Improved Analyses of the Randomized Power Method and Block Lanczos Method
Zhejiang University（浙江大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Rutgers University（罗格斯大学）
本文改进了随机幂方法和块兰茨科斯方法的误差分析，提出了更紧的界，并为暖启动块兰茨科斯方法建立了首个与谱间隙无关的界。
2015-12-18 cs.NA math.NA
2-norm error bounds and estimates for Lanczos approximations to linear systems and rational matrix functions
Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）；Jülich Supercomputing Centre, Forschungszentrum Jülich GmbH（于利希超级计算中心，于利希研究中心有限公司）
通过二次 Lanczos 过程，提出一种高效计算有理矩阵函数作用到向量上的 Lanczos 逼近的可计算误差估计和误差界的方法，特别包括线性系统 Ax=b 的解，并首次实现了在已知 A 的最小特征值下界时，对 2-范数误差的上界估计。
2012-12-03 cs.NA hep-lat math.NA
Near instance optimality of the Lanczos method for Stieltjes and related matrix functions
本文证明了当矩阵函数属于Stieltjes函数类及相关类时，Lanczos方法近似误差偏离Krylov空间最优误差的严格界限，提供了近实例最优性理论保证。
2025-03-06 cs.NA math.NA
A Posteriori Error Estimate for Computing $\mathrm{tr}(f(A))$ by Using the Lanczos Method
IBM Thomas J. Watson Research Center（IBM 托马斯·J·沃森研究中心）；Department of Computer Science and Engineering, University of Minnesota（明尼苏达大学计算机科学与工程系）
本文提出利用兰茨方法计算对称正定矩阵A的tr(f(A))的后验误差估计，解决了收敛缓慢时的误差估计问题，并展示了其在大规模矩阵中的实用性。
2018-02-14 cs.NA math.NA
Backward error analysis of the Lanczos bidiagonalization with reorthogonalization
$k$ -步Lanczos双对角化将矩阵$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$简化为双对角形式$B_k\in\mathbb{R}^{(k+1)\times k}$，同时生成两个正交矩阵$U_{k+1}\in\mathbb{R}^{m\times (k+1)}$和$V_{k+1}\in\mathbb{R}^{n\times {(k+1)}}$。然而，该算法的任何实际实现遭受由于舍入误差的存在而导致的$U_{k+1}$和$V_{k+1}$的正交性的损失，并且提出了几种重新正交化策略来保持一定程度的正交性。本文通过把各种再正交化策略写成一般形式，对带再正交化的Lanczos双对角化（LBRO）进行了向后误差分析。我们的结果表明，由$A$的$k$ -步LBRO计算的$B_k$是由$A+E$的$b+δ_{b}$的$k$ -步Lanczos双对角化生成的确切的一个（记为LB（$A+E,b+δ_{b}$）），其中扰动向量/矩阵$δ_{b}$和$E$的2-范数依赖于$U_{k+1}$和$V_{k+1}$的圆形单位和正交水平。结果还表明，$U_{k+1}-\bar{U}_{k+1}$和$V_{k+1}-\bar{V}_{k+1}$的2-范数分别由$U_{k+1}$和$V_{k+1}$的正交水平控制，其中$\bar{U}_{k+1}$和$\bar{V}_{k+1}$是由$k$ -步L…
2022-10-19 cs.NA math.NA
Mixed Precision $s$-step Lanczos and Conjugate Gradient Algorithms
与经典的Lanczos算法相比，$s$步Lanczos变体具有通过渐进地降低每次迭代的同步成本来提高性能的潜力。然而，这是有代价的。尽管在数学上是等效的，但已知$s$-步变体在有限精度中表现得非常不同，相对于经典算法，具有更大的精度损失和收敛速度降低的可能性。先前已经表明，在$s$步骤版本中发生的错误遵循与经典算法中的错误相同的结构，但是增加了取决于在每个外循环中计算的$O(s)-$维Krylov基的条件数的平方的放大因子。由于这些$s$-步碱基的条件数随$s$增长（在某些情况下非常快），这限制了可以选择的参数$s$，从而限制了可以实现的性能。在这项工作中，我们表明，如果选择几个计算在$s$-步骤Lanczos进行了两倍的工作精度，误差项，然后只依赖于线性条件的$s$-步骤基地。这有可能大大改善算法的数值行为，对每次迭代性能的影响很小。我们的数值实验表明，改进的数值行为可能与混合精度的方法，也表明，这种改进的行为扩展到$s$-步CG算法在混合精度。
2021-08-30 cs.NA math.NA
Lanczos with compression for symmetric eigenvalue problems
EPFL（洛桑联邦理工学院）
本文提出了一种基于有理逼近的Lanczos压缩方法，用于高效求解对称本征值问题，相较于传统方法在矩阵向量乘积效率上表现更优。
2026-08-20 cs.NA math.NA
Optimal near-optimality bounds for the Lanczos method for matrix functions
NYU（纽约大学）；Flatiron Institute（平顿研究所）
该研究针对埃尔米特正定矩阵，证明了Stieltjes函数下Lanczos方法近似矩阵函数的误差界，强化推广了已有结果并确定了该界的最优性。
2026-08-10 cs.NA math.NA
Finite-Precision Symmetric Krylov Methods: Exact Rounding Examples, Block Paige Identities,and a Variable-Block Lanczos Model
本文研究有限精度下对称 Krylov 方法的数值分歧，通过精确舍入示例和块 Paige 恒等式，提出变块 Lanczos 模型，并给出精度界和收敛性分析。
2026-09-09 cs.NA math.NA
Lanczos with compression for symmetric matrix Lyapunov equations
本文提出一种新型Krylov子空间基压缩策略，以解决Lanczos方法在求解病态对称矩阵Lyapunov方程时收敛慢、内存需求大的问题，在不阻碍收敛的前提下显著降低内存使用。
2025-05-28 cs.NA math.NA
Analysis of stochastic Lanczos quadrature for spectrum approximation
$n\times n$对称矩阵$\mathbf{A}$的累积经验谱测度（CESM）$Φ[\mathbf{A}] : \mathbb{R} \to [0,1]$被定义为小于给定阈值的$\mathbf{A}$的特征值的分数，即，$Φ[\mathbf{A}](x) := \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} {\large\unicode{x1D7D9}}[ λ_i[\mathbf{A}]\leq x]$。谱和$\operatorname{tr}(f[\mathbf{A}])$可以被计算为$f$对$Φ[\mathbf{A}]$的Riemann-Stieltjes积分，因此估计CESM的任务经常出现在许多应用中，包括机器学习。给出了随机Lanczos求积（SLQ）的误差分析.我们表明，SLQ获得近似的CESM内的Wasserstein距离$t \: | λ_{\text{max}}[\mathbf{A}] - λ_{\text{min}}[\mathbf{A}] |$的概率至少$1-η$，通过应用Lanczos算法$\lceil 12 t^{-1} + \frac{1}{2} \rceil$迭代$\lceil 4 ( n+2 )^{-1}t^{-2} \ln(2nη^{-1}) \rceil$向量独立和均匀地从单位球采样。我们还提供了（矩阵依赖）的Wasserstein和K…
2021-06-11 cs.DS cs.NA math.NA
On convergence of the generalized Lanczos trust-region method for trust-region subproblems
本文重新审视了广义Lanczos信赖域（GLTR）方法的收敛性，通过建立更紧的残差上界、与谱分离无关的近似解距离新界限以及Lagrange乘子的非渐近收敛界限，改进了已有先验误差界，并通过数值实验验证了理论有效性。
2023-06-26 cs.NA math.NA
A Range-Deflated Stochastic Lanczos Quadrature Method for Large-Scale Log-Determinant Estimation
The University of Dodoma（多多马大学）；African Institute for Mathematical Sciences, Research and Innovation Centre（非洲数学科学研究所研究与创新中心）；Western Norway University of Applied Sciences（挪威西部应用科学大学）；University of Cape Town（开普敦大学）
提出两种高效大规模对数行列式估计方法：OSA-IOP和OSLQ，分别结合不完全正交化与随机Hutch++算法、Lanczos求积与受控正交化，理论推导误差界，实验验证精度与可扩展性。
2026-10-07 cs.NA math.NA
Error norm estimates for the block conjugate gradient algorithm
该研究将共轭梯度算法误差A-范数估计的核心公式推广到块情形，推导块CG变体、块求积规则及误差上下界，通过数值实验验证了界的实际表现。
2025-02-20 cs.NA math.NA
Error bounds for the approximation of matrix functions with rational Krylov methods
本研究通过关联矩阵函数误差与移位线性系统近似解误差，得到有理Krylov方法逼近对称矩阵函数的误差表达式，推导先验与后验误差界，推广了Lanczos方法的相关误差界并可改进其结果。
2023-11-05 cs.NA math.NA
Adapting the Lanczos algorithm to matrices with almost continuous spectra
Uppsala Universitet（乌普萨拉大学）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）；Southern Methodist University（南卫理公会大学）
本文提出了一种基于Kreĭn--Nudelman谱的改进Lanczos算法，用于处理具有连续谱的大规模矩阵问题，显著提升了波传播计算的精度。
2026-09-09 cs.NA math.NA
Stability of the Lanczos Method for Matrix Function Approximation
本文证明了Lanczos方法在有限精度下计算矩阵函数近似时仍能匹配精确算术保证，并指出对于 $A^{-1}$，Greenbaum的有限精度界限在特定矩阵上不如本文结果。
2024-11-18 cs.DS cs.NA math.NA
Estimation of spectral gaps for sparse symmetric matrices
本文提出一种结合 Hutchinson 随机迹估计与 Lanczos 算法的稀疏对称矩阵谱间隙识别方法，通过误差界确定所需样本与迭代次数，并证明单样本向量策略最优，实验验证其高效可靠。
2025-09-08 cs.NA math.NA
Accurate Density of States Estimation: A Comparative Study
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本研究通过比较多种方法，提出利用累积态密度的单调分段三次插值（中点样条）来高效准确估计大型稀疏矩阵的态密度，该方法无需固定带宽高斯平滑，且能以较少矩阵-向量乘积获得高精度结果。
2026-09-29 cs.NA math.NA
Fast computation of spectral densities for generalized eigenvalue problems
Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出两种方法高效估计Hermitian矩阵 pencil (A,B) 的谱密度，通过Chebyshev多项式逼近技术避免直接分解，证明Lanczos方法收敛速度是KPM的两倍，并展示如何利用谱密度分割谱区间。
2017-06-20 cs.NA math.NA
Inexact subspace projection methods for low-rank tensor eigenvalue problems
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出不精确子空间迭代方法求解低秩张量特征值问题，通过低秩压缩处理高维向量，相比不精确Lanczos方法对秩截断误差更鲁棒，且不要求矩阵为Hermitian，适用于DMRG停滞的问题。
2025-10-15 cs.NA math.NA
Linear Constrained Rayleigh Quotient Optimization: Theory and Algorithms
我们考虑以下约束瑞利商最优化问题（CRQopt）$$ \min_{x\in \mathbb{R}^n} x^{T}Ax\,\,\mbox{subject to}\,\, x^{T}x=1\,\mbox{and}\,C^{T}x=b, $$，其中$A$是$n\times n$实对称矩阵，$C$是$n\times m$实矩阵.通常是$m\ll n$。该问题也被称为约束本征值问题在文献中，因为它成为一个本征值问题如果线性约束$C^{T}x=b$删除。首先，我们等价地将CRQopt转换成一个最优化问题，称为LGopt，最小化CRQopt的拉格朗日乘子，然后一个问题，称为QEPmin，找到一个二次本征值问题的最小本征值。虽然这样的等价性已在文献中讨论，这似乎是第一次，这些等价性是严格合理的。然后，我们建议数值求解LGopt和QEPmin的Krylov子空间投影方法通过Lanczos过程。Lanczos方法的基本思想是，首先将LGopt和QEPmin投影到Krylov子空间上，以产生相同类型但尺寸小得多的问题，然后通过一些直接方法解决简化的问题，这些方法可以是长期方程求解器（在LGopt的情况下）或特征值求解器（在QEPmin的情况下）。这个算法被称为Lanczos算法。我们对所提出的方法进行了收敛性分析，并得到了误差界。人工的例子证明了误差界的尖锐性，虽然在应用中，该方法往往收敛得比界限建议…
2019-11-07 cs.LG cs.NA math.NA
A Krylov projection algorithm for large symmetric matrices with dense spectra
针对具有密集谱的大型对称正定矩阵及MIMO传递函数计算问题，提出自适应Kreĭn-Nudelman扩展的块Lanczos算法，以$o(n)$成本加速近似，数值结果验证其对无界域LTI PDE离散化的有效性。
2025-04-17 cs.NA math.NA
Angle-free cluster robust Ritz value bounds for restarted block eigensolvers
求解本征值问题的块迭代的收敛速度通常度量Ritz值逼近本征值的误差。Ritz值的误差通常是有界的初始或迭代子空间和与目标特征值相关联的不变子空间之间的主要角度。这样的边界因此不能重复应用于重新启动的块特征值求解器，因为边界的左侧和右侧使用不同的术语。它们必须与可能导致高估的额外界限相结合。另一种可重复的边界是角度自由的，只取决于误差的里兹值已率先为埃尔米特本征值问题在doi：10.1515/rnam.1987.2.5.371，但只有一个极端的里兹值。我们将这一结果扩展到所有Ritz值，并利用非连续特征值实现聚类特征值的鲁棒性。我们的新的边界覆盖重新启动块Lanczos方法和它的修改与移位和反转和紧缩，数值上是有利的。
2022-11-02 cs.NA math.NA
On the expected uniform error of Brownian motion approximated by the Lévy-Ciesielski construction
本文研究Lévy-Ciesielski构造逼近Brownian路径的一致误差，构造性地证明在评估d=2^N个点时误差上界为O(√(ln d/d))，并将结果应用于期权定价。
2023-08-14 cs.NA math.NA
Error Estimates for the Arnoldi Approximation of a Matrix Square Root
Tufts University（塔夫茨大学）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文提出了一种基于Arnoldi过程的矩阵平方根近似方法，推导了误差估计并扩展了非Hermitian情况下的误差分析，通过数值实验验证了方法的有效性。
2026-10-01 cs.NA math.NA
Structure-preserving algorithms with uniform error bound and long-time energy conservation for highly oscillatory Hamiltonian systems
保结构算法和具有一致误差界的算法构成了两类有趣的数值方法。本文将这两种方法混合起来求解具有强振荡解的非线性哈密顿系统，混合算法继承并尊重了每种方法的优点。给出了保持哈密顿系统辛性和能量的两种算法。此外，所提出的算法具有一致误差界的高度振荡的结构。最后通过数值实验验证了本文所提出的混合算法的有效性。
2021-02-04 cs.NA math.NA
Uniform error estimates for nonequispaced fast Fourier transforms
本文研究了非等间距快速傅里叶变换（NFFT）的误差特性。这种近似算法主要是基于一个简洁的支持窗口函数的方便选择。到目前为止，已经使用了各种窗口函数，并且最近提出了新的窗口函数。我们提出了新的误差估计的NFFT与compatible支持，连续的窗口函数，并推导出规则，方便地选择从NFFT中涉及的参数。窗函数的误差常数主要取决于过采样因子和截断参数。
2021-08-24 cs.NA math.NA
Uniform norm error estimate for rectangular finite element approximation of a 2D turning point problem
The LNM Institute of Information Technology（LNM信息技术学院）
本文研究二维强奇异扰动对流扩散转折点问题的有限元近似，通过分层适应网格实现最大范数下的均匀收敛性，并给出粗区域的ε无关界。
2026-02-06 cs.NA math.NA
Uniform error estimates for general semilinear turning point problems on layer-adapted meshes
Technical University of Dresden（德累斯顿工业大学）
本文研究了一类一般形式的奇异 perturbation 非线性边界值问题，通过解分解分离指数边界层项，利用高阶有限元在适当构造的层适应网格上离散，并在能量范数下证明了对奇异 perturbation 参数 ε 的均匀误差估计。
2017-01-23 cs.NA math.NA
Error analysis of the L1 method on graded and uniform meshes for a fractional-derivative problem in two and three dimensions
University of Limerick（利默里克大学）
本文研究了具有Caputo分数阶时间导数的初始-边界值问题，分析了L1型离散化在L∞和L2范数下的误差，通过数值实验验证了理论结果。
2018-10-23 cs.NA math.NA
A multi-physics structure-preserving integrator with uniform error bounds for relativistic charged-particle dynamics under strong magnetic fields
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）；State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院数学科学重点实验室）
研究强磁场下相对论带电粒子动力学问题，开发显式多物理结构保持Strang分裂格式，能保持多种性质并给出二阶均匀误差界，经理论证明和数值实验验证。
2026-07-28 cs.NA math.NA
Uniform Stability and Error Analysis for Some Discontinuous Galerkin Methods
本文研究问题为不连续伽辽金方法的稳定性与收敛性分析，核心方法是利用Brezzi理论建立适当的范数，主要贡献是证明稳定性与误差估计在稳定化和离散参数下是统一的。
2018-10-07 cs.NA math.NA
Improved uniform error bounds of exponential wave integrator method for long-time dynamics of the space fractional Klein-Gordon equation with weak nonlinearity
针对非线性空间分数阶Klein-Gordon方程（NSFKGE）的长时间动力学，在$H^{α/2}$范数下建立了改进的$O\left(h^m+\varepsilon^2 τ^2\right)$一致误差界。在时间上采用二阶指数波积分器（EWI）方法对NSFKGE进行半离散，在空间上采用傅里叶谱方法进行全离散。利用正则性补偿振荡（RCO）技术证明了改进的一致误差界在时间半离散的$O\left(\varepsilon^2 τ^2\right)$和全离散的$O\left(h^m+\varepsilon^2 τ^2\right)$直到长时间$T_{\varepsilon}=T / \varepsilon^2$（$T>0$固定）.讨论了复NSFKGE和具有广义幂指数非线性项的振荡复NSFKGE。最后通过数值算例验证了理论分析的正确性和方法的有效性。
2023-03-07 cs.NA math.NA
Improved uniform error bounds on time-splitting methods for the long-time dynamics of the weakly nonlinear Dirac equation
对于弱非线性Dirac方程（NLDE）的长时间动力学，严格证明了改进的时间分裂方法的一致误差界，其中非线性强度由无量纲参数$\varepsilon \in (0, 1]$表征.我们采用二阶Strang分裂方法在时间上对NLDE进行离散，在空间上结合Fourier拟谱方法进行全离散。利用{ \sl正则性补偿振荡}（RCO）技术，其中高频模式由精确解的正则性控制，低频模式由相位抵消和能量方法分析，我们建立了二阶Strang分裂半离散和全离散直到长时间$T>0$固定的$T_{\varepsilon} = T/\varepsilon^2$的改进的$O(\varepsilon^2τ^2)$和$O(h^{m-1}+ \varepsilon^2τ^2)$的一致误差界，分别此外，数值方案和误差估计扩展到一个振荡NLDE的传播波与$O(\varepsilon^2)$波长的时间。最后给出了数值例子，验证了分析结果.
2022-03-15 cs.NA math.NA
Exact asymptotics of the uniform error of interpolation by multilinear splines
Sam Houston State University（萨姆休斯顿州立大学）
本文研究了用多线性样条自适应逼近C2函数时，插值和拟插值多线性样条在加权均匀逼近下的最优误差的渐近行为。
2011-01-13 cs.NA math.NA
Uniform error bounds of a time-splitting spectral method for the long-time dynamics of the nonlinear Klein-Gordon equation with weak nonlinearity
对于具有弱幂型非线性项的Klein-Gordon方程（NKGE）和具有$O(1)$初值的非线性项，当非线性项的强度由具有常数$p \in \mathbb{N}^+$和无量纲参数$\varepsilon \in (0, 1]$的$\varepsilon^{p}$表征时，对于直到$O(\varepsilon^{-β})$的长时间动力学，利用$0 \leq β\leq p$建立了时间分裂Fourier拟谱（TSFP）方法的一致误差界.事实上，当$0 < \varepsilon \ll 1$时，问题等价于具有小初始数据和$O(1)$非线性强度的NKGE的长时间动力学，而初始数据（和解）的振幅在$O(\varepsilon)$处。通过将NKGE转化为相对论非线性薛定谔方程，我们采用TSFP方法对其进行数值离散。利用数学归纳法对数值解进行定界，证明了$h$网格尺寸、$τ$时间步长和$m\ge2$的TSFP方法在$O(h^{m}+\varepsilon^{p-β}τ^2)$处的一致误差界依赖于解的正则性.误差界对于直到$O(\varepsilon^{-β})$的时间的长时间模拟是一致准确的，并且对于$\varepsilon\in(0,1]$是一致有效的。特别地，对于参数区域$0\leβ<p$中的大时间步长$τ= O(\varepsilon^{-(p-β)/2})$，误差界在二阶速率处是一致的。数…
2021-08-15 cs.NA math.NA
Improved uniform error bounds of the time-splitting methods for the long-time (nonlinear) Schrödinger equation
对具有小势能的薛定谔方程和具有弱非线性的非线性薛定谔方程（NLSE）的长时间动力学问题，建立了改进的时间分裂方法的一致误差界.对于以无量纲参数$\varepsilon \in (0, 1]$表示势振幅的小势薛定谔方程，我们利用了（二阶）$L^2$范数的时间分裂傅立叶伪谱（TSFP）方法，以证明对于任何$T>0$直到长时间$T_\varepsilon= T/\varepsilon$在$C(T)(h^m +τ^2)$处的一致误差界，并且对于$0<\varepsilon\le1$一致，而$h$是网格尺寸，$τ$是时间步长，$m \ge 2$依赖于精确解的正则性，$C(T) =C_0+C_1T$最多相对于$T$线性增长，其中$C_0$和$C_1$是两个独立于$T$、$\varepsilon$、$h$和$τ$的正常数。通过引入一种新的{ \sl正则性补偿振荡}（RCO）技术，即用正则性控制高频模，用相位抵消和能量方法分析低频模，建立了$m \geq 3$势的薛定谔方程直到$O(1/\varepsilon)$时刻的长时间动力学在$H^1$范数下的改进的$O(h^{m-1} + \varepsilon τ^2)$一致误差界，这对于$\varepsilon\in(0,1]$是一致的。此外，RCO技术被扩展到证明了一个改进的一致误差界在$O(h^{m-1} + \varepsilon^2τ^2)$在…
2022-07-03 cs.NA math.NA
The hp-BEM with quasi-uniform meshes for the electric field integral equation on polyhedral surfaces: a priori error analysis
Brunel University（布鲁内尔大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
针对分段平面Lipschitz曲面上的电场积分方程，采用准均匀网格上的Raviart-Thomas单元进行H(div)相容离散，基于解的正则性假设，证明了能量范数下的先验误差估计，并给出了关于网格参数h和多项式次数p的预期收敛速度。
2009-05-29 cs.NA math.NA
Some uniform error analysis for gKdV equations in dispersionless limit regime before dispersive shock
School of Mathematical Sciences, Chengdu University of Technology（成都理工大学数学科学学院）；School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics & Computational Sciences Hubei Key Laboratory, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院及计算科学湖北省重点实验室）
本研究针对DSW形成前无色散极限区的gKdV方程，证明CN与Lawson-RK格式在傅里叶伪谱离散下具有ε一致的二阶时间精度与谱空间精度，还验证了CN格式的唯一可解性及步长限制的必要性。
2026-08-20 cs.NA math.NA
Improved uniform error bounds on a Lawson-type exponential integrator for the long-time dynamics of sine--Gordon equation
本文对sine-Gordon方程的长时间动力学问题建立了改进的Lawson型指数积分Fourier拟谱（LEI-FP）方法的一致误差界，其中初始数据的振幅为$O(\varepsilon)$，$0 < \varepsilon \ll 1$是直到$O(1/\varepsilon^2)$时刻的无量纲参数.数值格式结合了Lawson型指数积分器的时间与傅立叶伪谱方法的空间离散，这是完全明确的和有效的，在实际计算中由于快速傅立叶变换。通过分离正弦函数中的线性部分，并采用相位抵消法处理多项式非线性项的正则性补偿振荡（RCO）技术，在$O(\varepsilon^2τ)$上实现了半离散化的改进误差界，而不是在$O(τ)$上实现了经典的误差估计，在$O(h^m+\varepsilon^2τ)$上实现了全离散化直到时间$T_{\varepsilon} = T/\varepsilon^2$，其中$T>0$是固定的.这是第一个工作，建立了改进的一致误差界的长期动态的NKGE与非多项式非线性。将改进后的误差界推广到具有$O(\varepsilon^2)$波长和$O(\varepsilon^{-2})$波速的振荡sine-Gordon方程，表明当时间步长为$O(\varepsilon^2)$时，时间误差与$\varepsilon$无关.最后，数值例子证实了改进的误差界，并证明他们是尖锐的。
2022-11-17 cs.NA math.NA
Uniform Bounds with Difference Quotients for Proper Orthogonal Decomposition Reduced Order Models of the Burgers Equation
本文证明了文献[26]中引入的考虑差分导数的Burgers方程本征正交分解（POD）降阶模型（ROM）的一致误差界。特别是，我们研究的DQ ROM误差界的行为，考虑$L^2(Ω)$和$H^1_0(Ω)$ POD空间和$l^{\infty}(L^2)$和自然范数的错误。我们提出了一些有意义的数值试验检查的行为的误差界。基于我们的数值结果，DQ ROM误差比noDQ误差小小于几个数量级（其中POD以标准方式构造，即，没有DQ方法）。此外，noDQ ROM错误具有最优行为，而DQ ROM错误（其中DQ被添加到POD过程）展示最优/超最优行为。这是因为DQ内积允许ROM空间中的时间依赖性产生影响。
2023-02-17 cs.NA math.NA
Expected uniform integration approximation under general equal measure partition
本文研究了Sobolev空间$\mathcal{H}^{\mathbf{1}}(K)$中函数一致积分逼近的均方误差的$L_2-$期望偏差的界，其中$\mathcal{H}$是具有核$K$的再生Hilbert空间.与已知的粗Monte Carlo方法的速率$O(N^{-1})$相比，得到了更好的近似误差阶数$O(N^{-1-\frac{1}{d}})$.其次，在一般Sobolev空间$F_{d,q}^{*}$中，利用分层样本的期望$L_{p}-$偏差界（$p\ge 1$）给出了$p$-积分逼近误差矩的几个上界.
2021-10-04 cs.NA math.NA
Guaranteed a posteriori local error estimation for finite element solutions of boundary value problems
本文考虑Poisson方程边值问题的有限元解，提出了一种基于超圆法的保后验局部误差估计。与已有的定性误差估计方法相比，本文提出的误差估计方法在目标子域上为近似误差提供了一个清晰的界，并且进一步利用非均匀网格可以提高估计的效率.这样的结果适用于没有$H^2$ -正则性的问题，因为它只利用了解的一阶导数。数值实验表明，该方法的有效性的凸和非凸的二维区域均匀或非均匀网格。
2021-12-16 cs.NA math.NA
Improved uniform error bounds on time-splitting methods for the long-time dynamics of the Dirac equation with small potentials
我们建立了改进的一致误差界的时间分裂方法的Dirac方程的长时间动力学的小电磁势的特点是一个无量纲参数$\varepsilon\in (0, 1]$代表的潜力的振幅。我们首先用时间分裂方法在时间上对狄拉克方程进行半离散化，然后用傅里叶拟谱方法在空间上进行全离散化。利用Dirac方程二阶时间分裂方法的幺正流性质，证明了对于任意时间的$t\in[0,T_\varepsilon]$和对于$T > 0$的$T_\varepsilon = T/\varepsilon$，半离散化和全离散化分别在$C(t)τ^2$和$C(t)(h^m+τ^2)$上的一致误差界，对于$\varepsilon \in (0, 1]$，$τ$是时间步长，$h$是网格尺寸，$m\geq 2$依赖于解的正则性，并且$C(t) = C_0 + C_1\varepsilon t\le C_0+C_1T$相对于$t$最多线性增长，其中$C_0\ge0$和$C_1>0$是两个独立于$t$、$h$、$τ$和$\varepsilon$的常数。然后采用正则性补偿振荡（RCO）技术，通过解的正则性控制高频模式，通过相位抵消和能量法控制低频模式，分别建立了半离散化和全离散化下$O(\varepsilonτ^2)$和$O(h^m +\varepsilonτ^2)$的改进一致误差界，直至长时间$T_\varepsilon$ .数值结果证实了我…
2021-12-07 cs.NA math.NA
Uniform error bounds of time-splitting methods for the nonlinear Dirac equation in the nonrelativistic regime without magnetic potential
在非相对论区域，严格分析了无外磁势的非线性Dirac方程的Lie-Trotter分裂（$S_1$）和Strang分裂（$S_2$）的超分辨，其中小参数$0<\varepsilon\leq 1$与光速成反比.在该状态下，溶液随时间高度振荡，波长为$O(\varepsilon^2)$。分离方法令人惊讶地显示出超分辨率，即即使时间步长$τ$远大于$O(\varepsilon^2)$处的采样波长，该方法也可以准确地捕获解。与线性情形类似，$S_1$和$S_2$都表现出$1/2$阶收敛性，且关于$\varepsilon$一致.此外，如果$τ$是非共振的，即$τ$远离由$\varepsilon$确定的特定区域，则$S_1$将产生改进的均匀一阶$O(τ)$误差界，而$S_2$将给出改进的均匀$3/2$阶收敛。数值结果证实了这些严格的结果。此外，我们注意到，超分辨率仍然是有效的高阶分裂方法。
2021-02-05 cs.NA math.NA
Improved uniform error bounds on time-splitting methods for long-time dynamics of the nonlinear Klein--Gordon equation with weak nonlinearity
对具有弱立方非线性项的非线性Klein-Gordon方程（NKGE）的长时间动力学问题建立了改进的时间分裂方法的一致误差界，其强度由$\varepsilon^2$表征，其中$0 < \varepsilon \leq 1$是无量纲参数.实际上，当采用$0 < \varepsilon \ll 1$时，具有$O(\varepsilon^2)$非线性和$O(1)$初始数据的NKGE等效于具有$O(1)$非线性和小初始数据的NKGE，其振幅在$O(\varepsilon)$。我们首先用二阶时间分裂方法对NKGE进行半离散化，然后用空间傅立叶谱方法进行全离散化。利用正则性补偿振荡（RCO）技术，通过精确解的正则性控制高频模式，通过相位抵消和能量分析方法分析低频模式，分别对二阶半离散和二阶全离散到长时间$T_\varepsilon = T/\varepsilon^2$的$O(\varepsilon^2τ^2)$和$O(h^m+\varepsilon^2τ^2)$进行了改进的一致误差界.扩展高阶时间分裂方法和振荡复杂NKGE的情况下进行了讨论。最后，数值结果证实了改进的误差界，并证明他们是尖锐的。
2021-09-30 cs.NA math.NA
Uniform error bounds of exponential wave integrator methods for the long-time dynamics of the Dirac equation with small potentials
针对以$\varepsilon \in (0, 1]$为无量纲参数的小势Dirac方程的长时间动力学问题，提出并分析了两种指数波积分Fourier拟谱（EWI FP）方法.基于相空间中时间导数的（对称）指数波积分器，然后应用空间导数的傅立叶伪谱离散化，EWI-FP方法是显式的，并且对于任何固定的$\varepsilon = \varepsilon_0$，在空间上具有谱精度，在时间上具有二阶精度。一致误差界严格进行$O(h^{m_0}+τ^2)$直到时间在$O(1/\varepsilon)$与网格大小$h$，时间步长$τ$和$m_0$一个整数取决于该解决方案的规则性。大量的数值结果报告，以确认我们的误差界和两种方法的比较。最后，给出了二维Dirac方程的动力学解，验证了数值格式的正确性.
2021-06-26 cs.NA math.NA
Error analysis for quadratic spline quasi-interpolants on non-uniform criss-cross triangulations of bounded rectangular domains
针对矩形域上的非均匀十字交叉剖分，分析了两类C1二次样条拟插值算子（基于B样条与离散泛函线性组合）的逼近误差，证明了其无穷范数小且与剖分无关，对二次多项式精确，从而对光滑函数达到最优逼近阶，并给出了依赖于光滑度和网格比的最优误差界。
2006-02-16 cs.NA math.NA
Uniform-in-Time Weak and Ergodic Error Estimates of a Nonlinearity-Explicit Full Discretization for Superlinear SPDEs Driven by Multiplicative Noise
Southern University of Science and Technology（南方科技大学）
研究由乘性噪声驱动的超线性随机偏微分方程，用非线性显式伽辽金驯服欧拉方法，结合马利瓦因微积分与BKE正则性理论，证明时间一致弱收敛速率，得到精确与数值不变测度间遍历误差估计，数值实验支持理论。
2026-07-30 cs.NA math.NA
Uniform-in-time Strong Error Estimates of Tamed-FEM to Superlinear SPDEs driven by Multiplicative Noise
Southern University of Science and Technology（南方科技大学）
针对乘性噪声驱动的超线性随机偏微分方程，提出一种非线性显式驯服有限元方法，证明其均匀时间强误差估计、指数遍历性及不变测度的收敛率。
2026-09-28 cs.NA math.NA
Improved uniform error bounds for long-time dynamics of the high-dimensional nonlinear space fractional sine-Gordon equation with weak nonlinearity
针对弱非线性高维空间分数阶 sine-Gordon 方程，提出时间分裂 Fourier 拟谱方法并借助正则性补偿振荡技术建立至 O(1/ε²) 长时间的改进一致误差界。
2024-02-28 cs.NA math.NA
Scattering and uniform in time error estimates for splitting method in NLS
本文针对质量（超）临界、能量次临界的散焦非线性薛定谔方程，利用散射理论中的向量场获得时间衰减估计，从而证明了Lie-Trotter分裂方法的时间一致误差估计。
2022-11-22 cs.NA math.AP math.NA
Structure preserving Stochastic Impulse Methods for stiff Langevin systems with a uniform global error of order 1 or 1/2 on position
California Institute of Technology（加州理工学院）
针对具有二次刚性势和任意软势的朗之万系统，提出一类显式保结构（准辛）的脉冲积分器，在粗步长下实现位置的一致误差界。
2010-06-23 cs.NA math.NA physics.comp-ph
