可熔数与皮亚诺算术
Fusible numbers and Peano Arithmetic
AI总结：
本文定义可熔数并证明其良序性、密度增长及不可证性，揭示其与皮亚诺算术的深刻联系。
摘要：
受一个涉及保险丝的数学谜题的启发，我们将“可熔数”定义如下：$0$ 是可熔的，并且每当 $x,y$ 可熔且 $|y-x|<1$ 时，数 $(x+y+1)/2$ 也是可熔的。我们证明，按 $\mathbb R$ 上的通常顺序排列的可熔数集合是良序的，其序型为 $\varepsilon_0$。此外，我们证明可熔数沿实数轴的密度以令人难以置信的速度增长：设 $g(n)$ 为区间 $[n,\infty)$ 中相邻可熔数之间的最大间隙，则对于某个常数 $c$，有 $g(n)^{-1} \ge F_{\varepsilon_0}(n-c)$，其中 $F_\alpha$ 表示快速增长的层级。最后，我们推导出一些真命题，它们可以在皮亚诺算术中表述但无法证明，且与先前已知的此类命题风格不同：PA 无法证明真命题“对于每个自然数 $n$，存在一个大于 $n$ 的最小可熔数。”此外，考虑算法“$M(x)$：如果 $x<0$ 则返回 $-x$，否则返回 $M(x-M(x-1))/2$。”那么 $M$ 在实数输入上终止，尽管 PA 无法证明命题“$M$ 在所有自然数输入上终止”。
英文摘要：
Inspired by a mathematical riddle involving fuses, we define the "fusible numbers" as follows: $0$ is fusible, and whenever $x,y$ are fusible with $|y-x|<1$, the number $(x+y+1)/2$ is also fusible. We prove that the set of fusible numbers, ordered by the usual order on $\mathbb R$, is well-ordered, with order type $\varepsilon_0$. Furthermore, we prove that the density of the fusible numbers along the real line grows at an incredibly fast rate: Letting $g(n)$ be the largest gap between consecutive fusible numbers in the interval $[n,\infty)$, we have $g(n)^{-1} \ge F_{\varepsilon_0}(n-c)$ for some constant $c$, where $F_α$ denotes the fast-growing hierarchy. Finally, we derive some true statements that can be formulated but not proven in Peano Arithmetic, of a different flavor than previously known such statements: PA cannot prove the true statement "For every natural number $n$ there exists a smallest fusible number larger than $n$." Also, consider the algorithm "$M(x)$: if $x<0$ return $-x$, else return $M(x-M(x-1))/2$." Then $M$ terminates on real inputs, although PA cannot prove the statement "$M$ terminates on all natural inputs."
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
