The extension of the $D(-k)$-pair $\{k,k+1\}$ to a quadruple
Nikola Adžaga, Alan Filipin, Yasutsugu Fujita
令$k$为正整数。本文证明了：如果$\{k,k+1,c,d\}$与$c>1$是$D(-k)$ -四元组，则$d=1$ .
Let $k$ be a positive integer. In this paper, we prove that if $\{k,k+1,c,d\}$ is a $D(-k)$-quadruple with $c>1$, then $d=1$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the existence of $S$-Diophantine quadruples
设$S$是素数的集合。我们称一个不同的正整数$m$元组$S$ -丢番图，如果对于所有的$i\neq j$，整数$s_{i,j}:=a_ia_j+1$只有来自集合$S$的素因子，即如果所有的$s_{i,j}$都是$S$ -单位。在本文中，我们证明了没有$S$ -丢番图四元组（即~如果$S=\{3,q\}$，则存在$m=4$）。此外，我们表明，对于所有的素数$(p,q)$与$p<q$和$p\equiv 3\mod 4$没有$\{p,q\}$丢番图四元组存在，只要$(p,q)$是不是一个Wieferich素数对。
On the prime divisors of elements of a $D(-1)$ quadruple
本文证明了：如果{1，b，c，d}是D（-1）丢番图四元组，且b<c<d，c=1+s^2，则不存在s=p^k，s=2p^k，c=p和c=2p^k的情形，其中p是奇素数，k是正整数.对于整数d=1+x^2，我们证明了它不是素数，并且x至少能被两个不同的奇素数整除。进一步，我们给出了几个整数b的无限族，使得D（-1）对{1，b}不能扩展为D（-1）四元组.例如，我们证明了如果r= 5 p，其中p是奇素数，则D（-1）对{1，r^2+1}不能扩展为D（-1）四元组。
Linked partition ideals and a family of quadruple summations
最近，$4$ -定期分区到不同的部分连接到一个家庭的overpartition。在本文中，我们提供了一个统一的推广的关系，由于安德鲁斯的两种类型的划分。这样的扩展是有可能的追索权的一个新的三元罗杰斯-拉马努金型身份，这涉及到家庭的四重求和出现作为生成函数的上述overpartitions。更有趣的是，这个罗杰斯-拉马努金型恒等式的推导与某个平稳的基本超几何级数有关。
On extensions of $D(4)$-triples by adjoining smaller elements
本文研究了如何通过添加更小元素扩展$D(4)$-三元组，证明了在假设的$D(4)$-四元组中存在某些关系，并表明每个$D(4)$-三元组最多有两个这样的扩展。
A note on the number of $S$-Diophantine quadruples
令$(a_1,\dots, a_m)$是正的、两两不同的整数的$m$ -元组。如果对于所有的$1\leq i< j \leq m$，$a_ia_j+1$的素除子来自同一个固定集合$S$，那么我们称$m$ -元组为$S$ -丢番图。本文用$|S|=r$估计了$S$ -丢番图四元组的个数.
On pairs, triples and quadruples of points on a cubic surface
令$X^{(n)}$表示三次曲面$X$的$n$次对称幂。我们发现，$X^{(4)}\times X$是稳定的双有理数$X^{(3)}\times X$，尽管例子时，$X^{(4)}$是不稳定的双有理数$X^{(3)}$。
A Pellian equation with primes and applications to D(-1)-quadruples
本文证明了方程$x^2-(p^{2k+2}+1)y^2=-p^{2l+1}$，$l \in \{0,1,\dots,k\}, k \geq 0$，其中$p$为奇素数，在正整数$x$和$y$中不可解.通过结合该结果与其他已知的结果丢番图四元组的存在性，我们能够证明结果的可扩展性的一些$D(-1)$ -对四元组的环$\mathbb{Z}[\sqrt{-t}], t>0$。
Extension of a Diophantine triple with the property $D(4)$
本文给出了具有性质$D(4)$的丢番图$m$ -元组的三元组到四元组的扩张数的一个上界。在某些特殊情况下，我们也证实了关于这种扩张的唯一性的猜想。
The extension of some D(4)-pairs
本文利用文献[1]中的结果证明了$D(4)$ -三重$\{a, b, c\}$与$a < b < a + 57\sqrt{a}$有一个唯一的推广到具有较大元素的四重。这进一步意味着如果$a < b < a + 57\sqrt{a}$，则$D(4)$ -对$\{a, b\}$不能扩展为五元组.
On the extensions of the Diophantine triples in Gaussian integers
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。本文研究了高斯整数$\mathbb{Z}[i]$中的丢番图三元组$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$到丢番图三元组的可扩性。类似的单参数族$\{k-1, k+1, 4k\}$在Franušić的前一篇论文中进行了研究，其中证明了丢番图四元组的扩张是唯一的（具有元素$16k^3-4k$）。在有理数中已经研究了具有相同形式$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$的三元组族。在求解丢番图对$\{k-1, k+1\}$的可扩性问题时，它是一个特例，在这种情况下，不可能使用与其他情况相同的方法。正如作者（Bugeaud、Dujella和Mittette）所指出的，困难出现是因为$k+1$和$16k^3-4k$之间的差距不够大。我们在这里发现同样的困难，而试图使用丢番图逼近。然后利用图中的线性型部分地解决了这个问题。
Apollonian Circle Packings: Number Theory
阿波罗圆填充是通过重复地用更多的相切圆填充相互相切的圆之间的空隙而产生的。在这样的填充中，每个圆都可能具有整数曲率半径，我们称这样的填充为{ \em积分阿波罗圆填充}。本文研究了这类填充中出现的整数曲率集的数论性质。填充中的四个相切圆的每个笛卡尔四元组给出{ \em笛卡尔方程}的整数解，该方程与四个相互相切的圆的曲率半径相关：$2 (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) - (x + y + z + w)^2 = 0.$每个完整的阿波罗圆填充由满足笛卡尔方程的整数的某个{ \em根四元组}分类，并且对应于填充中出现的特定四元组圆。我们确定的根四倍体的大小低于$T$的数量的渐近。我们研究的整数出现在一个给定的整数包装，并确定同余限制，有时适用。最后，我们提出的证据表明，出现在一个完整的阿波罗圆包装的整数曲率半径的集合具有正密度，实际上代表了所有足够大的整数不排除的同余条件。在一系列的同伴论文“阿波罗圆填充：几何和群论”，我们调查了各种群论性质的这些配置，以及各种扩展到更高的维度和其他空间，如双曲空间。
On the extension of $D(-8k^2)$-pair $\{8k^2, 8k^2+1\}$
令$n$为非零整数。一组$m$正整数称为$D(n)$ - $m$ -元组，如果它的任何两个不同元素加上$n$的乘积是完全平方。令$k$为正整数。通过初等方法，我们证明了$D(-8k^2)$对$\{8k^2, 8k^2+1\}$最多可以扩展为四元组（第三和第四个元素只能是$1$和$32k^2+1$）.最后，我们建议考虑$D(-k^2)$ -三重$\{ 1, 2k^2, 2k^2+2k+1\}$作为未来可能的研究方向。
Two-parameter families of uniquely extendable Diophantine triples
设A，K为正整数，u=-2，-1，1或2.本文的主要贡献是证明了D（u^2）-三元组{K，A^2K +2uA，（A+1）^2K+2u（A+1）}中的每一个对D（u^2）-四元组都有唯一的扩张.
Extensions of $D(4)$-pairs $\{a, ka\}$ with $k\in \{7,8,10,11,12,13\}$
该研究探讨了当$k\in\{7,8,10,11,12,13\}$时$D(4)$-数对$\{a,ka\}$的扩展问题，证明其可扩展为含依赖$a$的正整数族元素$c$的$D(4)$-三元组，且此类三元组可唯一扩展为$D(4)$-四元组。
Diagonal genus 5 curves, elliptic curves over $\mathbb Q(t)$, and rational diophantine quintuples
寻找一个给定的有理丢番图四元组到一个有理丢番图五元组的所有可能扩张的问题等价于确定亏格为5的某条曲线上的有理点集，该曲线可以写成$\mathbb P^4$中三个对角二次曲面的交集。我们讨论如何可以（尝试）确定这样的曲线上的有理点的集合。我们在几种情况下将我们的方法应用于原始问题。特别是，我们表明，费马的丢番图四元组（1，3，8，120）可以扩展到一个合理的丢番图五元组只有一种方式，即由777480/8288641。然后，我们讨论了一种方法，使我们能够找到的Mordell-Weil群的椭圆曲线$E$定义在有理函数域$\mathbb Q(t)$时，$E$有充分的$\mathbb Q(t)$ -有理2-挠。这是基于Dujella、Gusić和Tadić最近的结果。我们给出了几个具体的例子，这种方法可以应用。这些结果之一意味着，只有一个扩大的丢番图四重$\bigl(t-1,t+1,4t,4t(4t^2-1)\bigr)$在$\mathbb Q(t)$。
An extension of the pair-correlation conjecture and applications
研究了Montgomery对相关猜想的一个推广及其在素数分布问题中的应用。
Primitive Element Pairs with a Prescribed Trace in the Quartic Extension of a Finite Field
在这篇文章中，我们给出了一个很大程度上自包含的证明，四次扩张$\mathbb{F}_{q^4}$的有限域$\mathbb{F}_q$包含一个本原元$α$，使得元素$α+α^{-1}$也是一个本原元的${\mathbb{F}_{q^4}},$和$Tr_{\mathbb{F}_{q^4}|\mathbb{F}_{q}}(α)=a$的任何指定的$a \in \mathbb{F}_q$。Gupta，Sharma和Cohen已经建立了次数超过4的有限域扩张的相应结果。
Primitive element pairs with a prescribed trace in the cubic extension of a finite field
证明了对任意素数幂$q\notin\{3,4,5\}$，有限域$\mathbb{F}_q$的三次扩张$\mathbb{F}_{q^3}$包含一个本原元$ξ$，使得$ξ+ξ^{-1}$也是本原元，并且对任意指定的$a\in\mathbb{F}_q$都包含$\textrm{Tr}_{\mathbb{F}_{q^3}/\mathbb{F}_q}(ξ)=a$.这就完成了古普塔、夏尔马和科恩关于任意度扩张$n\ge3$上的类似问题的猜想的证明。
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