Randomized algorithms for Generalized Hermitian Eigenvalue Problems with application to computing Karhunen-Loève expansion
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出随机算法求解广义Hermitian特征值问题，避免计算B的平方根，提供收敛分析和误差界，并应用于计算Karhunen-Loève展开。
2015-05-12 cs.NA math.NA
Sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs. Part II: lognormal coefficients
研究对数正态形式扩散系数的椭圆PDEs的Hermite多项式展开的ℓ^p求和性质，改进了最佳n项截断Hermite展开的逼近率估计。
2015-09-23 cs.NA math.AP math.NA
On the Numerical Approximation of the Karhunen-Loève Expansion for Random Fields with Random Discrete Data
许多物理和数学模型在其输入数据中涉及随机场。例子是常微分方程，偏微分方程和积分微分方程的不确定性系数的功能描述的随机场。它们在机器学习中的问题中也起着主导作用。在这篇文章中，我们不假设有随机场的矩或展开项的知识，而是只给出了它们的离散化样本。因此，我们对这些离散信息的一些测量过程进行建模，然后近似原始随机场的协方差算子。当然，真正的协方差算子是无限秩的，因此我们不能假设从有限数量的空间离散观测值中得到精确的近似。另一方面，真实（未知）协方差函数的平滑性导致对真实协方差算子的有效低秩近似。我们得到明确的误差估计，涉及有限秩的协方差算子的近似误差，在随机域中的抽样和物理域中的数值离散化误差的蒙特卡罗型误差。这允许给出关于三个离散化参数的充分条件，以保证实现低于规定精度$\varepsilon$的误差。
2021-12-05 cs.NA math.NA
On the Numerical Approximation of the Karhunen-Loève Expansion for Random Fields with Random Discrete Data
本文研究在仅有随机离散数据时随机场 Karhunen-Loève 展开的数值逼近，提出从有限测量中逼近真实协方差算子，推导包含有限秩、蒙特卡洛采样及物理域离散化误差的显式估计，并利用现代渐变协方差估计器给出保证误差低于预定精度的离散化参数充分条件。
2024-12-24 cs.NA math.NA
A parallel solver for random input problems via Karhunen-Loève expansion and diagonalized coarse grid correction
School of Mathematics, Hunan University（湖南大学数学学院）
针对标准parareal算法求解随机初值问题收敛慢的问题，提出结合KL展开与粗网格校正的KLE-CGC混合并行算法，通过gPC代理模型提升初始迭代精度，在保持收敛阶的同时减少迭代、提升并行扩展性。
2025-10-30 cs.NA math.AP math.NA
Fast Karhunen-Loève Expansions via FFT-Accelerated Toeplitz Operators
Department of Stochastic Simulation and Safety Research for Hydrosystems, University of Stuttgart（斯图加特大学水系统随机模拟与安全研究系）
本文提出利用FFT加速的Toeplitz算子实现快速Karhunen-Loève展开，显著降低协方差矩阵特征求解的计算与存储开销，适用于大规模高斯随机场模拟。
2026-09-24 cs.NA math.NA
Hierarchical Bayesian inversion using the Karhunen-Loève expansion with analytical eigenpairs of the squared exponential kernel
Kyoto University（京都大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）
研究基于高斯随机场先验的分层贝叶斯反演中协方差超参数不确定性问题，利用平方指数核的解析解构建卡尔胡宁-勒夫展开，消除超参数更新时重复求解积分特征值问题的计算成本，经优化方法提高精度，应用于达西流模型贝叶斯反演。
2026-07-15 cs.NA math.NA stat.ME
Numerical Considerations for the Construction of Karhunen-Loève Expansions
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文探讨了构建二阶随机过程的Karhunen-Loève展开式（KLE）的数值问题，通过Fredholm积分方程的谱分解和SVD方法，分析了不同离散策略、求积规则和样本量对KLE结果的影响。
2026-03-19 cs.NA math.NA stat.ML
Efficient reduced-rank methods for Gaussian processes with eigenfunction expansions
在这项工作中，我们介绍了一个降秩算法的高斯过程回归。我们的数值方案将用户指定的区间上的高斯过程转换为其Karhunen-Loève展开，即$L^2$ -最优降秩表示。Karhunen-Loève展开的数值计算在预计算期间执行一次，并且涉及计算积分算子的数值特征分解，该积分算子的核是高斯过程的协方差函数。Karhunen-Loève展开与观测数据无关，仅取决于协方差核和定义高斯过程的区间大小。本文的方案不要求协方差核具有平移不变性。我们还介绍了一类快速算法贝叶斯拟合的超参数，并证明了我们的算法的性能与数值实验在一维和二维。向更高维度的扩展在数学上是简单的，但却遭受着高维的标准诅咒。
2022-08-24 cs.NA math.NA stat.CO
Tensor train-Karhunen-Loève expansion for continuous-indexed random fields using higher-order cumulant functions
这项工作的目标是双重的：首先，提出了一个新的理论框架表示随机场的一个大类的多维几何域的张量训练格式;其次，开发一个新的算法框架，精确计算的模式和二阶和三阶累积量张量在适度的时间。新理论框架的核心是累积量函数的张量训练分解。这种分解是精确计算与一种新的排名揭示算法。与现有的Galerkin型和配点型方法相比，本文提出的计算方法完全无需选择基函数或配点和求积点，不仅大大增强了自适应性，而且避免了求解大规模的本征值问题。此外，通过三阶累积量函数的计算，新的理论和算法框架表现出巨大的潜力，表示一般的非高斯非均匀随机场场。三个数值例子，包括一个三维随机场离散化问题，说明了所提出的算法框架的效率和精度。
2019-07-15 cs.CE cs.NA math.NA
AFD Types Sparse Representations vs. the Karhunen-Loeve Expansion for Decomposing Stochastic Processes
介绍了自适应傅立叶分解（AFD）类方法，重点介绍了可应用于随机过程和随机场的自适应傅立叶分解，主要包括随机自适应傅立叶分解和随机预正交自适应傅立叶分解。我们建立了基于协变函数的算法，并证明了它们具有与Karhunen-Loève（KL）分解相同的收敛速度。AFD型方法与KL分解进行了比较。与后者相比，AFD型方法不需要计算由协方差函数诱导的核积分算子的特征值和特征函数，从而大大降低了计算复杂度和计算机消耗。各种字典提供AFD灵活性，以解决各种各样的问题，包括不同类型的确定性和随机方程。进行的实验表明，除了数值方便和快速收敛，AFD型分解优于KL型在描述局部细节，尽管后者的全局最优。
2022-07-08 cs.NA math.FA math.NA
A Bramble-Pasciak conjugate gradient method for discrete Stokes problems with lognormal random viscosity
Graduate School of Computational Engineering, Technische Universit\"at Darmstadt, Dolivostr. 15, 64293, Darmstadt, Germany , WWW home page: http://www.graduate-school-ce.de/index.php?id=680 Department of Mathematics, Technische Universit\"at Darmstadt, Dolivostr. 15, 64293, Darmstadt, Germany
本文研究了随机伽辽金有限元离散化鞍点问题及其迭代求解所出现的线性方程组，提出了一种基于Bramble-Pasciak共轭梯度方法的预条件技术，以提高求解效率。
2018-11-15 cs.NA math.NA
Near-optimal approximation methods for elliptic PDEs with lognormal coefficients
本文研究了对数正态系数为$-{\rm div}(a\nabla u)=f$的椭圆型偏微分方程的数值方法，其中$a=\exp(b)$和$b$是高斯随机场.解$u$的近似是参数化$b$的标量高斯随机变量中的$n$项多项式展开。我们提出了一个一般的收敛性分析加权最小二乘逼近光滑和任意粗糙随机场，使用一个合适的随机设计，我们证明了最优性在以下意义下：他们的收敛速度完全匹配或接近的速度，已建立在\cite{BCDM}的最佳$n$ -项近似Hermite多项式，在相同的最小假设下的高斯随机场。这与随机Galerkin方法的现有技术结果相反，该方法由于扩散场的对数正态性质而缺乏线性度。用$b$作为布朗桥的数值试验证实了我们的理论发现。
2021-03-25 cs.NA math.NA
A Dimension-Adaptive Multi-Index Monte Carlo Method Applied to a Model of a Heat Exchanger
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文提出一种自适应多索引蒙特卡罗方法，用于求解具有随机场系数的偏微分方程，通过自适应选择Karhunen-Loève展开项数和空间离散化，实现计算效率提升。
2017-08-16 cs.NA math.NA
Hierarchical Gaussian Random Fields for Multilevel Markov Chain Monte Carlo: Coupling Stochastic Partial Differential Equation and The Karhunen-Loève Decomposition
针对高维多层贝叶斯推断中GRF采样的精度、降维与遍历性难题，本文耦合KL展开与SPDE采样，提出协方差保持的分层多重网格框架，并在地下流动基准上验证其效率、精度和收敛优势。
2025-03-18 cs.NA math.NA math.PR
Sparse polynomial approximation for optimal control problems constrained by elliptic PDEs with lognormal random coefficients
Oden Institute for Computational Engineering & Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登计算工程与科学学院）；Department of Mechanical Engineering, and Department of Geological Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校机械工程系和地质科学系）
本文研究了受具有对数正态随机系数的椭圆偏微分方程约束的最优控制问题，通过稀疏多项式近似方法对最优解进行逼近，并证明了该方法在维度上具有独立的收敛率。
2019-03-13 cs.NA math.NA
Isotropic Gaussian random fields on the sphere: Regularity, fast simulation and stochastic partial differential equations
Chalmers University of Technology, University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学，哥德堡大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
研究球面上各向同性高斯随机场的正则性、快速模拟方法及其在环境科学模型中的应用，探讨其与随机偏微分方程的关系。
2015-10-23 cs.NA math.NA math.PR
Coordinate Transformation and Polynomial Chaos for the Bayesian Inference of a Gaussian Process with Parametrized Prior Covariance Function
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；LIMSI-CNRS（法国国家科学研究中心 LIMSI 实验室）；Duke University（杜克大学）
本文提出了一种基于坐标变换和多项式混沌的高斯过程贝叶斯推断方法，用于在不确定的协方差函数超参数下进行模型降维和参数估计。
2015-10-08 cs.NA math.NA stat.CO
Stochastic Modeling and Regularity of the Nonlinear Elliptic Curl-Curl Equation
本文研究了在物质定律中含有不确定项的非线性椭圆型curl-curl方程。它经常被用于静磁场的数值计算，其中的不确定性归因于所谓的B-H曲线。在单调性约束下，给出了随机B-H曲线的截断Karhunen-Loève逼近，并分析了其收敛性.引入了一种随机非线性卷曲-卷曲公式，并分别在确定性变量和随机变量下用有限元和配置法进行了数值逼近。用高阶灵敏度分析分析了随机规律性。结果表明，不同于线性和几个非线性椭圆问题，解决方案是不解析的随机变量和代数衰减的随机误差。数值结果的Karhunen-Loève展开和随机curl-curl方程的说明。
2016-06-24 cs.NA math.NA
A Galerkin Isogeometric Method for Karhunen-Loeve Approximation of Random Fields
College of Engineering, The University of Iowa（爱荷华大学工程学院）
本文提出一种基于NURBS的Galerkin同调方法，用于求解Fredholm积分特征值问题，通过Karhunen-Loeve展开实现随机场离散化，具有几何精确性和全局光滑解的优势。
2018-04-17 cs.NA math.NA math.ST
Sparse-grid polynomial interpolation approximation and integration for parametric and stochastic elliptic PDEs with lognormal inputs
Vietnam National University（越南国立大学）
本文提出稀疏网格多项式插值方法用于参数和随机椭圆偏微分方程的lognormal输入，改进了非全离散收敛率。
2026-01-03 cs.NA math.NA
On Approximation for Fractional Stochastic Partial Differential Equations on the Sphere
Queensland University of Technology（昆士兰科技大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；La Trobe University（乐卓博大学）；The University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文研究了球面上分数随机偏微分方程的精确解及其数值近似方法，通过截断Karhunen-Loève展开分析了截断误差的收敛率，并通过数值示例和宇宙微波背景辐射模拟验证了理论结果。
2018-03-01 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel Representations of Isotropic Gaussian Random Fields on the Sphere
构造了各向同性高斯随机场在$\mathbb{S}^2$上具有独立高斯系数和局部基函数的级数展开式。这样的表示与多级局部结构提供了一种替代的标准Karhunen-Loève展开的各向同性随机场的球谐函数。通过将协方差算子的平方根应用于球形针状体来获得基函数。所得到的协方差相关的多级基础上的角随机场的功率谱的衰减条件下示出的本地化。此外，给出了数值例子，并分析了其在球面上随机椭圆偏微分方程中的应用。
2022-06-24 cs.NA math.NA math.PR
Inverse scattering by a random periodic structure
本文发展了一种有效的数值方法，求解时谐平面波入射到理想反射随机周期结构上的逆散射问题。该方法是基于一种新的组合的Monte Carlo技术采样的概率空间，连续的方法相对于波数，和Karhunen-Lo $\grave{e}$ ve扩展的随机结构，重建关键的统计特性的轮廓未知的随机周期性结构从边界测量的散射场远离结构。数值结果证明了该方法的可靠性和有效性。
2020-08-12 cs.NA math.NA
Uncertainty Quantification for PDEs with Anisotropic Random Diffusion
Universität Basel（巴塞尔大学）
本文研究了具有各向异性随机扩散系数的椭圆扩散问题，通过随机向量场建模显著方向，推导了解对随机参数的正则性结果，该结果决定了随机向量场的Karhunen-Loeve展开的衰减特性，从而支持高斯求积方法等高效近似解的均值和方差。
2016-07-19 cs.NA math.NA
Comparison of random field discretizations for high-resolution Bayesian parameter identification in finite element elasticity
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文比较了三种随机场离散化策略在高分辨率有限元模型中进行概率识别空间变化材料参数的效果，分析了多级马尔可夫链蒙特卡洛方法在平面应力弹性中的应用，探讨了数值效率、初始化成本、链混合性和成本-误差行为等核心问题。
2026-05-07 cs.NA math.NA
Normalizing field flows: Solving forward and inverse stochastic differential equations using physics-informed flow models
Shanghai Normal University（上海师范大学）；Tongji University（同济大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
在这项工作中，我们介绍了归一化场流（NFF）学习随机场从分散的测量。更准确地说，我们构建了一个双射变换（一个归一化流表征的神经网络）之间的高斯随机场与Karhunen-Loève（KL）展开结构和目标随机场，其中KL展开系数和可逆网络的训练，通过最大化的对数似然分散的测量。该NFF模型可以在统一的框架下求解数据驱动的正、逆以及正/逆混合随机偏微分方程。我们证明了所提出的NFF模型学习非高斯过程和不同类型的随机偏微分方程的能力。
2021-09-07 cs.LG cs.NA math.NA
Hybrid stress quadrilateral finite element approximation for stochastic plane elasticity equations
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文研究随机平面弹性方程的混合应力四边形有限元分析，采用Karhunen-Loève展开将随机Young模量和载荷转化为确定性参数系统，结合k-版本/p-版本有限元法和混合应力四边形有限元法，推导出与Lamé常数λ无关的先验误差估计，并提供数值结果。
2015-02-21 cs.NA math.NA
Brownian bridge expansions for Lévy area approximations and particular values of the Riemann zeta function
本文利用 Fourier 与 Brown 桥多项式展开构造 Lévy 面积逼近，证明其在仅用独立正态向量时优于 Kloeden-Platen-Wright 方法，并通过涨落分析独立导出 Riemann zeta 函数的正偶数值。
2022-11-10 cs.NA math.NA math.NT
Fast sampling of parameterised Gaussian random fields
高斯随机场是空间变化不确定性的流行模型，例如在岩土工程、水文或图像处理中出现。一个高斯随机场完全由它的均值函数和协方差算子来刻画。在更复杂的模型中，这些也可以部分未知。在这种情况下，我们需要处理一族用超参数索引的高斯随机场。由于许多经典协方差算子的非局部性质，对超参数的固定配置进行采样已经非常昂贵。从多个配置采样严重增加了总计算成本。在本报告中，我们采用参数化Karhunen-Loève展开进行采样。为了降低成本，我们构建了一个减少的基础代理从Karhunen-Loève特征向量的快照。特别是，我们考虑Matérn型协方差算子未知的相关长度和标准差。我们建议线性化的协方差函数，并描述相关的在线离线分解。在数值实验中，我们研究了约化特征对的近似误差。作为一个应用，我们考虑前向不确定性传播和贝叶斯反演与椭圆偏微分方程的扩散系数的对数是一个参数化的高斯随机场。在贝叶斯逆问题中，我们采用马尔可夫链蒙特卡罗的减少空间产生样本的后验测量。所有的数值实验都是在二维物理空间中进行的，具有不可分离的协方差算子，以及具有$\sim 10^4$自由度的有限元网格。
2018-12-12 cs.NA math.NA stat.CO
An adaptive stochastic Galerkin tensor train discretization for randomly perturbed domains
Weierstrass Institute（韦伊尔斯特拉斯研究所）；Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）
本文提出了一种自适应随机伽辽金张量列车离散化方法，用于处理随机扰动领域的线性偏微分方程问题，通过张量列车格式实现隐式压缩，并利用后验误差估计器进行迭代细化和误差评估。
2019-02-20 cs.NA math.NA
Preconditioning Markov Chain Monte Carlo Method for Geomechanical Subsidence using multiscale method and machine learning technique
本文研究具有随机性质的孔隙弹性问题的数值解。本文提出了一种求解地质力学沉降的两阶段马尔可夫链蒙特卡罗方法。在这项工作中，我们研究了两种预处理技术：（MS）模型降阶的多尺度方法和（ML）机器学习技术。预处理的目的是快速采样，其中新的建议首先通过廉价的多尺度求解器或使用神经网络的快速预测进行测试，并且只有当建议通过第一步时才进行完整的精细网格计算。为了构造一个降阶模型，我们采用广义多尺度有限元法，给出了随机场中压力和位移的多尺度基函数的构造。为了构建基于机器学习的预处理，我们使用多尺度求解器生成数据集，并使用它来训练神经网络。Karhunen-Loeve展开用于表示随机场的实现。数值结果的二维和三维模型的例子。
2020-06-30 cs.NA math.NA
Low-Dimensional Stochastic Modeling of the Electrical Properties of Biological Tissues
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；Graduate School of Computational Engineering（计算工程学院研究生院）；Universität Rostock（罗斯托克大学）
本文通过降低参数维度，利用Karhunen-Loeve展开方法对生物组织电性质进行随机建模，以量化深部脑刺激中轴突激活的不确定性，采用Medtronic 3387电极设计进行数值验证。
2017-09-23 cs.CE cs.NA math.NA
Uncertainty Quantification in Three Dimensional Natural Convection using Polynomial Chaos Expansion and Deep Neural Networks
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文研究了输入不确定性对三维自然对流问题输出的影响，采用多项式混沌展开和深度神经网络进行参数不确定性传播和全局敏感性分析，展示了深度神经网络在不确定性量化中的高效性。
2019-01-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Non-intrusive polynomial chaos expansion for topology optimization using polygonal meshes
本文研究了随机谱方法在不确定性结构拓扑优化中的应用。一个非侵入多项式混沌扩展集成到拓扑优化算法计算低阶统计矩的力学数学模型的响应。该过程被称为鲁棒拓扑优化，可以优化柔度的平均值，同时最小化其标准差。为了解决施加到感兴趣的机械系统的负载中的可能的变化性，假定外力的大小和方向是不确定的。在这个概率框架中，力被描述为一个随机场或一组随机变量。通过Karhunen-Loève和多项式混沌展开有效地完成了随机对象的表示和负载不确定性通过模型的传播。我们利用使用多边形元素，这已被证明是有效的抑制棋盘图案和减少网格依赖的拓扑优化问题的解决方案。通过几个拓扑优化算例验证了该方法的准确性和适用性。结果表明，荷载不确定性在结构系统优化设计中起着重要的作用，因此必须考虑荷载不确定性，以保证优化过程的可靠性。
2021-07-14 cs.CE cs.NA math.NA
Fully discrete approximation of parametric and stochastic elliptic PDEs
本文研究了参数和随机椭圆偏微分方程的完全离散近似，通过结合空间和参数近似性，利用Taylor、Jacobi和Hermite展开，获得收敛率与总自由度相关的近似结果。
2017-07-09 cs.NA math.AP math.NA
