Singular homology of roots of unity
本文将拓扑空间奇异同调理论的基本结果推广到Čech闭包空间，证明相关定理类似结果，计算非拓扑空间例子的奇异同调群，重点研究单位根的奇异同调，为复杂闭包空间同调计算提供基础。
2025-02-19 math.AT math.CT math.GN
Homological properties of persistent homology
我们调查在何种程度上持久的同源性受益于通常的同调论的属性。
2018-05-03 math.AT
Comparison of persistent singular and Čech homology for locally connected filtrations
证明了由仿紧T2空间构成的同调局部连通滤子的持久奇异同调与持久Čech同调之间的交错距离为0.
2022-07-02 math.AT
Computational Tools in Weighted Persistent Homology
本文进一步研究了加权同调和持久同调的性质及其应用。我们引入了加权同调的Mayer-Vietoris序列和广义Bockstein谱序列。对于应用程序，我们展示了一个算法来构建一个过滤的加权单纯复形从加权网络。我们还证明了一个定理，使我们能够计算模$p^2$加权持久的同源性模$p$加权持久的同源性的一些信息。
2019-07-16 math.AT
Weighted Persistent Homology
本文发展了加权持久同调理论。1990年，Robert J. Dawson首先深入研究了加权单纯复形的同调性。我们推广了加权单纯复形的定义和加权单纯复形的同调性，使权可以在整环$R$中存在。然后我们研究由此产生的加权持久同调。我们表明，加权持久同源性可以区分过滤，普通的持久同源性不区分。例如，如果有一个点被认为是特殊的，加权持久同调可以告诉包含该点的循环何时形成或消失。
2018-04-14 math.AT
One-Dimensional Reduction of Multidimensional Persistent Homology
最近的一个结果大小函数推广到更高的同调模：持久的同源性的基础上的一个多维的测量功能减少到一个一维的。这导致了多维持久同源性的稳定距离。最后对同调临界值的i-本质性进行了思考。
2008-07-28 math.AT
Relative persistent homology
University of Bergen（卑尔根大学）
针对大尺度点云相对持续同调计算效率低的问题，提出相对Delaunay-Čech复形方法，可通过点云嵌入高维的Delaunay复形构建，实现低维欧氏空间中相对持续同调的高效计算。
2019-11-18 math.AT
Persistent Homology of Filtered Covers
我们证明了一个扩展的单纯神经引理建立同构的持久同调群，在覆盖空间的情况下，过滤。持久同调群在拓扑数据分析中有着广泛的应用，但通常的神经引理并不能给出持久同调群的同构。我们的论证涉及到一些同调代数：关键点是，尽管神经引理的标准证明中产生的映射不作为链复形的映射可交换，但它们在同调上导出的映射可交换。
2012-02-28 math.AT
An axiomatic treatment of Persistent Homology
本研究构建了适用于任意阶数的持续同调公理化框架，证明了经典同调Eilenberg-Steenrod公理的持续版本及其约化版本的存在性与唯一性，为持续同调提供了公理化基础。
2024-10-08 math.AT
A directed persistent homology theory for dissimilarity functions
本文提出一种针对有向单纯复形、可检测奇数维持有向环的持续同调理论，建立其与经典持续同调的联系并证明稳定性。
2021-11-18 math.AT
Decomposition of Persistent Homology and Spectral Sequences
研究域上过滤链复形的持续同调与谱序列关系，提出基于持续同调分解的方法，证明在一般假设下两者捕获相同信息。
2024-03-21 math.AT
Persistent Homology and Euler Integral Transforms
欧拉演算-积分的基础上欧拉示性积分学作为可构造函数的估值-被证明是一个精辟的工具，用于回答问题的注入性和可逆性最近的变换的基础上持久的同源形状表征。
2018-06-14 math.AT
The stability of persistent homology of hypergraphs
超图是研究复杂网络中群体相互作用的最一般的模型。借鉴Alexander Grigor'yan、Yong Lin、Yuri Muranov和Shing-Tung Yau [18-22]的路径同源思想，Stephane Bressan、Jingyan Li和本文作者在2019年引入了超图的嵌入同源性[6]，并在2021年成功应用于蛋白质-配体结合网络[24，25]。超图的持久嵌入同调的稳定性是实际应用中的一个基本问题。本文证明了超图上的持久嵌入同调以及伴随的单纯复形的持久同调关于滤子扰动的稳定性。我们应用持续同调方法研究超图的态射，证明了关于滤子扰动的稳定性。证明了超图的单同伦型在一定条件下的持久贝蒂数的恒定性。
2023-01-13 math.AT
Persistent Homology and Applied Homotopy Theory
本文是一个调查的持续同源性，主要是因为它是用于拓扑数据分析。它包括持久性模块理论，以及持久性条形码的稳定性定理、广义持久性、持久性条形码的矢量化以及一些应用。
2020-04-01 math.AT
Persistent Mayer homology and persistent Mayer Laplacian
本文将Mayer同调与Mayer拉普拉斯算子引入持久化框架，提出持久Mayer同调和持久Mayer拉普拉斯算子，并通过理论分析与计算实验展示其在拓扑数据分析中的潜力。
2023-12-03 math.AT
Persistent magnitude homology on finite metric space
Chongqing University of Technology（重庆理工大学）；University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）；Yanqi Lake Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）
本文提出持久幅度同调，用于捕捉度量空间的多尺度几何和拓扑特征，并建立了其稳定性结果。
2026-08-25 math.AT
Differential Calculus on Hypergraphs and Mayer-Vietoris Sequences for the Constrained Persistent Homology
本文利用Kouzul复形研究超图离散微分演算，定义受约束（上）同调并证明其Mayer-Vietoris序列的函子性，进而提出受约束持续（上）同调作为计算大型网络高维持续同调的工具。
2023-10-23 math.AT
Computation of degree-1 persistent homology on larger point-clouds using the Reduced Vietoris-Rips filtration
Australian National University（澳大利亚国立大学）；Centre for Systems Biology Dresden（德累斯顿系统生物学中心）；Max Planck Institute of Cell Biology and Genetics（马克斯·普朗克细胞生物学与遗传学研究所）；Max Planck institute for the Physics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂系统物理研究所）
提出一种算法，利用简化 Vietoris-Rips 过滤高效计算低维欧氏空间中更大点云的 1 次持续同调，降低了计算复杂度。
2026-06-19 math.AT
Persistence by Parts: Multiscale Feature Detection via Distributed Persistent Homology
本文提出一种基于广义Mayer–Vietoris原理和胞腔余层、谱序列的分布式持久同调方法，可按密度等特征局部化计算，用于点云多尺度分析，检测标准方法遗漏的不同尺度特征。
2020-01-06 math.AT
Persistent hypergraph homology and its applications
本文提出持续超图模型及新同调 $\hat{H}$ 和高效算法，用于计算持续条形码与 $\hat{H}$ 条形码，并通过分析狒狒、马拉维农村居民、会议、工作场所和高中等群体的面对面交互数据验证其有效性。
2023-12-02 math.AT
Persistent Path Homology of Directed Networks
虽然标准的持久同源性已经成功地从度量数据集中提取信息，但其对更一般的数据（例如有向网络）的适用性受到其对不对称性的天然不敏感性的阻碍。本文研究了Grigor'yan，Lin，Muranov和Yau提出的一个有向图的同调结构，并将其推广到持久框架上.我们称之为持久路径同调的结果可以提供关于有向网络在不同分辨率下的有向图结构的信息。此外，该方法编码了关于输入有向网络的非对称结构的丰富细节。我们测试我们的方法在模拟和现实世界的有向网络和猜想它的一些特点。
2017-04-13 math.AT
Persistent Homology with Selective Rips complexes detects geodesic circles
本文提出利用持久同调和新型选择性Rips复形检测测地空间中的测地圆与瓶颈环路，并基于局部绕数概念证明其能终止1维同调类或产生2维同调类。
2024-02-09 math.AT
Landscapes of data sets and functoriality of persistent homology
这篇文章的目的是描述一个新的视角的功能性持久的同源性，并解释其内在的对称性，往往被忽视。对我们来说，数据集是一个有限的函数集合，称为测量，具有有限的域。这样的数据集可能包含内部对称性，这些内部对称性被域自同态的集合的作用有效地捕获。对自同态集合的不同选择编码了数据集的不同对称性。我们描述了各种类别的结构，这样丰富的数据集，并证明了他们的一些属性，如分解和态射形成。我们还描述了一种数据结构，基于彩色有向图，这是方便的编码所提到的丰富。我们发现，持久的同源性保留这些景观的丰富的数据集，但不是所有的一些方面。换句话说，持久同源性不是整个丰富数据集类别上的函子。然而，我们表明，持久的同源性是函局部。我们使用等变算子的概念来捕捉持久同源性所遗漏的一些信息。
2020-05-25 math.AT
Persistent hyperdigraph homology and persistent hyperdigraph Laplacians
本文提出超有向图同调与拓扑超有向图拉普拉斯算子，并通过过滤引入其持久化版本，以捕获有向结构化数据的多尺度拓扑持久性与同伦形状演化，为拓扑数据分析提供了新工具。
2023-04-06 math.AT
An Exposition on the Algebra and Computation of Persistent Homology
该研究以Peter Bubenik等学者提出的、将持续模视为偏序集范畴到数域向量空间范畴函子的现代表征为视角，阐释了经典持续同调矩阵约简算法背后的代数原理。
2024-08-15 math.AT
Weighted Path homology of Weighted Digraphs and Persistence
近年来，A. Grigor'yan，Y. Lin，Y. Muranov和S.T. Yau [6，7，8，9]建立了有向图的路同调论。回见S Chowdhury和F. Memoli [3]研究了有向网络的持久路同调。本文推广了有向图的路同调论，构造了加权有向图的加权路同调。研究了加权有向图的持久加权路同调，并考察了权对持久加权路同调的影响。我们证明了一个持久版本的Kunneth型公式连接的加权有向图。
2019-10-22 math.AT
Persistent Homology to Study Cold Hardiness of Grape Cultivars
持久同调是计算代数拓扑学的一个分支，它研究多尺度上的形状和提取特征。在本文中，我们提出了一种无监督的方法，使用持久同源性研究农业点云数据的发散行为。更具体地说，我们从多维点云构建持久性图，并使用这些图作为基础来比较和对比人口的不同子组。应用该框架对5个主要葡萄品种的抗寒性进行了研究，并对20多个生长季的实际数据进行了分析。我们的研究结果表明，持久的同源性是能够有效地阐明不同品种之间的分歧行为，确定品种表现出不同的行为，跨季节，并确定季节相关性。
2023-02-17 math.AT
Cosheaf Theoretical Constructions in Networks and Persistent Homology
持久同源最近出现作为一个强大的技术在拓扑数据分析中，用于分析整个过滤空间的拓扑特征的出现和消失，通过持久图显示。此外，（共）层已被证明是在全球系统中跟踪本地定义的数据的强大工具，从而导致网络科学的创新应用。在本文中，我们结合拓扑结果的持久同源性和定量数据跟踪能力的cosheaf理论开发新的技术在网络数据流分析。具体来说，我们使用cosheaf理论，以建立持久的同源性的框架，面向评估数据流的稳定性分层递归网络（HRN）。我们使用cosheaves链接持久性图中编码的过滤网络的拓扑信息与网络本地关联的数据。从这个结构出发，我们使用共层的同调作为一个框架来研究“持续数据流错误”的概念。“也就是说，我们概括了持久同源性的各个方面，以分析本地数据流故障的生命周期。我们研究的持久性图参数化网络数据流错误的算法建设，从而使新的应用统计方法来研究数据流故障。最后，我们与网络数据包传输系统的应用程序。
2016-12-15 math.AT
Harmonic Persistent Homology
本文针对有限单纯复形过滤引入调和持久同调空间，将具体循环子空间关联至条形码各条，证明其在函数微扰下的稳定性，并揭示其与“本质单纯形”概念的联系及在最大化相对本质内容上的最优性。
2024-12-25 math.AT
On the Structural Theorem of Persistent Homology
我们研究的范畴框架计算持久的同源性，而不依赖于一个特定的计算算法。持久同调的计算通常被概括为一个矩阵定理，我们称之为矩阵结构定理。计算持久同调的各种算法中的任何一种都构成了矩阵结构定理的构造性证明。证明了矩阵结构定理等价于滤链复形范畴的Krull-Schmidt性质。我们分别建立了Krull-Schmidt性质的抽象范畴的方法，得到了一个新的非构造性证明矩阵结构定理。这些结果提供了一个替代的范畴框架分解持久同源性的基础，绕过通常的持久性向量空间和双线性表示。
2018-09-30 math.AT
A U-match Algorithm for Persistent Relative Homology
Tufts University（塔夫茨大学）；Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Macalester College（麦卡莱斯特学院）
本文提出了一种基于两步矩阵约简的U匹配算法，用于高效计算持久相对同调，提升拓扑数据分析在高维噪声数据中的应用能力。
2026-02-03 math.AT
Geometric Obstructions in Finsler Spaces and Torsion-Free Persistent Homology
Federal University of Pernambuco（伯南布哥联邦大学）
本文研究Finsler空间中拓扑数据分析与持续同调的关联，通过整数矩阵分解寻找素数p以提取自由部分的孔结构。
2025-12-26 math.AT
Weighted Persistent Homology
我们介绍了经典的Čech和Vietoris-Rips复合物的加权版本。我们表明，一个版本的Vietoris-Rips引理持有这些加权复合物，他们享有适当的稳定性。我们也给出了这些加权复形的一些初步应用。
2018-12-06 math.AT
Persistent Homology Analysis for Materials Research and Persistent Homology Software: HomCloud
本文介绍了持久同调，这是一个强有力的工具来描述数据的形状使用的数学概念的拓扑。我们从零开始解释持久同源性的基本思想，使用一些例子。本文还综述了持久同源性在材料研究和持久同源性数据分析软件中的应用。HomCloud是一个持久化的同源软件，本文对其进行了重点介绍。
2021-12-07 cond-mat.mtrl-sci math.AT
The fiber of persistent homology for trees
考虑几何树$X$上的连续函数的空间，其持久同源性产生有限通用条形码$D$。我们发现，有很多路径连接组件在这个空间中，有合并树的条形码是$D$。我们发现，每个组件同伦等价于一个配置空间上的$X$与专门的约束编码的合并树。对于具有一个或两个间隔的条形码$D$，我们的方法还允许我们计算该函数空间的同伦类型。
2023-03-28 math.AT
Rigidity of terminal simplices in persistent homology
本文研究持续同调中终端单形在滤值函数扰动下的刚性，给出了一个依赖相邻维度条形码的充分条件，保证终端单形在 $ε$-扰动下保持不变。
2023-06-20 math.AT
Distributed Persistent Homology for 2D Alpha Complexes
本文提出面向二维 alpha 复形的分布式持续同调算法，通过网格覆盖与 Mayer-Vietoris 谱序列实现并行计算，并给出 C++/Open MPI 实现和实验验证。
2024-03-01 math.AT
Persistent Homology: A Pedagogical Introduction with Biological Applications
本文面向初学者系统介绍持续同调的核心概念与实现方法，并以3-1超螺旋DNA结构分析为例，推动其在生物及数据分析中的广泛应用。
2025-05-10 math.AT
Sparse Nerves in Practice
拓扑数据分析将机器学习与代数拓扑方法相结合。持续同源性，一种方法来描述发生在多个尺度的数据的拓扑特征是特别感兴趣的。持久同源性广泛应用的一个主要障碍是它的计算复杂性。为了能够计算大型数据集的持久同源性，可以应用许多近似以降低其复杂性。我们提出的算法计算近似稀疏神经类Dowker相异，包括所有有限Dowker相异和Dowker相异的同源性是切赫持续同源性。我们所知道的所有其他稀疏化方法和软件包都使用加法或乘法交织来计算持久同源性。在dowker_homology中，我们允许任何非减交织函数$α$。我们分析了这些算法的计算复杂性，并给出了一些基准测试。对于大于3维的欧几里得数据，我们创建的单纯复形的大小通常比SimBa创建的小小于。特别是当在更高的同源性维度中计算持久同源性时，差异可能变得很大。
2019-04-23 math.AT
Persistent Homology with k-nearest-neighbor Filtrations reveals Topological Convergence of PageRank
点云数据的基于图的表示广泛用于数据科学和机器学习，包括包含数据点对之间的边的ε-图，这些数据点对比ε-图更接近，以及将每个点连接到其k-最近邻居的kNN-图。近年来，拓扑数据分析已经成为一种利用单纯复形研究数据拓扑特征的数学和计算技术。这些是图的高阶推广，许多技术，如Vietoris-Rips（VR）过滤也由距离参数化。在这里，我们开发kNN复合物作为kNN图的推广，导致基于kNN的持久同源性技术，我们开发的稳定性和收敛性结果。我们应用这种技术来表征的收敛性能PageRank，突出的角度离散拓扑补充传统的基于几何的收敛性分析。具体来说，我们表明，相对位置的收敛（即，秩）被kNN持续同源捕获，而具有VR过滤的持续同源与向量范数收敛一致。除了PageRank之外，基于kNN的持久同源性预计对其他数据科学应用也很有用，在这些应用中，数据点的相对定位比它们的精确位置更重要。
2022-06-09 math.AT
Path representations in multiparameter persistent homology
针对单参数拓扑分析捕捉差异有限的问题，研究将多参数持续同调中的匹配距离直线推广为单调路径滤过，拓展了多参数拓扑分析的路径表示形式，并提供对应软件实现。
2025-07-31 math.AT
Chunk Reduction for Multi-Parameter Persistent Homology
将持久同源性扩展到多参数设置是一个算法挑战。由于大多数计算任务的规模严重的输入复杂的大小，一个重要的预处理步骤包括简化输入，同时保持同调信息。我们提出了一个算法，大大减少了输入的大小。我们的方法是用于持久同源性的块算法的扩展（Bauer等人，数据分析和可视化中的拓扑方法III，2014）。我们表明，我们的建设产生最小的多过滤链复形之间的所有复杂的准同构的输入，提高了以前的工作中的离散莫尔斯理论的背景下的保证。我们的算法还提供了一个立即并行化计划在共享内存。它的顺序版本已经与现有的简化方案相比，我们所示的实验评估。
2019-03-18 math.AT
Multidimensional persistent homology is stable
多维持久性通过分析向量值函数的低层集来研究形状的拓扑特征。秩不变量完全决定了持久同调群的多维类似。我们证明了多维秩不变量是稳定的函数扰动。更确切地说，我们构造了秩不变量之间的距离，使得函数的微小变化仅意味着秩不变量的微小变化。这个结果可以通过假设函数是连续的来得到。多维稳定性为基于多维持久性的稳定形状比较方法开辟了道路。
2009-08-01 math.AT
Computing homology and persistent homology using iterated Morse decomposition
在本文中，我们提出了一种新的方法来计算同调（域系数）和持久的同调。我们使用离散的莫尔斯理论的概念，提供一个算法，它可以单独表示在单图的理论操作。我们使用迭代Morse分解，这使我们能够转移与标准离散莫尔斯理论相关的许多问题。特别是，这种方法在任何维度上都是正确的。
2012-10-25 cs.DS math.AT
Fractal Dimension Estimation with Persistent Homology: A Comparative Study
我们建议，最近定义的持久的同源维数是一个实用的工具，点样本的分形维数估计。我们实现了一个算法来估计持久的同源维数，并将其性能与经典方法进行比较，以计算自相似分形，混沌吸引子和经验数据集的相关性和盒计数维数。$0$维持久同源维的性能与相关维的性能相当，并且优于盒计数。
2019-08-16 math.AT math.DS
Cubical Ripser: Software for computing persistent homology of image and volume data
Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University（九州大学产业数学研究所）；School of Interdisciplinary Mathematical Sciences, Meiji University（明治大学跨学科数理科学学院）
我们引入Cubical Ripser来计算图像和体积数据的持久同源性（更准确地说，加权立方复合体）。据我们所知，Cubical Ripser是目前计算加权立方复形的持久同调的最快和最节省内存的程序。我们展示了我们的软件与图像分析的例子中，持久的同源性和卷积神经网络成功地结合起来。我们的开源实现可在线获得。
2020-06-12 cs.CV math.AT
Künneth Formulae in Persistent Homology
代数拓扑学中的经典Künneth公式描述了一个积空间的同调与它的因子的同调的关系。本文证明了滤子空间的范畴积和张量积的持续同调的Künneth型定理。也就是说，我们描述了持久的同源性，这些产品过滤组件。除了比较这两种产品，我们提出了两个应用程序中设置的Vietoris-Rips复合物：一个更有效的算法，产品度量空间的最大度量，和其他恢复持久的同源计算的$n$ -环面。
2019-10-12 cs.CG math.AT
Euler Integration of Gaussian Random Fields and Persistent Homology
本文将欧拉示性数的概念推广到持久同调，并给出了函数的欧拉积分与函数持久同调的欧拉示性数之间的关系。然后，我们继续计算预期的欧拉积分的高斯随机场使用高斯运动学公式，并获得一个简单的封闭形式的表达。这将导致在第一个明确的计算平均值的定量描述的持续同源性的高斯随机场。
2011-01-15 math.AT math.PR
The persistent homology of a sampled map: From a viewpoint of quiver representations
本文旨在介绍一种基于持久同调的采样映射过滤分析方法，为重构底层映射提供一种新的方法。其核心思想是利用同调表示的框架来扩展同调诱导对应映射的定义。我们定义的同调诱导映射是由表示的最持久直和项给出的，并且直和项唯一地决定一个持久同调。我们提供了这个过程的稳定性定理，并表明，输出的持续同调的采样映射是相同的，如果样本是足够密集的基础地图。与现有的方法相比，使用本征空间函子，我们的过滤分析的优点是，没有先验信息的特征值的基础地图是必需的。最后给出了一些数值例子来说明该方法的有效性。
2019-12-18 math.AT math.RT
Footprints of geodesics in persistent homology
给出了度量空间$X$和度量空间$A\subset X$，证明了$A$可以在$X$的持久同调中生成各种代数元.我们称这种元素为$A$的（代数）足迹。我们的研究结果表明，足迹通常出现在尺寸以上的$A$的尺寸。因此，高维持久同源性编码$X$的低维几何特征。我们特别注意测地线表面$X$中的一种特定类型的测地线，称为测地线圆。我们解释他们如何可能产生非平凡的奇维和二维足迹。特别是，我们甚至可以检测到一些收缩测地线使用二维和三维的持续同源。这提供了黎曼几何中持久同调和长度谱之间的联系。
2021-12-07 math.AT math.GT
Accelerating Iterated Persistent Homology Computations with Warm Starts
持久同源性是一种拓扑特征，用于各种应用，例如生成用于数据分析的特征和惩罚最优化问题。我们提出了一种基于更新关联矩阵分解的方法来加速在许多相似的过滤拓扑空间上进行的持久同调计算。我们的方法改进了更新方案的Cohen-Steiner，Edelsbrunner，和Morozov的排列，另外处理添加和删除的细胞在一个过滤的拓扑空间，并在一个单一的批处理的变化。我们表明，我们的计划规模的复杂性与过滤的基本变化的数量，因此往往是不太昂贵的比完整的持久性同源计算。最后，我们进行计算实验，证明实际的加速在几种情况下，包括功能生成和优化指导持久同源性。
2023-01-17 cs.CG math.AT
Interleaved computation for persistent homology
我们描述了一种方法，持久的同源性和贝蒂条码，其中的计算状态保持更新引入新的边缘的基础邻域图和simulating所产生的变化到单纯形流喂养的持久性算法的有界内存计算。我们进一步讨论了内存消耗和由此产生的算法的速度和复杂性行为。
2011-05-31 cs.CG math.AT
Hypergraph Classification via Persistent Homology
本文提出利用持续同调定义超图的拓扑特征，用于超图分类，并在四个真实数据集上超越图神经网络基线模型，是首个系统应用持续同调于超图分类的研究。
2023-06-20 cs.SI math.AT
Persistent Topology of Syntax
我们研究了世界语言句法参数数据集的持久同源性。我们发现，虽然同源生成器的行为不稳定的整个数据集，非平凡的持久同源性出现时，限制到特定的语言家族。不同的家族表现出不同的持续同源性。我们专注于印欧和刚果的家庭，我们比较持久的同源性在不同的聚类过滤值的情况下。我们调查的可能意义，在历史语言学方面，存在的持久发电机的第一同源性。特别是，我们表明，持久的第一同源发电机，我们发现在印欧族是不是由于（人们可能会猜测）的盎格鲁-诺曼桥在印欧系统发育网络，但与古希腊和希腊分支的网络内的位置。
2015-07-18 cs.CL math.AT
