Veronese 嵌入的秩 3 二次生成元
Rank 3 Quadratic Generators of Veronese Embeddings
AI总结：
本文研究射影概形上非常丰沛线丛的 Veronese 嵌入的齐次理想能否由秩不超过 3 的二次式生成，证明了在特征非 3 时射影空间满足该性质，并给出一般概形的渐近结果，同时指出特征 3 时的反例。
摘要：
设 $L$ 是定义在代数闭域 $\Bbbk$（${\rm char}~\Bbbk \neq 2$）上的射影概形 $X$ 上的一个非常丰沛线丛。若线性正规嵌入 $X \subset \mathbb{P}H^0 (X,L)$ 的齐次理想可由秩 $\leq k$ 的二次式生成，则称 $(X,L)$ 满足性质 $\mathsf{QR}(k)$。许多经典簇，如 Segre-Veronese 嵌入、有理正规滚动面和高次曲线，都满足性质 $\mathsf{QR}(4)$。\n\n在本文中，我们首先证明：若 ${\rm char}~\Bbbk \neq 3$，则对所有 $n \geq 1$ 和 $d \geq 2$，$(\mathbb{P}^n , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} (d))$ 满足性质 $\mathsf{QR}(3)$。我们还研究了任意射影概形上性质 $\mathsf{QR}(3)$ 的渐近行为。具体地，我们证明：(i) 若 $X \subset \mathbb{P} H^0 (X,L)$ 是 $m$-正则的，则对所有 $d \geq m$，$(X,L^d )$ 满足性质 $\mathsf{QR}(3)$；(ii) 若 $A$ 是 $X$ 上的丰沛线丛，则对所有充分大的偶数 $d$，$(X,A^d )$ 满足性质 $\mathsf{QR}(3)$。这些结果为如下预期提供了肯定性证据：对于 $X$ 上所有充分丰沛的线丛，性质 $\mathsf{QR}(3)$ 成立，正如 Green-Lazarsfeld 条件 $\mathrm{N}_p$ 和 Eisenbud-Koh-Stillman 在 [EKS88] 中的行列式表示的情形。最后，当 ${\rm char}~\Bbbk = 3$ 时，我们证明对所有 $n \geq 3$，$(\mathbb{P}^n , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} (2))$ 不满足性质 $\mathsf{QR}(3)$。
英文摘要：
Let $L$ be a very ample line bundle on a projective scheme $X$ defined over an algebraically closed field $\Bbbk$ with ${\rm char}~\Bbbk \neq 2$. We say that $(X,L)$ satisfies property $\mathsf{QR}(k)$ if the homogeneous ideal of the linearly normal embedding $X \subset \mathbb{P}H^0 (X,L)$ can be generated by quadrics of rank $\leq k$. Many classical varieties such as Segre-Veronese embeddings, rational normal scrolls and curves of high degree satisfy property $\mathsf{QR}(4)$. In this paper, we first prove that if ${\rm char}~\Bbbk \neq 3$ then $(\mathbb{P}^n , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} (d))$ satisfies property $\mathsf{QR}(3)$ for all $n \geq 1$ and $d \geq 2$. We also investigate an asymptotic behavior of property $\mathsf{QR}(3)$ for any projective scheme. Namely, we prove that $(i)$ if $X \subset \mathbb{P} H^0 (X,L)$ is $m$-regular then $(X,L^d )$ satisfies property $\mathsf{QR}(3)$ for all $d \geq m$ and $(ii)$ if $A$ is an ample line bundle on $X$ then $(X,A^d )$ satisfies property $\mathsf{QR}(3)$ for all sufficiently large even number $d$. These results provide an affirmative evidence for the expectation that property $\mathsf{QR}(3)$ holds for all sufficiently ample line bundles on $X$, as in the cases of Green-Lazarsfeld's condition $\mathrm{N}_p$ and Eisenbud-Koh-Stillman's determininantal presentation in [EKS88]. Finally, when ${\rm char}~\Bbbk = 3$ we prove that $(\mathbb{P}^n , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} (2))$ fails to satisfy property $\mathsf{QR}(3)$ for all $n \geq 3$.
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