On Hermitian and skew-Hermitian matrix algebras over octonions
Arezoo Zohrabi, Pasha Zusmanovich
本文证明了代数的简单性，并计算了代数的$δ$ -导子和对称结合型。
We prove simplicity, and compute $δ$-derivations and symmetric associative forms of algebras in the title.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Finding 3x3 Hermitian Matrices over the Octonions with Imaginary Eigenvalues
我们证明了任何3分量八元数向量是纯虚的，但不是四元数的，是一个特征向量的6参数家庭的厄米特八元数矩阵，虚特征值等于其元素的结合子。
Derivations of octonion matrix algebras
众所周知，例外李代数$\mathfrak{f}_4$和$\mathfrak{g}_2$分别作为$3\times3$厄米矩阵和$1\times1$反厄米矩阵的导子代数从八元数产生。受此启发，我们计算了八元数代数上的厄米特矩阵和反厄米特矩阵空间的导子代数。
Symmetry of the triple octonionic product
将线性算子的厄米特分解推广到两个或多个算子的情形。构造了三个八元数乘积的三部分加法展开式，其中每一部分在厄米特共轭和三个超复数乘法阶的逆运算的作用下以及在指定运算的合成下保持或改变符号.三个八元数，特别是四元数，与共轭中心因子的乘积表示为相互正交的三重反换位子，三重换位子和结合四元数为零的结合子之和。三重交换子被视为向量积的推广，适用于四元数和八元数的三个自变量。一个广义的向量积引入作为反对称组件的三重八元数产品，改变符号的三个参数的乘法阶的反转，并为厄米共轭的产品分别考虑到中心参数。从对称性出发，导出了三个超复数的向量积的定义，并将其与S. Okubo（1993）和T. Dray和MA Corinne（2015）.结果表明，导出的定义是等价的S.大久保在一个不够完美的形式提出的第一个解决方案。
Orthonormal Eigenbases over the Octonions
我们以前证明了3 × 3八元埃尔米特矩阵的实特征值形成两个独立的族，每个族包含3个特征值，并且每个族导致单位矩阵的正交分解，这通常对应于规范正交基。我们在这里表明，它仍然需要两个家庭，以便将一个任意向量分解成分量，其中每个分量都是原始矩阵的特征向量;因此，每个向量有6个分量，而不是3个。
Hermitian and skew hermitian forms over local rings
研究了局部环上可能退化的厄密双线性型和斜厄密双线性型的分类问题，其中2是单位元。
Solution of the congruence problem for arbitrary hermitian and skew-hermitian matrices over polynomial rings
我们给复多项式代数C[t]配上一个对合，它是C上的恒等式，并使t成为-t。回答V.G.提出的问题。Kac，我们证明了这个代数上的每一个埃尔米特矩阵或斜埃尔米特矩阵都与1 × 1矩阵和2 × 2矩阵的零对角的直和全等。此外，我们证明了如果两个n × n厄米特矩阵或斜埃尔米特矩阵有相同的不变因子，则它们是合同的。复域可以用特征不为2的任何代数闭域来代替。
Diagonalization of skew-Hermitian dual quaternion matrices and $ϕ$-Hermitian dual quaternion matrices
本文研究斜厄米对偶四元数矩阵的酉等价对角化，以及单位四元数$\phi$对应的$\phi$-厄米对偶四元数矩阵的酉$\phi$-相合对角化，推广了相关矩阵分解结论。
Determinantal representations of the Drazin inverse for Hermitian matrix over the quaternion skew field with applications
在列行列式和行行列式理论的框架内，我们得到了四元数除环上埃尔米特矩阵Drazin逆的行列式表示。利用所得到的Drazin逆的行列式表示，我们得到了四元数矩阵方程$ {\bf A}{\bf X} = {\bf D}$，$ {\bf X}{\bf B} = {\bf D} $和${\bf A} {\bf X} {\bf B} = {\bf D} $的Drazin逆解的显式表示公式（类似于克拉姆法则），其中$ {\bf A}$，${\bf B}$是Hermitian的.
Octonions, E6, and Particle Physics
1934年，乔丹等人给出了量子力学合理理论的一个必要代数条件，即乔丹恒等式。满足这个条件的所有代数，除了一个以外，都可以用复数或四元数上的埃尔米特矩阵来描述。剩余的例外Jordan代数可以用八元数上的3 × 3埃尔米特矩阵来描述。本文首先回顾了八元数和例外Jordan代数的性质，包括我们以前在八元数Jordan本征值问题上的工作。然后，我们研究了李群E6的一个特定的实非紧形式，它保留了例外乔丹代数中的行列式。最后，我们描述了E6中一个可能的破坏性场景：首先选择一个八元数方向是特殊的，然后选择一个3x3矩阵中的2x2子矩阵是特殊的。只有这两种选择，我们才能以自然的方式描述轻子的许多性质。我们进一步推测夸克可能以类似的方式编码。
Structurable algebras of skew-dimension one and hermitian cubic norm structures
研究了斜维1的可结构代数。我们提出了两种不同的等价结构，这样的代数：一个在三次范数结构的非线性同位素，和埃尔米特三次范数结构。在这项工作基本完成后，我们意识到这两种描述已经出现在文献中（有些隐藏的地方）。然而，我们证明了一些以前没有注意到的事实：（1）我们证明了矩阵可结构代数的每一种形式都可以用我们的构造来描述;（2）我们给出了范数$ν$的显式公式;（3）我们将可结构代数与Cayley-Dickson过程精确地联系起来。
Quadratic descent of hermitian forms (with an erratum)
研究了具有任意特征的第一类对合的除代数上埃尔米特形式和斜埃尔米特形式的二次下降，并得到了一个关于二次型系统的准则。一个精细的结果也得到了埃尔米特（resp。斜埃尔米特）形式上的一个四元数代数与辛（分别.正交）对合。
Quadratic $D$-forms with applications to hermitian forms
研究了取值于域上的二次型的一些性质，其中域的基向量空间具有域的除环扩张上的右向量空间的结构。一些广义的概念的各向同性，代谢和等距的介绍，并用于找到一个维特分解这些形式。然后，我们关联到每一个（斜）厄米特形式的除代数与第一类的二次型定义在其基础向量空间。它表明，这种二次型，其广义概念的各向同性和等距，可以用来确定各向同性的行为和等距类（斜）厄米形式。
Subspaces of 7 x 7 skew-symmetric matrices related to the group G_2
设$K$是特征不等于2的域，$C$是$K$上的八元代数.证明了$K$上的$7\times 7$反对称矩阵存在一个在$C$的自同构群下不变的7维子空间.当$C$是除代数时，该子空间由秩6的元素组成，当$C$是分裂代数时，该子空间由秩4和秩6的元素组成。在后一种情况下，自同构群是例外群$G_2(K)$。
Cubic norm pairs and hermitian cubic norm structures
该研究将三次范数结构推广为三次范数对、将埃尔米特三次范数结构拓展至任意含单位元交换环，还为对应斜维1可结构代数构造了李代数及其自同构群。
DDVV-type inequality for Hermitian matrices
本文将实对称矩阵和反对称矩阵的包含Frobenius范数的DDVV型不等式推广到Hermitian矩阵和反埃尔米特矩阵.
Magic squares and matrix models of Lie algebras
本文研究了特殊单李代数作为经典矩阵李代数的八元数模拟的刻画。我们回顾蒂茨-弗赖登塔尔建设的幻方，其中包括特殊的李代数的八元数的情况下，一个建设方面的约旦代数厄米特3x 3矩阵（山雀）或各种平面和其他几何（弗赖登塔尔）。我们提出了幻方的替代结构，解释其对称性，并明确显示如何使用分裂复合代数导致类似的矩阵李代数su（3），sl（3）和sp（6）。我们采用幻方结构来包含所有实除代数的su（2），sl（2）和sp（4）的类似物。
Skew Constacyclic Codes over Finite Chain Rings
有限域上的斜多项式环（[7]和[10]）和Galois环（[8]）已经被用来研究码。在本文中，我们将这一概念推广到有限链环。研究了由$x^n-λ$（其中$λ$为单位元）的幺右因子生成的斜常循环码的性质.当$λ^2=1$时，确定了这类码的欧几里德和厄米特对偶码的生成元，以及它们是欧几里德和厄米特自对偶码的充要条件.更感兴趣的是环$\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$上的码。完全确定了所有斜常循环码的结构。这使我们能够表示生成元的欧几里德和厄米特对偶码的斜循环和斜双循环码的原始代码的生成元。给出了$\mathbb{F}_{3}+u\mathbb{F}_{3}$上所有长度为~2的斜循环码及其欧几里德和厄米特对偶码的一个例子。
A Note on Quaternion Skew-Symmetric Matrices
复反对称矩阵与其共轭转置的乘积是一个具有非负特征值的半正定埃尔米特矩阵，且每个不同的正特征值具有偶数重。这一性质为Loo-Keng Hua教授建立复反对称矩阵的酉等价定理起到了关键作用。我们表明，这一性质不再是真正的四元数反对称矩阵。这给在酉等价下求四元数反对称矩阵的标准形带来了困难，而这对于对偶四元数矩阵的谱理论可能是至关重要的。我们证明了四元数反对称矩阵的逆矩阵不一定是反对称的，但非奇异复反对称矩阵的逆矩阵一定是反对称的。我们还提出了基本四元数反对称矩阵的概念。
Exceptional quantum geometry and particle physics II
我们继续在[13]中进行的研究，研究厄米特$3\times 3$八元数矩阵的特殊Jordan代数$J^8_3$对于描述3代标准模型基本费米子内部空间的相关性。根据[30]的建议，（适当地证明在这里），厄米$2\times 2$八子矩阵的Jordan代数$J^8_2$是相关的描述的内部空间的基本费米子的一代，我们表明，基于相同的原则和相同的框架，在[13]，有一种方法来描述3代的内部空间，它避免了引入新的基本费米子，并且在电弱对称性方面没有问题。
Hilbert's 17th problem in free skew fields
本文解决了Hilbert第17问题的有理非对易类比：如果一个非对易有理函数在其定义域上的所有埃尔米特矩阵上都是半正定的，则它是一个非对易有理函数的埃尔米特平方和.这一结果是早期的非交换多项式或有理函数没有埃尔米特奇点的正性证明的推广和顶点。更一般地，给出了自由谱面的有理正定理：非交换有理函数在线性矩阵不等式$L\succeq0$的每一个矩阵解处是半正定或未定的当且仅当它属于由$L$生成的有理二次模.这个Positivstellenarchy的重要中间步骤是一个扩展定理的可逆评价的线性矩阵铅笔。
Colour algebras over rings
本文提出在具有1/2∈R的环上定义色代数，并通过非退化三元Hermitian形式构造色代数，探讨其结构及与八元数代数的关系。
Flipped non-associative polynomial rings and the Cayley-Dickson construction
本文引入翻转非结合多项式环，证明 Cayley-Dickson 代数可自然实现为其商，并推广 McCrimmon 的相关经典结果。
Unitary groups and ramified extensions
我们对定义在某些局部环上的非退化斜埃尔米特形式进行了分类，不一定是交换的，并研究了相关的酉群的一些基本性质，包括它们在有限环上的阶。
Existence of an invariant form under a linear map
设$\F$是不同于$2$的特征域，$\V$是$\F$上的向量空间。设$J: α\to α^J$是$\F$上的固定对合自同构.本文回答了如下问题：给定可逆线性映射$T: \V \to \V$，向量空间$\V$何时允许一个$T$ -不变非退化$J$ -埃尔米特映射. $J$ -斜厄米特，形式？
The $ϕ$-conjugation of quaternionic matrices and generalized Autonne-Takagi factorization
本文针对模为1的四元数$\phi$，研究四元数矩阵的$\phi$-共轭相关性质，并将Autonne-Takagi分解推广至所有单位四元数，肯定回答了Horn与Zhang提出的问题。
The two-sided Laplace transformation over the Cayley-Dickson algebras and its applications
本文介绍拉普拉斯变换的非对易形式。研究了一般Cayley-Dickson代数上的Laplace型正变换和逆变换，特别是四元数的除环和八元数代数.并给出了实例。定理证明的性质，这种转换，也定理的图像和原件结合运算的乘法，微分，积分，卷积，移位和homothety。Mellin变换的非对易模拟也进行了研究。给出了应用于凯莱-迪克森代数上的微分方程的解。
Hermitian Cubic norm structures and groups of relative rank one
该研究推广了埃尔米特三次范数结构的四次范数，提出可除类结构的定义，并通过相伴秩1伴随单线性代数群的蒂茨指数完成分类，建立了二者的对应关系。
Hasse principle for hermitian spaces over semi-global fields
在最近的一篇论文中，Colliot-Thélène，Parimala和Suresh证明了局部-整体原理适用于p-adic曲线的函数域上的连通线性代数群的投射齐性空间。本文证明了：对于半单部分的几乎单因子同构于具有对合的中心单代数上的厄米空间或斜厄米空间的酉群或特殊酉群的线性代数群，上述猜想成立.该证明实现了Harbater、Hartmann和Krashen的修补技术。作为应用，我们得到了p-adic曲线函数域的奇次扩张上厄米特形式的各向同性的一个Springer型定理。
The trace dual of nonlinear skew cyclic codes
本文研究了非线性斜循环码的迹对偶空间生成器，探讨了迹欧几里得和迹希利特对偶码的构造方法，为量子纠错码的构建提供理论支持。
Sums of two square-zero selfadjoint or skew-selfadjoint endomorphisms
设$V$是域$\mathbb{F}$上的有限维向量空间，具有对称或交替非退化双线性形式$b$。当$\mathbb{F}$的特征不是$2$时，我们刻画了$V$的自同态$u$分裂为$u=a_1+a_2$，对于$b$的一些$(a_1,a_2)$-自伴（分别为$b$ -斜自伴）自同态，使得$(a_1)^2=(a_2)^2=0$ .在特征$2$的情况下，我们得到了一个类似的分类$V$的自同态分裂成两个平方零$b$ -交替的$V$的自同态之和时，$b$是交替的（自同态$v$被称为$b$ -交替每当$b(x,v(x))=0$为所有$x \in V$）。最后，如果域$\mathbb{F}$具有非单位对合，我们刻画了$(h,u)$对，其中$h$是$\mathbb{F}$上有限维空间上的厄米特形式，$u$是两个平方零的$h$ -自伴自同态之和.
Canonical forms for pairs of matrices associated with Lagrangian and Dirac subspaces
本研究推导了n×n复矩阵对在两类变换下的标准形，重点探讨了与拉格朗日、狄拉克子空间及耗散哈密顿描述符系统相关的特殊矩阵性质情形。
Orthogonal involutions over fields with I^3=0
本研究针对特征不为2且I^3F=0的基域F，推导了带典范对合的四元数代数上斜埃尔米特型的u不变量的上界，上界由基域的u不变量表出。
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