Global existence, regularity, and uniqueness of infinite energy solutions to the Navier-Stokes equations
本文讨论了与当地能源解决方案相关的几个问题（在Lemarié-Rieusset意义下）的Navier-斯托克斯方程的解的存在性，即：（1）包含临界$L^2$基Morrey空间的一类数据的整体解的存在性;（2）在小尺度和大尺度下，当初始数据足够小时，Navier-斯托克斯方程的局部能量解的初始和最终正则性;（3）在基于临界$L^2$的Morrey空间中，数据的局部能量解的小-大唯一性。一些有趣的推论，包括最终在熟悉的勒贝格，洛伦兹和Morrey空间的规律性，一个新的本地广义Von Wahl唯一性标准，以及小离散自相似数据的本地能量解的规律性和唯一性。
2019-06-29 math.AP
On parabolic equations in Morrey spaces with VMO $a$ and Morrey $b,c$
本文研究了全空间中具有 VMO $a$ 和 Morrey $b,c$ 系数的二阶抛物方程，证明了其解在混合范数 Morrey 空间中的存在性与唯一性。
2023-08-04 math.AP
Navier-Stokes equations with external forces in Besov-Morrey spaces
在齐次Besov-Morrey空间中，研究了具有任意初值和外力的Navier-斯托克斯方程局部强解的存在唯一性.在初始数据和外力较小的情况下，局部解可以在时间上推广到全局。我们适应的方法介绍了\cite{ks6}，其中Besov空间被认为是齐次Besov-Morrey空间的设置。
2019-06-07 math.AP
Some Liouville theorems for stationary Navier-Stokes equations in Lebesgue and Morrey spaces
三维Navier-斯托克斯方程的Leray解的唯一性是一个具有挑战性的公开问题。本文将研究三维定常Navier-斯托克斯方程的这一问题，并在Lebesgue空间和Morrey空间的一些附加假设下，证明平凡解U = 0是唯一解。这种类型的结果被称为刘维定理。
2018-06-08 math.AP
Elliptic equations in Sobolev spaces with Morrey drift and the zeroth-order coefficients
考虑椭圆型方程的算子$L=a^{ij}D_{ij}+b^{i}D_{i}-c$，其中$a$几乎在VMO中，$b$在包含$ L_{d}$的Morrey类中，$c\geq0$在包含$L_{d/2}$的Morrey类中.证明了$C^{1,1}$ -域上的$Lu=f\in L_{p}$在索伯列夫空间中的可解性，以及对任意$λ>0$，$λu-Lu=f$在全空间中的可解性.讨论了与这类算子相关的鞅问题的弱唯一性。
2022-04-28 math.AP
On solvability of parabolic equations with singular coefficients in odd mixed-norm Morrey-Sobolev spaces
本文研究了在奇混合范数Morrey- Sobolev空间中，具有奇异系数的抛物方程的可解性问题，通过引入混合范数Morrey类和BMO条件，证明了存在性和唯一性定理。
2025-12-01 math.AP
Interpolation, extrapolation, Morrey spaces and local energy control for the Navier--Stokes equations
Barker最近证明了新的弱强唯一性结果的Navier-斯托克斯方程的基础上的标准，涉及Besov空间和证明通过插值之间的Besov-H{<$}lder空间和L 2。通过考虑Besov-Morrey空间和Besov-Morrey空间与L2 uloc之间的插值，我们改进了他的结果.设u 0是R3上的无发散向量场.我们将考虑满足能量估计的Navier-斯托克斯方程的Cauchy初值问题的弱解。微分纳维-斯托克斯方程读作$\partial$ t u + u。$\nabla$ u = $Δ$ u -- $\nabla$ p div u = 0 u（0，.）= u 0 *
2019-01-17 math.AP
On the uniqueness for the 2D MHD equations without magnetic diffusion
本文得到了二维MHD方程解的唯一性，填补了Chemin等人近期工作\cite{1}的空白。
2015-03-12 math.AP
Uniqueness and non-uniqueness results for dyadic MHD models
当关联维数$δ$小于小于1时，我们构造了一些磁流体力学并矢模型的非唯一Leray-Hopf解.与此相反，在$δ\geq 1$情形下，证明了Leray-Hopf解的唯一性.对于具有分数阶扩散的MHD并矢模型，也得到了Leray-Hopf解的唯一性和非唯一性的类似结果。
2021-11-06 math.AP
On uniqueness and helicity conservation of weak solutions to the electron-MHD system
研究了电子-磁流体系统的弱解，得到了一个条件唯一性结果。另外，在一定几何条件下，我们证明了电子-磁流体系统的弱解的螺旋度守恒性。
2019-11-13 math.AP
Local existence and uniqueness for the non-resistive MHD equations in homogeneous Besov spaces
本文考虑齐次Besov空间中非电阻MHD方程的Cauchy问题。利用迭代格式和紧性论证证明了非电阻MHD方程解的局部存在唯一性。所得结果改进了\cite{C,W}的近期结果.
2017-09-09 math.AP
Existence, regularity and uniqueness of weak solutions with bounded magnetic fields to the steady Hall-MHD system
在外力较小的条件下，我们得到了具有Hölder连续磁场的定常Hall-MHD系统的弱解的存在性.在磁场有界的条件下，我们还建立了弱解的正则性。对于足够小的外力，唯一性结果也成立。
2020-04-15 math.AP
Elliptic equations with a singular drift from a weak Morrey space
本文研究带有弱 Morrey 空间奇异漂移的椭圆方程，证明了 Dirichlet 问题弱解的存在性与唯一性，并涵盖三维情形下沿轴奇异漂移的渐近行为。
2024-05-07 math.AP
Non-uniqueness of weak solutions to the 3-D stationary MHD equations in Besov space with negative regularity index
Fudan University（复旦大学）
通过凸积分方法证明三维环面上分数阶稳态MHD方程存在无穷多个非平凡奇异解，从而在次临界Besov空间中建立弱解的非唯一性。
2026-06-16 math.AP
Local existence and uniqueness of solutions for the 2D MHD equations with horizontal dissipation and horizontal magnetic diffusion
针对带水平耗散和水平磁扩散的二维不可压缩MHD方程，本文通过非线性项的新估计，建立了$H^s$（$s\neq 1$）初始数据下解的局部存在性与唯一性。
2024-11-29 math.AP
Non-uniqueness of entropy-conserving solutions to the ideal compressible MHD equations
本文研究了二维理想可压缩磁流体动力学（MHD）方程。我们表明，存在特定的初始数据，其中一个获得无穷多个熵守恒弱解使用凸积分技术。我们的结果对于等熵情况也是正确的。
2019-02-04 math.AP
A general Liouville-type theorem for the 3D steady-state Magnetic-Bénard system
该研究针对三维全空间上的椭圆不可压缩Magnetic-Bénard系统建立刘维尔型定理，证明了局部Morrey空间条件下平凡解的唯一性，结果在系统涵盖范围与适用函数空间两类方向上实现了推广。
2024-06-20 math.AP
On bilinear estimates and critical uniqueness classes for Navier-Stokes equations
本文研究临界空间中 Navier-Stokes 方程温和解的双线性估计与唯一性，构建无需辅助范数的一般框架，并在 Besov、Morrey 等空间及 Besov-weak-Herz 空间中取得新成果。
2024-04-28 math.AP
Non-uniqueness of Leray weak solutions of the forced MHD equations
本研究针对受迫MHD方程，通过构造不稳定背景解及对应不稳定流形上的轨道，证明了其Leray弱解的非唯一性，且解处于已知适定性理论边界。
2024-07-09 math.AP
An elementary proof of the global existence and uniqueness theorem to 2-D incompressible non-resistive MHD system
本文对文献[Lin，Xu，Zhang，arXiv：1302.5877]中关于二维不可压缩粘性无阻MHD系统Cauchy问题在初始数据接近某些平衡态的假设下整体光滑解的存在唯一性的主要结果给出了一个简化的证明.除了经典的能量方法，插值不等式和方程的代数结构来自流体的不可压缩性是至关重要的，在我们的论点。我们将能量估计与时间片的$L^\infty$估计相结合，以推断时间估计中的关键$L^1$。后者负责全球的时间存在。
2014-10-23 math.AP
Non-uniqueness of weak solutions to the 3D Hall-MHD equations on the plane
通过凸积分格式和新间歇流构造，证明了平面上 3D Hall-MHD 方程具有非平凡磁场的弱解非唯一性，并发现其不守恒磁螺旋性，且理想解为强零粘与零电阻极限。
2025-08-15 math.AP
A remark on very weak suitable solutions and Leray solutions of the Navier-Stokes equations
介绍纳维 - 斯托克斯方程非常弱适解概念，利用局部能量不等式在局部莫雷空间框架下建立确保非常弱解是勒雷解的条件及相关结论。
2026-07-07 math.AP
Non-uniqueness for the hypo-dissipative compressible 3D magnetohydrodynamic equations
Fudan University（复旦大学）
针对一般压力律下的可压缩三维磁流体力学方程组，证明了在次粘性和次电阻率条件下弱解的非唯一性，并建立了理想MHD光滑解作为次耗散MHD弱解粘性消失极限的结论。
2026-06-23 math.AP
Non-uniqueness of weak solutions to 3D magnetohydrodynamic equations
证明了三维磁流体动力学方程组弱解的非唯一性。构造的弱解不守恒磁螺旋度，可以接近任何给定的光滑，无发散和平均自由速度和磁场。进一步证明了Beekie-Buckmaster-Vicol [2]所构造的理想MHD方程的弱解可以作为MHD方程的一列弱解的粘性和电阻率的强消失极限而得到.这表明，与弱理想极限相反，泰勒猜想在粘性和电阻率极限消失时不成立。与NSE [13]和理想MHD [2]的背景不同，构造了新类型的速度和磁通，其特征在于精确的空间和时间不稳定性，以尊重MHD的几何形状并控制强粘性和电阻率。在凸积分格式中导出了相容的代数结构。更有趣的是，新的间歇流确实使我们能够证明上述结果的超粘性和超电阻MHD方程的尖锐指数$5/4$，这正好符合狮子指数的三维超粘性NSE。
2022-02-15 math.AP
Global existence and uniqueness of weak solutions for the MHD equations with large $L^3$-initial values
MOE-LCSM, School of Mathematics and Statistics, Hunan Normal University（湖南师范大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Hunan Normal University（湖南师范大学数学与统计学院）
本文通过勒雷近似技术和扰动理论，研究了大$ L^3 $初值下MHD方程弱解的全局存在性和唯一性，同时提供了不可压缩纳维-斯托克斯系统弱$ L^3 $解理论的简洁证明。
2026-01-24 math.AP
Instantaneous blowup and non-uniqueness of smooth solutions of MHD
University of Illinois at Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
通过逆能量级联机制和凸积分方法，构造了不可压缩磁流体动力学（MHD）系统的一族解，其L∞范数以临界速率瞬时爆破，且解在爆破时间之前保持光滑。
2026-05-31 math.AP
On the weak solutions for the MHD systems with controllable total energy and cross helicity
本文通过构造六种箱式流的凸积分扰动，证明了粘性电阻MHD系统在给定时间区间内总能量和交叉螺旋度可控时的弱解非唯一性，将理想MHD的结果推广至耗散情形。
2024-04-22 math.AP
Sharp non-uniqueness of weak solutions to 3D magnetohydrodynamic equations
本文证明了三维高粘性和电阻性MHD方程组弱解在$L^γ_tW^{s,p}_x$类中的非唯一性，其中指数$(s,γ,p)$位于两个超临界区域。结果表明，标度不变的Ladyženskaja-Prodi-Serrin（LPS）条件是正确的标准，以检测非唯一性，即使在高粘性和电阻制度超过狮子指数。特别是，对于经典的粘性和电阻MHD，非唯一性是尖锐的端点附近的LPS条件$(0,2,\infty)$。此外，所构造的弱解在$\mathcal{H}^{η_*}$ -豪斯多夫维数为零的时间分形奇异小集外具有部分正则性，其中$η_*$可以是任意给定的小正常数.进一步证明了粘性和电阻率的强消失结果，从而证明了Taylor猜想在Lions指数以上的超粘性和电阻性MHD的弱解序列上的失效.
2022-08-01 math.AP
Existence and uniqueness of low-energy weak solutions to the compressible 3D magnetohydrodynamics equations
证明了三维可压缩磁流体动力学（MHD）方程组弱解的存在唯一性。我们首先得到了具有小$L^2$ -范数的弱解的存在性，这些解可能在密度、压力、磁场和速度梯度上显示出余维1的间断。我们所考虑的弱解具有足够的正则性和结构性，使我们能够发展可压缩MHD方程的唯一性和连续相关性理论。我们的结果推广了可压缩Navier-斯托克斯方程中间弱解的结果.
2020-11-11 math.AP
Partial regularity of suitable weak solutions to the multi-dimensional generalized magnetohydrodynamics equations
本文研究了分数阶MHD方程在$n=2,\,3$的$\mathbb{R}^{n}$中适当的弱解的部分正则性.与Tang和Yu在[24，Commun.第334章：一个女人1455- 1482，2015]，我们的结果包括了它们的端点情形$α=3/4$，外力属于更一般的抛物Morrey空间.此外，我们证明了分数阶MHD方程适当弱解的内部正则性准则。
2015-05-21 math.AP
Uniqueness for a stochastic ideal dyadic MHD model
研究无粘性无电阻磁流体动力学随机二进模型，针对特定随机强迫证明弱唯一性，但解耗散形式上守恒的能量。
2023-06-19 math.AP math.PR
Some remarks on the regularity of weak solutions for the stationary Ericksen-Leslie and MHD systems
本文研究了三维空间中受外力作用的定常 Ericksen-Leslie (SEL) 和 MHD 两个椭圆耦合系统，为 SEL 系统提出了基于齐次 Morrey 空间的弱解正则性新准则，并利用 Gevrey 类证明了 MHD 系统有限能量弱解的解析性。
2022-11-04 math.AP
Kinetic SDEs and kinetic Fokker-Planck equations with critical Morrey-type drifts, and local blow-ups
HSE University（高等经济大学）；Université Laval（拉瓦尔大学）
该研究针对受奇异Morrey型力场的动力学Fokker-Planck方程建立Sobolev理论，通过分数表示与动力学Adams型估计构造布朗驱动动力学SDE的弱解，得到相关估计与传播子并建立弱解唯一性准则。
2026-10-14 math-ph math.AP math.MP
Periodic solutions for Boussinesq systems in weak-Morrey spaces
本文研究临界弱 Morrey 空间中 Boussinesq 系统的周期温和解，结合热半群估计、Massera 型定理与不动点方法，证明其存在唯一性、多项式稳定性并推广至 Navier-Stokes 方程。
2024-02-07 math-ph math.AP math.FA
Sharp and strong non-uniqueness for the magneto-hydrodynamic equations
本文证明了三维磁流体动力学系统的一类弱解的强非唯一性。更精确地说，我们证明了任何弱解$(v,b)\in L^p_tL^{\infty}_x$在具有$1\le p<2$的$L^p_tL^{\infty}_x$中是非唯一的，这揭示了强非唯一性，以及在端点$(2, \infty)$处经典Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin准则的尖锐性。此外，对任意的$1\le p<2$和$ε>0$，我们构造了$L^p_tL^{\infty}_x\cap L^1_tC^{1-ε}$中的非Leray-Hopf弱解. \cite{1Cheskidov}中斯托克斯方程的结果暗示了具有平凡磁场的MHD系统的尖锐非唯一性$b$。我们的结果表明，任何弱解$(v,b)$，包括非平凡磁场$b$的非唯一性。
2022-08-30 math.AP
The Stochastic Tamed MHD Equations -- Existence, Uniqueness and Invariant Measures
本文研究了作者最近在一篇论文中提出的在输运型乘性Wiener噪声扰动下的磁流体动力学方程在全空间$\mathbb{R}^{3}$和环面$\mathbb{T}^{3}$上的运动.第一步，通过构造一个弱解，证明路径唯一性，并利用Yamada-Watanabe定理，得到了唯一强解的存在性。研究了相应的马尔可夫半群，证明了它具有Feller性质.最后，存在的一个不变测度的方程的情况下，环面。
2020-04-23 math.AP math.PR
Global small solution to the 2D MHD system with a velocity damping term
研究了具有速度阻尼项的不可压缩磁流体动力学（MHD）系统的整体适定性。当初值接近于平衡态时，我们证明了光滑解的整体存在唯一性。此外，还给出了解的各种Sobolev范数的显式大时间衰减率。
2013-11-24 math.AP
The Tamed MHD Equations
本文研究了磁流体动力学（MHD）方程的正则化形式，即驯服的MHD（TMHD）方程。它们是导电流体通过多孔介质流动的模型。证明了TMHD在整个空间$\mathbb{R}^{3}$上的存在唯一性，光滑数据产生光滑解，并证明了当驯服参数$N$趋于无穷大时TMHD的解收敛到MHD方程的适当弱解.此外，我们还将Navier-斯托克斯方程的正则性结果应用于MHD情形。
2020-03-13 math.AP
Global regularity for the 2D MHD equations with mixed partial dissipation and magnetic diffusion
没有完全耗散和磁扩散的二维不可压缩MHD方程的经典解是否会产生有限时间奇异性是一个难题。本文的一个主要结果建立了具有部分耗散和磁扩散的MHD方程的经典解的整体正则性。此外，还得到了具有磁扩散的二维MHD方程组弱解的整体存在性、条件正则性和唯一性。
2009-01-19 math.AP
Global weak solutions to the one-dimensional compressible heat-conductive MHD equations without resistivity
研究了拉格朗日坐标系下粘性理想多方流体的一维可压缩、导热、非电阻MHD方程的初边值问题。建立了整体弱解的存在性和对初值的Lipschitz连续依赖性。弱解的唯一性是稳定性的直接结果。
2017-10-26 math.AP
On the local pressure expansion for the Navier-Stokes equations
我们证明了Navier-斯托克斯方程在整个空间上的分布解所对应的压力满足定义为分布的局部展开当且仅当该解是温和的。这为Lemarié-Rieusset的“等价定理”提供了一个新的视角。这里，定义了与梯度组成的Leray投影算子，而不使用Littlewood-Paley分解。局部展开的前充分条件假设空间衰减或梯度的估计，并意味着所考虑的解决方案是温和的。一个重要的工具是明确描述的有界平均振荡解的泊松方程，我们详细研究。作为应用，我们包括作者在Morrey空间中的唯一性准则的改进，以及由于Grujić和Xu而在动态限制的局部Morrey空间中重新证明正则性准则。
2020-01-30 math.AP
Sharp non-uniqueness of weak solutions to 2D magnetohydrodynamic equations
Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）；Nankai University（南开大学）；Shenzhen University（深圳大学）
本文证明二维粘性电阻磁流体动力学（MHD）方程在$L^2_t L^p(\mathbb{R}^2) \cap L^1_t W^{1,p}(\mathbb{R}^2)$中弱解非唯一，其中$1\le p<\infty$，展示了Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin条件在端点$(2,\infty)$的尖锐性，且解位于Beale-Kato-Majda准则的边界上。
2026-06-01 math.AP
Initial-boundary value problem to 2D Boussinesq equations for MHD convection with stratification effects
研究了具有温度依赖的粘性、热扩散率和电导率的二维磁流体力学Boussinesq方程组的初边值问题。首先，我们在最小初始条件下建立了整体弱解。然后通过对初值施加更高的正则性假设，得到了全局唯一的强解。此外，还得到了解的指数衰减估计。
2017-02-27 math.AP
Some results for a stationary Navier-Stokes equation with a rough drift in a weighted functional framework
Université d’Evry Val d’Essonne（埃夫里-瓦勒德埃松大学）；Technical University of Civil Engineering, Bucharest（布加勒斯特土木工程学院）
研究带奇异积分算子粗糙漂移的稳态Navier-Stokes方程，在加权Morrey-Sobolev空间中构造小外力下的解，并给出存在唯一性结果。
2026-06-11 math.AP
Nonuniqueness for high-dimensional ideal MHD equations via differential inclusion
Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）；School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing（北京科技大学数理学院）
本文通过微分包含框架，证明了高维理想磁流体方程存在无限多个弱解，揭示了解的非唯一性及能量守恒的失效。
2026-03-01 math.AP
Global regularity for the 2D MHD equations with horizontal dissipation and horizontal magnetic diffusion
本文在适当的小初值条件下，建立了条形区域$\mathbb{T}\times\mathbb{R}$中仅含水平耗散和水平磁扩散的二维MHD系统经典解的整体正则性。为了证明这一点，我们结合Littlewood-Paley分解与各向异性不等式，建立一个关键的交换子估计。我们还分析了解的渐近性态。此外，还得到了具有水平耗散的二维简化热带气候模式的整体经典解的存在唯一性。
2020-09-28 math.AP
Global Classical Solutions to the 2D Compressible MHD Equations with Large Data and Vacuum
本文研究了具有大初值和真空的二维可压缩MHD方程的经典解的整体适定性。在粘性系数为$μ=const.$和$λ=ρ^β,~β>1$（Vaigrant-Kazhikhov模型）的假设下，在环面$\mathbb{T}^2$和整个空间$\mathbb{R}^2$（具有真空或非真空远场）上建立了初值问题整体经典解的存在唯一性.这些结果推广了可压缩Navier-Stokes方程的Vagrant-Kazhikhov模型的结果。
2014-09-19 math.AP
Global well-posedness of the MHD boundary layer equations in the Sobolev Space
本文研究二维MHD边界层方程，针对切向背景磁场的小扰动，在Sobolev空间中证明了全局时间解的存在唯一性，方法结合抵消机制与线性良好未知量思想。
2024-09-19 math.AP
MHD boundary layers theory in Sobolev spaces without monotonicity. I. well-posedness theory
研究了磁流体边界层的适定性理论。边界层方程由不可压缩MHD系统的Prandtl型方程控制，速度为无滑移边界条件，磁场为理想导电条件。在初始切向磁场不为零的假设下，建立了非线性MHD边界层方程解的局部时间存在唯一性。与经典Prandtl方程的适定性理论中切向速度的单调性条件起决定性作用相比，MHD边界层不需要切向速度的单调性条件。这从严格的数学上证明了磁场对磁流体边界层具有稳定作用的物理认识。
2017-01-16 math.AP
Higher order commutator estimates and local existence for the non-resistive MHD equations and related models
本文建立了$\mathbb{R}^{n}$，$n=2, 3$中粘性无阻磁流体力学（MHD）方程的$s > n/2$强解在$H^{s}$中的局部时间存在性和唯一性，以及从速度方程中去掉平流项的相关模型的局部时间存在性和唯一性.证明存在性所需的一致界是通过一个新的估计建立的，它是Kato & Ponce（Comm. Pure Appl.Math.41（7），891-907，1988）的交换子估计的部分推广.
2014-01-20 math.AP
The global well-posedness of strong solutions to 2D MHD equations in Lei-Lin space
本文研究了Lei-Lin空间中二维不可压磁流体动力学方程组的Cauchy问题。在Lei-Lin空间$χ^{-1}(\mathbb{R}^2)$中建立了强解的整体适定性，其中初始值为$χ^{-1}(\mathbb{R}^2)\cap L^2(\mathbb{R}^2)$中的任意值.进一步证明了$χ^{-1}(\mathbb{R}^2)$中强解和$L^2(\mathbb{R}^2)$中Leray-Hopf弱解的唯一性.
2020-06-27 math.AP
Well-posedness in Sobolev spaces of the two-dimensional MHD Boundary layer equations without viscosity
本文考虑无流体动力粘性的二维MHD边界层系统，在磁场切向分量占优势的假设下，在索伯列夫空间中建立了解的存在唯一性.这是对Liu-Xie-Yang [Comm. Pure Appl. Math. 72（2019）]和Liu-Wang-Xie-Yang [J. Funct. Anal. 279（2020）]，分别建立了具有粘性和电阻率的MHD边界层系统和仅具有粘性的MHD边界层系统的适定性理论。我们使用伪微分计算，以克服一个新的困难所产生的处理边界积分由于缺乏扩散性质的速度。
2021-06-03 math.AP
Energy equality of the weak solutions to the fractional Navier-Stokes / MHD equations
本文研究 3D 不可压缩分数阶 Navier-Stokes / MHD 方程弱解的能量等式，借助对称化和插值方法获得包含 Sobolev 乘子空间的新充分条件，以保障能量等式有效性，并与解的唯一性相关。
2025-10-12 math.AP
The local characterizations of the singularity formation for the MHD equations
本文刻画了三维磁流体动力学（简称MHD）方程解的可能爆破性。首先在$L^{q,\infty}$空间中建立了弱解的$ε$ -正则性准则，然后结合从$L^{p,\infty}$空间到Morrey型空间的嵌入定理，刻画了解在潜在奇点附近的局部行为.更准确地说，我们表明，如果$z_{0}=\left(t_{0}, x_{0}\right)$是一个奇点，那么对于任何$r>0$它认为$$ \limsup _{t \rightarrow t_{0}^{-}}\left(\left\|u(t, x)-u(t)_{x_{0}, r}\right\|_{L^{3, \infty}\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)}+\left\|b(t, x)-b(t)_{x_{0}, r}\right\|_{L^{3, \infty}\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)}\right)>δ^{*}; $$ $$ \limsup\limits _{t \rightarrow t_{0}^{-}}\left(t_{0}-t\right)^{\frac{1}μ} r^{\frac{2}ν-\frac{3}{p}}\|(u,b)(t)\|_{L^{p, \infty}\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)}>δ^{*…
2021-08-24 math.AP
