Generalizations of $k$-Weisfeiler-Leman stabilization
图上的Weisfeiler-Leman等价族是图同构的一个广泛研究的近似，具有许多不同的特征。我们研究这些，以及其他近似定义的细化运营商和Schurian多项式逼近计划（SPAS）的同构。SPAS的一般框架使我们能够研究一些参数的细化运营商的基础上Weisfeiler-Leman细化，逻辑计数，电梯Weisfeiler-Leman定义的Evdokimov和Ponomarenko，可逆映射测试介绍Dawar和Holm，以及这些变化，并建立它们之间的关系。
2020-06-03 cs.DM math.CO
On the Weisfeiler-Leman dimension of circulant graphs
本文研究循环图的Weisfeiler-Leman维数，证明了阶为n的循环图该维数不超过Ω(n)+3，其中Ω(n)为n的素因子个数。
2024-09-29 math.CO
A large family of strongly regular graphs with small Weisfeiler-Leman dimension
本文证明Fon-Der-Flaass构造的强正则图族在无穷多个顶点数下包含超多项式多个同参数图，且其同构均可由4维Weisfeiler-Leman算法验证。
2023-12-01 math.CO
Identifiability of Graphs with Small Color Classes by the Weisfeiler-Leman Algorithm
众所周知，色重数不超过3的顶点着色图的同构问题可以用经典的二维Weisfeiler-Leman算法（2-WL）来解决。另一方面，著名的Cai-Fürer-Immerman构造表明，即使是多维版本的算法也不足以处理色重数为4的图。我们给出了一个有效的决策过程，给定一个图$G$的颜色重4，识别是否$G$是可识别的2-WL，即，是否2-WL区分$G$从任何非同构图。事实上，我们解决了更普遍的问题，即识别最大纤维尺寸为4的给定相干构型是否是可分离的。这将我们的识别算法扩展到具有定向和着色边缘的颜色多重性4的图。我们的决策过程是基于显式描述的类图的颜色多重性4是不可识别的2-WL。颜色重数为4的Cai-Fürer-Immerman图在这里明显地作为一个自然子类出现，这表明Cai-Fürer-Immerman结构不是特别的。我们的分类也揭示了其他类型的图是很难为2-WL。其中之一是由入射几何中称为$(n_3)$ -构型的图案引起的。
2020-03-17 cs.CC math.CO
A Linear Upper Bound on the Weisfeiler-Leman Dimension of Graphs of Bounded Genus
图的Weisfeiler-Leman（WL）维数是图的固有描述复杂性的度量。虽然最初是从一个称为Weisfeiler-Leman算法的组合图同构测试中推导出来的，但WL维也可以用描述图同构所需的变量数量来表征，这些变量在一阶逻辑中具有计数量词。已知对于排除某个固定图作为子图的所有图，WL维数是上界的（Grohe，JACM 2012）。然而，从这个一般结果中可以推导出的界限是天文数字。直到最近，才证明平面图的WL维数最多为3（Kiefer，Ponomarenko和Schweitzer，LICS 2017）。本文证明了可嵌入Euler亏格$g$曲面的图的WL维数至多为$4g+3$ .对于可嵌入到欧拉亏格$g$的可定向曲面中的图的WL维数，我们的方法给出了$2g+3$的一个上界.
2019-04-15 cs.CC cs.DM cs.LO
Logarithmic Weisfeiler--Leman and Treewidth
本文证明了 $(3k+4)$ 维 Weisfeiler--Leman 算法能在 $O(\log n)$ 轮内识别树宽为 $k$ 的图，改进了先前维度要求，并基于与逻辑 $\textsf{FO} + \textsf{C}$ 的等价性提升了该类图的描述复杂性。
2024-04-24 cs.CC cs.DS cs.LO
The Weisfeiler-Leman algorithm and the diameter of Schreier graphs
我们证明了Weisfeiler-Leman算法对来自Schreier图的配置所采取的迭代次数与图本身的直径密切相关：对于一般Schreier图，找到了一个上界，对于特殊情况，例如具有$G=\mbox{SL}_{n}({\mathbb F}_{q})$的Schreier图，找到了一个下界（$q>2$）作用于${\mathbb F}_{q}^{n}$中向量的$k$ -元组;此外，在Cayley图的情况下，找到了一个精确的表达式.
2018-09-05 math.CO math.GR
Weisfeiler-Leman on graphs of small twin-width
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；Hasselt University（哈瑟尔特大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本文证明双宽1的图可由3维Weisfeiler-Leman算法解决同构问题，而双宽4的图则无法用固定维度的算法解决，同时证明双宽2的稳定图具有有界秩宽。
2026-01-09 cs.DM cs.DS math.CO
Walk refinement, walk logic, and the iteration number of the Weisfeiler-Leman algorithm
我们表明，2维Weisfeiler-Leman算法稳定n顶点图后，最多O（n log n）迭代。这意味着，如果这样的图是可区分的3-变量一阶逻辑计数，那么他们也可以区分在这个逻辑的量词深度公式最多O（n log n）。为此，我们利用一个新的细化计数行走的基础上，并认为它的迭代次数不同于经典的Weisfeiler-Leman细化最多的对数因子。然后，我们证明匹配的线性上界和下界的行走细化的迭代次数。这是通过利用半单矩阵代数的性质来实现的代数方法。我们还定义了一个行走逻辑和一个双射行走卵石游戏，它们精确地对应于新的行走细化。
2019-05-09 cs.DM cs.LO math.CO
Logarithmic Weisfeiler-Leman Identifies All Planar Graphs
Weisfeiler-Leman（WL）算法是一种著名的用于检测图的对称性的组合方法，它被广泛地用于图同构测试。它通过迭代地细化顶点元组的着色来进行。获得最终输出所需的迭代次数对于算法的并行性至关重要。我们证明了存在一个常数k，使得每个平面图都可以通过k维WL算法在对数迭代次数内识别（即，与每个非同构图区分开）。这推广了Verbitsky（STACS 2007）的一个结果，他证明了3-连通平面图的相同结果。k维WL算法识别图所需的迭代次数对应于在具有计数量词的一阶逻辑的（k+1）变量片段C^{k+1}中定义图的句子的量词深度。因此，我们的结果意味着每个平面图都可以用对数量词深度的C^{k+1}-语句来定义。
2021-06-30 cs.CC cs.DM cs.LO
Algebraic Combinatorics in Mathematical Chemistry. Methods and Algorithms. II. Program Implementation of the Weisfeiler-Leman Algorithm
Weisfeiler和Leman的稳定化算法将任何n阶方阵A作为输入，并返回包含A的最小细胞（相干）代数W（A）。在A=A（G）是图G的邻接矩阵的情况下，该算法检查G中所有具有三个顶点的配置，并根据这些信息将顶点和顶点的序偶划分为等价类。由此产生的结构允许将每个图G关联到矩阵代数W（G）：= W（A（G））$，其是图G的不变量。对于许多图类，特别是对于大多数分子图，代数W（G）与自同构群aut（G）的中心化子代数一致。在这种情况下，由稳定算法返回的划分等于划分成aut（G）的轨道。本文给出了Weisfeiler-Leman算法的代数和组合描述，并给出了该算法的一个有效的计算机实现。通过测试程序上的相当数量的例子的图形，特别是一些化学分子图，所获得的结果也包括在内。
2010-02-09 math.CO math.GR
On the Weisfeiler-Leman dimension of some polyhedral graphs
本文研究多面体图的Weisfeiler-Leman维数，证明当二维WL着色的颜色类等于自同构群在顶点对集合上按分量作用的轨道时，该多面体图的WL维数至多为2。
2023-05-26 math.CO
A Dense Weisfeiler-Leman Algorithm for Deciding Bounded-Cliquewidth Homomorphism Indistinguishability
IT University Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；University of Regensburg（雷根斯堡大学）；TU Dresden（德累斯顿工业大学）
本文提出稠密Weisfeiler-Leman算法，首次判定有界团宽稠密图类上的同态不可区分性，还证明CMSO₁定义的有界团宽图类的同态不可区分性可在随机指数时间内判定，有界线性团宽图类的该问题为PSPACE完全。
2026-08-14 cs.CC cs.LO math.CO
The Power of the Weisfeiler-Leman Algorithm to Decompose Graphs
Weisfeiler-Leman过程是一种广泛使用的图同构测试技术，它通过迭代计算顶点元组的同构不变着色来工作。同时，结构图理论中的一个基本工具是分解成2-连通分量和3-连通分量，它经常被用于解决图同构问题。我们证明了2维Weisfeiler-Leman算法隐式地计算了图的3-连通分量的分解。这意味着区分两个给定的非同构图所需的算法的维度最多是区分图的非同构3连通分量所需的维度（假设维度至少为2）。为了获得我们的分解结果，我们证明，对于k >= 2，k维算法区分k-分隔符，即，将图与其他顶点k元组分开的顶点的k元组。作为一个副产品，我们还获得了洞察力的关联方案的组成图的连通性。在结果的一个应用中，我们给出了树宽不超过k的图类的Weisfeiler-Leman维数的k的新的上界。使用蔡，Fürer和Immerman的结构，我们还提供了一个新的下界，该下界渐近紧到2倍。
2021-09-22 cs.DM cs.LO math.CO
On the Weisfeiler algorithm of depth-$1$ stabilization
本文证明深度$1$稳定的简化算法与$3$维Weisfeiler-Leman算法能力相当，并应用于射影平面关联图的维数下界。
2023-11-16 math.CO
The Weisfeiler-Leman Dimension of Planar Graphs is at most 3
证明了有限平面图类的Weisfeiler-Leman（WL）维数不超过3。特别地，每个有限平面图在一阶逻辑中是可定义的，计数使用至多4个变量。以前最为人所知的变量的维数和数量的上限分别是14和15。首先，我们表明，对于3维和更高的，WL算法正确地测试同构的图在一个小的封闭类，每当它确定的轨道的自同构群的任何弧色3连通图属于这个类。然后，我们证明，除了几个例外的图（其中有WL-维最多2），个性化的两个正确选择的顶点着色3-连通平面图其次是1维WL-算法产生离散顶点划分。这意味着3维WL-算法确定了着色3连通平面图的轨道。作为证明的副产品，我们得到了固定数为3的3-连通平面图的一个分类。
2017-08-24 cs.DM cs.LO math.CO
Weisfeiler-Leman Is Incomplete on Simple Spectrum Graphs, so Canonicalize Them
IT University of Copenhagen（哥本哈根IT大学）
本文证明 Weisfeiler-Leman 测试无法区分所有非同构的简单谱图，并提出 PRiSM 方法，通过规范化解实现对这些图的完全表达性。
2026-05-22 cs.LG math.CO
Lovász Meets Weisfeiler and Leman
在本文中，我们将Lovász的一个美丽的理论与图同构问题的一个流行的启发式算法相关联，即颜色细化算法及其k维推广，称为Weisfeiler-Leman算法。本文证明了两个图G和H是不可区分的当且仅当对于所有的树T，从T到G的同态数Hom（T，G）等于H的同态数Hom（T，H）。存在一个自然的线性方程组，其非负整数解对应于两个图之间的同构。这个系统的非负实解称为分数同构，并且两个图是分数同构的当且仅当颜色细化算法不能区分它们（Tinhofer 1986，1991）。我们表明，如果我们下降的非负性约束，也就是说，如果我们寻找任意的真正的解决方案，那么一个解决方案的线性系统存在的当且仅当，对于所有的t，两个图有相同的长度-t行走的数量。我们提升树的结果，从树宽k，k维Weisfeiler-Leman算法，和我们的线性规划的水平k Sherali-Adams松弛图的同态数之间的等价。我们也得到了部分结果的图形有界路径宽度和解决方案，我们的系统，我们下降的非负性约束。我们的结果的一个后果是一个拟线性时间算法，以确定是否，对于两个给定的图G和H，有一棵树T与Hom（T，G）= Hom（T，H）。
2018-05-22 cs.DS math.CO
A Study of Weisfeiler-Leman Colorings on Planar Graphs
Weisfeiler-Leman（WL）算法是一种计算图的着色的组合过程，通常可以用来检测它们的（非）同构。特别是1维和2维版本1-WL和2-WL由于它们与计算机科学的其他领域的众多联系而受到了广泛关注。知道算法的某个维度的表达能力通常相当于理解计算的着色。维数的增加导致更精细的计算着色，因此，可以区分更多的图。例如，在平面图类上，3-WL解决了同构问题。然而，2-WL在类上的表达能力还很难理解（特别是，它甚至可能决定同构）。本文研究了平面图的2-WL染色问题。为此，我们分析了图中的边颜色类诱导的图。基于所得到的分类，我们证明了对于每个3-连通平面图，它认为：a）在用其2-WL颜色对所有对进行着色后，该图相对于1-WL具有固定数1，或者b）存在可用于将该图转换为更小的图的2-WL可定义匹配，或c）2-WL检测连通子图，该连通子图本质上是柏拉图或阿基米德立体、棱柱、圈或二分图K_{2,\ell}的图。特别地，来自情况（a）的图由2-WL标识。
2022-06-21 cs.DM math.CO
Weisfeiler-Leman Indistinguishability of Graphons
本研究将Grebík和Rocha关于颜色细化算法在graphon上的推广结果扩展到$k$维Weisfeiler-Leman算法，给出其同态密度、线性方程组刻画，发现graphon下1-WL与颜色细化不等价并提出恢复等价的变体。
2023-12-19 math.CO math.FA
On a family of divisible design digraphs
针对奇素数幂 $q$，构造了海森堡群上两两不同构的正规弧传递可除设计 Cayley 有向图，并证明其 Weisfeiler-Leman 维数为 3。
2024-11-08 math.CO
Canonizing Graphs of Bounded Rank-Width in Parallel via Weisfeiler--Leman
本文证明了计算有界秩宽图的规范标号属于 $\textsf{TC}^{2}$，通过扩展 Weisfeiler--Leman 算法并利用对数高度的秩分解，首次将有界秩宽图的同构测试纳入 $\textsf{NC}$ 复杂度类。
2024-04-24 cs.CC cs.DS cs.LO
Weisfeiler--Leman and Graph Spectra
该研究探究图同谱性与k维Weisfeiler-Leman不可区分性的关联，证明单顶点个体化加1-WL涵盖标准图矩阵同谱性、解决相关开放问题，还构建图矩阵层级给出k-WL不可区分性的谱刻画，拓展了同态不可区分性的代数框架。
2023-06-19 cs.DM cs.DS math.CO
Decomposition Profiles and Weisfeiler-Leman Dimension for Graphs of Bounded Rank Width
College of Engineering and Technology（工程学院与技术学院）；American University of the Middle East（中东美国大学）
该研究通过$\text{F}_2$上的秩分解关联图结构与WL算法维数，得出有界秩宽图等的WL区分维数，且上界经CFI构造验证在常数因子内是紧的。
2026-10-09 cs.DM cs.LO math.CO
An Upper Bound on the Weisfeiler-Leman Dimension
本文证明任意n顶点图的Weisfeiler-Leman维数至多0.15n+o(n)，通过相干配置的结构分析、纤维恢复条件、递归度降与树宽界限等技术，给出了图同构测试难度的新上界。
2025-10-27 cs.DM cs.LO math.CO
Bounding the Weisfeiler-Leman Dimension via a Depth Analysis of I/R-Trees
本研究引入 WL 深度概念，通过分析 I/R 树分支深度，证明计数逻辑下 n/4+o(n) 个变量足以定义任意 n 顶点图，并给出基于顶点覆盖数的新界限。
2024-02-05 cs.DM cs.LO math.CO
On a Hierarchy of Spectral Invariants for Graphs
本文提出图的谱不变量层级，通过游走计数给出纯组合刻画，完整回答了Fürer关于其区分能力与2维Weisfeiler-Leman算法比较的问题，并证明几乎所有图可由谱和角度确定到同构。
2025-05-05 cs.CC math.CO
On the WL-dimension of circulant graphs of prime power order
图X的WL-维数是使得m维Weisfeiler-Leman算法正确地测试X与任何其它图之间的同构的最小正整数m。证明了素数幂阶循环图的WL-维数不超过3，并且这个界不能被降低。证明是基于相干组态理论和循环群上的Cayley格式。
2022-06-30 math.CO
Recent Advances on the Graph Isomorphism Problem
本文综述了图同构问题的最新研究进展。我们的主要重点将是Babai的准多项式时间同构测试和随后的发展，导致同构算法的设计与准多项式参数化的运行时间从$n^{\text{polylog}(k)}$，其中$k$是一个图形参数，如最大程度。第二个重点将是组合Weisfeiler-Leman算法。
2021-01-14 cs.DM cs.DS math.CO
Testing isomorphism of circular-arc graphs in polynomial time
一个图被称为圆弧，如果顶点可以与一个圆的弧相关联，使得两个顶点相邻，当且仅当相应的弧重叠。证明了圆弧图的同构性在两个顶点个体化后可以用Weisfeiler-Leman算法进行检验。
2019-07-12 cs.DS math.CO
Dvorak-Dell-Grohe-Rattan theorem via an asymptotic argument
本文用对WL标签排序和渐近论证的方法，为Weisfeiler-Leman测试区分图与树同态计数差异之间的等价性定理提供了一个新的简单证明。
2025-07-19 cs.DM cs.DS math.CO
The Iteration Number of Colour Refinement
颜色细化过程及其推广到更高的维度，Weisfeiler-Leman算法，是中央子程序的方法图同构问题。以迭代的方式，颜色细化计算其输入图的顶点的着色。n阶图色精化迭代次数的平凡上界为n-1。我们证明这个界是紧的。更准确地说，我们证明了通过明确的建设，有无穷多个图G上的颜色细化需要|G| -1迭代稳定。修改我们提出的无限家庭，我们表明，对于每个自然数n >= 10，有图的n个顶点上的颜色细化需要至少n-2次迭代，以达到稳定。
2020-05-20 cs.CC cs.DM cs.LO
Local WL Invariance and Hidden Shades of Regularity
$k$维Weisfeiler-Leman算法是图同构测试的有力工具。对于输入图$G$，该算法确定$s$的规范着色-对于1和$k$之间的每个$s$的$G$的顶点元组。我们说$s$-元组的数值参数是$k$-WL-不变的，如果它是由元组颜色确定的。作为Dvotelák关于同态数的$k$-WL-不变性的结果的应用，我们发现了强正则图及相关图族的一些非明显的正则性.例如，如果$G$是强正则图，则$G$中顶点$x$和$y$之间长度为6的路径的数量仅取决于$x$和$y$是否相邻（并且长度6在这里是最优的）。或者，通过$G$中的顶点$x$的长度为7的循环的数量对于每个$x$都是相同的（其中长度7也是最佳的）。
2020-05-19 cs.CC cs.LO math.CO
Upper Bounds on the Quantifier Depth for Graph Differentiation in First-Order Logic
该论文证明二维 Weisfeiler-Leman 算法在 n 顶点图上稳定所需迭代次数为 O(n^2/log(n))，改进了平凡上界，并由此导出 C3 与 L3 逻辑中量词深度的对应上界。
2019-05-26 cs.CC cs.LO math.CO
Isomorphism Testing Parameterized by Genus and Beyond
本研究提出一种针对欧拉亏格$g$图的fpt同构测试算法，首次给出$g$的显式时间上界，还适用于排除$K_{3,h}$子式的图，通过引入$(t,k)$-WL有界图结合群论与Weisfeiler-Leman算法实现。
2023-10-02 cs.DM cs.DS math.CO
Canonisation and Definability for Graphs of Bounded Rank Width
本文证明维度为(3k+4)的Weisfeiler-Leman算法可完全判定秩宽至多为k的图同构，将运行时间从非初等改进为n^{O(k)}，并首次给出有界秩宽图的多项式时间规范化算法，同时证明带计数的定点逻辑在有界秩宽图类上刻画多项式时间。
2022-07-16 cs.DS cs.LO math.CO
A Classification of Long-Refinement Graphs for Colour Refinement
本研究完整分类了低度（最大度≤4）的长细化图，证明已知无限族是仅有的最大度≤3的例外，并证明不存在仅在最后迭代才被区分的图。
2025-10-23 cs.CC cs.DM cs.LO
All polyhedral graphs with at most 16 vertices are Schurian: a computational verification
该研究通过计算验证了所有至多16个顶点的多面体图（3-连通平面图）均为Schurian，涉及4130亿余个图，结合plantri生成器与1-WL过滤及2-WL比较，为Weisfeiler-Leman维数猜想提供实例证据。
2026-10-06 math.CO
