Exponentially small asymptotic estimates for the splitting of separatrices to whiskered tori with quadratic and cubic frequencies
研究了近可积哈密顿系统中具有两个或三个频率的须环的不变流形的分裂问题。我们考虑具有频率向量$ω=(1,Ω)$的2维环面，其中$Ω$是二次无理数，或者具有频率向量$ω=(1,Ω,Ω^2)$的3维环面，其中$Ω$是三次无理数。应用Poincare-Melnikov方法，我们找到了与不变环面相关的稳定流形和非稳定流形之间的最大分裂距离的指数小的渐近估计，表明这种估计强烈依赖于频率的算术性质.在二次情形下，我们利用连分数理论建立了一个特定的算术性质，在24种情形下得到了满足，这使我们能够以一种简单的方式提供渐近估计。在立方的情况下，我们把注意力集中在$Ω$是所谓的立方黄金数（$x^3+x-1=0$的实根）的情况下，也获得渐近估计。指出了二次和三次情形所得结果的异同。
2013-06-04 math.DS
Asymptotic motions converging to arbitrary dynamics for time-dependent Hamiltonians
在以前的工作[Asymptotically quasiperiodic solutions for不定常Hamilton，arXiv preprint arXiv：2211.06623（2022）]中，我们考虑了具有支持准周期解的不变环面的Hamilton的不定常扰动。假设扰动衰减多项式快的时间趋于无穷大，我们证明了存在一个渐近KAM环面。这是一个不定常的嵌入环面族，当时间趋于无穷大时收敛到未扰动系统的准周期不变环面。在本文中，不变环面上与未扰动哈密顿量相联系的动力学是任意的。因此，我们需要假设指数衰减的时间，以证明存在的一个不定常家庭的嵌入环面收敛的时间与未扰动系统的不变环面。证明依赖于隐函数定理，最复杂和原始的部分取决于相关的线性化问题的解决方案。
2023-02-17 math.DS
Asymptotic integration of nonlinear systems of differential equations whose phase portrait is foliated on invariant tori
我们考虑一类自治系统$\dot x=f(x)$，其中$x \in {\bf R}^{2n}$，$f \in C^1({\bf R}^{2n})$，其相图是$n$二维{ \em中心}的笛卡尔积。我们也考虑这个系统的扰动，即$\dot x=f(x)+g(t,x)$，其中$g \in C^1({\bf R}\times{\bf R}^{2n})$和$g$是渐近小的，即$g\Rightarrow 0$作为$t\to +\infty$关于$x$一致。假设$g$的降低率为$t^{-p}$，其中$p>1$。在此条件下，我们证明了扰动系统有界解的存在性，并讨论了它们收敛于未扰动系统解的问题。这种收敛依赖于$p$。此外，我们表明，原来的未扰动系统可以减少到$\dot r=0$，$\dotθ=A(r)$的形式，并采取$r\in {\bf R}^m_{+}$，$θ\in {\bf T}^n$，其中${\bf T}^n$表示的$n$维环面，我们调查的更一般的情况下，系统的相图是叶状不变环面。我们注意到，可积哈密顿系统具有相同的性质。我们也给出了几个例子，表明我们的定理的条件不能得到改善。
2000-04-01 math.DS
Long time stability for cubic nonlinear Schrödinger equations on non-rectangular flat tori
本文针对满足丢番图非退化条件的平坦环面上的三次非线性薛定谔方程，证明了高正则Sobolev空间中大多数小解的几乎全局存在性与稳定性，并发展了可调制频率的正规形方法。
2025-06-24 math.AP math.DS
Strong nonlinear instability and growth of Sobolev norms near quasiperiodic finite-gap tori for the 2D cubic NLS equation
研究二维环面上的三次非线性薛定谔方程（NLS）。该方程承认一个特殊的家庭椭圆不变的准周期环面称为有限间隙的解决方案。这些都是继承自可积的一维模型（立方NLS的圆圈），考虑解决方案，只依赖于一个变量。我们研究了2D NLS模型的这种不变环面的长时间稳定性，并表明，在一定的假设下，在足够长的时间尺度上，它们在索伯列夫空间$H^s(\mathbb{T}^2)$（$0<s<1$）中表现出强形式的横向不稳定性。更准确地说，我们构造的二维立方NLS的解决方案，开始任意接近这样的不变环面的$H^s$拓扑结构和其$H^s$规范可以增长的任何给定的因素。这项工作的部分动机的问题的无限能量级联的二维NLS，似乎是第一个实例（不稳定）长时间非线性动力学（线性稳定）准周期环面附近的研究和建设。
2018-10-08 math.AP math.DS
Existence of invariant tori in three dimensional maps with degeneracy
证明了退化可积作用角角映射扰动下二维不变环面的KAM型持久性，满足相交性质。这种退化的作用-角度-角度映射产生于三维保体积向量场的一般扰动，当未扰动映射在群作用方向上没有运动时，三维保体积向量场在$S^1$的保体积作用下是不变的。这种情况类似于哈密顿系统中的简并。地图的退化性质以及作用变量和角度变量数量的不等使得持续性证明是非标准的。我们的结果所预测的不变环面的持久性的存在的障碍，在三维不可压缩流体流动中的运输的影响。数值模拟结果表明，二维环面的存在，在扰动的旋转希尔的球形涡流。
2014-08-29 math.DS
Partial preservation of frequencies and Floquet exponents of invariant tori in the reversible KAM context 2
本文利用Herman方法，在KAM理论的可逆上下文2中，研究了光滑不变环面族在各种弱非退化条件下的持久性。可逆KAM上下文2是指可逆对合的不动点流形的维数小于所讨论的不变环面的余维数的一半的情况。我们采用的nondegeneracy条件，确保保存任何规定的子集的未扰动环面的频率和Floquet指数（沿环面的变分方程的系数矩阵的特征值）。
2017-09-07 math.DS
Persistence of Hyperbolic Tori in Generalized Hamiltonian Systems
本文证明了广义哈密顿系统中双曲不变环面的持久性，该系统可以容纳不同数量的作用变量和角度变量。所考虑的系统在切线方向上可以是奇维的。我们的结果推广了Graff和Zehnder在标准Hamilton中的著名结果。在我们的例子中，未扰动的哈密顿系统可能是退化的。我们还考虑了子流形上双曲环面的持久性问题。
2006-10-21 math-ph math.DS math.MP
Exponentially small splitting of separatrices associated to 3D whiskered tori with cubic frequencies
本文研究了一类近似可积哈密顿系统中具有三个频率的须状（双曲）环面的不变流形的分裂问题，该系统的双曲部分由摆给出。我们考虑一个具有快速频率向量$ω/\sqrt\varepsilon$的三维环面，其中$ω=(1,Ω,\widetildeΩ)$是一个三次无理数，它的两个共轭是复数，$ω$的分量生成场$\mathbb Q(Ω)$。一个典型的例子是三次黄金向量，由满足$Ω^3=1-Ω$和$\widetildeΩ=Ω^2$的（实数）$Ω$给出。对于这样的三维频率向量，连分数的标准理论不能应用，所以我们开发了一种方法来确定小因子$\langle k,ω\rangle$，$k\in{\mathbb Z}^3$的行为。应用庞加莱-Melnikov方法，这使我们能够进行一个仔细的研究的主谐波（这取决于$\varepsilon$）的Melnikov函数，获得一个渐近估计的最大分裂距离，这是指数小的$\varepsilon$，并有效的所有足够小的值~$\varepsilon$。这种估计的行为像$\exp\{-h_1(\varepsilon)/\varepsilon^{1/6}\}$，我们提供了，第一次在一个系统中的3个频率，一个准确的描述（正）功能$h_1(\varepsilon)$的指数的分子，表明它可以明确地从频率矢量$ω$的共振特性构建，并证明它是一个准周期函数（而不是周期性的）相对于$\ln\va…
2019-06-01 math.DS
Sobolev norms explosion for the cubic NLS on irrational tori
考虑$2$维无理环面上的三次非线性薛定谔方程.我们构造的解决方案进行增长的Sobolev规范。更具体地说，对于每一个$s>0$，$s\neq 1$和几乎每一个选择的空间周期，我们构造的解决方案，其$H^s$ Sobolev规范增长的任何规定的因素。此外，对于一组具有正豪斯多夫维数的空间周期，我们构造了其Sobolev范数从任意小到任意大的解。我们还提供了估计所需的时间进行规范爆炸。注意，空间周期的不合理性将线性共振相互作用分解为$1$维共振的产物，从而大大降低了通常用于构造能量转移解的共振动力学的复杂性。然而，人们可以通过使用依赖于空间周期的丢番图逼近性质的准共振来提供这些增长的Sobolev范数解。
2022-03-01 math.AP math.DS
Density of shapes of periodic tori in the cubic case
研究对角群作用下SL(3,R)/SL(3,Z)的周期环面，将其周期格重标后得到SL(2,R)/SL(2,Z)中的形状点，证明所有周期环面的形状在该空间中稠密，进而推出全实三次序的单位群形状也具有稠密性。
2026-08-28 math.DS math.NT
Generic Nekhoroshev theory without small divisors
在这篇文章中，我们提出了一个新的方法Nekhoroshev理论的一般未扰动哈密顿量，完全避免了小因子的问题。证明是一个扩展的方法介绍了P. Lochak结合平均沿周期轨道与同时丢番图逼近和使用几何参数设计的第二作者处理通用可积哈密顿。该方法允许处理一般非解析汉密尔顿并获得线性稳定环周围的一般稳定性的新结果。
2010-11-08 math.DS
Biasymptotically quasiperiodic solutions for time-dependent Hamiltonians
在以前的工作[Asymptotically quasiperiodic solutions for不定常Hamilton，arXiv preprint arXiv：2211.06623（2022）]中，我们考虑了具有支持准周期解的不变环面的哈密顿向量场的不定常扰动。假设扰动衰减多项式快的时间趋于无穷大，我们证明了存在一个渐近KAM环面。渐近KAM环面是嵌入环面的不定常族，其随着时间趋于无穷而收敛到与未扰动系统相关联的不变环面。现在，我们很自然地想知道什么时候我们有一个双渐近KAM环面的存在。这是一个连续的不定常族的嵌入环面收敛在未来和过去的适当的准周期不变环面。在这项工作中，我们更进一步。我们分析了可积和近可积哈密顿量的不定常扰动。假设扰动随时间多项式快速衰减，我们证明了轨道在未来和过去收敛到某些拟周期解的存在性。
2023-02-17 math.DS
Drift in phase space: a new variational mechanism with optimal diffusion time
我们考虑非等距的，几乎可积的，先验不稳定的哈密顿系统（三角多项式）$O(μ)$ -扰动不保持未扰动环面。本文用变分方法证明了Arnold扩散随扩散时间$ T_d = O((1/ μ) \log (1/ μ))$的存在性，该方法不需要KAM理论提供的“tori过渡链”的存在性.我们还证明，我们的估计的扩散时间$T_d $是最佳的结果，从经典的扰动理论的一般稳定性。
2002-05-29 math.DS math.FA
Lower-dimensional invariant tori for perturbations of a class of non-convex Hamiltonian functions
考虑一类准可积哈密顿系统，该系统是通过向可积系统的非凸哈灵顿函数添加仅取决于角度变量的扰动而获得的。我们专注于一个共振的极大环面的未扰动系统，叶成一个家庭的低维环面余维1，不变的准周期流的旋转向量满足一些温和的丢番图条件。我们表明，至少有一个低维环面的旋转矢量总是存在的扰动系统。证明是基于发散级数的多尺度分析和重算程序。一个关键的作用是发挥适当的对称性和取消，最终由于系统的哈密顿结构。
2012-09-13 math-ph math.CA math.DS
Almost-sure quenched KAM tori for cubic NLS with a spatial white-noise potential
School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）；School of Mathematics, Physics and Statistics, Shanghai Polytechnic University（上海理工大学数学与统计学院）
针对带空间白噪声势的三次NLS方程，证明在单个概率为一的事件上，对每个有限切向集合存在线性稳定、实解析的小振幅不变KAM环面族，其参数集相对测度趋于1。
2026-09-22 math.DS math.PR
Prescribed energy periodic solutions of Kepler problems with relativistic corrections
我们考虑两个不同的相对论版本的开普勒问题在平面上：第一个涉及相对论微分算子，第二个涉及通常的引力势由于列维-奇维塔的校正。当一个小的外部扰动被添加到这样的方程，我们研究了周期解的存在性与指定的能量从周期不变环面的未扰动问题的分支。我们的主要工具是一个抽象的分歧理论从周期流形发展的Weinstein，这是适用于几乎可积的哈密顿系统的情况下，满足通常的KAM等能非退化条件。
2023-03-01 math.DS
Towards sharp regularity: Full-dimensional tori in $ C^\infty $ vector fields over $ \mathbb{T}^\infty $
研究无穷维环面上受扰向量场的线性化问题，提出带平衡序列的新 KAM 格式克服非多项式非共振，确定 KAM 适用所需的最弱正则性为 $ C^\infty $ 正则性。
2025-09-14 math.DS
Global structure of quaternion polynomial differential equations
本文主要研究四元数Bernoulli方程$\dot q=aq+bq^n$的整体结构，对于$q\in \mathbb H$，四元数域以及其它形式的三次四元数微分方程也是如此。利用Liouville可积性定理和$2$的拓扑特征--维环面：亏格为1的可定向紧连通曲面，证明了四元数Bernoulli方程可以有不变环面，它具有$\mathbb H$的一个完整的勒贝格测度子集.此外，如果$n=2$所有的不变环面都充满周期轨道，如果$n=3$有无穷多个不变环面满足周期轨道，也有无穷多个不变环面满足稠密轨道.
2014-07-30 math.DS
KAM theorem on modulus of continuity about parameter
本文研究参数仅具连续性的哈密顿系统，在频率映射满足横截与弱凸条件下证明不变环面频率保持性，推导任意Hölder参数扰动的KAM定理并拓展至无穷维，为首项突破Hölder型参数限制的相关研究。
2023-01-19 math.DS
Periodic Solutions of vdP and vdP-like Systems on $3$--Tori
范德波尔方程（简称vdP）以及它的许多非对称推广（所谓的范德波尔类振荡器（简称vdPl））作为耦合网络中的节点，对现实生活中的现象进行建模。vdP/vdPl网络的周期区域的对称性依赖于耦合的对称性。在本文中，我们考虑$N^3$相同的vdP/vdPl振荡器安排在一个立方晶格，其中相对的面被确定在相同的方式为$3$ -环面。根据节点的动态影响一个给定的节点，我们区分$\mathbb D_N \times \mathbb D_N \times \mathbb D_N$ -等变系统和它们的$\mathbb Z_N \times \mathbb Z_N \times \mathbb Z_N$ -等变对应。在这两种情况下，局部等变的Hopf分支连同具有规定的周期和对称性的周期解的整体存在性，进行了研究。本文所用的方法是基于等变度理论和（等变）奇异性理论的结果
2016-08-19 math.DS
Kolmogorov's Theorem for Degenerate Hamiltonian Systems with Continuous Parameters
本文在频率映射仅对参数连续依赖及弱凸性、拓扑度条件下，证明了退化哈密顿系统小扰动后不变环面保持原频率的KAM型定理，是该条件下的首创结果。
2023-10-17 math.DS
Greene's Residue Criterion for the Breakup of Invariant Tori of Volume-Preserving Maps
不变环面在辛映射和保体积映射的动力学中起着重要的作用。余维一环面特别重要，因为它们形成了传输的障碍。这样的环面使具有一个作用和$d$角的可积保体积映射的相空间叶状。对于保面积情形，格林剩余准则常被用来从附近周期轨道的性质预测环面的破坏。即使KAM理论适用于三维的情况下，在这样的系统中的环面的鲁棒性仍然知之甚少。我们研究了一个三维的，可逆的，体积保持类似的Chirikov的标准地图与一个行动和两个角度。通过计算附近周期轨道的“留数”，我们研究了扰动下环面的保存和破坏。我们发现环面与丢番图旋转向量的“螺旋平均”三次代数领域。残基用于生成映射的临界函数，并找到最鲁棒的环面的候选者。
2012-05-28 math.DS nlin.CD
Birkhoff Averages and the Breakdown of Invariant Tori in Volume-Preserving Maps
提出基于加权 Birkhoff 平均的数值方法，以识别保体积映射中的规则与混沌轨道、计算旋转向量并定位不变环面临界破坏参数。
2021-06-28 math.DS nlin.CD
An infinite dimensional KAM theorem with application to two dimensional completely resonant beam equation
本文考虑L^2（\T^2）的一个子空间上具有立方非线性项的\T^2上的完全共振梁方程，这将在后面解释。建立了一个抽象的无限维KAM定理，并将其应用于完全共振梁方程。证明了一类对应于有限维环面的Whitney光滑小振幅拟周期解的存在性。
2017-01-20 math.DS
Distribution of periodic torus orbits and Duke's theorem for cubic fields
研究格空间上的周期环面轨道。使用的基础环面的顶点群的行动，我们定义了这些轨道上的自然等价关系，并证明等价类成为均匀分布。这是Duke关于闭测地线在模曲面上分布的定理的一个三次类比：适当地解释，三次全实域的理想类在模5重SL_3（Z）\SL_3（R）/SO_3（R）中是等分布的。特别地，这证明了（一种更强形式的）民间猜想：当V趋于无穷大时，体积小于V的SL_3（Z）\SL_3（R）/SO_3（R）中的极大紧致平坦集成为等分布的.证明结合了次凸估计，措施分类，和当地的调和分析。
2010-02-03 math.DS math.NT
Invariant tori, action-angle variables and phase space structure of the Rajeev-Ranken model
我们研究了经典的Rajeev-Ranken模型，一个描述1+1维幂零标量场理论中的非线性连续波的三自由度哈密顿系统，它是SU（2）主手征模型的伪对偶.虽然它与诺依曼和基尔霍夫模型大致相似，但它的方程可以被看作是中心扩展的欧几里得代数的欧拉方程。该模型有一个拉克斯对和r-矩阵导致四个一般独立的守恒量对合，其中两个是卡西米尔。他们的水平集定义四维辛叶上的系统是刘维尔可积的。在这些叶子中的每一个上，其余守恒量的公共水平集被示出，一般来说，是2-环面。非类属级别集只能是喇叭圆环、圆和点。它们对应于测量零子集的保守量发展的关系和解决方案退化从椭圆到双曲，圆形或常数函数。一个几何结构允许我们实现每个共同的水平集作为一个束与基地确定的三次多项式的根。动力学定义在每种类型的水平集的并集上，相应的相流形表示为守恒量空间上的丛。有趣的是，能量超曲面中的拓扑转变被发现发生在对应于角环的能量处，角环支持纯同宿轨道。每个喇叭环面上的动力学是非哈密顿的，但表示为梯度流。最后，我们发现了一个家庭的作用角变量的系统，适用于远离喇叭环面。
2019-08-30 hep-th math-ph math.DS
The scattering map in two coupled piecewise-smooth systems, with numerical application to rocking blocks
考虑了$\RR^2$中两个分段光滑系统通过非自治周期扰动耦合形成的非自治动力系统。我们研究了其中一个分段光滑系统的异宿轨道的动力学。在未扰动的情况下，系统具有两个二维的$C^0$正常双曲不变流形，它们之间有一对三维异宿流形。这些异宿流形是由位于相同能级的$C^0$环面之间的异宿连接形成的。利用{ \em碰撞图}证明了这些天体在扰动下的持久性。另外，通过Melnikov类函数的单零点的存在性，给出了横截异宿交存在的充分条件.异宿流形允许我们定义{ \em散射映射}，它通过异宿连接将不变流形中的渐近动力学联系起来。该映射的一阶性质为渐近动力学位于扰动不变流形的不同能级提供了充分条件。因此，我们有一个必不可少的工具，建设一个异宿骨架，当遵循，可以导致存在的Arnol'd扩散：轨迹，在大时间尺度，不稳定的系统进一步积累能量。通过对由两个摆块和一个弹簧组成的冲击机械系统的详细数值计算，验证了所有的理论结果。
2013-05-07 math.DS
