求特征值为虚的八元数上的3 × 3埃尔米特矩阵

Symmetry of the triple octonionic product

The Hermitian decomposition of a linear operator is generalized to the case of two or more operations. An additive expansion of the product of three octonions into three parts is constructed, wherein each part either preserve or change the sign under the action of the Hermitian conjugation and operation of inversion of the multiplicative order of three hypercomplex numbers, as well as under the composition of specified operations. The product of three octonions, in particular quaternions, with conjugate central factor is presented as the sum of mutually orthogonal triple anticommutator, triple…

八元数上的正交本征基

Orthonormal Eigenbases over the Octonions

我们以前证明了3 × 3八元埃尔米特矩阵的实特征值形成两个独立的族，每个族包含3个特征值，并且每个族导致单位矩阵的正交分解，这通常对应于规范正交基。我们在这里表明，它仍然需要两个家庭，以便将一个任意向量分解成分量，其中每个分量都是原始矩阵的特征向量;因此，每个向量有6个分量，而不是3个。

用Mathematica求八元数特征向量

Finding Octonionic Eigenvectors Using Mathematica

3 × 3八元数埃尔米特矩阵的本征值问题包含了一些令人惊讶的结果，我们在别处已经报道过。特别地，特征值不需要是实的，有6个而不是3个实特征值，并且相应的特征向量在通常意义上不是正交的。八元数的非结合性使得计算变得棘手，所有这些结果最初都是通过蛮力（但精确）Mathematica计算获得的。其中一些，例如实特征值的计算，后来被更优雅地实现了;其他的则没有。我们在这里描述使用Mathematica在分析这个问题，特别是它的使用证明了一个广义正交属性，没有其他证明是已知的。

八元数、E6和粒子物理学

Octonions, E6, and Particle Physics

1934年，乔丹等人给出了量子力学合理理论的一个必要代数条件，即乔丹恒等式。满足这个条件的所有代数，除了一个以外，都可以用复数或四元数上的埃尔米特矩阵来描述。剩余的例外Jordan代数可以用八元数上的3 × 3埃尔米特矩阵来描述。本文首先回顾了八元数和例外Jordan代数的性质，包括我们以前在八元数Jordan本征值问题上的工作。然后，我们研究了李群E6的一个特定的实非紧形式，它保留了例外乔丹代数中的行列式。最后，我们描述了E6中一个可能的破坏性场景：首先选择一个八元数方向是特殊的，然后选择一个3x3矩阵中的2x2子矩阵是特殊的。只有这两种选择，我们才能以自然的方式描述轻子的许多性质。我们进一步推测夸克可能以类似的方式编码。

例外Jordan特征值问题

The Exceptional Jordan Eigenvalue Problem

讨论了与量子力学的Jordan公式有关的3 × 3八元数厄米矩阵的本征值问题。与我们以前的工作中考虑的特征值问题相比，所有的特征值都是实的，并且求解通常的特征方程。我们给出了相应的本征矩阵的初等构造，并进一步推测了其在粒子物理中的可能应用。