Lofty Models of Peano Arithmetic
James H. Schmerl
若M是Peano算术的非标准模型，则M是崇高的当且仅当M有递归饱和的简单初等扩张.这在以前是已知的可数M。
If M is a nonstandard model of Peano Arithmetic, then M is lofty iff M has a simple elementary extension that is recursively saturated. This had previously been known for countable M.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Automorphism Groups of Countable Arithmetically Saturated Models of Peano Arithmetic
若M，N是可数的，Peano算术的算术饱和模型，且Aut（M）与Aut（N）同构，则Th（M）和Th（N）的图灵跳跃是递归等价的.
Some Infinitary Paradoxes and Undecidable Sentences in Peano Arithmetic
根据柴廷的说法，哥德尔曾经告诉他“你用哪个悖论（来证明第一不完全性定理）并不重要”。在这篇文章中，我将提出一些无穷大悖论，并展示如何将它们“翻译”成皮亚诺算术中的一些不可判定的句子，就像哥德尔对说谎者悖论所做的那样。结果部分验证了哥德尔的说法。
Peano Arithmetic may not be interpretable in the monadic theory of orders
古列维奇和谢拉证明了皮亚诺算术不能用短链的一元二阶理论来解释（因此，也不能用实数线的一元二阶理论来解释）。我们在这里表明，它是一致的，没有解释，即使在单子二阶理论的所有链。
The model theory of residue rings of models of Peano Arithmetic: The prime power case
在\cite{MacResField}中，作者系统地分析了环$\mathcal M/p\mathcal M$的可定义性和可判定性，其中$\mathcal M$是Peano算术的模型，$p$是$\mathcal M$中的素数.在本文中，我们将这些结果推广到更困难的情况$\mathcal M/p^k\mathcal M$，其中$\mathcal M$是皮亚诺算术的模型，$p$是一个素数在$\mathcal M$，和$k>1$。在\cite{MacResField}工作的Ax有限域上使用，在这里我们使用另外的工作的Ax超积的$p$ -adics。
Comparing Hume's Principle, Basic Law V and Peano Arithmetic
本文提出了休谟原理和基本定律V的模型的新结构与有限的理解量。在这些结构中使用的技术是从超算术理论和领域的模型论中提取的，并且在二阶皮亚诺算术的各个子系统中形式化这些技术允许人们对这些理论的可解释性强度设置上限和下界，从而将这些理论与二阶算术的规范子系统进行比较。本文的主要结果是：（i）基本定律V的超算术部分有一个相容的推广，它解释了二阶皮亚诺算术的超算术部分;（ii）休谟原理的超算术部分不能解释二阶皮亚诺算术的超算术部分，因此在这个特殊意义上不存在弗雷格定理的谓词版本。
On a Hierarchy of Reflection Principles in Peano Arithmetic
我们研究了皮亚诺算术PA的反射原理，这些原理是基于证明和可证明性的。PA中的任何这样的反射原理都等价于$\Box P\!\rightarrow\! P$（$\Box P$代表“$P$是可证明的”）或对于某些$k\geq 0$的$\Box^k u\!\!:\!\!P\!\rightarrow\! P$（$t:P$声明“$t$是$P$的证明”）。反射原则就其演绎强度$$u\!\!:\!\!P\!\rightarrow\! P\ \ \prec\ \ \Box u\!\!:\!\!P\!\rightarrow\! P\ \ \prec\ \ \Box^2 u\!\!:\!\!P\!\rightarrow\! P \ \ \prec\ \ldots\ \prec\ \ \Box P\!\rightarrow\! P.$$而言，构成了一个不可折叠的层次结构
The parameterfree Comprehension does not imply the full Comprehension in the 2nd order Peano arithmetic
考虑了二阶Peano算法$\text{PA}_2$的无参数部分$\text{PA}_2^\ast$。我们使用一个产品/迭代Sacks强制定义一个$ω$模型的$\text{PA}_2^\ast + \text{CA}(Σ^1_2)$，其中一个例子的完整的理解模式$\text{CA}$失败。使用科恩的强迫，我们还定义了一个$ω$模型的$\text{PA}_2^\ast$，其中不是每一个集有它的补充，因此，完整的$\text{CA}$失败，而基本的方式。
Undecidable propositions with Diophantine form arisen from every axiom and every theorem of Peano Arithmetic
在MRDP定理的基础上，引入了公式证明方程和Peano算术（PA）的泛证明方程的思想，并结合泛证明方程和哥德尔第二不完全性定理，证明了若PA是相容的，则对PA的每个公理和定理，都可以构造出相应的丢番图形式的不可判定命题.最后，我们提出了一种方法，寻求证明的数学（集合论，数论，代数，几何，拓扑等）命题转化为解决一个丢番图方程。
Is the twin prime conjecture independent of Peano Arithmetic?
我们表明，有一个算术公式F，使ZF证明，F是独立的PA，然而，与其他算术独立的声明，F的真假值目前不能建立在ZF或任何其他可信的元理论。事实上，我们可以选择这样一个公式F的一个例子，使得ZF证明F等价于孪生素数猜想。
Provability Logic: models within models in Peano Arithmetic
在1994年杰希给出了模型理论证明哥德尔的第二不完备定理Zermelo-Fraenkel集合论在以下形式：ZF不证明ZF有一个模型。Kotlarski表明，Jech的证明可以适应皮亚诺算术的作用，模型正在采取的完整一致的扩展。在本说明中，我们采取另一个步骤的方向，取代证明理论的模型理论的论点。我们表明，没有通过算术完备性定理，存在的PA的复杂性模型$Σ^0_2$是独立的PA，其中一个模型是确定的一组公式与参数，在模型中。我们的方法是基于一个新的解释证明逻辑的皮亚诺算术与模态算子解释为真理，在每一个$Σ^0_2$模型。
On the Value Group of a Model of Peano Arithmetic
本文研究了$IPA$ -实封闭的域，即实封闭的域，它的非负锥是Peano算术的模型.我们证明了$IPA$ -实封闭的域的值群在剩余域中是指数群，且逆命题一般不成立。作为应用，我们分类（直到同构）可数递归饱和指数实封闭的域的值群。利用这一特征，我们构造了可数指数实闭域，它们不是$IPA$ -实封闭的域.
Mathematical Incompleteness Results in First-Order Peano Arithmetic: A Revisionist View of the Early History
在《数理逻辑手册》中，拉姆齐定理的巴黎-哈林顿变体被认为是对一阶算术中纯数学不完备性结果的长期“搜索”的第一个结果。本文质疑任何这样的搜索的存在和巴黎哈林顿结果的地位作为第一个数学不完全性结果。事实上，我认为根岑给出了第一个这样的结果，并且古德斯坦以数论形式重申了这个结果。
Peano Arithmetic, games and descent recursion
本文通过初等下降递归视角分析Coquand对皮亚诺算术的博弈论解释，提供其切消证明的直接实现，用下降递归函数描述获胜策略，还得到可证递归函数和泛函已知结果的新证明。
Classifying the complexity of models of arithmetic
本文分类了 Peano arithmetic 模型可能的 Scott 复杂度，通过分析 colored linear orderings 构造特定复杂度的模型，并将其与经典模型理论概念建立紧密联系，为理解算术模型提供了强大工具集。
The automorphism group of countable recursively saturated models of Peano arithmetic and strong cuts
本文研究可数递归饱和皮亚诺算术模型的自同构群子群，证明其小索引性质、余合集为不可数集，并指出非平凡正规子群在其中为渺小集，特别说明无限循环群不是其同态像。
The Berry-like Sentence in the First-order Peano Arithmetic System with the Operation of Factorial
介绍了一种带阶乘运算的一阶Peano算术系统（PAF）。对于PAF中任意一个含有自由变元x的公式A（x），定义了一个相应的B-公式，即当A（x）可满足时，在满足公式A（x）的所有自然数中，存在唯一的最小数满足B-公式.然后，我们构造了一个公式，表示“存在x，对于任何一个哥德尔码小于小于常数a的B-公式，x不满足这个B-公式，并且x是具有这种特征的数中最小的。“然而，构造的公式本身是一个B-公式，它的哥德尔码小于a。因此，这是一个版本的PAF贝里句子“最小的正整数不能命名的11个字以下”，本身只有10个字。
Implications between Induction Principles for $\mathbb{N}$ in Peano Arithmetic
在关于自然数的入门书籍中，一种常见的断言--通常留给读者作为练习--是关于$\mathbb{N}$（正则/普通，完备/强）的某些归纳形式彼此等价，并且等价于良序原则。这意味着，如果P1和P2是这些原则中的两个，那么，在所有其他通常采用的自然数集合的假设下（例如，除了归纳公理以外的佩亚诺公理），P1蕴涵P2，反之亦然。在本文中，我们表明，一个合理的形式化，皮亚诺算术的基础上，这些原则之间的一些所谓的影响，只有当一个额外的，独立的条件是假设，即：每一个非零的自然数是一个继任者。这个条件是正规归纳原理的一个推论，而不是其他归纳原理的推论。因此，有必要回顾归纳原则与$\mathbb{N}$中类似陈述之间的所有目前公认的含义。从一个列表中的9个属性，通常被认为是归纳原则（或等效），我们确定所有有效的和“几乎有效”的影响，它们之间，以及反驳所有无效的影响由反例，其中包括类似于皮亚诺模型的结构，但不一定满足皮亚诺的归纳公理，并有一个顺序关系充分从属于零和后继者。最后，我们将讨论如果我们弱化关于序关系的假设，什么可以被证明，什么不能被证明。本文的目的是阐明需要更加谨慎时，声称之间的等价性归纳原则$\mathbb{N}$。
A Uniform Characterization of $Σ_1$-Reflection over the Fragments of Peano Arithmetic
我们表明，理论$IΣ_1$的$Σ_1$ -归纳证明了以下声明：对于所有的$n\geq 2$，统一的$Σ_1$ -反射原则的理论$IΣ_n$是等价于整体的功能$F_{ω_n}$在阶段$ω_n$的快速增长的层次。所采用的方法是一个形式化的无限证明论。文献中包含了几个证明，将量化置于元理论中的$n$之上（也证明了单独的情况$n=0,1$）。相反，作者不知道有明确的论证可以让我们在内化量化的同时保持元理论低至$IΣ_1$。很有可能以前已经考虑过这一点。我们的目的仅仅是对这一重要结果进行详细的阐述。
CP-generic expansions of models of Peano Arithmetic
我们研究的概念泛型模型的$\mathsf{PA}$，启发线的查询发起的Chatzidakis和皮莱，并继续由Dolich，米勒和Steinhorn在一般的模型理论背景。这些论文研究了通过向一类结构添加“随机”谓词而获得的理论。查兹达基斯和皮莱公理化了以这种方式获得的理论。在这篇文章中，我们将研究$\mathsf{PA}$模型的子集，这些子集满足Chatzidakis和Pillay给出的公理化;我们将$\mathsf{PA}$模型中的这些子集称为CP-泛型。我们研究一个更自然的属性，称为强CP-genericity，这意味着CP-genericity。我们使用的科恩迫使构造（强）CP-泛型的各种属性，包括其中的每个元素的模型是可定义的扩展，并在另一个极端，其中的可定义的封闭关系是不变的。
Fragments of arithmetic and cyclic proofs
本文提出一种更简单且适合证明分析与自动化归纳证明搜索的皮亚诺算术循环证明系统，并展示传统归纳受限子系统可表示为其片段。
Slow and Ordinary Provability for Peano Arithmetic
Peano算术的慢可证性（$\mathsf{PA}$）是由S. D.弗里德曼，M。Rathjen和A.魏尔曼他们研究了慢一致性声明$\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}$，该声明断言矛盾在$\mathsf{PA}$中不是慢可证明的。他们表明，$\mathsf{PA}+\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}$的逻辑强度严格介于$\mathsf{PA}$和$\mathsf{PA}$之间，以及它的普通一致性：$\mathsf{PA}\subsetneq \mathsf{PA}+\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}\subsetneq \mathsf{PA}+\mathrm{Con}$。本文进一步研究了$\mathsf{PA}$中的慢可证明性及其与普通可证明性之间的关系。我们研究了慢可证性的三种变体。每一个的相关一致性陈述产生一个理论，该理论在逻辑强度方面严格介于$\mathsf{PA}$和$\mathsf{PA}+\mathrm{Con}$之间。我们研究图灵-费弗曼级数的基础上，这些变种的慢证明。我们表明，对于我们的三个概念，图灵-费弗曼级数达到$\mathsf{PA}+\mathrm{Con}$在不同的步骤，即$\varepsilon_0$，$ω$，和$2$。对于三个慢可证明性谓词中的每一个，我们还确定其与普通$\mathsf{PA}$ -可证明…
On Non-Standard Models of Peano Arithmetic and Tennenbaum's Theorem
在整个数学史的过程中，对先前理解的概念和结构的概括导致了数系统层次、非欧几何和数学进步中许多其他划时代阶段的富有成效的发展。在形式化算术理论的研究中，考虑从皮亚诺算术的标准模型$\langle \mathbb{N},+,\times,\leq,0,1 \rangle$到非标准算术模型的扩展是很自然的。非标准模型的皮亚诺算法的存在提供了动机在早期的$20^{th}$世纪的各种问题，在模型论关于分类的模型同构和性质，非标准模型的皮亚诺算法。本文提出了这些问题和必要的结果来证明Tennenbaum定理，它画了一个明确的标准和非标准模型的属性之间的界限，即没有可数的非标准模型的皮亚诺算术是递归的。这些模型理论的结果有助于基础框架内，由Skolem，Rosser，Tarski，Mostowski和其他人开发的研究计划蓬勃发展。虽然这些基本议题是至关重要的活跃领域的研究在中期的$20^{th}$世纪，许多开放的问题模型的算术，和模型论的一般，仍然是有关领域的$21^{st}$世纪的数学话语。
On models of affine arithmetic
本文在仿射逻辑框架下研究仿射算术的模型性质，证明了皮亚诺算术多个经典结论的仿射变体，其中包括仿射形式的Gaifman分裂定理。
An arithmetical proof of the strong normalization for the $λ$-calculus with recursive equations on types
我们给出了强规范化的$λ$ -演算（也是$λμ$ -演算）的算术证明，其中类型系统是一个简单的类型与递归方程的类型。使用约简的候选证明是一个简单的扩展，没有方程，但这种证明不能在皮亚诺算术形式化。这种证明所需的系统的强度尚不清楚。我们的证明表明，它不超过皮亚诺算术。
The Pentagon as a Substructure Lattice of Models of Peano Arithmetic
本文研究了Peano算术模型的结构间格为五边形格${\mathbf N}_5$时的扩张性质，证明了在标准模型下该扩张必为末端或共尾扩张，而在非标准模型中则不一定成立。
Enayat Models of Peano Arithmetic
Simpson证明了每个可数模型$\mathcal{M} \models \mathsf{PA}$都有一个逐点可定义的展开$(\mathcal{M}, X) \models \mathsf{PA}^*$。一个自然的问题是，一般来说，是否可以获得一个非素模型的扩展，其中可定义的元素与底层模型的元素一致。Enayat表明，这是不可能的，证明有$\mathcal{M} \models \mathsf{PA}$，使每个不可定义类$\mathcal{M}$ $X$，扩展$(\mathcal{M}, X)$是逐点定义。我们称具有这种性质的模型为Enayat模型。本文研究了Enayat模型，证明了$\mathsf{PA}$的一个模型是Enayat的，如果它是可数的，没有适当的共末子模型，并且是它的所有基本割的保守扩张.证明了对任意可数线性序$γ$，若存在模型$\mathcal{M}$使得$\mathrm{Lt}(\mathcal{M}) \cong γ$，则存在Enayat模型$\mathcal{M}$使得$\mathrm{Lt}(\mathcal{M}) \cong γ$ .
Jensen $\varDelta^1_3$ reals by means of ZFC$^-$ or second order Peano arithmetic
本文解决 Jensen 构造在二阶 Peano 算术或 ZFC$^-$ 内重现的难题，通过在 forcing 构造中仅消灭可定义反链来规避 CCC 证明障碍，并定义了极小 $\varPi^1_2$ 单例模型。
Tightness and solidity in fragments of Peano Arithmetic
本文证明对每个n，在IΣ_n与PA之间存在严格介于其间的坚固理论以及紧致但不整洁的理论，并给出ZF和Z_2的真坚固子理论例子，以及紧致性相关性质的分离。
Inconsistency of Primitive Recursive Arithmetic
这项工作的目的是表明，当代数学，包括皮亚诺算术，是不一致的，建立坚实的数学基础，并开始建设这些基础。
Arithmetical and Hyperarithmetical Worm Battles
Japaridze的可证明性逻辑$GLP$对每个自然数都有一个模态$[n]$，并且已经被Beklemishev用于Peano aritime $(PA)$和相关理论的证明理论分析。除了其他好处之外，这种分析产生了所谓的“每虫都死”$(EWD)$原则，这是一种独立于$PA$的自然组合语句。最近，Beklemishev和Pakhomov研究了$GLP$中超限模态的可证明性概念。我们表明，的确是自然的超限扩展$GLP$是健全的这种解释，并产生独立的组合原则的二阶理论$ACA$的算术理解与充分的感应。我们还提供了与Peano算法的片段$IΣ_n$相关的$EWD$的限制版本。为了证明后者，我们表明，标准的哈代函数优化其变种的基础上树序数。
Predicativity through transfinite reflection
皮亚诺算术被认为是可证明的等价于初等算术上的反射。我们证明了一个表征的谓词分析的幌子ATR 0在更强的反射原则。
Friedman-reflexivity: interpreters as consistoids
哈维弗里德曼表明，在皮亚诺算术，一致性声明的一个公理化的理论$A$可以表征为最弱的声明$C$皮亚诺算术，使${\sf PA}+C$解释$A$。我们研究的基础理论$U$的属性，任何的公理化$A$，有一个最弱的$C$，使$U+C$解释$A$。我们称这种理论为弗里德曼自反性理论。我们表明，一个非常弱的理论，Peano Corto，是弗里德曼自反的。我们在这里没有得到通常的一致性陈述，而是有界的、无割的或Herbrand一致性陈述。我们证明了弗里德曼自反序列理论的特征定理。我们提供了一个例子，弗里德曼自反序列理论，实质上不同于皮亚诺算术和皮亚诺科尔托的范例情况下。由弗里德曼自反基$U$提供的类似一致性的语句可以用于为通过$A$中的$U$的解释$K$来解释$U$的公理化的$A$定义类似可证明性的概念。我们把基于这种思想的模态逻辑称为\emph{interpreter logics}。这些逻辑满足Löb条件。我们提供了这些逻辑扩展{ \sf S}4、{ \sf K}45和Löb逻辑的条件。我们表明，如果$U$或$A$是顺序的，那么扩展Löb的逻辑的条件得到满足。此外，如果我们的基本理论$U$是连续的，如果，此外，它的解释者可以有效地找到，我们证明Solovay定理。即使类可证性算子不一定能用哥德尔数的谓词表示，这也成立。在文章的最后，我们简要地讨论了如何成功的坐标自由的方法。
Unravelling Cyclic First-Order Arithmetic
本文提出将 Heyting 与 Peano 算术循环证明直接嵌入纯归纳证明的方法，扩展 Springer–Dam 翻译以恢复 Das 的 CΠ_n⊆IΠ_{n+1}，并给出标号矢列演算表示。
The Strength of Abstraction with Predicative Comprehension
弗雷格定理说，二阶皮亚诺算术在休谟原理和完全不可谓理解中是可解释的。休谟的原理是抽象原理的一个例子，而另一个典型的例子是弗雷格的基础理论中的第五条基本定律。在本文中，我们研究的强度的抽象原则存在的谓词限制的理解模式，特别是我们研究了一个谓词Fregean理论，其中包含所有的抽象原则，其基础的等价关系可以被证明是等价关系在一个弱背景的二阶逻辑。我们表明，这种预测的Fregean理论解释二阶皮亚诺算术。
Paradoxes of rational agency and formal systems that verify their own soundness
我们考虑皮亚诺算法的扩展，其中包括一个断言谓词。任何这样的体系，只要在算术上是合理的，就有效地证明了它自身的合理性。这导致了一系列悖论的解决，这些悖论涉及理性代理人，他们被授权在精确定义的条件下行事。
Expansions of the $p$-adic numbers that interprets the ring of integers
设$\widetilde{\mathbb{Q}_p}$是环语言中$p$ -进数的域。本文考虑由乘法子群$α^\mathbb{Z}$和$β^\mathbb{Z}$解释的两个谓词扩展的$\widetilde{\mathbb{Q}_p}$的理论，其中$α, β\in\mathbb{N}$是乘法独立的.我们表明，这种结构的理论解释皮亚诺算法，如果$α$和$β$有积极的$p$ -adic值。如果$α$或$β$的赋值为零，我们证明了$(\widetilde{\mathbb{Q}_p}, α^\mathbb{Z}, β^\mathbb{Z})$的理论不能解释Peano算术。在这种情况下，我们还证明了理论是可判定的当且仅当理论$(\widetilde{\mathbb{Q}_p}, α^\mathbb{Z}\cdot β^\mathbb{Z})$是可判定的。
A functional interpretation for nonstandard arithmetic
我们介绍建设性的和经典的非标准的算术系统，并显示如何变种的功能解释，由于哥德尔和Shoenfield可以用来重写证明在这些系统中执行标准的。这些功能的解释表明，特别是我们的非标准系统是保守的扩展延伸的海廷和皮亚诺算术在所有有限型，加强早期的结果Moerdijk，Palmgren，Avigad和Helzner。我们还将指出我们的重写算法可以用于术语提取的目的。最后，我们将指出一些开放的问题和未来的研究方向，并提到一些初步的结果饱和原理。
Fusible numbers and Peano Arithmetic
本文定义可熔数并证明其良序性、密度增长及不可证性，揭示其与皮亚诺算术的深刻联系。
Elements
这项工作的目的是表明，当代数学，包括皮亚诺算术，是不一致的，建立坚实的数学基础，并开始建设这些基础。
How to escape Tennenbaum's theorem
我们构造了一个定义上等价于一阶Peano算术PA的理论和这个理论的非标准可计算模型。同样的技术使我们能够构建一个理论定义等价于Zermelo-Fraenkel集合论ZF，具有可计算的模型。
Model-theoretic applications of cofinality spectrum problems
我们应用最近发展起来的共尾性谱技术证明了模型论中的一系列定理。首先，我们证明了Peano算法的任何模型都是$λ$ -饱和的当且仅当它具有共尾性$\geq λ$，并且对于正则的$κ< λ$，其底层序没有$(κ, κ)$ -割.其次，假设GCH的实例，我们证明了$SOP_2$的最大性的可解释性顺序$\trianglelefteq^*$的特点，解决了一个先验猜想，并证明了$SOP_2$是一个真正的分界线。第三，我们建立了$NSOP_2$的结构理论的开端，证明了$NSOP_2$的特征在于存在少数不一致的高级公式。在本文中，我们证明了$\mathfrak{p}_s = \mathfrak{t}_s$在任何弱共尾性谱问题中在指数化（自然定义）下是闭的。我们还证明了这些基数的本地版本不需要一致，即使在共尾谱问题所产生的皮亚诺算术。
Models of expansions of N with no end extensions
我们处理模型皮亚诺算术（特别是一个问题的阿里Enayat）。这些方法来自于生物强迫。我们发现N的一个扩展，使得它的理论具有没有（初等）端扩展的模型。事实上有一个博雷尔不可数集的子集N，使扩大N的任何不可数许多他们足够了。此外，我们发现算术封闭的A没有明确的封闭超滤子。
The Diversity of Minimal Cofinal Extensions
修复Peano算术的可数非标准模型$\mathcal M$。即使对允许的最小共尾扩张$\mathcal N \succ \mathcal M$的类型有一些相当严格的限制，我们仍然发现对于这样的$\mathcal N$，存在$(\mathcal N,M)$的$2^{\aleph_0}$可能理论。
Games with backtracking options corresponding to the ordinal analysis of $PA$
本文利用源自证明复杂性与有界算术的博弈概念，通过直接见证论证，给出了皮亚诺算术$IΣ_{k}$片段序数分析的一个不依赖$ω$-逻辑切割消去的新证明。
Reverse Mathematics and parameter-free Transfer
最近，保守的扩展皮亚诺和海廷算法的精神纳尔逊的公理方法非标准分析，已被提出。本文研究了非标准分析中不含参数公式的转移公理。基于这一公理，我们建立了非标准分析的逆向数学的基本理论，并证明了一些自然的逆向性，并指出这些等价性在无参数传递的情况下大多不成立.
Indiscernibles and satisfaction classes in arithmetic
本文研究带不可辨元的皮亚诺算术PAI理论，证明PA非标准模型可扩张为PAI模型等价于其具有归纳部分满足类，还给出可数递归饱和模型的新刻画及带附加语句的PAI扩张与归纳完全满足类的等价性。
Satisfaction classes with approximate disjunctive correctness
本文提出两种新的构造方法，用于在PA模型上构建满足类，探讨了排斥正确性完整真值类与PA可满足性之间的关系。
Every countable model of arithmetic or set theory has a pointwise-definable end extension
本文提出构造算术与集合论逐点可定义模型的新方法，证明每个可数 ZF 或 PA 模型都有逐点可定义的端扩张，并可实现 $V=L$ 等内模型理论。
Models of PA: when two elements are necessarily order automorphic
我们希望看到对于PA（Peano算术）的某个完备化T的模型M，M限制{<}在多大程度上决定M，比如直到同构。我们提出了PA的非标准模型M的“最小”集{（a，b）：n < a < b for n in N和线性阶{c：c <_Ma}，{c：c <_Mb}是同构的}的特征，特别是包括{（a，b）：对于M中没有c，对于N中的每一个n，我们有M个模型（对于N中的所有n）（存在c）[2 < c^n < a wedge b < a c^n]}和对于某些模型等于{（a，b）：a < b < a^n for some n in N}。
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