On recursively defined combinatorial classes and labelled trees
Ali Chouria, Vlad-Florin Drǎgoi, Jean-Gabriel Luque
我们定义并证明了三个组合类之间的同构涉及标记树。我们也给出了另一种证明的生成函数。
We define and prove isomorphisms between three combinatorial classes involving labeled trees. We also give an alternative proof by means of generating functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Combinatorial polar orderings and recursively orderable arrangements
极序出现在最近的工作萨尔韦蒂和第二作者的最小CW-复杂的复杂的超平面安排。我们研究的组合，这些顺序的经典框架中的定向拟阵，从而达到一个削弱的条件，实际上确定这样的顺序。因此，可以组合地定义一类排列，对于这种排列，最小复形的构造特别容易，称为{ \em递归可序}排列。我们开始研究这个类，给出了一个完整的特征，在2维，并证明了每一个超可解复杂化安排是递归有序的。
A combinatorial basis for the free Lie algebra of the labelled rooted trees
预李运算可以实现为标记有根树的空间T。F. Chapoton证明了pre-Lie操作数是一个自由扭李代数。也就是说，S-模T被获得为具有S-模F的S-模Lie的体积。在物种的背景下，我们构造了F的一个显式基。这使我们能够给出一个新的证明Chapoton的结果。此外，它允许我们表明，F形成一个次非对称运算的pre-Lie操作数T。
Hereditary properties of combinatorial structures: posets and oriented graphs
组合结构的一个遗传性质是一组结构（例如图、偏序集），它们在同构下是封闭的，在取诱导子结构（例如诱导子图）下是封闭的，并且包含任意大的结构。给定一个属性P，我们写P_n为不同的集合（即，非同构）结构，并将函数n-> |P_n|称为P的速度（或未标记速度）。此外，我们将P ^n写为P中具有标记1，.的顶点的不同标记结构的集合，n，并调用函数n->| P ^n|图的一个遗传性质的可能标号速度已被广泛研究，本文的目的是研究其他组合结构，即偏序集和定向图的可能标号速度。更精确地说，我们证明了（对于足够大的n），偏序集的遗传性质的标号速度要么是1，要么正好是多项式，要么至少是2^n-1。我们还表明，有一个初始的跳跃，在可能的未标记的偏序集，竞赛和有向图的遗传特性的速度，从有界到线性速度，并给出一个尖锐的下界的可能的线性速度在每种情况下。
Parallelogram polyominoes, partially labelled Dyck paths, and the Delta conjecture
我们引入了关于修饰的二次多项式的面积、反弹和dinv统计，并证明了它们的一些q，t-枚举数匹配$\langle Δ_{h_m} e_{n+1}, s_{k+1,1^{n-k}} \rangle$，以这种方式扩展了Aval等人的工作。此外，我们提供了一个双射之间的连接装饰的多角形和装饰的标记Dyck路径，这使我们能够证明的Delta猜想预测的系数$\langleΔ_{e_{m+n-k-1}}'e_{m+n}, h_m h_n \rangle$的组合解释（Haglund et al. 2015）。最后，我们在部分标记的Dyck路径上定义了一个统计量pmaj，它提供了$Δ_{h_{\ell}}Δ_{e_{n-k-1}}'e_n$的另一种几何组合解释，参见。（Haglund等人，2015年）。这是（D 'Adderio，Iraci 2017）的扩展摘要：即将出版的出版物将提供证明和其他细节和结果。
Parallelogram polyominoes, partially labelled Dyck paths, and the Delta conjecture (FULL VERSION)
我们引入了关于修饰的二次多项式的面积、反弹和dinv统计，并证明了它们的一些q，t-枚举数匹配$\langle Δ_{h_m} e_{n+1},s_{k+1,1^{n-k}}\rangle$，以这种方式扩展了Aval等人的工作。此外，我们提供了一个双射之间的连接装饰的多角形和装饰的标记Dyck路径，这使我们能够证明的Delta猜想预测的系数$\langle Δ_{e_{m+n-k-1}}'e_{m+n},h_m h_n\rangle$的组合解释（Haglund et al. 2015）。最后，我们在部分标记的Dyck路径上定义了一个统计量pmaj，它提供了$Δ_{h_{\ell}}Δ_{e_{n-k-1}}'e_n$的另一种几何组合解释，参见。（Haglund等人，2015年）。这是（D 'Adderio，Iraci 2017）arXiv：1711.03923的完整版本。
Enumeration of labelled 4-regular planar graphs
本文通过完全递归分解给出了标号4-正则可平面图计数的第一个组合方案。更精确地说，我们证明了标记4-正则可平面图的指数母函数可以有效地计算为一个方程组的解，从中可以提取系数。作为副产品，我们还列举了标记3-连通4-正则可平面图，简单的4-正则根映射。
Combinatorial Entanglement
我们提出了新的组合对象，我们称之为网格标记的图形，并显示这些可以用来表示量子态出现的情况下，我们称为故障发射器的情况下：我们有一台机器，旨在发出一个特定的量子态的需求，但它可以使一个错误，并发出不同的。该装置能够产生一个候选态列表，可以作为一种调试信息来测试纠缠。通过重新定义Peres-Horodecki和矩阵重排准则，我们能够捕捉到纠缠的一些特征：我们构造了新的束缚纠缠态，并证明了矩阵重排的局限性。我们展示了如何LOCC的概念是有关的一个概括的图同构问题。我们给出了一个简单的证明，渐近几乎肯定，网格标记的图非常稀疏的密度矩阵纠缠。我们开发的工具，用于枚举网格标记的图形，满足Peres-Horodecki标准的固定数量的顶点，并提出了各种计算问题，这些对象，其复杂性仍然是一个开放的问题。建议的数学框架还建议了新的组合和代数方法来描述图的结构。
Parking function varieties for combinatorial tree models
本文研究了近年来提出的树停泊函数、树停泊分布、素树停泊函数和素树停泊分布的计数问题，它们分别适用于标号有序树、标号无序树和标号二叉树等重要组合树族的根标号树.使用组合分解的基础结构的产量，求解所得方程后，隐式特征的树的大小$n$和$n$成功的驱动程序，从中我们获得准确和渐近枚举结果，这样的树停车功能的总数合适的生成函数。该方法可以扩展到一般情况下的树停车功能的大小$n$和$m<n$驱动程序，我们也能够描述的生成函数的解决方案，允许，通过应用分析组合学技术，研究的渐近行为的总数的树停车功能和分布$n \to \infty$取决于负载因子$0 < α= \frac{m}{n} < 1$。
Counting Labelled Trees with Given Indegree Sequence
对于顶点集$[n]:=\{1,2,..., n\}$上的标记树，如果满足$i<j$，则将每条边$ij$的方向定义为$i\to j$。$T$的入度序列可以看作是一个划分$λ\vdash n-1$。在计算射影空间中曲线的割线平面时，产生了具有给定入度序列的树的计数问题。最近Ethan Cotterill给出了$[n]$上对应于一个划分$λ$的入度序列的树的个数公式.本文给出了Cotterill猜想的两个证明：一个是基于归纳法的“半组合”证明，另一个是双射证明。
Runs in labelled trees and mappings
我们将升运行和降运行的概念从置换推广到有根标记树和映射，即，从集合$\{1, \dots, n\}$到自身的函数。相应的功能有向图的组合分解与生成函数的方法，使我们能够进行联合研究的上升和下降运行标记树和映射，分别。从各自生成函数的给定特征，我们可以推导出这些量的二元中心极限定理。此外，对于上升运行（或下降运行），我们得到明确的枚举公式显示连接到第二类斯特林数。我们还给出了建立这种关系的双射证明，并进一步说明了映射和标记树之间的双射连接两种结构中的数量。
A Combinatorial interpretation of Hofstadter's G-sequence
本文给出了Hofstadter的“Godel，Bacher，Bach：An Eternal Golden Braid”中一个经典的亚斐波那契数列G（n）= n-G（G（n-1））的组合解释，初始条件G（1）= 1.这个解释是用无限标号树来表示的。然后，我们展示了一些推论的行为序列G（n）直接从解释。
An edge-weighted hook formula for labelled trees
许多钩公式和钩求和公式以前已经出现，涉及各种类型的树。其中一类树是带有标号顶点的有根树，其中标号沿着从根顶点到叶子的每条链增加。在本文中，我们给出了一个新的钩和公式，这些（无序增加）树，通过引入一个新的一组的不确定性的顶点对，我们称之为边权重。这个新的结果推广了以前的结果由费雷和古尔登，这产生的背景下表示的对称群通过研究Kerov的特征多项式。我们的证明是通过一个组合双射，这是一个推广的Prüfer码标记树。
On naturally labelled posets and permutations avoiding 12-34
本文建立了{3, 2+2}-free自然标号偏序集与避免12-34排列间的双射，通过级数分析探究其渐近增长，并揭示了3-free自然标号偏序集与其他组合对象及区间序层级结构的联系。
Computing directed path-width and directed tree-width of recursively defined digraphs
本文研究递归定义有向图的有向路宽和有向树宽。作为一个重要的组合工具，我们展示了如何有向路径宽度和有向树宽度可以计算的不相交的工会，顺序组成，有向工会，和两个有向图的系列组成。这些结果意味着所有可由这四种运算定义的有向图的有向路宽和有向树宽相等。这使我们能够显示一个线性时间的解决方案，计算所有这些有向图的有向路宽和有向树宽。由于有向余图是可以由不交并、序合成和级数合成定义的有向图，我们的结果意味着有向余图的有向路宽和有向树宽相等，并给出了计算有向余图的有向路宽和有向树宽的线性时间解，推广了Bodlaender和Moehring关于无向余图的已知结果.
A Bijection between well-labelled positive paths and matchings
一个标号为n的正路径是由一个词p=p_1p_2.组成的对（p，σ）。p_{n-1}在字母表{-1，0，+1}上，使得任何前缀的字母之和是非负的，连同{1，2，.，n}，使得p_i=-1意味着σ（i）<σ（i+1），而p_i=1意味着σ（i）>σ（i+1）。我们在{1，2，.}上建立了大小为$n$的标号正路径与匹配（即无不动点对合）之间的双射2n}。这证明了良标号正路的个数是（2n-1）！！通过专门化我们的双射，我们还证明了大小为n的排列的数量，使得每个前缀的上升不比下降多，是[（n-1）！！]^ 2如果n是偶数且n！！(n-2)!!否则我们的结果还组合地证明了由所有点（x_1，...，x_n）在[-1，1]^n中，使得对于所有j= 1，2，.，n有体积（2n-1）！！/ n！
Combinatorial proofs of some properties of tangent and Genocchi numbers
切线数$T_{2n+1}$等于具有$2n+1$顶点的递增标号完全二叉树的数目。这种组合解释立即证明了$T_{2n+1}$可被$2^n$整除。然而，在伯努利数和Genocchi数的研究中已知更强的整除性，即$(n+1)T_{2n+1}$被$2^{2n}$整除。这一事实的传统证明需要大量的计算。在本文中，我们提供了一个组合的证明，后者整除使用树的钩长公式。此外，我们的方法被扩展到$k$ -ary树，导致一个新的推广的Genocchi数。
Recursions, Trains, Trees, and Combinatorial Rod Set Algebra
通过杆的列车物理模型，建立树结构与递归序列的代数对应，证明经典恒等式、Lucas序列整除性、二项Fibonacci恒等式及Borwein三项式分圆因子。
Enumerating threshold graphs and some related graph classes
给出了标号阈值图、拟阈值图、圈阈值图和拟圈阈值图的计数公式的组合证明。在每一种情况下，我们都按顶点数和分量数计数。对于阈值图，我们也通过控制顶点的数量来计数，对于循环阈值图，我们通过循环控制顶点的数量来计数。我们还获得了类似的Frobenius公式（连接欧拉数和斯特林数的第二类）的背景下，标记的阈值图。
Multivariable Lucas Polynomials and Lucanomials
卢卡斯多项式是$s_1$和$s_2$中的多项式，由$\{0\}=0$、$\{1\}=1$和$\{m\}=s_1\{m-1\}+s_2\{m-2\}$为$m \geq 2$递归定义。我们将Lucas多项式从二元多项式推广到多元多项式。这是通过首先在变量$s_1$、$s_r$和$s_{2r}$中定义$r$ -卢卡斯多项式$\{m\}_r$来完成的。我们证明了$r$ -Lucas多项式的二项式类似物是多项式，并给出了它们的组合解释。然后，我们推广的卢卡斯多项式的任意大的变量集。递归定义的生成函数给出这些多变量卢卡斯多项式。最后，我们给出了更多的应用和见解。
Combinatorial Properties of Metrically Homogeneous Graphs
拉姆齐理论在大物体中寻找引力。模型论研究作为理论模型的代数结构。结构拉姆齐理论结合了这两个领域，并关注关于某些模型论结构的拉姆齐型问题。在2005年，Nešetzanil开始了对有限结构的Ramsey类的系统研究。这篇论文是一个贡献的计划，我们发现拉姆齐扩展的原始3-约束类的Cherlin的目录度量齐次图。一个关键的ingradient是一个明确的组合算法，以填补在边缘标记图的缺失距离，以获得结构从Cherlin的类。该算法还蕴涵了部分自同构的扩张性质（EPPA），这是有限结构类的另一个组合性质。
Scaling limits for some random trees constructed inhomogeneously
我们定义了一些新的序列的递归构造的随机组合树，并表明，经过适当的重新缩放图的距离和配备的树的顶点上的统一措施，每个序列几乎必然收敛到一个真正的树在Gromov-Hausdorff-Prokhorov意义。对每个正整数$\ell$，用速率为$(\ell+1)t^\ell dt$的泊松过程对实半线进行线破断，从而构造出极限实树，并且组合树的生长可以看作是Rémy算法的非齐次推广.
Combinatorial families of multilabelled increasing trees and hook-length formulas
在这项工作中，我们介绍和研究的概念越来越多的标签树，其中的子节点的标签总是大于其父节点的标签，多标签树的家庭，在树中的节点可以得到多个标签的各种概括。对于所有的树类，我们通过微分方程的树枚举序列显示合适的生成函数的特征。此外，对于多标号增树族的几个组合类，我们提出了明确的枚举结果。我们还提出了多标记的增加树家族的椭圆性质，其中的指数母函数可以表示在Weierstrass-p函数或双纽线正弦函数。此外，我们将展示如何翻译枚举公式的multilabelled增加树到钩长公式的树，并提出了一个通用的“逆向工程”方法来发现钩长公式与这样的树家庭。
Infinitely many absolute universes
绝对组合对策论最近被开发为建设性/局部博弈比较的统一工具（Larsson et al. 2018）。该理论涉及{ \em父母宇宙}的组合游戏;标准的封闭性得到满足和每对非空的集合形式的宇宙使一种形式的宇宙。在这里，我们证明了存在无限数量的绝对misère宇宙，通过递归扩展dicot misère宇宙和死胡同宇宙。另一方面，我们证明了正常游戏恰好有两个绝对的宇宙，即全空间和所有小游戏的宇宙。
The Euler characteristic of the Whitehead automorphism group of a free product
建立了标号超树格上的一个组合求和恒等式，使人们能够获得关于群的自由积的各种自同构群的欧拉示性数的具体信息.
Limit laws for embedded trees. Applications to the integrated superBrownian excursion
我们研究了三个家庭的标记平面树。在所有这些树中，根标记为0，两个相邻节点的标记相差$0, 1$或-1。本文的一部分是专门的枚举结果。对于每个家族，以及对于所有的$j\in \ns$，我们获得了以下三个生成函数的封闭形式表达式：没有标签大于$j$的树的生成函数;树的（二元）生成函数，由标记为$j$的边数和节点数计数;最后是树的（二元）生成函数，由边的数目和标记为至少$j$的节点的数目计数。奇怪的是，所有这些级数都是代数级数，但我们没有这种代数性的组合直觉。本文的另一部分是致力于从这些枚举结果推导极限定律。在我们的每一个树的家庭，我们赋予树的大小$n$均匀分布，并研究以下随机变量：$M\_n$，最大的标签发生在一个（随机）树; $X\_n(j)$，标记为$j$的节点数;和$X\_n^+(j)$，标记为$j$或更多的节点数。我们得到这些随机变量的缩放版本的极限定律。最后，我们将上述极限结果转化为处理积分超布朗偏移（ISE）的陈述。特别是，我们描述了法律的上确界的支持（从而恢复一些早期的结果Delmas），其分布函数在一个给定的点。我们还推测其密度（在给定点）的规律。
Non-ambiguous trees: new results and generalisation
我们提出了一个新的定义，非二义树（NAT）标记二叉树。从而得到一个解可以用组合描述的微分方程。这产生了NAT数量的新公式。我们还得到了我们的公式的q-版本。并将NAT推广到更高维度。
The relation between tree size complexity and probability for Boolean functions generated by uniform random trees
本文考虑由随机布尔表达式导出的n元布尔函数集上的一个概率分布。这样的表达式是一个随机根平面树，其中内部顶点用连接词And和OR标记，叶子用变量或否定变量标记。本文研究了树的大小趋于无穷大时的极限分布，导出了树的大小复杂度与函数概率之间的关系。这是通过首先将表示特定函数的树表示为表示该函数的最小树的扩展，然后通过依赖于生成函数和奇异性分析的组合计数参数来计算概率来完成的。
A lattice on decreasing trees : the metasylvester lattice
我们引入了一种新的组合结构：减树上的metasylvester格。它出现在$m$ -Tamari格和其他相关的$m$ -推广的上下文中。最近由Novelli和Thibon引入了metasylvester同余。我们发现，它定义了一个子格的$m$ -置换，其中元素可以表示为递减标记树：metasylvester格。我们研究了这种新结构的组合性质。特别地，我们给出了格的不同实现。根据定义，$m$ -Tamari格是我们新定义的metasylvester格的子格。它导致我们的一个新的实现的$m$ -Tamari格，使用某些链的经典Tamari格。
Polynomial Identities Implying Capparelli's Partition Theorems
我们提出并递归证明多项式的身份，这意味着Capparelli的分割定理。我们还找到完美的同伴安德鲁斯的结果，和Alladi，安德鲁斯和戈登涉及$q$ -三项式系数。我们遵循Kurhungöz的想法，提供我们的一些表达式的直接组合解释。我们使用的三项式类似贝利引理，以获得新的身份。这些恒等式涉及三重和和乘积。一对夫妇的新斯莱特类型的身份也注意到。
Non-ambiguous trees: new results and generalisation (Full version)
我们提出了一个新的定义，非二义树（NAT）标记二叉树。这样我们得到一个微分方程，它的解可以用组合描述。这产生了NAT数量的新公式。我们还得到了我们的公式的q-版本。最后，我们将NAT推广到更高的维度。
Tuning as convex optimisation: a polynomial tuner for multi-parametric combinatorial samplers
组合采样器是为近似和精确生成大型随机组合结构而设计的算法方案，例如上下文无关的单词，各种树状数据结构，地图，平铺，RNA分子。它们可以适应具有附加参数的组合规格，从而允许对参数化组合模式的输出轮廓进行更灵活的控制。例如，可以控制叶子的数量、树中节点度的轮廓或生成的字符串中某些子模式的数量。然而，这种灵活的控制需要一个额外的和不平凡的调整过程。利用凸优化技术，我们提出了一个有效的调整算法的多参数组合规格。我们的算法在多项式时间内的系统描述长度，调整参数的数量，组合类的数量在规范中，和对数的总目标大小。我们证明了我们的方法的有效性，一系列的实际例子，包括合理的，代数的，和所谓的Pólya规格。我们展示了我们的方法如何可以适应广泛的不太典型的组合结构，包括对称多项式，标记集和周期的基数下界，简单的增加树或替换。最后，我们讨论了我们的原型调谐器实现的一些实际方面，并提供其基准测试结果。
Three New Refined Arnold Families
本文针对 Springer 数的双三角阵列及其多项式精细化，构造 cycle-up-down 排列、valley 带符号排列和 Knuth 翻转等价类三个新 Arnold 族，并用相应统计量实现精细多项式阵列。
Counting Rooted Trees: The Universal Law t(n) ~ C ρ^{-n} n^{-3/2}
使用标准多重集、序列、有向循环和循环构造及其限制的组合递归定义的组合类T具有正收敛半径的生成级数T（z）;对于其中的大多数，可以使用一个简单的测试来快速证明渐近的形式与有根树类的渐近形式相同：C ρ^{-n} n^{-3/2}其中ρ是T的收敛半径。
On parking functions and the zeta map in types B,C and D
设$Φ$是具有Weyl群$W$、coroot格$\check{Q}$和Coxeter数$h$的不可约晶体学根系.最近，第二位作者在有限环面$\check{Q}/(mh+1)\check{Q}$和非嵌套停放函数集$\operatorname{Park}^{(m)}(Φ)$之间定义了一个统一的$W$ -同构$ζ$。如果$Φ$是类型$A_{n-1}$和$m=1$这个地图是等价的地图上定义的标记Dyck道路出现在研究希尔伯特系列的空间的对角调和。在本文中，我们研究的情况$m=1$的其他无限族的根系（$B_n$，$C_n$和$D_n$）。在每种类型中，我们定义模型的有限环面和非嵌套停车功能的一组标记的格路径。映射$ζ$可以被看作是这些组合对象之间的映射。我们的工作需要新的双射（方）格路径和投票路径。
Planar triangulations, bridgeless planar maps and Tamari intervals
本文给出了Tutte（1962）、Walsh和Lehman（1975）分别提出的平面3-连通三角剖分与无桥平面映射之间的直接双射。Wormald（1980）和Fusy（2010）以前已知的双射都是递归定义的。我们的直接双射通过一类新的组合对象称为“粘性树”。我们还提出了双射之间的粘性树，间隔的Tamari格和封闭流的森林。我们的双射，我们恢复几个已知的枚举结果，这些对象。因此，我们表明，粘性树可以作为所有这些equi-enumerated对象之间的双射链接的关系。
Counting smaller elements in the Tamari and m-Tamari lattices
我们引入新的组合对象，区间偏序集，编码的Tamari格的间隔。然后，我们发现一个组合的解释双线性算子，出现在函数方程的Tamari区间描述的Chapoton。因此，我们检索这个函数方程，并证明了多项式递归计算的双线性算子对每棵树T计数的树的数量小于T的塔马利秩序。然后我们证明了类似的m + 1-线性算子也用于m-Tamari区间的函数方程中。我们解释了如何的m-Tamari格可以解释在m+1-ary树或某一类别的二叉树。然后，我们使用区间偏序集恢复的m-Tamari区间的函数方程，并证明了一个广义公式，计数的元素的数量小于或等于一个给定的树在m-Tamari格。
A Proof of the Symmetric Theta Conjecture when q = 0
本文通过构造分层树与双标记 Dyck 路径在统计量为 0 时的显式双射，证明了 q=0 情形下的对称 Theta 树猜想。
Symmetry of meromorphic differentials produced by involution identity, and relation to integer partitions
本研究证明了由对合恒等式递归生成的亚纯微分具有自变量全对称性，其证明依托给定部分数的整数分拆间的特殊组合恒等式，为复分析与组合数学的交叉研究提供了新结论。
Galois connections for phylogenetic networks and their polytopes
我们描述了伽罗瓦连接之间产生的两种组合结构，这两种广义树标记的叶子，然后将这些连接到一个家庭的多面体。我们研究的图可以充满度量性质或与向量相关联。著名的例子是系统发育树的Billera-Holmes-Vogtmann度量空间，以及Eickmeyer，Huggins，Pachter和Yoshida描述的系统发育树的平衡最小进化多面体。最近，Devadoss和Petti将树的空间扩展到分裂网络，而Durell和Forcey将系统发育多面体的定义推广到包含1-嵌套系统发育网络。我们描述的第一个伽罗瓦连接是（未加权）圆形分裂网络和1-嵌套系统发育网络之间的反映。另一个伽罗瓦连接存在于这些结构的某些度量版本之间。纯组合偏序集之间的反射在几何情形下成为上反射。除了发现伽罗瓦连接之外，我们在这里的主要贡献是：使用PC树和网络的方法之间的转换，一种看待网络权重的新方法，以及对系统发育多面体的面孔进行更全面的表征。
A circular order on edge-coloured trees and RNA m-diagrams
我们研究了一个循环顺序标记，m-边着色树与k顶点，并表明，这样的树与一个固定的循环顺序是双射与一组RNA的m-图的度k，组合对象，可以被视为RNA二级结构的某种。我们列举这些集，并表明，一组树与一个固定的循环顺序可以被描述为一个等价类的传递封闭的操作，在情况下，m=3，出现作为一个感应的上下文中的区间交换变换。
Log-concave poset inequalities
本文研究 matroids、polymatroids 等集合系统的组合不等式，利用纯 linear algebra 方法证明并扩展了加权可行字的 log-concavity 不等式及等式条件，并推广了 Stanley 不等式。
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