一个第三斯特兰格引理和一个 Aubin-Nitsche 技巧用于 fully discrete 表述中的 schemes
A third Strang lemma and an Aubin-Nitsche trick for schemes in fully discrete formulation
AI总结：
本文提出了一种抽象误差分析框架，用于弱表述中线性偏微分方程（PDE）问题的近似。考虑 fully discrete 表述中的近似方法，其中离散和连续空间可能不嵌入到共同空间中。设计了合适的相容性概念，并在经典的 inf-sup 条件下，证明其能界住近似误差。该误差估计结果在斯特兰格第一和第二引理的精神下，但适用于这些引理无法覆盖的情况（因为是 fully discrete 近似空间）。还建立了在更弱范数下的改进估计，使用 Aubin-Nitsche 技巧。然后将这些抽象估计应用于各向异性的异质扩散模型和两种经典的此类方案：虚拟元方法和有限体积方法。对于每种方法，证明抽象结果能产生新的误差估计，具有精确且温和的局部各向异性比依赖性。虚拟元方法的键中间步骤是证明斜椭圆投影在加权 Sobolev 半范数下的最优近似性质。这是个结果，其兴趣超出了本文所考虑的具体模型和方法。我们还获得了有限体积方法的首次清晰相容性概念，这导致一个通用的误差估计，涉及通量并适用于广泛的有限体积方案。一个重要应用是首次针对多点通量近似 L 和 G 方法的误差估计。在附录中，未包含在本工作发表版本中，我们展示了使用抽象框架可以以简化的方式获得不连续 Galerkin 方法的经典估计。
摘要：
在本文中，我们提出了一种抽象误差分析框架，用于弱表述中线性偏微分方程（PDE）问题的近似。我们考虑 fully discrete 表述中的近似方法，其中离散和连续空间可能不嵌入到共同空间中。设计了适当的相容性概念，并在经典的 inf-sup 条件下，证明其能界住近似误差。该误差估计结果在斯特兰格第一和第二引理的精神下，但适用于这些引理无法覆盖的情况（因为是 fully discrete 近似空间）。还建立了在更弱范数下的改进估计，使用 Aubin--Nitsche 技巧。然后将这些抽象估计应用于各向异性的异质扩散模型和两种经典的此类方案：虚拟元方法和有限体积方法。对于每种方法，证明抽象结果能产生新的误差估计，具有精确且温和的局部各向异性比依赖性。虚拟元方法的键中间步骤是证明斜椭圆投影在加权 Sobolev 半范数下的最优近似性质。这是个结果，其兴趣超出了本文所考虑的具体模型和方法。我们还获得了有限体积方法的首次清晰相容性概念，这导致一个通用的误差估计，涉及通量并适用于广泛的有限体积方案。一个重要应用是首次针对多点通量近似 L 和 G 方法的误差估计。在附录中，未包含在本工作发表版本中，我们展示了使用抽象框架可以以简化的方式获得不连续 Galerkin 方法的经典估计。
英文摘要：
In this work, we present an abstract error analysis framework for the approximation of linear partial differential equation (PDE) problems in weak formulation. We consider approximation methods in fully discrete formulation, where the discrete and continuous spaces are possibly not embedded in a common space. A proper notion of consistency is designed, and, under a classical inf-sup condition, it is shown to bound the approximation error. This error estimate result is in the spirit of Strang's first and second lemmas, but applicable in situations not covered by these lemmas (because of a fully discrete approximation space). An improved estimate is also established in a weaker norm, using the Aubin--Nitsche trick. We then apply these abstract estimates to an anisotropic heterogeneous diffusion model and two classical families of schemes for this model: Virtual Element and Finite Volume methods. For each of these methods, we show that the abstract results yield new error estimates with a precise and mild dependency on the local anisotropy ratio. A key intermediate step to derive such estimates for Virtual Element Methods is proving optimal approximation properties of the oblique elliptic projector in weighted Sobolev seminorms. This is a result whose interest goes beyond the specific model and methods considered here. We also obtain, to our knowledge, the first clear notion of consistency for Finite Volume methods, which leads to a generic error estimate involving the fluxes and valid for a wide range of Finite Volume schemes. An important application is the first error estimate for Multi-Point Flux Approximation L and G methods. In the appendix, not included in the published version of this work, we show that classical estimates for discontinuous Galerkin methods can be obtained with simplified arguments using the abstract framework.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
