Simple Topological Drawings of $k$-Planar Graphs
每个有限图都有一个\emph{simple (topological) drawing}，即每对边至多相交于一点的图。然而，结合其他限制，简单的图纸并不普遍存在。例如，\emph{$k$-planar graphs}是可以被绘制成使得每条边最多具有$k$交叉（即，它们承认\emph{$k$-plane drawing}）。对于$k\le 3$，每个$k$ -平面图都有一个$k$-平面简单图.但对于$k\ge 4$，存在不允许$k$-平面简单图的$k$-平面图.对Schaefer提出的一个问题，我们证明了存在一个函数$f : \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$，使得对所有的$k\in\mathbb{N}$，每个$k$ -平面图都有一个$f(k)$ -平面简单图.注意，函数$f$仅依赖于$k$，并且与图的大小无关。此外，我们还提出了一个算法，证明了每个$4$ -平面图都有一个$8$ -平面简单图.
2020-08-25 cs.CG cs.DM math.CO
Using SAT to study plane Hamiltonian substructures in simple drawings
本文开发SAT框架研究完全图简单画法，基于计算数据提出并证明平面哈密顿子图（含2n-3条边）猜想对凸画法成立，并引出新猜想。
2023-05-16 cs.CG cs.DM math.CO
On the Maximum Number of Crossings in Star-Simple Drawings of $K_n$ with No Empty Lens
图的星型简单图是相邻边不相交的图。相反，对两个独立边之间的交叉数没有限制。当允许空透镜时（由2-循环界定的两条边引起的排列中的面），两条独立的边可以在星形简单图中任意多次交叉。我们考虑没有空透镜的$K_n$的星型简单图。在这种情况下，我们证明了上界的$3((n-4)!)$的最大数目的交叉之间的任何一对边缘。因此，交叉的总数是有限的，并且上界为$n!$。
2020-08-25 cs.CG cs.DM math.CO
Extending simple monotone drawings
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
该研究扩展了简单单调绘制，证明了Levi扩展引理的变种，并指出扩展圆柱形单调伪段排列的决策问题为NP难。
2025-10-01 cs.CG math.CO
Estimating the number of disjoint edges in simple topological graphs via cylindrical drawings
在底面为水平的圆柱上画的拓扑图是\emph{angularly monotone}，如果每条垂直线与每条边至多相交一次。设$c(n)$表示使得完全图在$n$顶点上的每个简单角单调图至少包含$c$两两不相交边的最大数$c$.我们证明了对于每个简单完全拓扑图$G$，存在$Δ$，$0<Δ<n$，使得$G$至少包含$\max \{\frac nΔ, c(Δ)\}$两不相交的边.将我们的结果与Tóth的一个结果相结合，得到了Suk所证明的关于简单完全拓扑图中最大成对不相交边数的$Ω(n^\frac 13)$的最佳下界的另一个证明.我们的证明是基于Ruiz-Vargas的一个结果。
2013-07-16 cs.CG math.CO
The unavoidable drawings of complete multipartite graphs
本研究将Negami关于完全二部图不可避免画法的结果推广到完全多部图，刻画了其不可避免画法的特征。
2025-09-24 math.CO
Note on Min-k-Planar Drawings of Graphs
本文研究图的 min-k-平面绘制中一般绘制与简单绘制的差异，证明存在具有 min-2-平面绘制或避免相邻边交叉的 min-3-平面绘制的图，但对任意大的固定 k 均不存在简单 min-k-平面绘制。
2024-09-30 cs.DM math.CO
Disjoint faces in simple drawings of the complete graph and topological Heilbronn problems
给定一个完全简单拓扑图$G$，由$G$生成的$k$ -面是由$G$中的非自相交$k$ -圈的边围成的开有界区域.有趣的是，有一些完全简单拓扑图具有这样的性质，即它生成的每个奇面都包含原点。本文证明了每一个完全$n$ -顶点简单拓扑图至少生成$Ω(n^{1/3})$两两不相交的4-面.作为直接推论，在单位正方形中画出的$n$顶点上的每个完全简单拓扑图生成面积至多为$O(n^{-1/3})$的4-面。最后，我们研究了海尔布隆三角形问题的一个变形$\mathbb Z_2$。
2022-12-02 cs.CG math.CO
Investigating Simple Drawings of $K_n$ using SAT
本文提出一个基于 SAT 的框架，将完全图简单画法的数学问题建模为布尔公式并用现代求解器求解，借此验证和推进了多个关于不可避免结构的开放猜想并得出新计算结果。
2025-04-03 cs.CG cs.DM math.CO
Characterizing and Recognizing Twistedness
本文研究简单画法中广义扭曲性的组合刻画与识别，证明 $K_n$ 的广义扭曲性可由所有五顶点子旋转系统判定，并给出 $O(n^5)$ 和 $O(n^2)$ 时间的高效识别算法。
2025-08-22 cs.CG math.CO
Edge densities of drawings of graphs with one forbidden cell
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文研究了无特定单元格类型的图绘制的边密度，提供了不同绘制风格、图类型和单元格类型的边密度上界和下界，并改进了简单图的边密度下界。
2026-03-09 cs.DM math.CO
Separable Drawings: Extendability and Crossing-Free Hamiltonian Cycles
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
引入可分离绘图概念，证明每个可分离绘图可扩展为完全图K_n的简单绘图，且K_n的可分离绘图包含无交叉哈密顿环并是平面哈密顿连通的。
2026-06-18 cs.CG cs.DM math.CO
Topological Drawings meet Classical Theorems from Convex Geometry
本文研究凸几何经典定理在拓扑绘图中的应用，提出了纯组合性质的 Kirchberger 定理推广，引入广义 signotopes 结构，并展示了具有任意大 Helly 数的拓扑绘图及 Carathéodory 定理的新证明。
2024-07-27 cs.CG cs.DM math.CO
Plane Hamiltonian Cycles in Convex Drawings
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
本文证明了在凸绘图中，每个简单绘图的完全图K_n都存在平面哈密顿环，并展示了哈密顿连通性和泛环性等性质。
2026-03-15 cs.CG cs.DM math.CO
Substitution drawing rules on the Fibonacci word
本文结合代数与几何方法探索Fibonacci替换及Fibonacci词，提出一维和二维绘制规则，证明并计算了二维规则导出的分形变体的Hausdorff维数。
2023-04-02 math.CO
Topological Drawings of Complete Bipartite Graphs
拓扑图是平面图的自然表示，其中顶点由点表示，边由连接点的曲线表示。完全图和完全二部图的拓扑图在交叉数问题中得到了广泛的研究。我们考虑一类自然的完全二部图的简单拓扑图，其中我们要求顶点集的二分性的一边位于图的外边界上。我们调查的组合，这样的图纸。为了这个目的，我们定义组合编码的图纸通过列举不同的图纸同构于$K_{2,2}$和$K_{3,2}$的子图，并调查他们必须满足的约束。我们证明了当且仅当编码满足一些简单的局部条件时，存在$K_{k,n}$的绘图。这直接产生了一个多项式时间算法，用于判定给定编码的这种绘图的存在。我们的编码是等效的，以指定对边缘交叉，产生一个类似的多项式时间算法的抽象拓扑图的可实现性。我们还完全刻画和列举这样的图纸$K_{k,n}$在每个顶点周围的边缘的顺序是相同的顶点上的同一侧的bipartition。最后，我们调查图纸的$K_{k,n}$使用直线和伪线，并考虑相应的可实现性问题的复杂性。
2017-02-09 cs.CG cs.DM math.CO
Extending drawings of complete graphs into arrangements of pseudocircles
受几何学在证明$K_n$的“伪线性”图的Harary-Hill猜想中的成功应用的启发，我们引入了图的“伪球面”图。图$G$的球面图是单位球面$\mathbb{S}^2$中的图，其中$G$的顶点表示为点-在大圆上没有三个-并且$G$的边是连接顶点对的$\mathbb{S}^2$中最短的弧。这样的绘图有三个性质：（1）每条边$e$都包含在一条简单的闭合曲线$γ_e$中，使得$γ_e$中仅有的顶点是$e$的端点;（2）如果$e\ne f$，则$γ_e\capγ_f$恰好有两个交叉点;（3）如果$e\ne f$，则$e$与$γ_f$相交至多一次，或者在$e$的交叉点或者在$e$的端点。我们使用性质（1）-（3）来定义$G$的伪球面图。我们的主要结果是，对于完全图，性质（1）-（3）等价于相同的三个性质，只是把（2）中的“恰好两个交叉点”替换为“至多两个交叉点”。证明需要一个结果的几何横向理论安排的pseudocircles。这是证明使用的令人惊讶的结果，没有特殊的弧（连贯的螺旋）在安排简单的封闭曲线的特点，任何两个曲线的安排有最多两个交叉点的事实。我们的研究提供了必要的想法，展示了一个图纸的$K_{10}$，没有扩展到一个安排的pseudocircles和图纸的$K_9$，并扩展到一个安排的pseudocircles，但没有这样的扩展有所有对pseudocircles交叉两次。
2021-04-19 cs.CG math.CO
Arrangements of Pseudocircles: Triangles and Drawings
伪圆是球面或平面上的简单闭合曲线。伪圆排列的研究是由Grünbaum发起的，他将伪圆定义为两两相交的简单闭合曲线的集合。Grünbaum证明了$n$两两相交伪圆的无对角排列中三角形单元$p_3$的数目至少为$2n-4$。我们提出的例子来反驳这个猜想。通过一个$12$伪圆和$16$三角形的例子的递归构造，我们得到了一个具有$p_3(\mathcal{A})/n \to 16/11 = 1.\overline{45}$的族。我们期望对于无穷多个简单排列，下界$p_3(\mathcal{A}) \geq 4n/3$是紧的。然而，$n$成对相交圆的所有无对角布置至少具有$2n-4$三角形可能是真的。对于两两相交的安排，我们有一个下界的$p_3 \geq 2n/3$，并推测，$p_3 \geq n-1$。关于伪圆两两相交排列中三角形的最大数目，我们证明了$p_3 \le 2n^2/3 +O(n)$。这基本上是最好的可能，因为存在$n$伪圆与$p_3/n^2 \to 2/3$的成对交叉排列的族。该文件包含许多图纸的安排，伪圆和一个很好的分数，这些图纸是自动产生的组合数据产生的生成算法。在最后一节中，我们描述了绘图算法的一些方面。
2020-01-17 cs.CG math.CO
Empty triangles in good drawings of the complete graph
一个好的简单图是在球面上的图，或者等价地，在平面上的图，其中顶点被画成不同的点，边被画成连接它们的端点的乔丹弧，并且任何一对边最多相交一次。在任何一幅好的图中，三个两两相连的顶点的边构成一条约当曲线，我们称之为三角形。我们说一个三角形是空的，如果它诱导的两个连通分支之一不包含图的任何其余顶点。我们证明了具有$n$顶点的完全图$K_n$的任意好图中空三角形的个数至少为$n$。
2013-06-21 cs.CG cs.DM math.CO
Two-Planar Graphs Are Quasiplanar
证明了2-平面图都是拟平面图，即如果一个简单图在平面中允许一个图使得每条边至多相交两次，那么它也允许一个图使得没有三条边两两相交.我们进一步证明，准平面性是见证了一个简单的拓扑图，也就是说，任何两个边缘交叉最多一次，相邻的边缘不交叉。
2019-09-04 cs.CG cs.DM math.CO
Algorithmic methods of finite discrete structures. Topological graph drawing (part II)
本文研究非平面图拓扑绘制中平面部分的提取问题，提出基于顶点旋转、Mac Lane 平面性准则及线性代数与结构数代数的多项式复杂度计算方法，将平面图识别转化为离散优化问题。
2024-07-31 cs.DM math.CO
Implementation of Sprouts: a graph drawing game
Sprouts是一款由John Conway和Michael Paterson于1967年发明的双人纸牌游戏。在游戏中，玩家根据简单的规则轮流将点按曲线连接起来，直到一个玩家无法移动。Sprouts的游戏非常受欢迎，看起来很简单，所以它可能会让人惊讶，基本上没有可用的AI Sprouts玩家。这种缺乏计算机对手的情况是由于游戏隐藏了令人惊讶的高组合复杂性，并且实现它涉及迷人的编程挑战。我们克服了所有的实现障碍，并在游戏存在50多年后，创建了第一个具有强大人工智能的用户友好的Sprouts应用程序。特别是，我们结合结果从理论的nimbers与新的方法的基础上德洛内三角剖分和交叉保持力导向算法开发一个AI萌芽球员发挥完美的游戏上多达11点。
2021-10-03 cs.DM math.CO
Schnyder decompositions for regular plane graphs and application to drawing
Schnyder森林是将简单三角剖分分解为三个边不相交的生成树，它们以特定的方式相互交叉。在这篇文章中，我们定义了一个推广的Schnyder木材$d$ -角（平面图与度$d$的面）为所有$d\geq 3$。\emph{Schnyder decomposition}是一组以特定方式彼此交叉的$d$生成林，并且使得每个内部边缘恰好是生成林的$d-2$的一部分。我们表明，Schnyder分解存在当且仅当周长的$d$角是$d$。与Schnyder woods（$d=3$）的情况一样，在取向（当使用$d\geq 5$时为“分数”取向）和角标记方面也有替代的公式。此外，在固定的$d$ -围长$d$的角上的Schnyder分解的集合是分配格。我们还表明，Schnyder分解（$d$ -经常平面图的mincut $d$植根于顶点$v^*$）的结构对偶分解成$d$生成树植根于$v^*$，使每个边不事件$v^*$是在相反的方向使用的两棵树。此外，甚至值的$d$，我们表明，一个子类的Schnyder分解，这是所谓的甚至，享受额外的属性，产生一个减少制定;在d=4的情况下，这些对应于简单的四边形结构（2-方向和分区成2个生成树）研究。在d=4的情况下，偶Schnyder分解的对偶产生（平面）正交和直线绘制算法。对于一个4-正则平面图$G$，其顶点为$n$，加上一个标记顶点$v$，$G\backslash …
2011-01-30 cs.DM cs.DS math.CO
Unified Hanani-Tutte theorem
我们引入了强Hanani-Tutte定理和弱Hanani-Tutte定理的一个共同推广：如果一个图$G$在平面上有一个图$D$，其中每对独立边相交偶数次，那么$G$有一个平面图保持其入射边在$D$中均匀相交的每个顶点的旋转.该定理隐含在Pelsmajer、Schaefer和Štefankovi的强Hanani-Tutte定理的证明中。我们给出了一个新的，稍微简单一些的证明。
2017-07-17 cs.DM math.CO
Improved enumeration of simple topological graphs
简单拓扑图T =（V（T），E（T））是平面上的一个图，其中每两条边最多有一个公共点（端点或交叉点），并且没有三条边通过一个交叉点。拓扑图G和H是同构的，如果H可以通过球面的同胚从G得到，并且弱同构的，如果G和H具有相同的交叉边对集合。我们推广了Pach和Toth的结果和作者以前的结果计数不同图纸的一个图下的同构的概念。证明了对任意n点m边无孤立点的图G，实现G的简单拓扑图的弱同构类数至多为2^O（n^2 log（m/n）），当m < n^{3/2}时至多为2^O（mn^{1/2} log n）.由此得到了n个伪线段的交图个数的一个新的上界2^O（n^{3/2} log n）.利用Cibulka和作者最近证明的VC维数有界的置换集的大小的上界，将n阶简单完全拓扑图的弱同构类个数的上界改进为2^{n^2 alpha（n）^O（1）}.我们证明了简单拓扑图实现G的同构类的个数至多为2^{m^2+O（mn）}，对于m >（6+ n）n的图，至少为2^Omega（m^2）.
2022-12-10 cs.DM math.CO
