结果，所谓的双集群编辑，我们表明，RBMG编辑问题的$2$着色图是固定参数易处理的。一个有限的类RBMG出现在上下文中的正交检测。这些是具有特定类型的顶点着色的上图，称为分层着色。我们表明，修改顶点着色图（无论是通过边删除或编辑）到RBMG与cograph结构，或等价地，到一个层次着色cograph的决策问题是NP-完全的。
2019-07-20 cs.CC cs.DS math.CO
Alternating Reachability
我们考虑一个有色边的图。当连续的边具有不同的颜色时，轨迹（顶点可以重复，但边不能重复）称为\emph{alternating}。给定一组称为\emph{terminals}的顶点，\emph{alternating reachability}问题是找到连接不同终端的交替轨迹（如果存在）。具有两种颜色的特殊情况是搜索关于给定匹配的增广路径。在另一种具有红色和蓝色两种颜色的特殊情况下，\emph{alternating cone}被定义为向边分配非负权重的集合，使得在每个顶点处，红色总权重等于蓝色总权重;在配套论文中，我们展示了如何在交替圆锥中的给定框内搜索积分权向量可以简化为2-有色图中的交替可达性问题。我们定义了一个障碍，称为\emph{Tutte set}，存在一个交替的线索连接不同的终端在有色图，并给出了一个多项式时间算法，推广了埃德蒙兹的开花算法，找到一个交替的线索连接不同的终端或Tutte集。我们使用Tutte集证明了一个边着色的无桥图，其中每个顶点至少有两个不同颜色的入射边，有一个封闭的交替轨迹。一个特殊的情况下，有两种颜色，其中之一形成匹配产生一个组合的结果贾尔斯和西摩。证明了在2-有色图中，闭交错迹的特征向量生成的锥是交错锥与底层图中圈的特征向量生成的锥的交.
2005-11-29 math.CO
2-reachable subsets in two-colored graphs
该研究针对English等人关于2边着色鸡尾酒会图顶点覆盖的猜想，证明了将直径2子集替换为2-可达子集的放宽形式成立，得出n顶点2色鸡尾酒会图必含大小至少为n/2的单色2-可达子集且该界最优的结论。
2025-06-13 math.CO
Elegantly colored paths and cycles in edge colored random graphs
我们首先考虑以下问题。我们给出了一个固定的完美匹配的$M$ $[n]$，我们添加随机边一次一个，直到有一个汉密尔顿圈包含$M$。我们证明了该事件的首中时与随机边诱导的图中第一次没有孤立点时的击中时相同。然后我们将这个结果用于下面的问题。我们生成随机边缘并随机将其着色为黑色或白色。如果颜色沿路径交替变化，则称路径/圈为\emph{zebraic}.我们证明了zero-Hamilton圈的首中时与每个顶点至少与每种颜色的一条边相遇的时间是一致的.然后，我们考虑一些相关的问题，并扩展到多种颜色。我们还简要地考虑了定向版本。
2017-05-25 math.CO math.PR
Quasi-Best Match Graphs
准最佳匹配图是一类遗传的有向、正确点有色图。它们在数学遗传学中自然出现，作为最佳匹配图的推广，它形式化了多个物种（顶点颜色）中基因（顶点）进化最紧密相关的概念。它们可以用叶子对应于顶点的有根树来解释。与BMG相反，qBMG仅代表在有限的系统发育距离处的最佳匹配。我们提供的qBMG的特征，产生多项式时间识别算法，并确定的BMG的qBMG是颜色的下沉免费。此外，双色qBMG被表征为满足三个简单局部条件的有向图，其中两个先前已经出现，即Das等人意义上的双传递性。（2021）和外邻域的层次结构，即，对于任意两个顶点$x$和$y$，计算$N(x)\cap N(y)\in\{N(x),N(y),\emptyset\}$。进一步的结果特征的qBMG，可以解释的二元系统发育树。
2023-01-22 math.CO q-bio.PE
The List Edge-Coloring Conjecture for New Infinite Families
New Uzbekistan University（新乌兹别克斯坦大学）
本文证明了两类全新无限族完全图的列表边着色猜想，通过互补模方法控制1-因子分解的Pfaffian符号，建立行列式-Pfaffian桥梁并发展带符号Burnside-Fourier方法，同时揭示了该方法在高层论证中的赋值障碍。
2026-09-17 math.CO
An NP-hardness result for the colored constrained maximum 2-edge-colorable subgraph problem in bipartite graphs
本文研究最大$k$-边可着色子图问题，证明了在顶点带有颜色约束的版本中，即使在最大度为三的二分图中该问题也是NP困难的。
2025-10-14 cs.DM math.CO
Short rainbow cycles in edge-colored graphs
本文扩展了Guo关于Aharoni彩虹圈猜想的研究，证明了当边着色图中超过半数的颜色类为大小为2的匹配或三角形时，必然存在长度为 $O(\log n)$ 的短彩虹圈，并验证了该对数界的数量级正确性。
2023-11-21 math.CO math.PR
Monochromatic balanced components, matchings, and paths in multicolored complete bipartite graphs
众所周知，在完全二部图$K_{n,n}$的边的每一个$r$ -染色中，都存在一个至少有${2n\over r}$顶点的单色连通分支.这将是有趣的，知道我们是否可以额外要求，这个大的组件是平衡的，也就是说，它是真的，在每一个$r$着色的$K_{n,n}$有一个单色组件，满足双方在至少$n/r$顶点？四十多年前，Gyárfás和Lehel以及Faudree和Schelp分别证明了任何$2$着色的$K_{n,n}$都包含一个单色的$P_n$。最近，Bucić，Letzter和Sudakov证明了每个$3$着色的$K_{n,n}$包含一个大小为$\lceil n/3 \rceil$的单色连通匹配（一个边在同一连通分量中的匹配）。因此，对于$1\leq r\leq 3$，答案是肯定的。我们提供了一个简短的证明（一个非对称版本）的原始问题$1\leq r\leq 3$，也就是说，每一个$r$着色的$K_{m,n}$有一个单色组件，满足每一侧的$1/r$比例的部分大小。然后，有点令人惊讶的是，我们表明，这个问题的答案是“不”的所有$r\ge 4$。例如，存在$K_{n,n}$的$4$ -着色，其中最大的平衡单色分量在两个分类中都具有$n/5$顶点（而不是$n/4$）。我们的结构是基于$P_4$的$r$ -色二分Ramsey数的下界，表示为$f(r)$，这是最小的整数$\ell$，使得在每个$r$…
2019-10-09 math.CO
Multi-colored dimer models in one-dimension: lattice paths and generalized Rogers--Ramanujan identities
We define and study multi-colored dimer models on a segment and on a circle. The multivariate generating functions for the dimer models satisfy the recurrence relations similar to the one for Fibonacci numbers . We give closed formulae for the generating functions. We show that, in the large size limit with specializations of the formal variables, the generating functions exhibit the summations appearing in generalized Rogers--Ramanujan identities. Further, the generating functions of the dimer models have infinite product formulae for general values of formal variables in the large size limit…
2021-11-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Approximating maximum-size properly colored forests
该研究提出最大规模正常着色森林与树两类优化问题，针对不同图类和颜色数给出多项式时间近似算法及不可近似性结果，证明正常着色树近似难度更高，为边着色图优化问题提供了新的算法思路。
2024-02-01 cs.DM cs.DS math.CO
On a colored Turán problem of Diwan and Mubayi
假设$R$（red）和$B$（blue）是在同一个顶点集上的两个图，其大小为$n$，而$H$是其边具有红-蓝着色的图。如果$R\cup B$不包含$H$的副本，$R$和$B$可以有多大？调用最大的整数$\mathrm{mex}(n, H)$。这个问题是由Diwan和Mubayi提出的，他们猜测（除了少数特定例外）当$H$是$k+1$顶点上的完全图时，其边可以任意着色$\mathrm{mex}(n,H)=\mathrm{ex}(n, K_{k+1})$。这个猜想推广了图兰定理。Diwan和Mubayi还要求在这方面的一个类似的Erdens-Stone-Simonovits定理。我们证明了下面的渐近性质的极值阈值的色数$χ(H)$和\textit{reduced maximum matching number} $\mathcal{M}(H)$的$H$。$$\mathrm{mex}(n, H)=\left(1- \frac{1}{2(χ(H)-1)} - Ω\left(\frac{\mathcal{M}(H)}{χ(H)^2}\right)\right)\frac{n^2}{2}.$$ $\mathcal{M}(H)$是$H$的真$χ(H)$ -着色的集合中的最大的颜色类的不相交对的集合，其中每对仅由单个颜色的边缘连接。该结果也证明了超过$2$颜色，并紧到隐含的常数因子。我们还研究$\…
2020-10-06 math.CO
On characterizing the critical graphs for matching Ramsey numbers
给定简单图$H_{1},H_{2},\ldots,H_{c}$，Ramsey数$r(H_{1},H_{2},\ldots,H_{c})$是最小正整数$n$，使得每个边着色的$K_{n}$具有$c$颜色，对于某些$i\in\{1,2,\ldots,c\}$，$H_{1},H_{2},\ldots,H_{c}$包含一个与$H_{i}$同构的颜色子图$i$。$r(H_1,H_2,\ldots,H_c)$的临界图是在$r(H_1,H_2,\ldots,H_c)-1$顶点上具有$c$颜色的边着色完全图，并且对于任何$i\in \{1,2,\ldots,c\}$，该图不包含与$H_{i}$同构的颜色$i$中的子图。对于$n_1\geq n_2\geq \ldots\geq n_c\geq 1$，Cockayne和Lorimer（条纹的Ramsey数，{ \it J.\澳大利亚。数学。Soc.} \textbf{19}（1975），第252- 256页。）显示了$r(n_{1}K_{2},n_{2}K_{2},\ldots,n_{c}K_{2})=n_{1}+1+ \sum\limits_{i=1}^c(n_{i}-1)$，其中$n_{i}K_{2}$是尺寸$n_{i}$的匹配。利用Gallai-Edmonds定理，刻画了$r(n_{1}K_{2},n_{2}K_{2},\ldots,n_{c}…
2020-10-21 cs.DM math.CO
Color-line and Proper Color-line Graphs
受边有色图中彩虹匹配研究的启发，我们引入了色线图的概念，它以一种自然的方式推广了线图的经典概念。设$H$是一个（正确）边有色图. $H$的（适当的）色线图$C\!L(H)$以$H$的边作为顶点，并且如果$H$的两条边在$H$中入射或具有相同的颜色，则它们在$C\!L(H)$中相邻。给出了（真）色线图的Krausz型刻画，指出对任何固定的$k\ge 2$，判别一个图是否是某个图$k$的色线图是NP-完全的.与此相反，我们发现，对于任何固定的$k$，正确的边缘有色图$H$，最多$k$颜色识别的色线图是多项式。此外，我们给出了一个很好的表征适当的$2$ -彩色线图，在这种情况下，产生一个线性时间识别算法。
2019-06-07 cs.DM math.CO
Monochromatic Subgraphs in Randomly Colored Graphons
设$T(H, G_n)$是固定连通图$G_n$的顶点均匀随机着色的单色副本数。当$\{G_n\}_{n \geq 1}$是稠密图的收敛序列时，本文给出了$T(H, G_n)$的极限分布的一个完整刻画.当颜色的数量增长到无穷大时，取决于期望值是否保持有界，$T(H, G_n)$要么收敛到独立泊松变量的有限线性组合，要么收敛到正态分布。另一方面，当颜色的数量固定时，$T(H, G_n)$收敛到独立中心卡方随机变量的（可能无限的）线性组合。这将经典的生日问题推广到网络中的一般单色子图，该问题涉及理解$T(K_s, K_n)$的渐近性，即完全图$K_n$中单色$s$ -团的数量（$s$ -在一组$n$朋友中匹配生日）。
2021-03-02 math.CO math.PR
Reciprocal Best Match Graphs
互惠最佳匹配在计算生物学的许多应用中起着重要的作用，特别是作为许多广泛使用的正形评估工具的基础。然而，人们对它们的数学结构知之甚少。在这里，我们研究的结构互惠最佳匹配图（RBMG）。为了从测量距离的细节中抽象出来，我们在这里将互惠最佳匹配定义为基因树中成对最密切相关的叶子，认为在概念上，这是基于距离或相似性的遗传学在实用上近似的概念。我们首先证明一个图$G$是RBMG当且仅当它的商图w.r.t.\某个薄度关系是RBMG。此外，$G$的所有连通分量都是RBMG是必要且充分的。这一贡献的主要结果是一个完整的表征RBMG与3种颜色/种类，可以在多项式时间内检查。对于3种颜色，有三种不同的树类，它们与解释它们的系统发育树的结构有关。我们推导出一种方法来识别RBMG与任意数量的颜色，它仍然是开放的，但是，是否存在一个多项式时间RBMG识别。此外，我们表明，RBMG，在同一时间是cograph（co-RBMG）可以在多项式时间内识别。Co-RBMG的特点是分层着色的上图，一个特殊的类顶点着色的上图，在这里介绍。解释co-RBMG的（最小解析）树可以在多项式时间内构建。
2019-08-29 math.CO q-bio.PE
Long Alternating Paths Exist
令$P$是一组处于凸位置的$2n$点，使得$n$点被着色为红色，$n$点被着色为蓝色。长度为$\ell$的$P$上的非交叉交替路径是来自$P$的$\ell$点的序列$p_1, \dots, p_\ell$，使得对于$i \neq j$，（i）所有点是成对不同的;（ii）任何两个连续点$p_i$、$p_{i+1}$具有不同的颜色;以及（iii）任何两个段$p_i p_{i+1}$和$p_j p_{j+1}$具有不相交的相对内部。我们证明了存在一个独立于$n$和着色的绝对常数$\varepsilon > 0$，使得$P$总是存在一条长度至少为$(1 + \varepsilon)n$的非交叉交替路径.通过一个稍微强有力的陈述得到了这个结果：在$P$的至少$(1 + \varepsilon)n$点上总是存在一个不相交的双色分离匹配。这是一个正确着色的匹配，其片段成对不相交并被公共线相交。对于这两个版本，这是第一次改进的$n$容易获得的下限的一个附加项线性$n$。最著名的已发表的上界是渐进的顺序$4n/3+o(n)$。
2020-03-30 cs.CG cs.DM math.CO
An optimal XP algorithm for Hamiltonian cycle on graphs of bounded clique-width
本文证明了，给定$n$ -顶点图的一个宽度为cumulus的$k$ -表达式，\textsc{Hamiltonian Cycle}可以在时间$n^{\mathcal{O}(k)}$中求解.这改进了Espaniel等人（WG 2001）在时间上运行的朴素算法$n^{\mathcal{O}(k^2)}$，并且它也与Fomin等人的下限结果相匹配，即除非指数时间假设失败，否则没有算法在时间上运行$n^{o(k)}$（SIAM. J. Computing 2014）。我们提出了一种利用$k$顶点上的二边着色重图的代表集技术。其基本思想是，对于一个二边着色多重图，交替使用不同颜色的边的欧拉迹的存在性可以由两个信息确定：与每个顶点关联的着色边的数量，以及多重图的连通性。通过这个想法，我们避免了朴素算法的瓶颈，该算法将所有可能的多重图存储在具有最多$n$边的$k$顶点上。
2019-06-09 cs.DS math.CO
Best Match Graphs with Binary Trees
最佳匹配图（BMG）是基于图的正射检测的关键中间体，包含大量的基因树信息。我们提供了一个近立方算法来确定BMG是否是二进制解释的，即，它是否可以用一个完全解析的基因树来解释，如果可以的话，构建这样一个树。此外，我们表明，所有这样的二叉树的独特的二进制可解析树（BRT），这在一般情况下是一个很大的改进，也是唯一的最低解决树的BMG的改进。最后，我们证明了将任意顶点着色图编辑为二进制可解释的BMG的问题是NP完全的，并为此任务提供了整数线性规划公式。
2021-03-08 cs.CC cs.DM cs.DS
Complexity of Paired Domination Problems on Circle and $k$-Polygon Graphs
该研究证明圆图最小配对支配集问题是NP完全的，提出$k$-多边形图最小配对支配集求解算法，并改进了该类图最小支配集算法的时间复杂度，还将其扩展至最小全支配集求解。
2025-02-22 cs.CC cs.DS math.CO
