Shunsuke Aimi, Donghi Lee, Shunsuke Sakai, Makoto Sakuma
We give an alternative proof to Agol's classification of parabolic generating pairs of non-free Kleinian groups generated by two parabolic transformations. As an application, we give a complete characterisation of epimorphims between $2$-bridge knot groups and a complete characterisation of degree one maps between the exteriors of hyperbolic $2$-bridge links.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We give a full proof to Agol's announcement on the classification of non-free Kleinian groups generated by two parabolic transformations.
Kleinian orbifolds uniformized by RP groups with an elliptic and a hyperbolic generator
考虑轴在一个平面上的椭圆元和双曲元生成的非初等Kleinian群Γ，它们没有不变平面.我们发现的介绍和一个完整的列表orbifolds均匀化这样的Γ。
In earlier work we introduced geometrically natural probability measures on the group of all Möbius transformations in order to study "random" groups of Möbius transformations, random surfaces, and in particular random two-generator groups, that is groups where the generators are selected randomly, with a view to estimating the likely-hood that such groups are discrete and then to make calculations of the expectation of their associated parameters, geometry and topology. In this paper we continue that study and identify the precise probability that a Fuchsian group generated by two parabolic M…
Geometry for Kleinian Groups Generated by a Parabolic Pair
本文提出了一种基于三角剖分的计算框架，用于研究由抛物线对生成的Kleinian群的双曲几何及2桥链接补集的结构。
Geometric finiteness and uniqueness for Kleinian groups with circle packing limit sets
本文假设$G$是一个无挠生成的非初等Kleinian群，且$Ω(G)$非空.我们证明了$G$的最大可夹元素数恰好是同构于$G$的任何群所包含的最大秩1抛物子群数。一个具有最多秩为1的极大抛物子群的群称为{ \it极大抛物}。我们发现这样的群体存在。我们在这里简明地陈述我们的主要定理。定理I极大抛物群的极限集是一个圆填充，即它的正则集的每个分支都是一个圆盘。定理II.一个极大抛物群是几何有限的。定理III.在$PSL(2,{\bf C})$中，通过其抽象同构类和抛物元确定了一个直至共轭的极大抛物Pinch函数群.
We characterize sequences of Kleinian surface groups with convergent subsequences in terms of the asymptotic behavior of the ending invariants of the associated hyperbolic 3-manifolds. Asymptotic behavior of end invariants in a convergent sequence predicts the parabolic locus of the algebraic limit as well as how the algebraic limit wraps within the geometric limit under the natural locally isometric covering map.
Two-generator Kleinian orbifolds
本文给出了PSL（2，C）中不含不变平面且其生成元和换位子具有实迹的离散非初等两生成元子群所一致化的轨道折叠的完整列表。
On the limit set of a geometrically infinite Kleinian group
对于无挠的Kleinian群$Γ$，考虑极限集$L(Γ)$分解为圆锥极限集和终止极限集，并比较了当$L(Γ)=S^2_\infty$ .
We show that Cannon-Thurston maps exist for degenerate free groups without parabolics, i.e. for handlebody groups. Combining these techniques with earlier work proving the existence of Cannon-Thurston maps for surface groups, we show that Cannon-Thurston maps exist for arbitrary finitely generated Kleinian groups without parabolics, proving conjectures of Thurston and McMullen. We also show that point pre-images under Cannon-Thurston maps for degenerate free groups without parabolics correspond to end-points of leaves of an ending lamination in the Masur domain, whenever a point has more than …
Singular measures on the limit set of a Kleinian group
本文考虑了一个无挠的Kleinian群$H$和$H$上关于有限支撑的对称非退化概率测度$μ$的随机游动.当$H$是几何无限的且不含抛物线时，或当$H$是含抛物线的Gromov双曲时，我们证明了Patterson-Sullivan测度关于由$μ$得到的调和测度是奇异的.
Realising end invariants by limits of minimally parabolic, geometrically finite groups
我们将证明，对于一个给定的同胚类型和一组端不变量（包括抛物线轨迹）与必要的拓扑条件，拓扑驯服克莱因群与同胚类型必须满足，有一个代数极限极小抛物，几何有限克莱因群，正是同胚类型和端不变量。这表明Bers-Sullivan-Thurston密度猜想是由Agol证明的Marden猜想，Calegari-Gabai结合Thurston的单值化定理和Minsky证明的结尾层压猜想，部分与Masur，Brock和Canary合作。
On rank two Kleinian groups with three parabolics
研究二阶自由群到\(\mathsf{PSL}(2,\mathbb{C})\)的离散表示，使三条闭曲线映为抛物元素，证明无限余体积群是特定极大尖点群，还发现了非来自特定链环希盖尔分裂表示的有限余体积群。
An extension of the Maskit slice for 4-dimensional Kleinian groups
设$Γ$是一个具有伴随抛物变换的三维Kleinian穿孔环面群. 2-球面上莫比乌斯变换群中的$Γ$的变形空间被称为穿孔环面群的Maskit切片。本文研究了三维球面上Möbius变换群中$Γ$的变形$Γ'$，使得$Γ'$不含螺旋抛物变换.我们将证明变形的空间被实现为3-空间$\mathbb{R}^3$的域，该域包含穿孔环面群的Maskit切片作为穿过平面的切片。此外，我们将证明空间也包含第四穿孔球面群的Maskit切片作为穿过另一个平面的切片。一些其他的空间切片也将被研究。
Cores of hyperbolic 3-manifolds and limits of Kleinian groups II
Troels Jorgensen证明了同构Kleinian群的代数收敛序列的代数极限和几何极限是一致的，如果在代数极限中没有新的抛物线。我们证明，这一猜想在“大多数”情况下。特别是，我们表明，它持有时，这样的序列的代数极限的不连续域是非空的。在同样的假设下，我们进一步证明了序列中群的极限集收敛于代数极限的极限集。作为推论，我们证明了对于非平凡的曲面群和无限循环群的自由积的生成Kleinian群的猜想.
Symmetric Decompositions of Free Kleinian Groups and Hyperbolic Displacements
研究自由 Klein 群中由对称等距子集产生的双曲位移，证明二生成元群在长度至多 k 时的统一位移下界，并对纯双曲有限生成自由群提出进一步下界猜想。
Commensurators of non-free finitely generated Kleinian groups
设G是一个非格的无抛物线的非自由生成Kleinian群，C（G）表示PSL（2，C）中的算子.证明了若G的极限集不是圆，则C（G）是离散的.此外，G在C（G）中有有限指数，除非G是纤维群，在这种情况下C（G）是格。
Two-Generator Free Kleinian Groups and Hyperbolic Displacements
本文针对无挠离散 Klein 群改进 $\log 3$ 位移定理，证明在相同条件下可从 $ξ$、$η$、$ξη$ 中找到等距，使任一点位移至少为 $(1/2)\log(5+3\sqrt{2})$。
Bending parameterization of one-sided degenerate Kleinian surface groups
本文针对出现在Bers切片边界中的单侧退化非拟富克斯流形，证明其由退化端的端结构（含抛物轨迹及补集分支的终结叶状结构/共形结构）与另一端的弯曲叶状结构唯一确定，拓展了拟富克斯流形的相关唯一性结果。
Constructing geometrically infinite groups on boundaries of deformation spaces
考虑一个不含抛物或椭圆元素的几何有限Kleinian群$G$，它的Kleinian流形为$M=(\H^3\cup Ω_G)/G$。假设对于$M$的每个边界分量，要么在Masur域中给出一个极大连通的测量层，要么给出一个标记的共形结构。在这种情况下，我们将证明，有一个代数极限$Γ$的准共形变形$G$，使有一个同胚$h$从$\mathrm{Int} M$到$\H^3/Γ$兼容的自然同构从$G$到$Γ$，给定的叠层是不可实现的$\H^3/Γ$，和给定的共形结构被$h$推进到那些$\H^3/Γ$。在此基础上，利用Agol，Calegari-Gabai的Marden猜想和Minsky与Brock，Canary和Masur合作的终结层猜想的最新解，证明了Bers-Thurston猜想，即每个生成的Kleinian群是极小抛物几何有限群的拟共形变形的代数极限.
Any action of a group $Γ$ on $\mathbb H^3$ by isometries yields a class in degree three bounded cohomology by pulling back the volume cocycle to $Γ$. We prove that the bounded cohomology of finitely generated Kleinian groups without parabolic elements distinguishes the asymptotic geometry of geometrically infinite ends of hyperbolic $3$-manifolds. That is, if two homotopy equivalent hyperbolic manifolds with infinite volume and without parabolic cusps have different geometrically infinite end invariants, then they define a $2$ dimensional subspace of bounded cohomology. Our techniques apply to…
The Geometry and Arithmetic of Kleinian Groups
在这篇文章中，我们调查和描述克莱因群的几何和算术的各个方面-双曲$3$ -空间的等距的离散非初等群。特别是，我们做了详细的研究，两个发电机组和讨论的算术广义三角形群（及其近亲）的分类。这项工作主要基于我在过去二十年中与Fred Gehring和Colin Maclachlan的合作，他们都在2012年去世。还有许多其他人也参与其中。在过去的几十年中，克莱因群理论因其与低维拓扑和几何的密切联系而蓬勃发展。我们给很少的一般理论及其与$3$ -流形理论在这里的连接，但集中在两个主要问题：西格尔的问题，确定最小covolume双曲格和马古利斯常数问题。这些都是“普遍约束”的克莱因集团-一个特点离散等距群在负曲率和包括结果，如Jørgensen的不平等，高维版本的赫维茨的$84g-84$定理和其他一些东西。我们将看到，获得这些结果所需的大部分工作是对两生成元克莱因群的各种解析空间进行具体描述，这有点类似于莱利切片。
We prove an inequality that must be satisfied by displacement of generators of free Fuchsian groups, which is the two-dimensional version of the $\log (2k-1)$ Theorem for Kleinian groups due to Anderson-Canary-Culler-Shalen. As applications, we obtain quantitative results on the geometry of hyperbolic surfaces such as the two-dimensional Margulis constant and lengths of closed curves, which improves a result of Buser's.
We study certain polynomial trace identities in the group $SL(2,\IC)$ and their application in the theory of discrete groups. We obtain canonical representations for two generator groups in §4 and then in §5 we give a new proof for Gehring and Martin's polynomial trace identities for good words, and extend that result to a larger class which is also closed under a semigroup operation inducing polynomial composition. This new approach is through the use of quaternion algebras over indefinites and an associated group of units. We obtain structure theorems for these quaternion algebras which appe…
Addendum to Ending Laminations and Cannon-Thurston Maps: Parabolics
在早期的工作中，我们已经证明了，对于没有偶然抛物线的Kleinian穿孔曲面群，存在Cannon Thurston映射。本文证明了当Cannon-Thurston映射不是一一对应时，点的原像恰好是结束层的叶的端点。这扩展了早期对闭曲面组所做的工作。
The Asymptotic distribution of circles in the orbits of Kleinian groups
设P是一个在非初等Kleinian群Gamma下的平面不变的局部有限圆填充，且具有2个Gamma-轨道.当Gamma是几何有限时，我们在平面上构造了一个显式Borel测度，它描述了P中小圆的渐近分布，假设Gamma的临界指数严格大于1，或者P不包含粘在Gamma的一个抛物不动点上的无限多个切圆.我们的构造也适用于P在几何无限群Gamma下的不变，只要Gamma允许有限Bowen-Margulis-Sullivan测度，并且P的Gamma-skinning大小是有限的。我们的结果适用于一些具体的圆填充，包括Apollonian圆填充，Sierpinski曲线，Schottky舞蹈，等等。
We give a detailed account of Agol's theorem and his proof concerning two-meridional-generator subgroups of hyperbolic 2-bridge link groups, which is included in the slide of his talk at the Bolyai conference 2001. We also give a generalization of the theorem to two-parabolic-generator subgroups of hyperbolic 3-manifold groups, which gives a refinement of a result due to Boileau-Weidmann.
Let G be a two generator subgroup of PSL(2,C). The Jorgensen number J(G) of G is defined by J(G)=inf{ |tr^2 A-4|+|tr[A,B]-2| ; G=<A,B>}. If G is a non-elementary Kleinian group, then J(G) >= 1. This inequality is called Jorgensen's inequality. In this paper, we show that, for any r >= 1, there exists a non-elementary Kleinian group whose Jorgensen number is equal to r. This answers a question posed by Oichi and Sato. We also present our computer generated picture which estimates Jorgensen numbers from above in the diagonal slice of Schottky space.
Jorgensen's Inequality and Purely Loxodromic 2-Generator Free Kleinian Groups
本文针对纯斜驶二生成元自由 Klein 群，利用轴间最短线段中点及位移距离条件，证明了一个显式 Jorgensen 型迹不等式，并提出有限生成情形的推广猜想。
Random walks, Kleinian groups, and bifurcation currents
设（ρ_λ）_{λ \in Λ}是一个有限生成群G在PSL（2，C）中的全纯表示族，它由一个复流形Λ参数化.我们定义了一个概念的分歧电流在这方面，即，一个积极的封闭电流在Λ描述的分歧，这一家庭的表示在定量意义上。它类似于DeMarco为黎曼球面上的全纯有理映射族所引入的分支流。我们的定义依赖于矩阵的随机乘积理论，因此它依赖于G上概率测度μ的选择。我们证明了在关于μ的自然假设下，分支电流的支集与族的分支轨迹一致.我们还证明了分歧流描述了参数空间中几种余维1现象的渐近分布，如偶然的抛物线或新关系，或不动点之间的偶然碰撞。
Isometries of length $1$ in purely loxodromic free Kleinian groups and trace inequalities
本文推广了PSL₂(C)子群的离散性判据，证明纯loxodromic自由Kleinian群中满足特定位移条件时存在迹不等式，常数由KKT理论确定。
We study the Bowditch boundaries of relatively hyperbolic group pairs, focusing on the case where there are no cut points. We show that if $(G,\mathcal{P})$ is a rigid relatively hyperbolic group pair whose boundary embeds in $S^2$, then the action on the boundary extends to a convergence group action on $S^2$. More generally, if the boundary is connected and planar with no cut points, we show that every element of $\mathcal{P}$ is virtually a surface group. This conclusion is consistent with the conjecture that such a group $G$ is virtually Kleinian. We give numerous examples to show the nece…
The Gehring-Martin-Tan inequality for 2-generator subgroups of PSL(2,C) is one of the best known discreteness conditions. A Kleinian group $G$ is called a Gehring-Martin-Tan group if the equality holds for the group $G$. We give a method for constructing Gehring-Martin-Tan groups with a generator of order four and present some examples. These groups arise as groups of finite volume hyperbolic 3-orbifolds.
Epimorphisms from 2-bridge link groups onto Heckoid groups (I)
莱利“定义”的赫科群为2桥链接作为克莱因集团，与非平凡的扭转，产生了两个抛物变换，他构建了一个无限家庭的满射从2桥链接群到赫科群。本文明确了Riley的定义，给出了2-桥链群到Heckoid群的满态的系统构造，推广了Riley的构造。
Concrete one complex dimensional moduli spaces of hyperbolic manifolds and orbifolds
本文介绍了Riley slice及其背景，并将Keen和Series的工作扩展到同构于$\mathbb{Z}_p*\mathbb{Z}_q$的Kleinian群的单复维模空间。
The classification of punctured-torus groups
瑟斯顿的终结叠层猜想提出，一个非线性生成的克莱因群唯一地由它的商的拓扑和描述它的端点的渐近几何的不变量列表决定（直到等距）。我们给出了这个猜想的一个证明穿孔-环面群。这些是具有抛物换位子的自由双生成元克莱因群，它们应该被认为是穿孔环面的基本群的表示。由此，我们验证了穿孔环面群的变形空间的拓扑描述（包括Bers关于拟富克斯群在此空间中稠密的猜想），并证明了一个刚性定理：两个穿孔环面群是拟共形共轭的当且仅当它们是拓扑共轭的。
Classical Two-parabolic T-Schottky groups
$T$ -肖特基群是莫比乌斯变换的离散群，其生成元标识复数球面${\hat{\IC}}$上的可能相切的约当曲线对。如果曲线是欧几里德圆，则该群称为经典$T$ -肖特基。我们描述了经典的$T$ -Schottky群的空间的边界，在所有具有两个抛物生成元的$T$ -Schottky群的较大参数空间内提供两个抛物生成元。这个边界与更大空间的边界惊人地不同。它是解析的，而更大空间的边界似乎是分形的。接近较小空间的边界并不对应于捏，圆必然相切，但不需要形成额外的抛物线。作为应用，我们构造了一个显式的单参数双抛物生成元非经典$T$ -Schottky群族。
Informative Words and Discreteness
在双曲三流形和Kleinian群与Fuchsian群的Teichm{ü}ller理论中，以及在两个生成矩阵群的离散问题中，经常会出现某些字族和字序列族（在两个生成矩阵群的生成元中的字）。我们调查的一些家庭这样的字和序列：半群的所谓的{ \sl好}字的Gehring-Martin，所谓的{ \sl杀手}字的Gabai-Meyerhoff-NThurston，Farey字的基恩系列和明斯基，离散算法Fibonacci序列的Gilman-Jiang和{ \sl抛物尘}字。我们调查家庭之间的联系，并建立一个新的好词和法里词之间的联系。
Conjugate Generators of Knot and Link Groups
这一注释表明，如果两个相等迹的元素（例如，共轭元）生成一个算术二桥纽结或环群，则这些共轭元是抛物型的。这包括8字形结和Whitehead链接组。类似地，如果两个共轭元生成三叶形纽结群，则这些元是外围的。
The Topology of Parabolic Character Varieties of Free Groups
设G是复仿射代数约化群，K是G的极大紧子群。固定元素h_1，...，h_m在K中。对于n大于或等于0，设X（分别为Y）是G（分别为K）中m + n个生成元的自由群的表示的等价类空间，使得对于1和m之间的每个i，第i个自由生成元的像与h_i共轭。这些空间是自由群的特征标簇的抛物类似物。我们证明了Y是X的一个强形变收缩。特别地，X和Y是同伦等价的。我们还描述了明确的例子X相对字符品种。
Non-freeness of parabolic two-generator groups
本文刻画抛物二元生成群的关系数，证明其等价于 $\sqrt{-λ}$ 为广义 Chebyshev 多项式的根，并给出有限检验与最小次数判定算法。
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