A stabilized Nitsche fictitious domain method for the Stokes problem
Simula Research Laboratory（Simula 研究实验室）；Department of Mathematics, Umeå University（于默奥大学数学系）
针对Stokes问题，提出一种基于低阶元的稳定化Galerkin有限元法的Nitsche虚拟区域方法，通过引入边界附近法向速度和压力梯度的跳跃惩罚项实现inf-sup稳定，并得到最优阶先验误差估计和条件数有界性。
2012-06-09 cs.NA math.NA
The inf-sup condition and error estimates of the Nitsche method for evolutionary diffusion-advection-reaction equations
The University of Tokyo（东京大学）
本文研究了Nitsche方法在进化扩散-对流-反应方程中的稳定性与收敛性，讨论了包含标准有限元方法和等几何分析的通用空间半离散方案，并证明了在适当规范下最优阶误差估计。
2018-03-24 cs.NA math.NA
Hybrid high-order and weak Galerkin methods for the biharmonic problem
我们设计并分析了两个混合高阶（HHO）方法的双调和问题的数值逼近。该方法支持多面体网格，依赖于原始制定的问题，并提供$O(h^{k+1})$ $H^2$ -误差估计时，使用多项式的顺序$k\ge0$近似的网格（间）面的正常导数。这两种HHO方法都依赖于二阶偏微分方程的Leenfeld-Schöberl稳定性。单元未知数是$(k+2)$阶的多项式，可以通过静态凝聚局部消除。在第一种HHO方法中，近似网格（内部）面上解的迹线的面未知数是$(k+1)$阶多项式，该方法在二维中有效，并使用涉及规范混合有限元的原始稳定化，而它们对于第二种HHO方法是$(k+2)$阶多项式，该方法在任意维中有效，并在稳定化中仅使用$L^2$ -正交投影。与弱Galerkin方法从文献中提供了一个比较讨论，突出了密切的联系和本文提出的改进。此外，我们还展示了如何将两种HHO方法与Nitsch边界罚技术相结合，以弱执行边界条件。Nitsche技术的一个独创性是避免了任何必须足够大的罚参数。最后，数值结果表明，所提出的方法的效率，并表明，HHO方法可以普遍优于间断Galerkin方法，甚至可以竞争的$C^0$ -内部惩罚方法在三角形网格。
2022-04-08 cs.NA math.NA
Arbitrary Lagrangian-Eulerian hybridizable discontinuous Galerkin methods for fluid-structure interaction
针对流固耦合问题，提出了一种新的（高阶）杂交间断Galerkin（HDG）格式。在任意拉格朗日-欧拉（ALE）框架下，采用无发散的HDG格式离散不可压Navier-斯托克斯方程。非线性弹性方程离散采用一种新的HDG格式与H（旋度）一致的速度/位移近似。我们进一步使用Nitsche方法（切向分量）和砂浆方法（法向分量）的组合，以加强流体/结构界面上的交界条件。二阶向后差分公式（BDF 2）用于时间离散化。Turek和Hron的经典基准问题的数值结果表明，我们提出的方法具有良好的性能。
2021-03-28 cs.NA math.NA
Duality analysis of interior penalty discontinuous Galerkin methods under minimal regularity and application to the a priori and a posteriori error analysis of Helmholtz problems
本文针对Helmholtz方程的内部罚间断Galerkin离散，利用最小正则性下的Aubin–Nitsche对偶论证，建立并推广了最优先验误差估计与可显式控制误差的后验估计。
2024-01-20 cs.NA math.AP math.NA
Galerkin approximation of linear problems in Banach and Hilbert spaces
本文研究问题的协调Galerkin逼近：求u $\in$ U使得对所有v $\in$ V，a（u，v）= <L，v>，其中U和V是Hilbert或巴拿赫空间，a是连续双线性或半双线性型，L $\in$ V'是给定数据.在U的有限维子空间中求近似解，在V的有限维子空间中取检验函数，给出了Galerkin逼近收敛的形式a的充要条件，它等价于伴随问题的Galerkin逼近收敛.我们还刻画了这样一个事实，即U有一个有限维Schauder分解的性质有关的Galerkin逼近。在希尔伯特空间的情形下，我们证明了任何Galerkin逼近对其收敛的唯一双线性或半双线性型（这个性质称为泛Galerkin性质）是本质强制型.在这种情况下，Aubin-Nitsche定理的推广导致最佳的先验估计的右手边L的正则性，如几个应用程序所示。最后，一节题为“补充”提供了一些后果，我们的结果近似的鞍点问题。
2020-07-10 cs.NA math.NA
A Nitsche cut finite element method for the Oseen problem with general Navier boundary conditions
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Umeå University（于默奥大学）
本文提出一种基于Nitsche方法的通用纳维边界条件弱施加方法，适用于割网格的奥赛问题，解决了滑动系数接近零时的稳定性问题，并给出了速度误差的L2最优估计。
2017-06-19 cs.NA math.NA
BR2 discontinuous Galerkin methods for finite hyperelastic deformations
在这项工作中，我们介绍了一个dG框架的基础上的Bassi-Rebay（BR 2）制定的非线性弹性。该框架包括可压缩和不可压缩的超弹性材料，并能够处理大的变形。为了实现稳定性，我们结合了高阶提升算子的BR 2稳定项的自适应稳定策略，依赖于BR 2拉普拉斯算子稳定和罚参数的基础上的频谱的四阶弹性张量。位移的Dirichlet边界条件可以通过Lagrange乘子和Nitsche方法施加。效率的解决方案的策略是通过国家的最先进的凝聚为基础的$h$ -多重网格预处理器和代码实现支持分布式内存执行现代并行架构。提出了几个基准测试用例，以调查一些相关的计算方面，即性能的$h$ -多重网格迭代求解器的稳定参数和Dirichlet边界条件的影响，牛顿法的全球化战略。
2022-03-14 cs.NA math.NA
High-Order Non-Conforming Discontinuous Galerkin Methods for the Acoustic Conservation Equations
本文比较了两种Nitsch型方法在高阶间断Galerkin（DG）声学守恒方程求解中处理非协调三角剖分问题。第一种方法（点到点插值）使用不精确积分与规定的主要元素的正交点。第二种方法使用精确积分（mortaring），根据非协调元素之间的相交选择求积。在文献中，一些优秀的性能和易于实施的点对点插值的报告。然而，我们表明，这种方法不能安全地用于DG离散的声学守恒方程，因为在我们的设置，它会产生虚假的振荡，导致不稳定。这项工作提出了一个测试案例，我们可以观察到的不稳定性，并表明，需要精确的整合，以保持一个稳定的方法。此外，我们提供了一个详细的分析方法与精确积分。我们显示最佳的空间收敛速度全球和在每个网格区域分别。该方法被构造成使得它可以原生地处理元素之间的重叠。最后，我们强调了声学计算中的非协调离散化的好处，通过不同流体的数值测试案例。
2022-10-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A weakly compressible hybridizable discontinuous Galerkin formulation for fluid-structure interaction problems
本文提出了一种求解弱可压缩流场的流固耦合问题的方法。本文提出了一种新的杂交间断Galerkin（HDG）方法来离散流体方程，而结构问题则采用标准的连续Galerkin（CG）方法。选择HDG求解器结合了鲁棒性的不连续Galerkin（DG）方法在对流主导的流与高阶精度和高效的实现。两个耦合策略进行检查，在这方面的贡献，即分区狄利克雷-诺依曼计划的混合HDG-CG离散化和单片方法的基础上Nitsche的方法，利用定义的数值通量和跟踪的解决方案施加耦合条件。数值实验表明，HDG和CG原始和混合变量的最佳收敛性和超收敛的后处理流体速度。的鲁棒性和效率的弱可压缩的制定，在一个完全不可压缩的相比，也突出了选择的二维和三维FSI基准问题。
2020-09-09 cs.CE cs.NA math.NA
Reduced Basis, Embedded Methods and Parametrized Levelset Geometry
在这一章中，我们将研究几何参数化热交换系统，泊松和流动的基础上斯托克斯，定常和非定常不可压缩的Navier-Stokes和Cahn-Hilliard问题的降阶技术。在嵌入和/或浸入几何框架中采用的全阶有限元法是移位边界（SBM）和切割单元（CutFEM）方法，其应用主要集中在流体中。我们首先介绍Nitsche的方法，SBM/CutFEM和参数化的物理问题，以及高保真近似。我们继续与全阶参数化Nitsche转移边界变分弱制定，降阶建模思想的基础上适当的正交分解Galerkin方法和几何参数化，引用的主要区别和优势，相对于用于经典有限元法的参考域方法，而稳定性问题可能会克服采用极大化富集方法。数值实验验证了效率的介绍''你好，世界''的问题，考虑在几种情况下的一，二，三，四维几何参数化的降阶结果。我们调查执行时间，我们说明运输方法和改进。与未拟合方法和降阶建模相关的重要参考文献列表为[11，8，9，10，7，6，12]。
2023-01-29 cs.NA math.NA
A third Strang lemma and an Aubin-Nitsche trick for schemes in fully discrete formulation
Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck, Univ. Montpellier, CNRS（蒙彼利埃亚历山大·格罗滕迪克研究所，蒙彼利埃大学，法国国家科学研究中心）；School of Mathematical Sciences, Monash University（莫纳什大学数学科学学院）
本文提出了一种抽象误差分析框架，用于弱表述中线性偏微分方程（PDE）问题的近似。考虑 fully discrete 表述中的近似方法，其中离散和连续空间可能不嵌入到共同空间中。设计了合适的相容性概念，并在经典的 inf-sup 条件下，证明其能界住近似误差。该误差估计结果在斯特兰格第一和第二引理的精神下，但适用于这些引理无法覆盖的情况（因为是 fully discrete 近似空间）。还建立了在更弱范数下的改进估计，使用 Aubin-Nitsche 技巧。然后将这些抽象估计应用于各向异性的异质扩散模型和两种经典的此类方案：虚拟元方法和有限体积方法。对于每种方法，证明抽象结果能产生新的误差估计，具有精确且温和的局部各向异性比依赖性。虚拟元方法的键中间步骤是证明斜椭圆投影在加权 Sobolev 半范数下的最优近似性质。这是个结果，其兴趣超出了本文所考虑的具体模型和方法。我们还获得了有限体积方法的首次清晰相容性概念，这导致一个通用的误差估计，涉及通量并适用于广泛的有限体积方案。一个重要应用是首次针对多点通量近似 L 和 G 方法的误差估计。在附录中，未包含在本工作发表版本中，我们展示了使用抽象框架可以以简化的方式获得不连续 Galerkin 方法的经典估计。
2018-11-13 cs.NA math.NA
Recovering the uniform boundary observability with spectral Legendre-Galerkin formulations of the 1-D wave equation
Laboratoire J.A. Dieudonné, Université Côte d’Azur（J.A.迪厄多内实验室，蔚蓝海岸大学）；GIREF, Département de mathématiques et de statistique, Université Laval（GIREF，数学与统计系，拉瓦尔大学）
本文提出三种替代方法，通过谱滤波、混合形式和Nitsche方法恢复一维波动方程的均匀边界可观察性，但无法提供统一的直接不等式。
2016-12-01 cs.NA math.NA math.OC
Minimum residual discretization of a semilinear elliptic problem
Universidad de Los Lagos（洛斯阿戈斯大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）；Technische Universität Wien（维也纳工业大学）
本文提出利用最小二乘惩罚扩展不连续Petrov-Galerkin方法以处理半线性椭圆问题，通过将非线性项转化为独立未知数，并引入最小二乘约束，证明了近似误差估计。
2026-10-30 cs.NA math.NA
Robust and Optimal Mixed Methods for a Fourth-Order Elliptic Singular Perturbation Problem
本文针对四阶椭圆奇异摄动问题，基于二阶和一阶系统提出不依赖Nitsche技术的鲁棒最优混合方法，给出误差估计，建立与弱Galerkin等方法的联系，并通过数值实验验证理论。
2025-09-17 cs.NA math.NA
An arbitrary order Reconstructed Discontinuous Approximation to Biharmonic Interface Problem
针对非拟合网格上的双调和界面问题，提出一种基于分片重构的任意阶间断Galerkin有限元方法，证明了最优误差估计并通过数值实验验证了理论结果。
2023-05-05 cs.NA math.NA
An Unfitted Interface Penalty DG--FE Method for Elliptic Interface Problems
本文提出UIPDG-FEM混合方法，结合IPDG与标准有限元求解椭圆界面问题，实现最优收敛且条件数独立于界面位置，并通过数值实验验证有效性。
2025-05-26 cs.NA math.NA
Space-Time CutFEM on Overlapping Meshes: Simple Discontinuous Mesh Evolution
本文提出了一种求解热传导方程的切割有限元法，它是在两个重叠的网格上进行的：一个静止的背景网格和一个在其内部/"上面"演化的重叠网格，这里重叠网格被定义为一个简单的不连续演化，这意味着它的位置、大小和形状作为时间的函数是不连续的和分段常数的.对于离散的函数空间，我们在空间上使用连续的Galerkin，在时间上使用不连续的Galerkin，在两个网格之间的边界上增加一个不连续。有限元公式是基于Nitsche的方法。简单的不连续网格演变的结果，在空间和时间之间的slabwise产品结构，允许现有的分析方法，仅需进行微小的修改，在空间-时间离散化。我们遵循Eriksson和Johnson在[1，2]中提出的分析方法。最大的修改是引入了一个Ritzlike "移位算子"，用于获得误差分析所需的离散强稳定性。移位算子将原来的分析推广到某些方法，对于这些方法，在一个时间的离散子空间不位于随后的时间的刚度形式的空间中。误差分析包括一个先验的误差估计，这是最佳的顺序相对于时间步长和网格步长。我们还提出了一个问题，在一个空间维度，验证分析误差收敛顺序的数值结果。
2023-03-01 cs.NA math.NA
Optimal finite element error estimates and Newton convergence for a quasilinear elliptic problem with mixed boundary conditions
University of Bucharest（布加勒斯特大学）；“Gheorghe Mihoc – Caius Iacob” Institute of Mathematical Statistics and Applied Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院格奥尔基·米霍克-凯乌斯·雅各布数学统计与应用数学研究所）
研究具有混合边界条件的拟线性椭圆热传导问题，用牛顿法求解伽辽金离散化产生的非线性代数系统，结合混合边界椭圆正则性与对偶论证，证明离散解满足最优收敛速率，数值实验证实收敛速率及准则可行性。
2026-07-13 cs.NA math.NA
Discrete Gradient Flow Approximations of High Dimensional Evolution Partial Differential Equations via Deep Neural Networks
我们考虑的初/边值问题的近似，可能涉及高维，耗散演化偏微分方程（PDE）使用深度神经网络框架。更具体地说，我们首先提出了离散梯度流近似的基础上非标准的Dirichlet能量的问题，涉及有界空间域上的本质边界条件。边界条件的施加是通过非标准泛函弱实现的;后者经典地出现在Galerkin型数值方法的构造中，并且通常被称为“Nitsch型”方法。此外，约旦，Kinderleher，和奥托（JKO）\cite{jko}的开创性工作的启发，我们认为第二类离散梯度流的特殊类耗散发展PDE问题的非本质边界条件。这些JKO型梯度流通过深度神经网络近似求解。所提出的方法的一个关键、独特的方面是，离散化是通过一系列对应于隐式时间步进的残差型深度神经网络（DNN）来构建的。因此，DNN表示每个时间节点处的PDE问题解决方案。这种方法在每个DNN的训练中提供了几个优点。我们提出了一系列的数值实验，展示了较低的空间维度的Dirichlet型能量近似的良好性能和较高的空间维度的JKO型能量的优异性能。
2022-06-01 cs.NA math.NA
Preconditioned Reconstructed Discontinuous Approximation For Elliptic Interface Problem on Unfitted Mesh
Peking University（北京大学）；Hangzhou International Innovation Institute of Beihang University（北京航空航天大学杭州创新研究院）；Sichuan University（四川大学）；Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）
针对椭圆界面问题，提出一种基于重构间断逼近的预处理非拟合有限元方法，通过引入约束修改局部最小二乘问题建立范数等价性，并利用分片常数空间构造最优预处理器，数值实验验证了最优收敛性和鲁棒性。
2026-07-02 cs.NA math.NA
