Fixed points for group actions on 2-dimensional affine buildings
Jeroen Schillewaert, Koen Struyve, Anne Thomas
我们证明了一个局部到全局的结果为不动点的群体上的仿射建筑物（可能是非离散）的类型$\tilde{A}_2$或$\tilde{C}_2$。在离散的情况下，我们的定理建立了相应的特殊情况下的猜想马奎斯。
We prove a local-to-global result for fixed points of groups acting on affine buildings (possibly non-discrete) of types $\tilde{A}_2$ or $\tilde{C}_2$. In the discrete case, our theorem establishes the corresponding special cases of a conjecture by Marquis.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Tangent bundles of hyperbolic spaces and proper affine actions on $L^p$ spaces
定义了度量测度空间的负曲切丛的概念。证明了当群$G$作用在具有负曲切丛的度量测量空间$X$上时，$G$作用在某个$L^p$空间上，并且在适当的假设下，该作用是正确的。然后我们检查这个结果适用于$X$是双曲空间的情况。
Notes on Actions of Sets and Groups and Generalized Affine Spaces
综述了与群作用有关的一些著名的、不太著名的或新的概念。这些概念中的一些被用来推广仿射空间。动作被看作是具有变换幺半群中的值的函数
Affine actions on non-archimedean trees
我们开始研究的仿射行动的团体对$Λ$树的一般有序阿贝尔群$Λ$，这些行动的扩张，而不是等距。这给出了$\R$ -树上的等距作用和I.卢斯$Λ$ -树上的基长度函数和动作之间的对偶性被推广到这种设置。我们被引导去考虑一类新的群：对于某些$Λ$，在$Λ$ -树上允许自由仿射作用的群。这类群的例子包括可解的Baumslag-Solitar群和离散的Heisenberg群。
Affine structures, wreath products and free affine actions on linear non-archimedean trees
设$Λ$是一个有序交换群，$\mathrm{Aut}^+(Λ)$是$Λ$的保序自同构群，$G$是一个群，$α:G\to\mathrm{Aut}^+(Λ)$是一个同态. $G$在$Λ$树$X$上的$α$仿射作用是满足$d(gx,gy)=α_gd(x,y)$（$x,y\in X$，$g\in G$）的作用.我们认为类的群体，承认一个自由的，刚性的，仿射行动的情况下，$X=Λ$。这样的群形成了比等距情形大得多的类。我们特别表明，单三角组$\mathrm{UT}(n,\mathbb{R})$和组$T^*(n,\mathbb{R})$的上三角矩阵在$\mathbb{R}$与正对角条目允许自由仿射行动。我们的证明涉及左对称结构的相应的李代数和相关的仿射结构的问题。我们还证明了，给定有序交换群$Λ_0$和$Λ_1$以及$G$在$Λ_0$上的一个保向仿射作用，我们得到了圈积$G\wr Λ_1$在一个适当的$Λ'$上的另一个这样的作用.因此，所有的自由可解群、剩余自由群和局部剩余自由挠幂零群在某些$Λ'$上都允许本质自由仿射作用。
Hyperbolic groups admit proper affine isometric actions on $l^p$-spaces
本文证明了双曲群在$l^p$ -空间上允许真仿射等距作用。
Domains of discontinuity of Lorentzian affine group actions
本文研究仿射洛伦兹变换 Anosov 群的作用，证明其真不连续域具有非空性。
Evanescent affine isometric actions and weak identity excluding groups
本文研究了希尔伯特空间上仿射等距作用的一个性质，称为渐逝。易逝动作是不可约动作的极端相反。每个仿射等距作用量都可以自然地分解为一个渐逝部分和一个不可约部分。我们研究这种分解何时是唯一的。我们还研究了一个几乎有不动点的动作何时会自动消失。我们将这些问题与群的恒等式不相容性联系起来。我们还将它们与冯诺依曼代数的有限性所产生的线性部分的行动。
Fixed-point property for affine actions on a Hilbert space
格罗莫夫表明，对于固定的，任意大的C，任何一致的C-李普希茨仿射行动的随机组在他的图模型上的希尔伯特空间有一个不动点。我们宣布一个定理，说明更一般的仿射作用的同一个随机群的希尔伯特空间有一个不动点。我们讨论了证明的一些方面。
Properly discontinuous group actions on affine homogeneous spaces
Auslander猜想的一个推广证明的情况下，当Levi因子的Zagliki封闭的作用群是一个产品的简单的实代数群的秩\leq 1。此外，Auslander猜想被证明为尺寸\leq 5。
Irreducible affine isometric actions on Hilbert spaces
本文系统地研究了希尔伯特空间上局部紧群的不可约仿射等距作用。事实证明，虽然这是一些平行的研究到现在的经典理论的不可约酉表示，这两个理论不同的几个方面（例如，直接和两个不可约仿射行动仍然可以是不可约的）。我们使用的主要工具之一是舒尔引理的仿射版本，其特征在于仿射等距群作用的不可约性。这使我们能够描述例如幂零群的不可约仿射等距作用。作为另一个应用，对Neretin的下述结果：局部紧群的不可约仿射作用对余紧格的限制仍然是不可约的，给出了一个简短的证明.给出了固定的酉表示是不可约仿射作用的线性部分的一个充要条件。特别地，当酉表示是离散群G的正则表示的倍数时，我们证明了这个问题与G的L2-贝蒂数的关系。在给出不可约仿射作用直和不可约的一个充要条件后，我们得到了如下超刚性结果：如果G是两个或多个局部紧群的乘积，则G中任一不可约余紧格的不可约仿射作用扩张为G的一个仿射作用，只要该作用的线性部分不弱包含平凡表示.
Free affine $\mathbb{Z}^p$-actions on Tori
我们证明了任何$\mathbb{Z}^p$ -作用${\bf A}$，通过$\mathbb{Z}^q$与非零不动点集的自同构起作用，诱导$\mathbb{Z}^p$ -作用${\bf A}$的一个单幂因子，该因子决定了作用${\bf A}$是否是{ \it解放仿射}，即${\bf A}$是环面$T^q$上的自由仿射$\mathbb{Z}^p$ -作用的线性部分。一般来说，并不是所有对$\mathbb{Z}^q$的单幂$\mathbb{Z}^p$ -作用$\bf{U}$都是仿射释放的：$q\geq 4$出现了反例。但若${\bf U}$的不动点集作为$\mathbb{Z}^q$的一个子空间的维数小于$q/2$，则${\bf U}$是仿射自由的.若$q\leq3$，则仿射释放$\mathbb{Z}^q$上具有非零不动点集的$\mathbb{Z}^p$ -作用。最后，对于$\mathbb{Z}^3$上的幂单$\mathbb{Z}^p$ -作用，我们得到了$T^3$上的最小自由仿射$\mathbb{Z}^p$ -作用的所有线性部分的分类。
Affine actions on Nilpotent Lie groups
对于任何连通和单连通的幂零李群N，我们可以把它的仿射变换群Aff（N）联系起来。本文研究了一个给定的幂零李群G在另一个幂零李群N上通过这种仿射变换的简单传递作用。我们成功地将这种简单传递仿射作用的存在性问题转化为李代数水平上的相应问题。作为该平移的可能使用的示例，我们然后考虑dim（G）=dim（N）小于6的情况。最后，我们专门讨论了给定连通和单连通幂零李群上的阿贝尔单传递仿射作用。结果表明，N上的这样一个简单传递的阿贝尔仿射作用对应于N的李代数上的一个特殊的李相容双线性积，我们称之为LR-结构。
Rigidity of commuting affine actions on reflexive Banach spaces
我们给出一个简单的证明：如果α是自反巴拿赫空间X上具有线性部分π的拓扑群的乘积G × H的仿射等距作用，则π（H）固定一个单位向量或α| G几乎固定X上的一点。因此，自反巴拿赫空间X上的任何阿贝尔群的仿射等距作用，其线性部分不固定任何单位向量，几乎固定X上的点。
Fibred coarse embeddability of box spaces and proper isometric affine actions on $L^p$ spaces
我们证明了以下定理的必要部分：一个生成的剩余有限群具有性质$PL^p$（即它允许在某些$L^p$空间上的真等距仿射作用）当且仅当它的一个（或等价地，所有）盒空间允许在某些$L^p$空间中的一个粗嵌入。我们还证明了一个群的盒空间到$L^p$空间的粗嵌入性蕴涵着这个群的性质$PL^p$。
On the Hurwitz action in affine Coxeter groups
证明了仿射Coxeter群中的抛物型拟Coxeter元的Hurwitz作用在其约化分解集上是传递的。我们称考克斯特群中的一个元素为抛物拟考克斯特元素，如果它有一个约化因子分解为生成一个抛物子群的反射的乘积。
Warped cones and proper affine isometric actions of discrete groups on Banach spaces
翘曲锥是由约翰·罗伊从紧致度量空间上的离散群作用中引入的度量空间，以在粗糙几何中产生有趣的例子。我们证明了一类翘曲锥$\mathcal{O}_Γ(M)$允许在$L_p$ -空间（$1\leq p<\infty$）中有一个伪粗嵌入当且仅当离散群$Γ$允许在$L_p$ -空间上有一个真仿射等距作用.这实际上适用于任何一类在Lebesgue-Bochner $L_p$ -空间和超积下稳定的巴拿赫空间，例如，一致凸的巴拿赫空间或非平凡型的巴拿赫空间。因此，最大粗Baum-Connes猜想和粗Novikov猜想对某类翘曲锥成立，这些翘曲锥对于任何$1\leq p<\infty$都不粗嵌入到任何$L_p$ -空间中。
The Baum-Connes conjecture and proper group actions on affine buildings
我们研究了应用有限维参数的可能性，以解决部分的Baum-Connes猜想的生成的线性群。这给出了Guentner，Higson和Weinberger关于线性群的Baum-Connes猜想的结果的另一种方法。对于特征为零的域上的任意非线性生成的线性群，我们在有限渐近维CAT（0）-空间上构造了一个真作用，只要对这样的群，它的幂幺子群具有“有界合成秩”。我们构造的CAT（0）-空间是对称空间和仿射Bruhat-Tits建筑的有限乘积。对于SL（2，C）的有限生成子群的情况，结果被锐化以表明Baum-Connes装配映射是同构的。
Constructing proper affine actions via higher strip deformations
我们引入了更高的带状变形，这给出了一种方法来构建仿射变形的离散自由群的不可约表示$\operatorname{PSL}_2\mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2n,2n-1)$的形象。我们使用的马古利斯不变量找到这些变形的一个propriness条件，表明每个凸余紧自由群承认仿射变形正确地作用于$\mathbb{R}^{4n-1}$。利用我们的方法，我们还可以构造虚自由群的真仿射作用，我们通过寻找$C_2 \star C_3$在$\mathbb{R}^7.$上的真作用来证明这一点
Solvable Groups and Affine Actions on the Line
本文研究有限生成可解群在实区间上的保向作用，证明C^1微分同胚作用必半共轭于仿射作用，并给出同胚情形下的局部半共轭结果及仿射作用族的鲁棒性条件。
Spaces with labelled partitions and isometric affine actions on Banach spaces
我们定义的空间结构的标签分区，推广的结构空间与测量墙和研究之间的联系的行动自同构空间上的标签分区和等距仿射行动的巴拿赫空间，更特别的是，在$L^p$空间。我们用标号划分来构造自然空间，以满足群的各种构造的作用，即：直和、半直积、圈积和混合自由积.利用这一性质证明了具有性质$PL^p$的群与具有Haagerup性质的群的圈积具有性质$PL^p$，具有性质$PL^p$的群的有限子群上的合并自由积具有性质$PL^p$ .
Proper affine actions for right-angled Coxeter groups
对任意直角Coxeter群$Γ$在$k$生成元上的作用，通过左、右乘法构造了$Γ$在$\mathrm{O}(p,q+1)$上的作用，通过仿射变换构造了$Γ$在李代数$\mathfrak{o}(p,q+1)$上的作用，对某些具有$p+q+1=k$的$p,q\in\mathbb N$.因此，任何实际上特殊的群体承认适当的仿射行动的一些$\mathbb R^n$：这包括例如表面群，双曲3-流形群，例如字双曲群的任意大的虚拟cohomological维度等，我们还研究了一些例子cohomological维度2和4，其中的仿射空间的维度可能会大大减少。
Proper affine actions on semisimple Lie algebras
对任何非紧半单实李群$G$，构造了它的李代数$\mathfrak{g}$的一组仿射变换，它的线性部分在$\operatorname{Ad} G$中是Zerkiki稠密的，并且它是自由的、非交换的、适当不连续地作用在$\mathfrak{g}$上.
NIL-affine crystallographic actions of virtually polycyclic groups
K.B.李指出，几乎晶体群之间的每一个群态射都是由幂零李群上的仿射映射引起的，这些群根据定义作用于此。它是研究虚拟幂零群之间的态射的主要技术，在不动点理论中有重要的应用，例如作为计算亚零流形上自映射的尼尔森数的工具。在本文中，我们推广这一结果的态射之间的虚拟多环群，这是已知的晶体作用的仿射变换上的幂零李群。其主要方法是研究一类特殊的仿射作用，这类作用在取子群和限制作用于不变右陪集下表现良好。
Rigidity for group actions on homogeneous spaces by affine transformations
给出了齐性空间上作用的刚性的一个判别准则。设$G$是实李群，$Λ$是$G$中的格，$Γ$是仿射群Aff $(G)$稳定$Λ$的子群。$Γ$对$G/Λ$的作用具有S意义下的刚性性质。Popa，当且仅当$Γ$在$\mathbb{P}(\frak{g})$上的诱导作用不允许有$Γ$不变的概率测度，其中$\frak{g}$是$G$的李代数.这推广了M. Burger和A. Ioana和Y.你好作为一个应用，我们建立了一类群的作用的刚性作用的自同构的nilmanifold相关联的步骤2幂零李群。
Ergodic theory of affine isometric actions on Hilbert spaces
经典高斯函子将局部紧群$G$的每个正交表示与$G$的概率测度保持作用相关联，称为高斯作用。在本文中，我们推广了这种建设相关联的每一个仿射等距行动的$G$在希尔伯特空间，一个单参数家庭的非奇异高斯行动的遍历性质是一个非常微妙的方式有关的几何原始行动。我们发现，这些非奇异高斯行动表现出相变现象，我们将其与新的仿射等距行动的定量不变量。我们使用Patterson-Sullivan理论以及Lyons-Pemantle工作树索引的随机游动，以给出一个精确的描述，这一相变的仿射等距行动的群体作用于树。我们还证明了每一个不具有性质（T）的局部紧群都存在一个自由的、弱混合的、稳定型为$\mathrm{III}_1$的非奇异高斯群.
The Hurwitz Action in the Affine Symmetric Group
本文针对仿射型$\tilde{A}_n$的仿射对称群$\tilde{S}_N$，研究辫群在简约反射分解集合上的Hurwitz作用，确定该作用的所有轨道，解决了有限Coxeter群中Hurwitz作用传递性相关问题的仿射情形。
On numerical semigroups closed with respect to the action of affine maps
本文研究了含有给定正整数且关于仿射映射作用闭的数值半群。对于这样的半群，我们找到了一个最小的生成元集，它们的嵌入维数，它们的亏格和它们的Frobenius数。
Affine actions with Hitchin linear part
Danciger-Gueritaud-Kassel证明了曲面群通过$\mathbb R^d$的仿射自同构的适当不连续作用的存在。然而，我们表明，如果线性部分的仿射曲面群作用是在Hitchin组件，那么行动未能适当的不连续。关键的情形是$\mathsf{SO}(n,n-1)$中线性部分的情形，使得仿射作用是通过签名$(n,n-1)$的$\mathbb R^d$上的平坦伪黎曼度量的等距来实现的.在这里，平移部分确定变形的线性部分$\mathsf{PSO}(n,n)$ -希钦表示和关键的一步是要表明，这种表示是不是Anosov在$\mathsf{PSL}(2n,\mathbb R)$相对于稳定剂的$n$ -平面。我们还证明了一个负曲率模拟的主要结果，即表面组上的伪黎曼双曲空间的签名$(n,n-1)$的$\mathsf{PSO}(n,n)$ -Hitchin表示的行动未能适当的不连续。
Hyperbolicity and uniformly Lipschitz affine actions on subspaces of $L^1$
本文利用 Mineyev 的 $\mathbb{Q}$-双组合和 Balasubramanya 的拟树作用刻画，证明了双曲群和无端双曲群在 $L^1$ 空间子空间上分别具有真一致 Lipschitz 仿射作用和无界轨道的一致 Lipschitz 仿射作用。
A combination theorem for affine tree-free groups
设$Λ_0$是一个有序阿贝尔群.我们展示了如何一个$\mathrm{ATF}(\mathbb{Z}\timesΛ_0)$组-也就是说，一组承认一个自由的仿射行动没有反转的$\mathbb{Z}\timesΛ_0$树-承认一个自然的图形群分解，其中顶点组继承行动$Λ_0$树。利用最近的工作，不同的作者，它遵循的是有限生成群承认一个自由仿射作用的$\mathbb{Z}^n$树，其中没有线有其方向逆转是相对双曲与幂零抛物线，是局部拟凸，并有可解的字，共轭和同构问题。相反，给定一个满足一定条件的群的图，我们展示了如何构造它的基本群的仿射作用。专门的情况下，自由仿射行动，我们得到一个大类的$\mathrm{ATF}(\mathbb{Z}\timesΛ_0)$组不自由行动的等距任何$Λ_1$树。我们还给出了一个例子，一组，承认一个自由等距行动的$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$树，但这不是剩余幂零。
Fixed point-free isometric actions of topological groups on Banach spaces
通过仿射等距证明了在适当的巴拿赫空间上，每个非预紧拓扑群都存在一个无不动点的连续作用。因此，准紧群是由巴拿赫空间上仿射等距作用的不动点性质定义的。对于可分拓扑群，在上面的陈述中，考虑一个特定巴拿赫空间上的仿射作用就足够了：普适Urysohn度量空间的唯一巴拿赫空间包络，称为霍姆斯空间。同时，我们证明了波兰群不需要在巴拿赫空间上（甚至在完全度量空间上）具有拓扑真的（特别是自由的）仿射等距作用：对于具有强算子拓扑的可分无限维希尔伯特空间的酉群、无限对称群等，情况就是这样。
Uniformly affine actions on Banach spaces: growth of cocycles
本文研究了Banach空间中均匀仿射作用的生长性质，针对具有性质(T)的Sp(n,1)群，建立了具有最优生长的均匀Lipschitz仿射作用的存在性。
Fixed-point spectrum for group actions by affine isometries on Lp-spaces
局部紧第二可数群G在lp上的不动点谱定义为实数p的集合，使得G在lp上的仿射等距的每个作用都有一个不动点.我们证明这个集合要么是空的，要么等于以下形式之一的集合：[1，\pc [，[1，\pc [\{2}对于某些\pc < \infty或\pc = \infty，或[1，\pc ]，[1，\pc ]\{2}对于某些pc<infty。这回答了一个与C的猜想密切相关的问题。Drutu，它断言Lp（0，1）上的等距作用的不动点谱是连通的。研究了一般测度空间（X，μ）上Lp（X，μ）的不动点谱的拓扑性质，并给出了Lp（0，1）上作用的猜想的部分结果.特别地，当有限测度空间（X，μ）上π是保测度遍历作用的正交表示时，证明了具有线性部分π的作用的谱F_{L^{ \infty }（X，μ）（G，π）要么是空的，要么是[1，\pc ]或[1，\infty]形式的区间.
Proper actions of discrete groups of affine transformations
本文围绕Milnor1977年提出的问题，介绍Margulis关于自由群三维真仿射作用存在性的突破，梳理相关历史背景、领域最新进展及该发现启发的未来研究方向。
Proper affine actions in non-swinging representations
对于有限维实向量空间$V$上具有不可约表示$ρ$的半单实李群$G$，我们给出了$ρ$上存在一组$V$的仿射变换的充分判据，该仿射变换的线性部分在$ρ(G)$中是Zerkki稠密的，并且是自由的、非交换的、适当不连续作用在$V$上.
Harmonic cocycles, von Neumann algebras, and irreducible affine isometric actions
设$G$是紧生成的局部紧群，$(π, \mathcal H)$是$G.$的酉表示。（关于$G$上的适当概率测度）表示第一约化上同调$\bar{H}^1(G,π).$中的类。上循环在它们的约化上同调类内的特征在于它们跨越$\mathcal H.$的最小闭子空间。特别地，调和上圈$b$给出仿射等距作用是不可约的（在$\mathcal H$不包含非空的、真闭不变仿射子空间的意义上）如果$b(G)$的线性跨度在$\mathcal H.$中是稠密的则相反的陈述为真，如果$π$此外没有几乎不变向量。我们的方法利用自然结构的调和$1$ -上循环的空间中的系数$π$作为Hilbert模的冯诺依曼代数$π(G)',$，这是交换的$π(G)$。利用算子代数技巧，如von Neumann维数，给出了不含几乎不变向量的阶乘表示$π$允许以$π$为线性部分的不可约仿射作用的充要条件.
Strongly transitive actions on affine ordered hovels
小屋是Bruhat-Tits建筑的推广，它与非阿基米德局部域上几乎分裂的Kac-Moody群G相关联。特别地，G强传递地作用于其对应的hovel $Δ$以及$Δ$的无穷远处的建筑物，该建筑物是与G相关联的孪生建筑物。本文研究了作用在仿射序hovel $Δ$上的群的强传递作用，给出了作用在$Δ$上的强传递性等价于作用在无穷远点$\partial Δ$上的强传递性的充要条件.同时给出了强传递性的一个判据，并引入了hovel上的锥拓扑。我们还证明了hovel的强正则双曲自同构的存在性，从而获得了关于无穷远处建筑物$\partial Δ$的良好动力学性质。
Ergodic theorems for affine actions of amenable groups on Hilbert space
证明了顺从群的弱混合表示的1-上圈的一个新的弱平均遍历定理（定理A）。设$G$是一个离散生成的顺从群$G$，它允许一个受控Folner序列.本文利用定理A证明了在具有弱混合线性部分的希尔伯特空间上的仿射作用$G\ca^T \Cal H$存在几乎不动点序列（定理B）。专门的情况下，$G$是一个生成的多项式增长组，我们表明，凸组合的平均相关的1-上循环的$n$球提供了一个序列的几乎不动点的行动$G\ca^T \Cal H$（推论C）。这肯定了一个弱形式的猜想沙洛姆独立格罗莫夫定理的虚拟幂零群体的多项式增长。因此，我们能够给出一个新的，初等的，遍历理论证明格罗莫夫定理。
Bending, entropy and proper affine actions of surface groups
该研究探讨了闭曲面上的恰当仿射作用与熵函数的关系，证明了在准弗uchsian空间中存在一个邻域，其中非弗uchsian表示具有恰当的仿射作用，并进一步表明熵函数临界点位于弗uchsian定位上。
Affine Fixed Points on Flat Manifold Pairs
本文针对紧致平坦流形对上的仿射自映射，利用环境完整群与稳定化子完整群导出相对 Nielsen 数的显式公式，推广了既有结果，并指出稳定化子完整群不可被内蕴完整群替代。
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