Lifted codes and the multilevel construction for constant dimension codes
Sascha Kurz
常维码例如用于随机线性网络编码中的纠错和检错，使得这些码的构造已经获得了广泛的关注。在这里，我们通过描述子空间距离4的更好的构造来改进150多个下界。
Constant dimension codes are e.g. used for error correction and detection in random linear network coding, so that constructions for these codes have achieved wide attention. Here, we improve over 150 lower bounds by describing better constructions for subspace distance 4.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Multilevel inserting constructions for constant dimension subspace codes
本文提出逆双边多级插入构造，结合双重与双边多级构造，生成更大尺寸的常维子空间码，其下界与上界比值超过0.94548，适用于网络编码。
A lower bound for constant dimension codes from multi-component lifted MRD codes
在这项工作中，我们调查工会解除MRD码的一个固定的尺寸和最小的距离，并推导出一个明确的公式，这种代码的基数。这将意味着常数维码的基数的下限。
Multilevel constructions of constant dimension codes based on one-factorization of complete graphs
本文研究常维码的多级构造方法，通过完全图单因子分解相关的二进制向量变换选择骨架码，并结合准悬挂块和最优Ferrers图秩度量码构造，改进了特定参数下常维码的下界。
New Constant Dimension Codes From the Inserting Mixed Dimension Construction and Multilevel Construction
本文研究常维数码的最大规模下界问题，通过给出子空间可加入混合维数码的充分条件，结合小型CDC、秩距离码及多层构造提出三类新插入构造，改进了已知最优下界。
Generalized bilateral multilevel construction for constant dimension codes from parallel mixed dimension construction
本文针对常维码的最大尺寸问题，提出选择双边标识向量的准则，并利用广义双边多级构造改进并行混合维构造，从而构造出多个优于已知最佳码的新常维码。
New constant-dimension subspace codes from parallel cosets of optimal Ferrers diagram rank-metric codes and multilevel inserting constructions
该研究针对常维子空间码（CDCs）最大码字数量问题，结合最优FDRMCs并行陪集、并行链接与多级插入构造，得到三类大尺寸CDCs，建立了至少65个优于此前已知结果的新下界。
Coding Theory and Projective Spaces
有限域$\F_q$上的$n$阶射影空间是向量空间$\F_q^{n}$的所有子空间的集合。在这项工作中，我们考虑纠错码在投影空间，主要集中在常数维码。我们从射影空间中子空间的不同表示开始。这些表示法涉及矩阵在减少行梯队形式，相关的二进制向量，和费勒斯图。基于这些表示，我们给出了一个计算射影空间中任意两个子空间之间距离的新公式。我们研究了提升最大秩距离（MRD）码，这是近最佳的恒定尺寸的代码。我们证明了一个解除MRD码可以表示在这样一种方式，它形成一个块设计称为横向设计。从提升的MRD码导出的横向设计的关联矩阵可以被视为汉明空间中的线性码的奇偶校验矩阵。我们发现这些代码，也可以被视为LDPC码的属性。我们提出了新的界限和结构的常维码。首先，我们提出了一个多级结构的恒定尺寸的代码，它可以被看作是一个提升的MRD码结构的推广。这种构造是基于一种新型的秩度量码，称为费勒斯图秩度量码。然后，我们推导出上界的大小的恒定尺寸的代码，其中包含解除MRD码，并提供了一个建设两个家庭的代码，达到这些上界。我们推广了著名的概念，删余码的代码在射影空间中，以获得大的代码，这是不恒定的尺寸。我们提出了有效的枚举编码和解码技术的格拉斯曼。最后，我们描述了一个搜索方法的常数维字典。
Codes and Designs Related to Lifted MRD Codes
提升最大秩距离（MRD）码，这是常数尺寸的代码，被认为是。它表明，一个解除MRD码可以表示在这样一种方式，它形成了一个块设计称为横向设计。该设计的略微不同的表示使其类似于横向设计的$q-$类似物。这些设计的结构是用来获得上界的大小的恒定尺寸的代码，其中包含一个解除MRD码。达到这些界限的代码构造。这些代码是给定参数的最大已知代码。这些横截设计也可以用来在Hamming空间中导出一类新的线性码。给出了这类码的最小距离和维数的界。
Hermitian-Lifted Codes
本文基于埃尔米特曲线提出Hermitian-lifted Codes，通过特殊单项式构造高可用、速率常数有界的纠删本地恢复码，利用直线与曲线交点构成恢复集。
Lower Rate Bounds for Hermitian-Lifted Codes for Odd Prime Characteristic
本文将特征 2 域上 Hermitian-lifted 局部可恢复码的码率下界结果推广到任意奇素数特征，证明 q=p^l 时其码率具有依赖于 p 的正常数下界。
Lifted Gabidulin Construction for LDPC Representations of Finite Geometry Codes
针对有限几何码的LDPC表示中稠密矩阵和短环问题，提出基于铅笔选择的稀疏化方法，利用提升Gabidulin码显式构造稀疏校验矩阵，仿真显示无错误平层且优于5G LDPC码。
Lifted multiplicity codes and the disjoint repair group property
提升的里德-所罗门码（Guo，Kopparty，苏丹，2013年）是在本地可纠正和可测试码的背景下引入的。它们是多变量多项式，其对任何行的限制是Reed-Solomon码的码字。我们认为他们的建设，我们称之为解除多重代码的推广。这些是多变量多项式代码，其对任何行的限制是多重性代码的码字（Kopparty，Saraf，Yekhanin 2014）。我们发现，解除多重性代码有一个更好的权衡冗余和称为$t$ -disjoint-repair-group属性比以前已知的构造的局部性的概念。更确切地说，我们表明，解除多重码长度$N$和冗余$O(t^{0.585} \sqrt{N})$的性质，任何符号的码字可以重建在$t$不同的方式，每个使用一个不相交的子集的其他坐标。对于任何超常数$t < \sqrt{N}$，这给出了该问题的最佳已知折衷。我们还给出了一个替代分析解除里德所罗门码使用双重码，这可能是独立的利益。
New LMRD bounds for constant dimension codes and improved constructions
我们推广上界的常维码包含一个提升的最大秩距离码首先由Etzion和Silberstein研究。证明允许构造几个改进的代码。
On the Geometry of Balls in the Grassmannian and List Decoding of Lifted Gabidulin Codes
有限格拉斯曼$\mathcal{G}_{q}(k,n)$被定义为周围空间$\mathbb{F}_{q}^{n}$的所有$k$维子空间的集合。有限格拉斯曼的子集被称为常数维码，最近在随机网络编码中找到了应用。在这种情况下，来自$\mathcal{G}_{q}(k,n)$的码字通过网络信道发送，并且由于在传输期间可能出现差错，所以接收的字可能位于$\mathcal{G}_{q}(k',n)$中，其中$k'\neq k$。本文研究了中心不一定在$\mathcal{G}_{q}(k,n)$中的球在$\mathcal{G}_{q}(k,n)$中的情形。我们描述的球相对于两个不同的度量，即子空间和注入度量。此外，我们使用两种不同的技术来描述这些球，一个是Plücker嵌入的$\mathcal{G}_{q}(k,n)$，第二个是一个合理的参数化的矩阵表示的码字。利用这些结果，我们考虑了一类称为提升Gabidulin码的等维码的列表译码问题。我们描述了一种方法来表示这些代码的线性方程组中的矩阵表示或一个子集的Plücker坐标。这些方程和从格拉斯曼描述给定半径的球而产生的方程的并集描述了距离接收到的字小于或等于给定半径的码字的列表。
A note on the linkage construction for constant dimension codes
在随机线性网络编码中，常维码被用于差错控制，因此构造具有大基数的常维码在过去的十年中得到了广泛的关注。在这里，我们改进了所谓的联动建设。推广了含有提升MRD码的等维码的已知上界。
Construction of Const Dimension Codes from Serval Parallel Lift MRD Code
本文推广了文献[1]中提出的使用两个并行版本的提升MRD码的方法。MRD码的秩分布的Delsarte定理是我们构造MRD码的码字计数的重要部分。我们给出了如下界的一个新的推广构造：若n>=k>=d，则$Aq(n + k,k,d)>=q^{n(k-\frac{d}{2}+1)}+\sum_{r=\frac{d}{2}}^{k-\frac{d}{2}} A_r(Q_q(n,k,\frac{d}{2})).$在此基础上，我们还给出了由几种平行的提升MRD码构造常维子空间码的方法.这种构造有助于Aq（（s+1）k+n，d，k）的一个新的下界.
High rate locally correctable codes via lifting
我们提出了一个一般的框架，用于构建高速率的纠错码，是本地可纠正的（因此，本地解码，如果线性）与次线性数量的查询，提升代码的基础上的坐标上的功能。我们的方法推广了郭，Kopparty和苏丹的仿射不变码的提升和其推广的自守提升，由Ben-Sasson等人提出，它提升了代数几何码相对于一组自同构的代码。我们的概念提升是一个自然的替代度提升的Ben-Sasson等人，它有两个优点。首先，它克服了学位提升所固有的速率障碍。其次，它非常灵活，不需要基本代码的特殊属性（例如线性，不变性），并且在代码坐标上的函数集上需要很少的结构。作为应用，我们利用提升代数几何码构造了新的显式局部可纠错码族。与Kopparty、Saraf、Yekhanin的多重性码和Guo、Kopparty、Sudan的仿射提升码一样，我们的块长度$N$码可以在纠正恒定错误分数的同时，实现对任何给定$ε, α> 0$的$N^ε$查询复杂度和$1-α$速率，与面临速率障碍$ε^{O(1/ε)}$的Reed-Muller码和Ben-Sasson等人的度提升AG码形成对比。然而，像度提升AG代码，我们的代码是在一个字母表显着小于里德-穆勒码，仿射提升码，和多重性代码。
Asymptotic bounds for the sizes of constant dimension codes and an improved lower bound
研究了随机线性网络编码中常维码的长度关于子空间或注入距离的渐近上界和下界上界。在这方面，我们回顾已知的上界，并显示它们之间的关系。Etzion和Silberstein提出了所谓的链接构造的稍微改进的版本，其例如用于构造具有子空间距离$d=4$、对于所有字段大小$q$的码字的维度$k=3$和对于包含提升的MRD码的码的环境空间的足够大的维度$v$的恒定维度码。
Cosystolic Expansion of Sheaves on Posets with Applications to Good 2-Query Locally Testable Codes and Lifted Codes
本研究提出偏序集上层的共收缩扩张局部判据，将其应用于局部可测码领域，证明优质2查询LTCs的存在性并给出提升码局部可测性的纯局部判据，改进了此前需混合局部全局条件的结果。
Error-Correcting Codes in Projective Spaces via Rank-Metric Codes and Ferrers Diagrams
投影空间中的编码由于其在网络编码中的应用而受到了广泛的关注。线性子空间的约化行梯形和费勒斯图对解决射影空间中的编码问题起着关键作用。本文提出了一种在射影空间中设计纠错码的方法。我们使用多层次的方法来设计我们的代码。首先，我们选择一个恒重码。每个码字定义一个骨架的基础上减少行梯队形式的子空间。这个骨架包含一个费勒斯图，我们设计了一个秩度量码。每个这样的等级度量代码被提升为恒定的维度代码。这些代码的并集是我们最终的常数维代码。特别是最近由Koetter和Kschischang构造的代码是我们的代码的一个子集。用于这种构造的秩度量码形成了一类新的秩度量码。在射影空间中对所构造的码给出了一个译码算法。译码的效率取决于等重码和秩度量码的译码效率。最后，我们使用打孔我们最终的恒定尺寸的代码，以获得大的代码在投影空间中，这是不是恒定的尺寸。
Efficient decoding up to a constant fraction of the code length for asymptotically good quantum codes
介绍并分析了一种能纠正线性权值对抗性错误的量子Tanner码的有效译码器。以前的量子低密度奇偶校验码解码器只能处理权值为$O(\sqrt{n \log n})$的对抗性错误。我们还研究了量子Tanner码和Panteleev和Kalachev的提升乘积码之间的联系，并表明我们的解码器可以适应后者。解码算法在顺序和并行过程之间交替，并且在线性时间内收敛。
Asymptotically Good Quantum and Locally Testable Classical LDPC Codes
研究了在非交换群上利用提升积构造的经典和量子等码率LDPC码。我们证明了所得到的量子LDPC码族是渐近好的，从而证明了qLDPC猜想。此外，我们还证明了所产生的经典LDPC码也是渐近好的，局部可测试的恒定查询和可靠性参数，这证明了一个著名的猜想在局部可测试码领域。
Codes correcting restricted errors
本文研究了$(B-1)$维线性码的最大可能长度$B$，它能纠正来自受限集$\mathcal{A}\subseteq \mathbb{F}_q^*$的最多达$t$的错误.这样的代码可以应用于多级闪存。此外，在$q=p$是一个素数的情况下，错误是有限的一个常数，我们表明，往往是原始的$\ell$ th根的单位，其中$\ell$是一个素因子的$p-1$，定义良好的这样的代码。
New affine-invariant codes from lifting
在这项工作中，我们探讨纠错码来自“提升”的“仿射不变”的代码。仿射不变码是简单的线性码，其坐标是域上的向量空间，并且在坐标空间的仿射变换下不变。提升采用在小维度的向量空间上定义的代码，并且通过要求它们对原始维度的每个子空间的限制是被提升的代码的码字来将它们提升到更高维度。虽然操作本身是感兴趣的，这项工作集中在新的参数范围内，可以通过这样的代码，在本地校正和测试的背景下。特别是，我们提出了四个有趣的参数范围，可以实现这样的升降机，所有这些都是新的仿射不变性的背景下，有些甚至可能是新的一般。主要的亮点是高速率码的建设与次线性时间解码。这类准则以前唯一的编制工作是由Kopparty、Saraf和Yekhanin \cite{KSY}完成的。我们所有的代码都非常简单，只是各种奇偶检验代码（具有一个冗余符号的代码）的提升，在最后一种情况下，是里德-所罗门代码的提升。我们还提出了一个简单的连接某些解除代码和下界的大小“Nikodym集”。粗略地说，一个在$\mathbb{F}_q^m$中的Nikodym集是一个集合$S$，它的性质是每个点都有一条线穿过它，这条线几乎完全包含在$S$中。虽然以前的Nikodym集的下界大致增长为$q^m/2^m$，我们使用我们的提升代码来证明恒定特征的字段的$(1 - o(1))q^m$的下界。
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