Papi Ray, Shyamashree Upadhyay
We give a combinatorial description of the multiplicity at any torus fixed point on a Richardson variety in the Symplectic Grassmannian.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A Littlewood-Richardson rule for Grassmannian Permutations
本文给出了一个计算旗流形上的相交数的组合规则，这些相交数来自于从格拉斯曼投影中拉回的Schubert类的乘积。这个规则推广了格拉斯曼的已知规则。
Initial ideals of tangent cones to Richardson varieties in the Symplectic Grassmannian
本文研究辛格拉斯曼流形中 Richardson 簇切锥的初始理想，构造其任意 T-不动点处切锥理想的显式 Gröbner 基，推广了已有结果。
Knutson, Tao, and Woodward formulated a Littlewood-Richardson rule for the cohomology ring of Grassmannians in terms of puzzles. Vakil and Wheeler-Zinn-Justin have found additional triangular puzzle pieces that allow one to express structure constants for $K$-theory of Grassmannians. Here we introduce two other puzzle pieces of hexagonal shape, each of which gives a Littlewood-Richardson rule for $K$-homology of Grassmannians. We also explore the corresponding eight versions of $K$-theoretic Littlewood-Richardson tableaux.
Littlewood-Richardson rules for Grassmannians
基于相应的Pieri规则，给出了A型Grassmannian和极大迷向Grassmannian的Littlewood-Richardson规则的初等和简短的证明.
An inverse Grassmannian Littlewood-Richardson rule and extensions
本文通过引入 backstable clans 并建立新的结构常数线性关系，将 Littlewood-Richardson 规则推广到逆格拉斯曼置换及其弱 Bruhat 覆盖情形，给出 Schubert 闭链乘积的正组合公式。
A Littlewood-Richardson rule for Grassmannian Schubert varieties
本研究针对完全旗流形的舒伯特结构常数，提出了一种适用于其中一个因子为格拉斯曼流形情形的组合模型，完善了相关组合表示理论研究。
A Combinatorial Approach to Multiplicity-Free Richardson Subvarieties of the Grassmannian
我们认为布赫规则的K-理论的格拉斯曼，在舒尔多重性自由的情况下分类的Stembridge。使用Knutson的结果，人们看到，布赫的系数有关的Moebius反演。通过考虑Grassmannian Grothendieck多项式的乘积展开式，给出了这一结论的一个直接的组合证明。最后，我们扩展到托马斯和杨的多重性自由的情况下。
We study toric degenerations of opposite Schubert and Richardson varieties inside degenerations of Grassmannians and flag varieties. These degenerations are parametrized by matching fields in the sense of Sturmfels and Zelevinsky. We construct so-called restricted matching field ideals whose generating sets are understood combinatorially through tableaux. We determine when these ideals are toric and coincide with Gröbner degenerations of Richardson varieties using the well established standard monomial theory for Grassmannians and flag varieties.
Initial ideals of tangent cones to Richardson varieties in the Orthogonal Grassmannian via a Orthogonal-Bounded-RSK-Correspondence
正交格拉斯曼中的Richardson簇$X_\ga^\gc$被定义为正交格拉斯曼中的舒伯特簇$X^\gc$与其中的相反舒伯特簇$X_\ga$的交集。给出了$X_\ga^\gc$的任意$T$ -不动点处切锥理想的初始理想（关于某些方便选择的项阶）的显式描述，从而推广了Raghavan-Upadhyay \cite{Ra-Up2}的一个结果.我们的证明是基于广义的Robinson-Schensted-Knuth（RSK）对应，我们称之为正交有界RSK（OBRSK）。OBRSK对应将给出由切锥的理想的初始理想（如上所述）定义的一组单项式和“标准单项式基”之间的保度双射。Kreiman在\cite{Kr-bkrs}中对普通Grassmannian中的Richardson变种做了类似的工作。
Let $k$ and $n$ be positive coprime integers with $k<n$. Let $T$ denote the subgroup of diagonal matrices in $SL(n,\mathbb{C})$. We study the GIT quotient of Richardson varieties $X^v_w$ in the Grassmannian $\mathrm{Gr}_{k,n}$ by $T$ with respect to a $T$-linearised line bundle $\cal{L}$ corresponding to the Plücker embedding. We give necessary and sufficient combinatorial conditions for the quotient variety $T \backslash\mkern-6mu\backslash (X_w^v)^{ss}_T({\cal L})$ to be smooth.
Local Properties of Richardson Varieties in the Grassmannian via a Bounded Robinson-Schensted-Knuth Correspondence
本文给出了Grassmannian中Richardson簇的切锥理想在任意T-不动点处的显式Grobner基，从而推广了Kodiyalam-Raghavan和Kreiman-Lakshmibai的一个结果.我们的证明是基于广义的Robinson-Schensted-Knuth（RSK）对应，我们称之为有界RSK（BRSK）。利用Grobner基的结果，通过对不相交格路族的计数，导出了Richardson簇在任意T-不动点的重数公式，推广了Krattehthaler首先证明的一个结果.
A Littlewood-Richardson rule for the K-theory of Grassmannians
证明了Grassmann簇的Grothendieck环关于其Schubert结构层基的结构常数的一个显式组合公式。我们还涉及K-理论的格拉斯曼双代数稳定的Grothendieck多项式，这是一个K-理论平行的环对称函数。
Projected Richardson varieties and affine Schubert varieties
设$G$是一个复拟单代数群，$G/P$是一个部分标志簇. Richardson品种从满旗品种的投影形成$G/P$的分层。证明了投影Richardson簇的闭包偏序与$G$的仿射旗簇中Schubert簇的子集的闭包偏序一致.此外，我们比较了这两个分层的环面等变上同调和$K$ -理论类，通过推或拉这些类的仿射格拉斯曼。我们的工作推广了Knutson，Lam和Speyer关于$A$型Grassmannian的结果.
Richardson varieties are obtained as intersections of Schubert and opposite Schubert varieties. We provide a new family of toric degenerations of Richardson varieties inside Grassmannians by studying Gröbner degenerations of their corresponding ideals. These degenerations are parametrised by block diagonal matching fields in the sense of Sturmfels-Zelevinsky. We associate a weight vector to each block diagonal matching field and study its corresponding initial ideal. In particular, we characterise when such ideals are toric, hence providing a family of toric degenerations for Richardson variet…
A hive model determination of multiplicity-free Schur function products and skew Schur functions
蜂巢模型是一种组合装置，可用于确定Littlewood-Richardson系数并研究其性质。它代表了Littlewood-Richardson规则的另一种用法。在这里，蜂巢的性质被用来确定所有可能的多重性自由舒尔函数的产品和斜舒尔函数的扩展。这证实了Stembridge、Gutschwager、Thomas和Yong的结果，揭示了无多重性条件的组合起源，并说明了蜂巢模型的一些关键特征和力量。
We study the Littlewood-Richardson coefficients of double Grothendieck polynomials indexed by Grassmannian permutations. Geometrically, these are the structure constants of the equivariant $K$-theory ring of Grassmannians. Representing the double Grothendieck polynomials as partition functions of an integrable vertex model, we use its Yang-Baxter equation to derive a series of product rules for the former polynomials and their duals. The Littlewood-Richardson coefficients that arise can all be expressed in terms of puzzles without gashes, which generalize previous puzzles obtained by Knutson-T…
Motivic Chern Classes of Open Projected Richardson Varieties and of Affine Schubert Cells
本文研究了开放投影里奇变种和仿射Schubert单元的motivic Chern类，通过递推关系和格拉斯曼流形中的正体种公式，建立了与扭曲Kazhdan–Lusztig R多项式的关系。
Chern Classes of Open Projected Richardson Varieties and of Affine Schubert Cells
本文比较了偏旗簇中开放投影Richardson簇与仿射Schubert胞腔的Segre--MacPherson类，并在Grassmannian情形下，利用仿射排列的pipe dreams显式构造了表示开放positroid簇该类的对称函数。
On Seidel representation in quantum K-theory of Grassmannians
该研究通过具体分析投影格罗莫夫-维滕簇直接证明了格拉斯曼流形量子K理论中的赛德尔表示，给出了量子皮埃里法则的替代证明，简化了高次量子舒伯特结构常数，并为QK(Gr(3,n))提供了量子利特尔伍德-理查森法则。
Quantum cohomology and the k-Schur basis
我们证明了与Hecke代数在单位根处相关的结构常数是与k-Schur函数的乘积相关的k-Littlewood-Richardson系数的特殊情况。结果表明，出现在Grassmannian量子上同调中的3点Gromov-Witten不变量和与\hat{su}（\ell）相关的WZW共形域论的融合系数都是k-Littlewood Richardson系数.由此，Mark Shimozono证明了k-舒尔函数形成了循环格拉斯曼同调的舒伯特基，而k-舒尔余积对应于循环格拉斯曼的积分上同调。我们引入双k-舒尔函数定义的k-tableaux的权重，给定Shimozono的猜想，形成舒伯特基础上的上同调循环格拉斯曼。我们推导出这些函数的几个性质，扩展斜Schur函数。
Equivariant Quantum Schubert Calculus
研究了格拉斯曼的T-等变量子上同调。证明了一类等变量子Littlewood-Richardson系数为零，这意味着一个等变量子Pieri规则.在等变的情况下，这意味着一个算法来计算等变量子Littlewood-Richardson系数。
Multiplicities of Points on Schubert Varieties in Grassmannians
我们得到了经典Schubert簇上任意点的重数的一个显式行列式公式。
The Quasisymmetric Grassmannian
本文构造了拟对称格拉斯曼流形，该流形是r平面格拉斯曼流形中的一个托里克流形，每个不可约分量都是正体种流形和S_n翻译的托里克里奇流形，通过拟对称约翰逊图的非交叉组合对象定义。
Root games on Grassmannians
我们回顾根游戏，介绍了在较早的文件，这给了一个相当强大的充分条件非零的舒伯特演算的广义旗流形G/B。我们证明了它给出了Schubert演算在Grassmannian上不为零的一个充分必要规则。特别是，一个Littlewood-Richardson数是非零的，当且仅当它有可能赢得相应的根博弈。更一般地说，该规则可以用来确定Gr_l（n）上的几个Schubert类的乘积是否以明显对称的方式非零。最后，我们给出了格拉斯曼Schubert问题根对策的几何解释。
In a classical-type flag variety, we consider a Schubert variety associated to a vexillary (signed) permutation, and establish a combinatorial formula for the Hilbert-Samuel multiplicity of a point on such a Schubert variety. The formula is expressed in terms of excited Young diagrams, and extends results for Grassmannians due to Krattenthaler, Lakshmibai-Raghavan-Sankaran, and for the maximal isotropic (symplectic and orthogonal) Grassmannians to Ghorpade-Raghavan, Raghavan-Upadhyay, Kreiman, and Ikeda-Naruse. We also provide a new proof of a theorem of Li-Yong in the type A vexillary case. T…
A quasisymmetric analog of Grassmannian Schubert varieties
本文证明格拉斯曼流形中环面理查森簇的上同调环为拟对称函数环的有限截断，构造仿射铺砌，并利用直接极限得到具有弱H-群结构的ind-簇，其上同调为拟对称函数的Hopf代数，同时推出碎片多面体的f-向量对数凹性。
Constructed tableaux and a new shifted Littlewood-Richardson rule
针对各向同性格拉斯曼流形的Schubert结构系数，提出一种新的Littlewood-Richardson规则，首次给出Serrano公式的代数证明，并基于Yamanouchi表格的类比得到易于实现且时间复杂度更优的算法。
Schubert calculus of Richardson varieties stable under spherical Levi subgroups
我们观察到球面Levi子群下Richardson簇稳定类的$H^*(G/B)$在Schubert循环基上的展开由Brion定理描述.利用这一观察，随着组合模型的偏序集的某些对称子群轨道闭包，我们给出了积极的组合描述的某些舒伯特结构常数的全旗品种类型$A$。也就是说，当$u$和$v$分别与在$p$和$q$处具有唯一下降的格拉斯曼排列逆时，我们描述了$c_{u,v}^w$。我们提供了一些类似的规则在类型$B$和$D$，与理查森品种下稳定的球面Levi子群$SO(2n+1,\C)$和$SO(2n,\C)$，分别。
We show that points in specific degree 2 hypersurfaces in the Grassmannian $Gr(3, n)$ correspond to generic arrangements of $n$ hyperplanes in $\mathbb{C}^3$ with associated discriminantal arrangement having intersections of multiplicity three in codimension two.
Multiplicity-free Schubert calculus
本文给出了Grassmannian Schubert类的重数-自由积的一个非递归的组合刻划.这回答了W. Fulton和J. Stembridge的结果。
Positroid varieties I: juggling and geometry
虽然所有坐标标志的格拉斯曼Bruhat分解的交集是一个棘手的混乱，只有一个Bruhat分解的{ \em循环移位}的交集证明具有Bruhat和Richardson分解的许多良好性质。这种分解与Lusztig，Rietsch和Brown-Goodearl-Yakimov研究的旗流形的Richardson分层的投影相吻合。然而，它的循环不变性隐藏在这个描述中。Postnikov给出了许多循环不变的方法来索引地层，我们给出了一个新的方法，通过仿射外尔群的一个子集，我们称之为{ \em有界杂耍模式}。我们采用他的术语，称这些层为{ \em正簇。}我们证明了正拟群簇是正规的和Cohen-Macaulay的，并通过Plucker坐标的消失定义了正拟群簇。我们计算了它们的T-等变Hilbert级数，并证明了它们的上同调类是由仿射Stanley函数表示的。后一个事实让我们将Postnikov和Buch-Kresch-Tamvakis的方法与量子舒伯特演算联系起来。我们的主要工具是由Brion，Lakshmibai和Littelmann开发的Richardson品种的Frobenius分裂结果，以及Grassmannian的Hodge-Grobner退化。我们表明，每个positroid品种退化到投影斯坦利-Reisner计划的一个可壳球。
Hilbert functions of points on Schubert varieties in the Symplectic Grassmannian
我们给出了一个明确的组合描述的多重性以及Hilbert函数的切锥在任何一点上的Schubert簇在辛格拉斯曼。
A driving question in (quantum) cohomology of flag varieties is to find non-recursive, positive combinatorial formulas for expressing the product of two classes in a particularly nice basis, called the Schubert basis. Bertram, Ciocan-Fontanine and Fulton provided a way to compute quantum products of Schubert classes in the Grassmannian of k-planes in complex n-space by doing classical multiplication and then applying a combinatorial rim hook rule which yields the quantum parameter. In this paper, we provide a generalization of this rim hook rule to the setting in which there is also an action …
Hilbert functions of points on Schubert varieties in Orthogonal Grassmannians
给出了以下问题的解决方案：如何计算在正交格拉斯曼中的舒伯特簇上的点处的重数，或更一般地计算希尔伯特函数。应用标准单项式理论将问题从几何转化为组合数学。由此产生的组合问题的解决方案形成了大部分的文件。这种方法已经遵循早先解决同样的问题的格拉斯曼和辛格拉斯曼。作为一个应用，我们提出了一个解释的多重性的数量不相交的格子路径的某种。以舒伯特簇是一种特殊的类型和点是“单位陪集”，我们的问题专门的问题Pfedian理想治疗的不同方法存在于文献中。在文献中也可得到当点是“一般奇点”时的几何解。"
On multiplicities of points on Schubert varieties in Grassmannians
我们回答了一些问题有关的多重公式罗森塔尔和Zelevinsky和Lakshmibai和韦曼的点Schubert品种在Grassmannian。特别地，我们给出了这些公式的不相交格路径的组合解释，这使得两个公式的相等性立即变得明显。此外，我们提供了一个替代的行列式公式，这些多重性，我们表明，他们计数半标准tableaux不寻常的形状。
Let $L$ be a Levi subgroup of $GL_N$ which acts by left multiplication on a Schubert variety $X(w)$ in the Grassmannian $G_{d,N}$. We say that $X(w)$ is a spherical Schubert variety if $X(w)$ is a spherical variety for the action of $L$. In earlier work we provide a combinatorial description of the decomposition of the homogeneous coordinate ring of $X(w)$ into irreducible $L$-modules for the induced action of $L$. In this work we classify those decompositions into irreducible $L$-modules that are multiplicity-free. This is then applied towards giving a complete classification of the spherical…
The Wronski map and shifted tableau theory
Mukhin-Tarasov-Varchenko定理，B.和M.夏皮罗，有一些有趣的结果。其中有一个表现良好的对应关系的某些点之间的格拉斯曼-那些发送的Wronski地图多项式只有实根-和（对偶等价类）杨tableaux。在本文中，我们限制这种对应的正交Grassmannian OG（n，2n +1）内Gr（n，2n +1）。证明了点位于OG（n，2n+1）上的充要条件是对应的表具有某种对称性。由此我们恢复了OG（n，2n+1）上Schubert演算的大部分移位tableaux理论，包括OG（n，2n +1）的Littlewood-Richardson规则的一个新的几何证明。
Flagged Littlewood-Richardson tableaux and branching rule for classical groups
本文推广Littlewood限制公式，提出了从${\ m GL}_n$到${\ m O}_n$分支规则的新公式，该公式基于带标志条件的Littlewood-Richardson表，并据此给出了$B_n$和$D_n$型Lusztig $t$-权重重数的组合公式。
We give an explicit combinatorial description of cluster structures in Schubert varieties of the Grassmannian in terms of (target labelings of) Postnikov's plabic graphs. This description is a natural generalization of the description given by (Scott 2006) for the Grassmannian and has been believed by experts essentially since (Scott 2006), though the statement was not formally written down until (Müller-Speyer 2016). To prove this conjecture we use a result of (Leclerc 2016), who used the module category of the preprojective algebra to prove that coordinate rings of many Richardson varieties …
The honeycomb model of GL(n) tensor products II: Puzzles determine facets of the Littlewood-Richardson cone
埃尔米特矩阵的零和三元组的可能谱（λ，μ，ν）的集合形成一个多面体锥。我们给出了一个完整的确定其方面，完成了一个很长的故事与最近的亮点[赫尔姆克罗森塔尔，Klyachko，Belkale]。我们介绍了_puzzles_，这是新的组合小工具来计算格拉斯曼舒伯特演算，并可能是许多读者感兴趣的主要点。正如证明所示，埃尔米特求和问题是非常自然地直接使用难题来研究的，它们与舒伯特微积分的联系对我们的方法来说是非常偶然的。特别地，我们得到了[H，Kly，HR，Be]中结果的新的，难题理论的证明。一路上，我们给出了一个“刚性”难题的特征，我们用它来证明W的一个猜想。富尔顿：``如果对于GL（n，C）的三重主导权λ，μ，ν，不可约表示V_ν在V_λ张量V_μ中恰好出现一次，则对于所有N个\in \naturals，V_{Nλ}在V_{Nλ}张量V_{Nμ}中恰好出现一次。''
Some degenerations of Kazhdan-Lusztig ideals and multiplicities of Schubert varieties
通过Kazhdan-Lusztig理想的Groebner退化，研究了Schubert簇在完备旗簇中的点的Hilbert-Samuel重数.在covexillary的情况下，我们给出了一个积极的组合规则的多重性，通过建立（与Groebner基）减少和等维的限制，其斯坦利-Reisner单纯复形是同胚的可壳球或球体。我们表明，多重计数的方面，这个复杂的数量。我们还得到了局部环的Hilbert级数的一个公式。特别地，我们的工作给出了Grassmannian Schubert簇的重数规则，为[Lakshmibai-Weyman '90]，[Rosenthal-Zelevinsky' 01]，[Krattenthaler '01]，[Kreiman-Lakshmibai' 04]和[Woo-Yong '09]的公式提供了替代陈述和证明.我们建议我们的方法扩展到一般情况下。
Splicing skew shaped positroids
本文通过将斜形状正子矩阵簇实现为显式辫簇，定义了其内部显式开集 $U_a$，证明 $U_a$ 同构于两个较小正子矩阵簇的乘积且具有自然的拟簇结构，推广了格拉斯曼流形中开正子矩阵胞的相关工作。
Excited Young diagrams and equivariant Schubert calculus
利用到环面不动点的局部化映射刻画了各向同性Grassmannian的环面等变上同调环.给出了这类齐性空间的等变Schubert类的两类公式。第一个公式涉及的组合对象，我们称之为“兴奋的杨氏”和第二个是书面的阶乘舒尔$Q$ -或$P$ -功能。作为应用，我们给出了等变Schubert类的Giambelli型公式。我们还给出了Schubert簇中奇点重数的组合公式和Pfiran公式。
A Generalized RSK for Enumerating Linear Series on $n$-pointed Curves
本文以推广 RSK 的 Young 表与多元序列双射，组合证明并解释了 $n$-标记曲线在指定入射条件下线性级数计数为 $(r+1)^g$（及 $r=1$ 重合点情形为 $2^g$）的几何结果。
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