On the Numerical Approximation of the Karhunen-Loève Expansion for Random Fields with Random Discrete Data
本文研究在仅有随机离散数据时随机场 Karhunen-Loève 展开的数值逼近，提出从有限测量中逼近真实协方差算子，推导包含有限秩、蒙特卡洛采样及物理域离散化误差的显式估计，并利用现代渐变协方差估计器给出保证误差低于预定精度的离散化参数充分条件。
2024-12-24 cs.NA math.NA
A parallel solver for random input problems via Karhunen-Loève expansion and diagonalized coarse grid correction
School of Mathematics, Hunan University（湖南大学数学学院）
针对标准parareal算法求解随机初值问题收敛慢的问题，提出结合KL展开与粗网格校正的KLE-CGC混合并行算法，通过gPC代理模型提升初始迭代精度，在保持收敛阶的同时减少迭代、提升并行扩展性。
2025-10-30 cs.NA math.AP math.NA
Hierarchical Bayesian inversion using the Karhunen-Loève expansion with analytical eigenpairs of the squared exponential kernel
Kyoto University（京都大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）
研究基于高斯随机场先验的分层贝叶斯反演中协方差超参数不确定性问题，利用平方指数核的解析解构建卡尔胡宁-勒夫展开，消除超参数更新时重复求解积分特征值问题的计算成本，经优化方法提高精度，应用于达西流模型贝叶斯反演。
2026-07-15 cs.NA math.NA stat.ME
Fast Karhunen-Loève Expansions via FFT-Accelerated Toeplitz Operators
Department of Stochastic Simulation and Safety Research for Hydrosystems, University of Stuttgart（斯图加特大学水系统随机模拟与安全研究系）
本文提出利用FFT加速的Toeplitz算子实现快速Karhunen-Loève展开，显著降低协方差矩阵特征求解的计算与存储开销，适用于大规模高斯随机场模拟。
2026-09-24 cs.NA math.NA
Numerical Considerations for the Construction of Karhunen-Loève Expansions
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文探讨了构建二阶随机过程的Karhunen-Loève展开式（KLE）的数值问题，通过Fredholm积分方程的谱分解和SVD方法，分析了不同离散策略、求积规则和样本量对KLE结果的影响。
2026-03-19 cs.NA math.NA stat.ML
Efficient reduced-rank methods for Gaussian processes with eigenfunction expansions
在这项工作中，我们介绍了一个降秩算法的高斯过程回归。我们的数值方案将用户指定的区间上的高斯过程转换为其Karhunen-Loève展开，即$L^2$ -最优降秩表示。Karhunen-Loève展开的数值计算在预计算期间执行一次，并且涉及计算积分算子的数值特征分解，该积分算子的核是高斯过程的协方差函数。Karhunen-Loève展开与观测数据无关，仅取决于协方差核和定义高斯过程的区间大小。本文的方案不要求协方差核具有平移不变性。我们还介绍了一类快速算法贝叶斯拟合的超参数，并证明了我们的算法的性能与数值实验在一维和二维。向更高维度的扩展在数学上是简单的，但却遭受着高维的标准诅咒。
2022-08-24 cs.NA math.NA stat.CO
Tensor train-Karhunen-Loève expansion for continuous-indexed random fields using higher-order cumulant functions
这项工作的目标是双重的：首先，提出了一个新的理论框架表示随机场的一个大类的多维几何域的张量训练格式;其次，开发一个新的算法框架，精确计算的模式和二阶和三阶累积量张量在适度的时间。新理论框架的核心是累积量函数的张量训练分解。这种分解是精确计算与一种新的排名揭示算法。与现有的Galerkin型和配点型方法相比，本文提出的计算方法完全无需选择基函数或配点和求积点，不仅大大增强了自适应性，而且避免了求解大规模的本征值问题。此外，通过三阶累积量函数的计算，新的理论和算法框架表现出巨大的潜力，表示一般的非高斯非均匀随机场场。三个数值例子，包括一个三维随机场离散化问题，说明了所提出的算法框架的效率和精度。
2019-07-15 cs.CE cs.NA math.NA
AFD Types Sparse Representations vs. the Karhunen-Loeve Expansion for Decomposing Stochastic Processes
介绍了自适应傅立叶分解（AFD）类方法，重点介绍了可应用于随机过程和随机场的自适应傅立叶分解，主要包括随机自适应傅立叶分解和随机预正交自适应傅立叶分解。我们建立了基于协变函数的算法，并证明了它们具有与Karhunen-Loève（KL）分解相同的收敛速度。AFD型方法与KL分解进行了比较。与后者相比，AFD型方法不需要计算由协方差函数诱导的核积分算子的特征值和特征函数，从而大大降低了计算复杂度和计算机消耗。各种字典提供AFD灵活性，以解决各种各样的问题，包括不同类型的确定性和随机方程。进行的实验表明，除了数值方便和快速收敛，AFD型分解优于KL型在描述局部细节，尽管后者的全局最优。
2022-07-08 cs.NA math.FA math.NA
Hierarchical Gaussian Random Fields for Multilevel Markov Chain Monte Carlo: Coupling Stochastic Partial Differential Equation and The Karhunen-Loève Decomposition
针对高维多层贝叶斯推断中GRF采样的精度、降维与遍历性难题，本文耦合KL展开与SPDE采样，提出协方差保持的分层多重网格框架，并在地下流动基准上验证其效率、精度和收敛优势。
2025-03-18 cs.NA math.NA math.PR
Fast sampling of parameterised Gaussian random fields
高斯随机场是空间变化不确定性的流行模型，例如在岩土工程、水文或图像处理中出现。一个高斯随机场完全由它的均值函数和协方差算子来刻画。在更复杂的模型中，这些也可以部分未知。在这种情况下，我们需要处理一族用超参数索引的高斯随机场。由于许多经典协方差算子的非局部性质，对超参数的固定配置进行采样已经非常昂贵。从多个配置采样严重增加了总计算成本。在本报告中，我们采用参数化Karhunen-Loève展开进行采样。为了降低成本，我们构建了一个减少的基础代理从Karhunen-Loève特征向量的快照。特别是，我们考虑Matérn型协方差算子未知的相关长度和标准差。我们建议线性化的协方差函数，并描述相关的在线离线分解。在数值实验中，我们研究了约化特征对的近似误差。作为一个应用，我们考虑前向不确定性传播和贝叶斯反演与椭圆偏微分方程的扩散系数的对数是一个参数化的高斯随机场。在贝叶斯逆问题中，我们采用马尔可夫链蒙特卡罗的减少空间产生样本的后验测量。所有的数值实验都是在二维物理空间中进行的，具有不可分离的协方差算子，以及具有$\sim 10^4$自由度的有限元网格。
2018-12-12 cs.NA math.NA stat.CO
Coordinate Transformation and Polynomial Chaos for the Bayesian Inference of a Gaussian Process with Parametrized Prior Covariance Function
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；LIMSI-CNRS（法国国家科学研究中心 LIMSI 实验室）；Duke University（杜克大学）
本文提出了一种基于坐标变换和多项式混沌的高斯过程贝叶斯推断方法，用于在不确定的协方差函数超参数下进行模型降维和参数估计。
2015-10-08 cs.NA math.NA stat.CO
Stochastic Modeling and Regularity of the Nonlinear Elliptic Curl-Curl Equation
本文研究了在物质定律中含有不确定项的非线性椭圆型curl-curl方程。它经常被用于静磁场的数值计算，其中的不确定性归因于所谓的B-H曲线。在单调性约束下，给出了随机B-H曲线的截断Karhunen-Loève逼近，并分析了其收敛性.引入了一种随机非线性卷曲-卷曲公式，并分别在确定性变量和随机变量下用有限元和配置法进行了数值逼近。用高阶灵敏度分析分析了随机规律性。结果表明，不同于线性和几个非线性椭圆问题，解决方案是不解析的随机变量和代数衰减的随机误差。数值结果的Karhunen-Loève展开和随机curl-curl方程的说明。
2016-06-24 cs.NA math.NA
A Multilevel, Hierarchical Sampling Technique for Spatially Correlated Random Fields
Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；University of Texas, Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文提出了一种生成空间相关随机场样本的替代方法，用于大规模问题的不确定性传播。该方法通过多级分解随机场，结合混合有限元形式的随机反应扩散方程，实现可扩展的分层采样。
2017-03-24 cs.NA math.NA
On Approximation for Fractional Stochastic Partial Differential Equations on the Sphere
Queensland University of Technology（昆士兰科技大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；La Trobe University（乐卓博大学）；The University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文研究了球面上分数随机偏微分方程的精确解及其数值近似方法，通过截断Karhunen-Loève展开分析了截断误差的收敛率，并通过数值示例和宇宙微波背景辐射模拟验证了理论结果。
2018-03-01 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel Representations of Isotropic Gaussian Random Fields on the Sphere
构造了各向同性高斯随机场在$\mathbb{S}^2$上具有独立高斯系数和局部基函数的级数展开式。这样的表示与多级局部结构提供了一种替代的标准Karhunen-Loève展开的各向同性随机场的球谐函数。通过将协方差算子的平方根应用于球形针状体来获得基函数。所得到的协方差相关的多级基础上的角随机场的功率谱的衰减条件下示出的本地化。此外，给出了数值例子，并分析了其在球面上随机椭圆偏微分方程中的应用。
2022-06-24 cs.NA math.NA math.PR
Isotropic Gaussian random fields on the sphere: Regularity, fast simulation and stochastic partial differential equations
Chalmers University of Technology, University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学，哥德堡大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
研究球面上各向同性高斯随机场的正则性、快速模拟方法及其在环境科学模型中的应用，探讨其与随机偏微分方程的关系。
2015-10-23 cs.NA math.NA math.PR
Analysis of circulant embedding methods for sampling stationary random fields
University of Bath（巴斯大学）；University of NSW（新南威尔士大学）；KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文分析了循环嵌入方法中循环矩阵正定性的保证条件，针对Matérn协方差函数证明了在特定条件下正定性成立，并通过数值实验验证了相关结论。
2018-03-20 cs.NA math.NA
Multiscale Sampling for the Inverse Modeling of Partial Differential Equations
我们关心的是一种新的贝叶斯统计框架的表征自然地下地层，一个非常具有挑战性的任务。由于该框架中的先验分布的随机空间的大维度，通常需要对先验分布应用降维方法（诸如Karhunen-Leove展开（KLE））以使表征在计算上易于处理。由于地下地层的性质（诸如渗透率和孔隙度）的大的可变性，局部化采样策略使得其可以更好地适应岩石性质的大的局部可变性可能是有价值的。在本文中，我们引入了多尺度采样的概念，在随机空间中的局部搜索。我们结合简单的预处理马尔可夫链蒙特卡罗方法与一个新的算法分解成正交的子空间的随机空间，通过一个一对一的映射的子空间的子域的非重叠区域分解的区域的兴趣。搜索的本地化是由吉布斯采样内的多尺度阻塞策略：我们应用KL扩展本地，在子域级别。在每个子域内，再次应用分块，用于KLE随机系数的采样。所提出的框架的有效性进行了测试，在与椭圆型偏微分方程在多孔介质流动中产生的反问题的解决方案。我们在多GPU集群中使用多链研究表明，新算法明显提高了预处理MCMC方法的收敛速度。此外，我们说明了一些条件点的重要性，以进一步提高所提出的方法的收敛性。
2023-02-22 cs.NA math.NA
Sampling by incomplete cosine expansion of the sinc function: application to the Voigt/complex error function
York University（约克大学）
本文提出基于不完全余弦展开的新型采样方法，通过高效且实用的数值积分展示其优势，实现复误差函数的高精度有理近似。
2014-07-17 cs.NA math.NA
Christoffel Adaptive Sampling for Sparse Random Feature Expansions
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文提出基于克里斯托费利函数的自适应采样方法，用于提升稀疏随机特征展开在数据稀缺场景下的采样效率和精度。
2026-03-18 cs.NA math.NA
Normalizing field flows: Solving forward and inverse stochastic differential equations using physics-informed flow models
Shanghai Normal University（上海师范大学）；Tongji University（同济大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
在这项工作中，我们介绍了归一化场流（NFF）学习随机场从分散的测量。更准确地说，我们构建了一个双射变换（一个归一化流表征的神经网络）之间的高斯随机场与Karhunen-Loève（KL）展开结构和目标随机场，其中KL展开系数和可逆网络的训练，通过最大化的对数似然分散的测量。该NFF模型可以在统一的框架下求解数据驱动的正、逆以及正/逆混合随机偏微分方程。我们证明了所提出的NFF模型学习非高斯过程和不同类型的随机偏微分方程的能力。
2021-09-07 cs.LG cs.NA math.NA
Sparse approximation of data-driven Polynomial Chaos expansions: an induced sampling approach
在前向不确定性量化（UQ）领域中的一个开放问题是形成仅具有关于随机输入的分布的不完全信息的不确定性的准确评估的能力。另一个挑战是有效地利用有限的训练数据进行复杂工程问题的UQ预测，特别是高维随机参数。我们解决这些挑战相结合的数据驱动的多项式混沌扩展与最近开发的预处理稀疏近似方法的UQ问题。在这个两步过程中的第一个任务是使用（Ahlfeld et al. 2016）中开发的程序，使用随机输入的有限数量的统计矩来构建“任意”多项式混沌扩展基。第二步是一个新的程序，通过$\ell^1$最小化，以量化的前向不确定性的影响稀疏近似。为了提高预处理的$\ell^1$最小化问题的性能，我们从所谓的诱导分布中采样，而不是从原始的未知概率测度中使用Monte Carlo（MC）采样。我们证明了测试问题，诱导抽样是一个有竞争力的，往往更好的选择相比，从渐近最优的措施（如平衡测度），当我们有不完整的信息分布的抽样。我们证明了能力的诱导抽样算法通过稀疏表示有限的数据上的检验函数，和随机杨氏模量的Kirchoff板弯曲问题。
2020-08-23 cs.NA math.NA
Hybrid stress quadrilateral finite element approximation for stochastic plane elasticity equations
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文研究随机平面弹性方程的混合应力四边形有限元分析，采用Karhunen-Loève展开将随机Young模量和载荷转化为确定性参数系统，结合k-版本/p-版本有限元法和混合应力四边形有限元法，推导出与Lamé常数λ无关的先验误差估计，并提供数值结果。
2015-02-21 cs.NA math.NA
Comparison of the performance and reliability between improved sampling strategies for polynomial chaos expansion
随着复杂模型的不确定性和灵敏度分析变得越来越重要，及时实现它们的困难突出了对更有效的数值运算的需求。非侵入式多项式混沌方法是一种高效、精确的输入输出映射方法，可以用来研究复杂的模型。就选定的抽样方案而言，有很大的潜力提高该方法的效力。我们研究国家的最先进的抽样方案分类的空间填充最优设计，如拉丁超立方体抽样和L1最优抽样，并比较其经验表现对标准随机抽样。在L1最小化的背景下使用最小角度回归算法进行分析，以拟合GPCE回归模型。由于抽样方案的随机性，我们使用统计稳定性措施比较了不同的抽样方法，并评估了构建替代模型的成功率，相对误差分别为$<0.1$ \%、$<1$ \%和$<10$ \%。通过评估为各种不同的测试用例构建的代理模型的y，代表不同的问题类，涵盖低，中，高维问题的抽样方案进行了深入的研究。最后，采样方案进行了测试的应用实例，以估计的灵敏度，用于测量生物组织的阻抗在不同的频率的探头的自阻抗。我们观察到强烈的差异，在所分析的检验函数之间的方法的收敛特性。
2022-04-13 cs.NA math.NA
Brownian bridge expansions for Lévy area approximations and particular values of the Riemann zeta function
本文利用 Fourier 与 Brown 桥多项式展开构造 Lévy 面积逼近，证明其在仅用独立正态向量时优于 Kloeden-Platen-Wright 方法，并通过涨落分析独立导出 Riemann zeta 函数的正偶数值。
2022-11-10 cs.NA math.NA math.NT
Sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs. Part II: lognormal coefficients
研究对数正态形式扩散系数的椭圆PDEs的Hermite多项式展开的ℓ^p求和性质，改进了最佳n项截断Hermite展开的逼近率估计。
2015-09-23 cs.NA math.AP math.NA
Sampling and Approximation of Bandlimited Volumetric Data
Tel-Aviv University（特拉维夫大学）
该研究提出了一种在三维空间中近似函数的方法，仅需在笛卡尔网格上采样，并假设函数在空间和频率上足够集中。方法基于广义 prolate 球面谐波基函数展开，系数通过函数样本与基函数样本的加权点积确定，并提出截断规则以保证数值实现的有限性，最后推导出近似误差的界。
2018-11-17 cs.NA math.NA
Uncertainty Quantification in Three Dimensional Natural Convection using Polynomial Chaos Expansion and Deep Neural Networks
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文研究了输入不确定性对三维自然对流问题输出的影响，采用多项式混沌展开和深度神经网络进行参数不确定性传播和全局敏感性分析，展示了深度神经网络在不确定性量化中的高效性。
2019-01-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Stochastic Analysis of Fade Duration Using Wiener Chaos Expansion and Malliavin Calculus: Optimal Importance Sampling via Adaptive SGD
Departament de Matemátiques, Universitat Autónoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学数学系）
提出结合Wiener混沌展开、Malliavin微分和自适应重要性采样的框架，高精度估计无线信道衰落持续时间分布，实现方差降低839-2516倍，相对误差低于0.5%。
2026-07-01 cs.NA math.NA math.PR
