Computer assisted proofs for transverse heteroclinics by the parameterization method
本研究构建泛函分析框架，结合流形傅里叶-泰勒近似与切比雪夫级数边值问题解法，实现常微分方程横截异宿轨道的严格计算机辅助证明，并在两类经典系统中给出算例。
2024-05-21 cs.NA math-ph math.DS
Growth Rates of Solutions of Superlinear Ordinary Differential Equations
在这封信中，我们得到了一个非自治强迫项的非线性常微分方程解的增长率的精确估计。该方程在状态变量中是超线性的，因此解表现出快速增长和有限时间爆破。这里考虑的类型的常微分方程的重要性源于它们在理解涉及延迟和随机性的更复杂系统的渐近行为中所起的关键作用。
2017-02-21 math.CA math.DS
Center Manifold Theorem and Stability for Integral Equations with Infinite Delay
本文用动力系统方法研究了具有无穷时滞的自治积分方程。中心流形的存在性、局部指数吸引性以及其它性质都是通过在前一篇论文\cite{mur}中得到的相空间中的常数变分公式来建立的.此外，我们证明了一个稳定性的减少原则，通过该原则的稳定性的自治积分方程是隐含的常微分方程，我们称之为“中心方程”。
2012-12-04 math.DS math.FA
Analyticity of Bounded Solutions of Analytic State-Dependent Delay Differential Equations
研究了解析状态依赖时滞微分方程系统有界解的解析性。通过将状态依赖时滞方程组转化为数列空间$l^{\infty}(\mathbb{R}^{N+1})$的一个子空间中的抽象常微分方程，得到了解的解析性，并证明了有界解的复扩张的存在性.最后给出了一个例子来说明一般结果。
2017-08-27 math.DS
Hopf bifurcation and periodic solutions in a sustainable supply chain defined by a planar system of ordinary differential equations
本研究针对描述可持续供应链产品-资源相互作用的平面无时滞常微分方程组，分析其平衡点稳定性，揭示环境容量超阈值时的超临界Hopf分岔现象，推导临界阈值并经数值模拟验证，得到周期解的相关估计。
2026-08-07 math.DS
Exponential Stability of Linear Delay Impulsive Differential Equations
对于常微分方程和泛函微分方程，下面的结果是众所周知的。假设任一解在半直线上有界，且每一解在半直线右侧有界。在一定条件下，方程是指数稳定的。对于脉冲为$$ x(τ_i + 0) = B_i x(τ_i - 0) $$的时滞微分方程$$ \dot{x}(t) + \sum_{i=1}^k A_i (t)x[h_i(t)] = f(t), $$，我们证明了在固定时刻$τ_i$的相同结果.证明是基于这里得到的解决方案表示公式。
1993-11-26 funct-an math.DS math.FA
On a class of differential-algebraic equations with infinite delay
研究了一类$T$-周期扰动微分代数方程的$T$-周期解集，其中扰动包含一个分布的且可能无限的时滞.在适当的假设下，扰动方程等价于流形上的滞后泛函（常）微分方程。我们的研究是基于后一类方程的已知结果。
2012-12-06 math.CA math.DS
A periodic solution of period two of a delay differential equation
本文证明了时滞微分方程\[ \frac{d}{dt}x(t)=rx(t)\left(1-\int_{0}^{1}x(t-s)ds\right), \]存在周期为2的周期解（当稳态$x=1$不稳定时）。为了寻找周期解，我们研究了一类可积常微分方程组，遵循Kaplan和Yorke \cite{Kaplan=000026Yorke:1974}的思想.周期解用雅可比椭圆函数表示。
2018-01-28 math.DS
Phase-Amplitude Description of Stochastic Oscillators: A Parameterization Method Approach
该研究将参数化方法拓展至随机振荡器系统，通过变量变换实现均值意义下的简化动力学，证明有效向量场的存在唯一性，并结合多类示例推导相位与振幅变量的关键统计量。
2024-04-13 math.DS
Periodicity in delayed self-regulation is a predator-prey process
本文证明标量单调延迟微分方程的周期轨道可组织为环面，并将其周期解完全归结为底层平面捕食者–猎物系统的两个时间映射。
2025-06-09 math.CA math.DS
Phase and amplitude responses for delay equations using harmonic balance
针对时滞微分方程在外部强迫下的响应问题，本文提出了一种结合Floquet理论、利用谐波平衡法构建相位与振幅响应函数的框架。
2024-04-26 math.DS
Period two solution for a class of distributed delay differential equations
本文研究一类分布时滞微分方程的二周期解存在性，证明该解可由哈密顿系统给出，并基于Kaplan-Yorke方法，以Jacobi椭圆函数实例说明。
2025-02-26 math.DS
Time and State Dependent Neural Delay Differential Equations
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；LISN（巴黎南部基础信息科学实验室）
针对含不连续性和延迟项的系统难以用标准ODE建模且缺乏物理可解释性的问题，提出神经状态依赖DDE（SDDDE）框架，可建模多个状态和时间依赖的延迟，在多种延迟动力学系统上优于其他连续类模型。
2024-09-26 cs.AI math.DS
A sufficient condition to test identifiability of a nonlinear delayed-differential model with constant delays and multi-inputs
本文给出了多输入常时滞非线性时滞微分模型可辨识性的一个充分条件的新结果。研究了线性化后系统的可辨识性，给出了常时滞线性系的可辨识性判据，由此可证明原非线性系统的可辨识性。这个结果是通过结合一个经典的非线性常微分系统的可辨识性结果，由于M. S。Grewal和K. Glover（1976）和Y. Orlov等人（2002年）。本文是L. Denis-Vidal角Jauberthie，G. Joly-Blanchard（2006），处理具有两个时滞和一个输入的非线性时滞微分模型的特定情况。
2010-09-09 math.DS
A practical approach to computing Lyapunov exponents of renewal and delay equations
提出一种实用方法，通过将延迟方程转化为抽象微分方程并约简为常微分方程组，结合离散QR方法计算更新方程及耦合系统的Lyapunov指数，实验验证有效并提供MATLAB实现。
2023-12-29 cs.NA math.DS math.NA
Global extinction, dissipativity and persistence for a certain class of differential equations with state-dependent delay
在本文中，我们研究，在不同层次的一般性，某些系统的延迟微分方程（DDE）。一个焦点和动机是一个系统与状态依赖延迟（SD-DDE），已制定描述干细胞的成熟。我们将该系统称为单元SD-DDE。在单元SD-DDE中，延迟由阈值条件隐含地定义。后者由外部非线性常微分方程（ODE）的（也是隐式定义的）解满足给定门限值的时间指定，该解由SD-DDE的分量参数化。重点讨论了零平衡点的全局渐近稳定性、持久性和耗散性/最终有界性等动力学性质。
2020-01-31 math.DS
Non-local PDEs with discrete state-dependent delays: well-posedness in a metric space
研究了具有离散（集中）状态依赖时滞的偏微分方程。从一个更广泛的线性空间的初始数据的解决方案的存在性和唯一性被证明，然后连续可微（相对于一个适当的范数）功能的空间的一个子集被用来构建一个动力系统。该子集是[H. -]中为常方程提出的\textit{the solution manifold}的类似物。O.陈晓，张晓，等.时滞微分方程的解流形与$C\sp 1$-光滑性，中国科学院学报，微分方程，{195}（1），（2003）46--65].证明了紧全局吸引子的存在性。
2010-11-10 math.AP math.DS
How Can We Describe Density Evolution Under Delayed Dynamics?
虽然映射和常微分方程中的密度演化理论已经发展得很好，但在具有时滞的连续时间系统中的情况还远远不能令人满意。本文回顾了一些已经完成的工作，数值和有趣的动力学已经出现，并在很大程度上不成功的尝试，已经作出了分析处理密度的演化微分延迟方程。我们还提出了一个新的方法来解决这个问题，并说明它与一个简单的例子。
2021-03-29 math-ph math.DS math.MP
Numerical computation of transverse homoclinic orbits for periodic solutions of delay differential equations
本文提出一种几何计算方法，通过投影边值问题和参数化方法，数值计算延迟微分方程周期解的横向同宿轨道，并在Ikeda和Mackey-Glass系统中验证。
2023-10-16 math.DS
Exponential stability of second order delay differential equations through Floquet theory
Ariel University（阿里埃尔大学）
本文提出了一种新的Floquet理论版本，用于研究二阶延迟微分方程的指数稳定性，并展示了通过调整系数周期和延迟实现指数稳定化的可能性。
2026-01-02 math.DS
Pseudospectral approximation of Hopf bifurcation for delay differential equations
伪谱近似将延迟微分方程（DDE）简化为常微分方程（ODE）。接下来可以使用ODE工具来执行数值分叉分析。通过一个例子，我们表明，这产生了一个有效的和可靠的方法来定性和定量分析某些DDE。为了证实该方法，我们接下来表明，近似常微分方程的结构是让人想起沿着DDE的解决方案的翻译生成器的结构。集中在霍普夫分歧，我们然后利用这种相似性，揭示DDE和ODE分歧系数之间的联系，并证明后者收敛到前者时，尺寸接近无穷大。
2020-10-20 math.DS
Persistence and Smooth Dependence on Parameters of Periodic Orbits in Functional Differential Equations Close to an ODE or an Evolutionary PDE
我们考虑泛函微分方程（FDES），它是光滑常微分方程（ODE）的扰动。FDE可以涉及多个状态相关延迟或分布式延迟（前向或后向）。我们证明了，在一些温和的假设下，如果常微分方程有一个非退化的周期轨道，那么FDE有一个光滑的周期轨道。此外，我们还得到了周期轨道及其频率对参数的光滑依赖性，具有很高的正则性。这一结果也适用于某些演化偏微分方程（PDE）的扰动形式。证明包括在解决函数方程满足的参数化的周期轨道和频率使用不动点的方法。我们不需要考虑演化的光滑性，甚至不需要考虑FDE的相空间。
2021-03-09 math.DS math.FA
Computer-assisted proofs of Hopf bubbles and degenerate Hopf bifurcations
提出了一种计算机辅助的方法来证明普通和时滞微分方程中的Hopf泡和退化Hopf分支的存在性。我们应用该方法严格研究了FitzHugh- Nagumo方程、扩展Lorenz-84模型和时滞SI模型中的非局部分岔结构。
2022-02-27 cs.NA math.DS math.NA
Validated error bounds for pseudospectral approximation of delay differential equations: unstable manifolds
针对延迟微分方程伪谱近似的不稳定流形误差量化问题，提出基于参数化方法的计算机辅助算法，利用伪谱ODE的特殊结构将向量值泰勒系数计算简化为标量序列求解，显著降低了问题复杂度。
2024-05-13 math.DS
Distributed Delay Differential Equation Representations of Cyclic Differential Equations
分室常微分方程（ODE）模型在数学生物学中有着广泛的应用。当车厢之间的运输发生在一个恒定的速度，众所周知的线性链技巧可以用来表明，ODE模型是等效的一个Erlang分布延迟微分方程（DDE）。在这里，我们证明，房室模型与非线性传输率和可能延迟的参数也相当于一个标量分布的延迟微分方程。为了说明这些等价关系的效用，我们计算标量DDE的平衡，并计算特征函数--不计算行列式。我们推导出等效标量DDE的数学生物学模型的两个例子，并使用DDE制定，以确定生理过程，否则隐藏的房室结构的ODE模型。
2020-07-07 math.DS q-bio.QM
Low-Dimensional Galerkin Approximations of Nonlinear Delay Differential Equations
本文重新讨论了非线性时滞微分方程组的常微分方程逼近问题。我们的工作在Hilbert空间赋予了一个自然的内积，包括一个质点，并引入多项式正交相对于这样的内积，生活在域中的线性算子相关的基础DDE。然后，这些多项式被用来设计一个一般的Galerkin计划，我们推导出严格的收敛结果，并表明它可以通过简单的解析公式数值实现。这样得到的计划适用于三个非线性DDE，两个自治和一个强制：（一）一个简单的DDE与分布延迟的解决方案回忆布朗运动;（二）DDE与离散延迟，表现出双峰和混沌动力学;和（三）周期性强迫DDE与两个离散延迟产生的气候动力学。在所有这三种情况下，Galerkin计划介绍了这篇文章提供了一个很好的近似的DDE的奇异吸引子，以及统计特征，其非线性动力学的低维ODE系统。
2015-09-02 math.CA math.DS nlin.CD
Higher-order phase reduction for delay-coupled oscillators beyond the phase-shift approximation
本文提出了一种时滞耦合振荡器网络的高阶相位降阶方法，通过将时滞微分方程重写为耦合输运方程并逐阶求解，发现高阶近似下时间延迟具有非平凡依赖性，并利用二阶降阶证明了两个Stuart-Landau振荡器同步中存在双稳态区域。
2025-10-31 math.DS nlin.AO nlin.CD
Efficiently and easily integrating differential equations with JiTCODE, JiTCDDE, and JiTCSDE
我们提出了一个家庭的Python模块的数值积分的普通，延迟，或随机微分方程。其主要特点是，用户输入的导数符号，它是即时编译，允许用户有效地集成微分方程从一个更高层次的解释语言。所提出的模块特别适合于大型微分方程系统，例如用于描述复杂网络上的动态。通过所选择的输入方法，所提出的模块还允许几乎完全自动化的过程中估计定期以及横向李雅普诺夫指数的常微分方程和延迟微分方程。我们从概念上讨论了模块的设计，分析了它们的性能，并通过应用程序来展示它们的能力。
2018-03-22 cs.MS math.DS physics.comp-ph
Data-driven Discovery of Delay Differential Equations with Discrete Delays
本研究扩展了SINDy框架，通过增广库和贝叶斯优化识别具有离散时滞的微分方程，显著减少了计算调用次数并支持多变量多时滞参数识别。
2024-12-18 cs.NA math.DS math.NA
Blowing-up Nonautonomous Vector Fields: Infinite Delay Equations and Invariant Manifolds
证明了具有零李雅普诺夫谱平衡解的渐近自治平面微分方程的非自治不变流形的存在性。这些不变流形对应于我们用blow-up方法得到的去奇异化方程的稳定流形和非稳定流形。更确切地说，将Blow-up方法推广到非自治情形，将有限维常微分方程转化为具有无穷时滞但具有双曲结构的无穷维时滞方程.在延迟方程的不变流形的技术构造中，我们必须仔细研究在爆破空间中用于去奇异化的时间重参数化的效果，以保证足够的正则性。这使得我们可以使用一个李雅普诺夫-佩龙参数，以获得存在的不变流形。我们将最后一步与一个隐函数变元相结合来研究流形的可微性。最后，我们逆空间和时间变量的爆破变换，得到初始考虑的方程的不变流形。
2021-11-05 math.DS
Biomass transfer on autocatalytic reaction network: a delay differential equation formulation
Institute of Molecular Biology, Academia Sinica（中央研究院分子生物学研究所）；National Center for Theoretical Sciences, Physics Division（国家理论科学中心物理组）；Sarafan Chemistry, Engineering, and Medicine for Human Health Institute, Stanford University（斯坦福大学萨弗兰化学、工程与人类健康医学研究所）；Howard Hughes Medical Institute, Stanford University（霍华德·休斯医学研究所）
本文提出了一种通过延迟微分方程描述自催化反应网络中生物质转移过程的方法，用于分析和比较不同拓扑结构的反应网络并估计生长率。
2026-02-04 cond-mat.soft math.DS q-bio.MN
Global Bifurcation of Periodic Solutions in Delay Equations with Symmetric Monotone Feedback
本文研究具有对称单调反馈的时滞方程周期解，利用平面常微分方程的周期映射完整描述其全局分岔结构，证明一阶导数决定局部稳定性，并得出单调性下所有周期解均对称的结论。
2024-09-30 math.DS
Quasi-periodic solutions for differential equations with an elliptic-type degenerate equilibrium point under small perturbations
本文主要研究了具有椭圆型退化平衡点的常微分方程和时滞微分方程（简称常微分方程和时滞微分方程）在拟周期扰动下的拟周期解的存在性.我们证明了在适当的假设下，对于大多数参数值，扰动常微分方程和扰动微分方程在平衡点附近存在拟周期解，然后将这些结果应用于具有零Hopf奇异性的时滞van der Pol振子.
2017-10-03 math.DS
An NPZ Model with State-Dependent Delay due to Size-Structure in Juvenile Zooplankton
对水生生态系统的研究很重要，因为它们构成了水生食物网的底层营养级。我们研究了一个封闭的营养盐-浮游植物-浮游动物（NPZ）模型，该模型包含了幼年浮游动物的大小结构。该系统的封闭性质允许制定一个生物量的守恒律，管理系统。该模型由一个非线性常微分方程和一个偏微分方程组成。我们能够把这个系统转化为一个系统的延迟微分方程的延迟是阈值型和状态依赖。时滞微分方程系统可以进一步转化为具有固定时滞的系统。使用不同形式的模型，我们进行定性分析的解决方案，其中包括研究的存在性和唯一性，正性和有界性，局部和全局稳定性，灭绝的条件。探索的关键参数是系统中的总生物量和幼年浮游动物达到成熟的成熟水平。数值模拟也进行了验证我们的分析结果。
2015-05-27 math.DS
Persistence of Periodic Orbits under State-dependent Delayed Perturbations: Computer-assisted Proofs
给出了一个计算机辅助的证明，证明了常微分方程（ODEs）的状态依赖时滞摄动中周期轨道的存在性。假设未扰动常微分方程有一个孤立的周期轨道，我们引入了一组多项式不等式，其成功的验证导致扰动延迟方程的周期轨道的存在性。我们提出了一个通用的算法，它描述了一种方法来计算多项式的系数和优化其变量，使多项式不等式得到满足。该算法使用有效的数值工具，结合Chebyshev级数展开，得到常微分方程的周期轨道和变分方程的解，并严格计算多项式的系数.我们应用我们的算法来证明的存在性周期轨道的状态依赖延迟扰动的van der Pol方程。
2021-11-11 cs.NA math.DS math.NA
Multiple-scale analysis of the simplest large-delay differential equation
本研究针对大时滞微分方程与空间扩展动力系统的关联问题，通过多尺度分析最简单的线性DDE，证明其与扩散方程的渐近对应，揭示了大时滞极限下首阶映射及久期发散的来源，深化了DDE的理论认知。
2023-08-23 math.DS nlin.PS
Lyapunov-Razumikhin techniques for state-dependent delay differential equations
利用Lyapunov-Razumikhin方法，给出了一般状态依赖时滞微分方程（DDE）定态解的Lyapunov稳定性和渐近稳定性定理.我们的结果适用于多个离散状态依赖时滞的微分方程，这可能是非自治的李雅普诺夫稳定性结果，但自治（或周期性强迫）的渐近稳定性的结果。我们的主要技术是用一个非自治的常微分方程（ODE）代替DDE，其中延迟项成为ODE中的源项。渐近稳定性的结果及其证明是全新的，并基于一个矛盾的论点与Arzela-Ascoli定理。这种方法证明了需要构造辅助函数，以确保渐近收缩，这是一个功能的所有其他Lyapunov-Razumikhin渐近稳定性的结果，我们知道。我们将我们的结果应用到一个状态相关的模型方程，其中包括Hayes方程作为一个特殊情况下，直接建立渐近稳定性的部分稳定域以及下界的吸引区域的大小。
2020-12-11 math.DS
Neural Piecewise-Constant Delay Differential Equations
Microsoft Research Asia（微软亚洲研究院）
近年来，连续深度神经网络（如神经常微分方程（ODE））引起了机器学习和数据科学界的极大兴趣，它在深度神经网络和动力系统之间架起了桥梁。在这篇文章中，我们介绍了一种新的连续深度神经网络，称为神经分段常数延迟微分方程（PCDDE）。在这里，不同于最近提出的神经延迟微分方程（DDE）的框架，我们将单个延迟转换为分段常数延迟。一方面，具有这种变换的神经PCDDE继承了神经DDE的通用逼近能力。另一方面，神经PCDDE利用来自多个先前时间步的信息的贡献，进一步提高建模能力而不增加网络维度。通过这样的推广，我们证明了神经PCDDE在一维分段常数延迟种群动力学和真实世界数据集（包括MNIST，CIFAR10和SVHN）上的表现确实优于现有的几种连续深度神经框架。
2022-01-04 cs.AI cs.LG math.DS
Numerical methods and hypoexponential approximations for gamma distributed delay differential equations
伽玛分布延迟微分方程（DDE）在许多建模应用中自然出现。然而，目前还没有适用于一般伽马分布DDE的适当数值方法。因此，建模者经常采用埃尔朗分布来近似Γ分布，并使用线性链技术来导出常微分方程的等效系统。在这项工作中，我们开发了一个功能连续的龙格-库塔法数值积分的伽玛分布DDE和进行数值试验，以确认的数值方法的准确性。由于功能连续的龙格-库塔法在大多数科学软件包中是不可用的，我们然后得到亚指数近似的伽玛分布DDE。使用我们的数值方法，我们表明，虽然使用常见的Erlang近似可以产生的解决方案，是从根本上不同的伽玛分布DDE，我们的次指数近似没有这个限制。最后，我们实现我们的次指数近似执行统计推断的合成流行病学数据。
2021-04-08 cs.NA math.DS math.NA
Fast generation of stability charts for time-delay systems using continuation of characteristic roots
许多动态过程都含有时滞，因此它们的动力学行为可以用时滞微分方程（DDE）来描述。研究动态系统的稳定性是至关重要的，但分析时滞系统的稳定性是具有挑战性的，因为DDE是无限维的。我们提出了一种新的方法来快速生成稳定性图表的DDE使用连续的特征根（CCR）。在我们的CCR方法中，一个DDE的特征方程的根被写为感兴趣的参数的隐函数，并推导出的连续方程的形式常微分方程（ODEs）。数值延拓，然后确定在参数空间中的所有点的特征根，原来的DDE的稳定性，然后可以很容易地确定。所提出的方法的一个关键的优点是，系统的线性无关常微分方程的解决，而不是解决一个大的本征值问题在域中的每个网格点的典型策略。因此，CCR方法显着减少了确定DDE稳定性所需的计算工作量。正如我们用几个例子证明的那样，CCR方法生成高度精确的稳定性图表，并且比Galerkin近似方法快10倍。
2020-05-18 math.DS nlin.CD
A multigroup approach to delayed prion production
Inria（法国国家信息与自动化研究所）；Université Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学）；CNRS UMR 5208, Institut Camille Jordan（法国国家科学研究中心第5208联合研究实验室，卡米尔·若当研究所）；University of Tlemcen（特莱姆森大学）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本研究将已有朊病毒感染DDE模型通过多组方法推广至神经元网络，推导基本再生数$\u2113_0$并证明其阈值性质，辅以数值模拟验证解析结果。
2023-07-07 math.DS q-bio.PE
On Data-Driven Koopman Representations of Nonlinear Delay Differential Equations
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Miami University（迈阿密大学）
本文提出基于历史离散化和合适重建算子的有限维Koopman近似框架，通过核基扩展动态模式分解(kEDMD)实现Koopman算子的可计算表示，并推导了确定性误差界，支持对时滞系统的可靠预测与控制。
2026-08-13 cs.LG cs.SY eess.SY
An algorithm for distributed time delay identification based on a mixed Erlang kernel approximation and the linear chain trick
提出一种仅依赖 ODE 仿真的 DDE 分布式延迟识别算法，通过混合 Erlang 核近似、LCT 转换和单步打靶最小二乘估计参数，并在 logistic 方程与熔盐反应堆模型中验证。
2024-05-12 cs.SY eess.SY math.DS
