$W^{1,p}$ priori estimates for solutions of linear elliptic PDEs on subanalytic domains
本文研究了次解析域上 $2$ 阶线性椭圆型 PDE 的解，通过给出边界奇点切锥的显式条件，证明了 $W^{1,p}$ 先验估计，其中 $p>2$ 仅依赖于奇点几何而不依赖于解 $u$。
2025-06-28 math.AP
A priori estimates for rough PDEs with application to rough conservation laws
我们引入了一个一般的弱制定的粗糙路径驱动的偏微分方程，以及一个新的策略来证明适定性。我们的程序是基于基本的先验估计（粗糙）Gronwall型参数的组合。特别地，该方法不依赖于任何种类的变换公式（流变换、Feynman-Kac表示公式等）。因此相当灵活。作为应用，我们研究了粗糙路径驱动下的守恒律，建立了相应动力学方程的适定性。
2018-02-22 math.AP math.PR
A priori bounds and multiplicity for fully nonlinear equations with quadratic growth in the gradient
考虑了梯度二次增长的完全非线性一致椭圆型方程，如有界区域上的具有Dirichlet边界条件的$$ -F(x,u,Du,D^2u) =λc(x)u+\langle M(x)D u, D u \rangle +h(x) $$，这里的$λ\in\mathbb{R}$，$c,\, h \in L^p(Ω)$，$p>n\geq 1$，$c\gneqq 0$和矩阵$M$满足$0<μ_1 I\leq M\leq μ_2 I$ .最近这个问题被研究的“强制”的情况下$λc\le0$，可以预期的唯一性的解决方案，它被证实，解决方案集是更复杂的非强制方程。这一猜想在2015年由Arcoya、de Coster、Jeanjean和Tanaka通过利用问题的积分公式对发散形式的方程进行了验证。在这里，我们表明，类似的现象发生一般，甚至完全非线性，方程的nondivergence形式。我们使用基于最大值原理的不同技术。我们开发了一种新的方法来获得关键的一致的先验界，这允许我们使用度理论。这种方法是基于基本的正则性估计，如半Harnack不等式，并在Vázquez型强最大值原理为我们的方程。
2018-03-09 math.AP
Existence and a priori bounds for fully nonlinear PDEs with a harmonic map-like structure
University of Chile（智利大学）；Università degli studi di Torino（都灵大学）
本文研究具有调和映射样结构的全非线性偏微分方程的存在性及先验界，提出新的存在性结果和多重性定性行为。
2025-12-04 math.AP
A priori bounds and multiplicity results for slightly superlinear and sublinear elliptic p-Laplacian equations
我们考虑以下问题$ -Δ_{p}u= h(x,u) \mbox{ in }Ω$，$u\in W^{1,p}_{0}(Ω)$，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$，$1<p<N$中的有界域，具有光滑边界.本文假设$h(x,u)=a(x)f(u)+b(x)g(u)$使得$f$是指数$p-1$规则变化的，且在无穷远处是超线性的.函数$g$是一个$p$ -次线性函数。对于某些$k>\frac{N}{p}$，系数$a$和$b$属于$L^{k}(Ω)$，并且它们没有符号条件。首先给出了解的先验界，然后利用变分方法证明至少存在两个非负解。主要困难之一是非线性项$h(x,u)$不满足标准的Ambrosetti和Rabinowitz条件。
2022-11-28 math-ph math.AP math.MP
Nonlocal elliptic PDEs with general nonlinearities
本论文研究在一般非线性假设下非局部性对物理PDE的影响，通过变分和拓扑方法分析分数阶Laplacian算子与Riesz势卷积源项的相互作用，开发新工具证明解的多重性、基态性质及集中现象，为非局部问题提供新见解。
2024-02-13 math.AP
Uniform bounds via regularity estimates for elliptic PDE with critical growth in the gradient
本文证明了一类具有二次梯度增长的Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs型一致椭圆型完全非线性方程的非唯一性，并研究了其黏性解的性质.关键的先验界的解决方案证明通过一个参数，它使用边界增长引理，和后果，如边界“半”-Harnack不等式，这是独立的利益。我们的结果即使对线性方程也是新的。
2015-09-15 math.AP
A priori estimates for the derivative nonlinear Schrödinger equation
在正则性指数为正的Besov空间中，证明了在小$L^2$ -范数下导数非线性薛定谔方程的低正则性先验估计.这涵盖了整个亚临界范围。对于完全可积的偏微分方程，我们采用了Killip-Vivian-Zhang引入的扰动行列式的幂级数展开式.这使得从摄动行列式导出低正则性守恒律成为可能。
2021-08-17 math.AP
A priori estimates and exact solvability for non-coercive stochastic control equations
本文研究非协迫随机控制方程的先验估计与精确可解性，提出主半特征值符号相反时的解的多重性结果，并推广了Ambrosetti-Prodi定理。
2026-01-19 math.AP
Non-uniqueness and failure of Calderón-Zygmund estimates below the critical exponent for non-monotone PDE with linear growth
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
该研究通过凸积分方法，展示了非单调PDE在低于临界指数下解的非唯一性及Calderón-Zygmund估计的失效
2025-11-27 math.AP
A Priori Generalization Analysis of the Deep Ritz Method for Solving High Dimensional Elliptic Equations
Duke University（杜克大学）；University of Massachusetts（马萨诸塞大学）
本文研究了DeepRitz方法（DRM）的先验推广分析[W. E和B。Yu，2017]，一种基于神经网络的求解高维偏微分方程的方法。在DRM框架下，我们得到了两层神经网络在求解$d$维单位超立方体上的泊松方程和静态薛定谔方程时的推广误差界.具体地说，我们证明了推广误差的收敛速度是独立的维数$d$下，先验假设的精确解的偏微分方程位于一个合适的低复杂度的空间称为谱巴伦空间。此外，我们给出了关于强迫项和势函数的充分条件，保证解是谱Barron函数。我们实现了这一点，通过开发一个新的解决方案理论的谱巴伦空间上的偏微分方程，这可以被看作是一个模拟的经典Sobolev正则性理论偏微分方程。
2021-03-22 cs.LG cs.NA math.AP
Gradient flows of time-dependent functionals in metric spaces and applications for PDEs
我们发展了定义在抽象度量空间中的不定常泛函的梯度流理论。整体适定性和渐近行为的解决方案。泛函和度量空间上的条件允许考虑Wasserstein空间$\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}^{d})$，并将结果应用于一类具有不定常系数的偏微分方程，如约束势、相互作用势和扩散。我们的结果可以看作是Ambrosio-Gigli-Savaré（2005）[2]中的结果在不定常泛函情形下的推广.为此，我们需要考虑一些剩余项，时间版本的概念，如$λ$ -凸性，时间可微的最小Moreau-Yosida近似，和先验估计与显式时间依赖的De Giorgi插值。在这里，泛函可以从下面无界，并满足一种随时间变化的$λ$ -凸性。
2015-09-14 math.AP
A priori estimates for a quadratic dNLS
本文研究了具有高维 Lax 对的可积 PDE，以带有 $3 \times 3$ Lax 对的二次 dNLS 方程为主要例子，在负正则性 Sobolev 空间中证明了先验估计，并证明了一般 $N \times N$ Lax 算子的透射系数与 $2$-重正则化微扰行列式一致。
2023-05-19 math.AP
Regularity estimates for fully nonlinear elliptic PDEs with general Hamiltonian terms and unbounded ingredients
我们发展了一个无散度形式的完全非线性一致椭圆型方程的$L^p$ -黏性解的最优正则性理论，该方程的梯度增长通过一个具有可测且可能无界系数的Hamilton函数来描述.我们的方法对待超线性和次线性梯度制度在一个统一的方式。我们显示$C^{0,α}$，$C^{0,\textrm{Log-Lip}}$，$C^{1,α}$，$ C^{1,\textrm{Log-Lip}}$和$C^{2,α}$正则性估计，通过显示允许的增长的哈密顿量，以处理一个无界的非线性梯度系数，其可积性反过来变得更糟，因为我们接近二次政权。此外，我们找到适当的相容性条件，我们的正则性结果本质上取决于可积的基本源项。作为我们的方法的副产品，我们证明了先验BMO估计;尖锐的规律性相关联的衰退和平坦的配置文件下放松凸性假设;一类奇异偏微分方程的改进的规律性;和Perron型结果无界成分。
2020-12-18 math.AP
A priori feedback estimates for multiscale reaction-diffusion systems
研究了多尺度反应扩散系统在宏观和微观空间尺度上的逼近问题。尺度之间的耦合是通过微观-宏观通量条件完成的。我们的目标系统有一个典型的结构，在介质中的反应-扩散-流动问题的分布式微结构（也称为，双重孔隙材料）。除了确保基本估计的收敛两尺度半离散Galerkin近似，我们提供了一组{ \em先验}反馈估计和本地反馈误差估计，有助于设计一个分布式的高误差策略，允许计算效率的放大和缩小微观结构。反馈估计的差错控制依赖于两尺度能量、规律性和插值估计，以及对负责传播（多尺度）近似误差的源的精细簿记。基于{ \em a priori }反馈估计的工作技术原则上适用于一大类具有允许强解的对偶结构的偏微分方程系统。
2016-12-26 math.AP
A hyperbolic-elliptic-parabolic PDE model describing chemotactic E. coli colonies
我们研究了一个修改后的版本的初始边值问题描述细菌的菌落模式的形成\textit{Escherichia Coli}。原始系统的三个抛物型方程进行了数值和分析研究，并深入了解潜在的机制的趋化性。在这里，我们专注于抛物椭圆抛物近似和双曲椭圆抛物限制系统，它描述了没有随机扩散的纯趋化运动的情况下。我们首先构造了抛物-椭圆-抛物方程组的局部时间解。然后，我们证明了统一的\textit{a priori}估计，我们使用它们与紧参数，以构建当地的时间解决方案的双曲椭圆抛物极限系统。最后，我们证明了一些初始条件产生的解决方案，爆破在有限时间内的$L^\infty$规范在所有空间维。这最后一个结果紫色是真实的，即使在空间维1，这是不是完全抛物或抛物椭圆Keller-Segel系统的情况下。
2020-11-02 math.AP
Liouville theorem and a priori estimates of radial solutions for a non-cooperative elliptic system
尺度不变非线性椭圆方程组的刘维尔定理（即系统不具有非平凡的整体解）保证了相关的更一般的系统的解的先验估计。假设$p=2q+3>1$是Sobolev亚临界的，$n\le3$和$β\in{\mathbb R}$。首先证明了径向函数类$(u,v)$中系统$$\left.\begin{aligned} -Δu &=|u|^{2q+2}u+β|v|^{q+2}|u|^q u, \\ -Δv &=|v|^{2q+2}v+β|u|^{q+2}|v|^q v, \end{aligned}\ \right\} \quad\hbox{in}\quad {\mathbb R}^n,$$的一个Liouville定理，使得$u,v,u-v,u+v$的节点域个数有限.然后利用这个定理得到了相关椭圆方程组解的先验估计。在三次情形$q=0$中，这些解对应于薛定谔方程的孤立波，并且它们的存在性和多重性已经被各种方法深入研究.这些方法之一是基于相应的抛物型方程组的适当的整体解的先验估计。与以前的研究不同，我们的刘维尔定理产生的估计所有$q\geq0$这是Sobolev次临界。
2021-08-31 math.AP
Dissipation vs. quadratic nonlinearity: from a priori energy bound to higher-order regularizing effect
我们考虑一类相当普遍的进化偏微分方程涉及耗散（可能是分数阶），这与二次非线性的整体方程的规律性竞争。这包括Burgers方程、Navier-斯托克斯方程、地面准地转方程和Keller-Segel趋化性模型。在这里，我们建立了一个Petrowsky型抛物估计，这类方程需要一个精确的时间衰减高阶Sobolev规范这类方程。为此，我们引入了一个新的主要工具，即无限阶能量泛函E（t）：= n α n t^n|（-Δ）^{nθ/2} u（*，t）|_{H^{β_c}}，得到适当的临界正则性指数β_c。它捕捉到了u（*，t）的所有高阶导数的正则化效果，通过证明-对于一个仔细的、依赖于问题的权重{α_n}的选择，E（t）是不随时间增加的。
2013-12-30 math.AP
Analysis of the singular solution branch of a prescribed mean curvature equation with singular nonlinearity
研究一类具有奇异非线性项的拟线性椭圆型偏微分方程解的存在性和多解性。偏微分方程（PDE）是一个最近派生的微机电系统（MEMS）建模中使用的典型模型的变体。研究表明，解的分歧曲线终止于一个死端点，超过这个死端点，就不存在经典解。的解决方案的存在的必要条件的开发，这表明，这个死端点对应于一个爆破的解决方案的衍生物在一个点内部的域。使用渐近分析，这个死端点的准确预测。弧长参数化的解决方案曲线可以继续解决方案超出了死端点，然而，所有额外的解决方案被发现是多值的。
2011-11-01 math.AP
Large field problem in coercive singular PDEs
SISSA（的里雅斯特国际高等研究学校）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文研究了严酷偏微分方程中的大领域问题，通过粗糙路径理论和正则性结构推导了先验估计，并利用缩放将局部 coercivity 转换为全局性质。
2025-12-12 math.AP math.PR
Minimal surfaces and the Allen-Cahn equation on 3-manifolds: index, multiplicity, and curvature estimates
Allen-Cahn方程是一个半线性偏微分方程，它通过奇异极限与极小超曲面理论紧密相连。本文在王伟最近工作的基础上，证明了三维流形上Allen-Cahn方程稳定解的曲率估计和强片分离估计。使用这些，我们能够显示3-流形上的通用度量，极小曲面所产生的Allen-Cahn解决方案与有界能量和有界Morse指数是双边的，并发生与重数1和预期的Morse指数。这证实了，在艾伦-卡恩设置，一个强大的形式的重数1猜想和指数下界猜想的3维马克-内维斯关于最小-最大的建设极小曲面。Allen-Cahn最小-最大构造最近由Guaraco和Gaspar-Guaraco进行。我们对重数1和指数下界图的解析表明，这些构造可以用来对具有一般度量的3-流形中的无穷多个极小曲面上的Yau猜想给出一个新的证明（最近由Irie-Marques-Neves证明），并得到新的几何结论.也就是说，我们证明了具有一般度量的3-流形包含，对于每个$p$ = 1，2，3，.，由Marques-Neves证明的具有Morse指数$p$和面积$p^{1/3}$的双侧嵌入极小曲面。
2019-08-29 math.AP math.DG
A Glioblastoma PDE-ODE model including chemotaxis and vasculature
在这项工作中，我们分析了一个偏微分方程-常微分方程的问题建模的胶质母细胞瘤，其中包括针对脉管系统的趋化性长期的演变。首先，我们得到了模型（可能）解的一些先验估计。特别地，在一定的参数条件下，我们得到了系统在有限时刻不发生爆破。此外，我们设计了一个完全离散的有限元计划的模型，保持了一些逐点估计的连续问题。为了减少参数的数量，我们对模型进行了无量纲化研究。最后，我们检测决定由增殖和坏死细胞形成的环的不同宽度和肿瘤表面的不同规则/不规则行为的主要参数。
2022-02-22 cs.NA math.AP math.NA
The unsaturated flow in porous media with dynamic capillary pressure
本文考虑了具有动态毛管压力-饱和度关系的多孔介质中非饱和两相流润湿饱和度的退化拟抛物型方程，其中松弛因子依赖于饱和度。利用Galerkin逼近和正则化技巧，证明了该问题的弱解的存在性.通过使用适当的测试函数，所考虑的PDE允许经典Kullback熵的自然推广的事实的动机下，通过正则化参数为零时的极限所需的先验估计。最后，特别注意通过将来自毛细管压力的信息与获得的关于饱和度的先验估计相结合来获得混合导数项的估计。
2018-01-03 math.AP
Sharpness and Planar Stability of the Alexandrov-Bakelman-Pucci Estimate: a Convex Geometric Approach
本文基于塔伦蒂工作，通过凸几何探索与马勒不等式的联系，证明了塔伦蒂先验估计的定量版本，利用两者相互作用深入了解椭圆型偏微分方程的ABP最大值原理。
2026-09-23 math.AP
A nonlinear elliptic PDE from atmospheric science: well-posedness and regularity at cloud edge
本文研究降水准地转方程中含自由云边界的非线性分段椭圆反演 PDE，建立变分框架证明解的存在唯一性，并用 de Giorgi 方法得到云边缘处压力或流函数梯度的 Hölder 正则性。
2024-04-09 math.AP
A priori estimates of stable and finite Morse index solutions to elliptic equations that arise in Physics
University of Granada（格拉纳达大学）
本研究探讨了椭圆方程中稳定和有限Morse指数解的先验估计，挑战了正则性猜想，并建立了非自治Hardy-Hénon方程的最优正则性结果。
2026-01-27 math-ph math.AP math.MP
Vorticity interior trace estimates and higher derivative estimates via blow-up method
本研究针对三维不可压缩Navier-Stokes方程，运用爆破方法与新型平均算子推导了若干非线性先验迹估计，拓展了混合范数高阶导数估计的研究，相关方法可推广至具标度不变性、ε-正则性的偏微分方程。
2025-06-11 math.AP
Generic existence of multiplicity-1 minmax minimal hypersurfaces via Allen--Cahn
在Guaraco 2018年的工作中，给出了一个新的证明，证明了具有$n\geq 2$的紧致黎曼流形$N^{n+1}$中存在一个闭极小超曲面。这是通过采用Allen-Cahn近似方案和Allen-Cahn能量的一个参数最小最大值来实现的（依赖于Hutchinson，Tonegawa，Wickramasekera的作品，以达到极限，因为Allen-Cahn参数趋于$0$）。所得到的极小超曲面可以先验地具有局部常整数重数。在这里，我们考虑一个极大极小的建设，这是一个在上述工作的修改，通过允许一个初始的自由选择的山谷点之间的山口建设进行，然后优化上述选择。证明了当$2\leq n\leq 6$和度量是凹凸的时，这个极小极大导致一个重数为$1$的（光滑闭）极小超曲面. (When $n=2$这一结论也来自Chodosh--Mantoulidis最近的工作。）作为直接推论，我们得到了每个维数为$n+1$，$2\leq n\leq 6$的紧致黎曼流形，如果赋以一个凹凸度量，都存在一个双边光滑闭极小超曲面（这一存在性结论也是由周文锋最近利用Almgren-Pitts理论对极小极大构造的结果得到的）.
2020-10-29 math.AP math.DG
On quasilinear parabolic systems and FBSDEs of quadratic growth
本文使用概率方法为两类具有二次梯度增长的拟线性抛物PDE系统建立先验估计，证明了其经典解的存在性，并由此推断出相应前向-后向随机微分方程解的存在性。
2023-04-04 math.AP math.PR
Generalized Solutions to Semilinear Elliptic PDE with Applications to the Lichnerowicz Equation
本文研究一类带分布系数的半线性椭圆型偏微分方程解的存在性。我们考虑的问题是一个推广的Lichnerowicz方程，在研究广义相对论中的约束方程。我们解决这个问题的方法包括解决一个网络的正则化，半线性问题的数据，通过平滑原始的分布系数。为了解决这些正则化的问题，我们开发了一个先验的逐点界和子和超级解决方案，然后应用一个不动点参数保序映射。然后，我们表明，通过这一过程获得的解决方案的网络满足一定的衰减估计确定估计的子和超级解决方案，并利用经典的，先验的椭圆估计。这个网络的解决方案的估计允许我们把这个集合的功能作为一个解决方案的Colombeau型代数。我们激励这个Colombeau代数框架，首先解决一个不适定的临界指数问题。为了解决这个不适定的问题，我们使用一组光滑的“近似”问题，然后使用所得的解序列和紧性参数来获得原始问题的解。这种方法是仿照更一般的Colombeau框架，我们开发，它传达了在这些抽象空间的解决方案，获得经典解不适定的非线性问题的不规则数据的潜力。
2013-03-18 gr-qc math-ph math.AP
The Evolution of Pointwise Statistics in Hyperbolic Equations with Random Data
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）；New Jersey Institute of Technology（新泽理工学院）；University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文研究了超几何方程中随机数据的点统计演进，推导了线性和非线性方程的统计演化方程，为随机动态的高效评估提供了方法。
2025-12-16 cs.NA math.AP math.NA
A priori error estimates for the $θ$-method for the flow of nonsmooth velocity fields
Università degli Studi dell’Aquila（阿奎拉大学）；Scuola Normale Superiore（比萨高等师范学院）；Universität Basel（巴塞尔大学）
本文研究非光滑速度场流动的θ-方法，建立先验误差估计，证明数值解以对数速率收敛于精确解，并通过数值实验验证结果。
2025-06-03 cs.NA math.AP math.NA
Parameter identification for nonlocal phase field models for tumor growth via optimal control and asymptotic analysis
本文研究了一类耦合非局部Cahn-Hilliard反应扩散偏微分方程系统的参数辨识问题。本文借助于偏微分方程系统的最优控制理论，研究了辨识相关参数的反问题。待识别的参数起控制的作用，并引入一个合适的跟踪型成本泛函来解释一些先验知识的参数和控制本身之间的差异。分析进行了几个类别的模型，每一个依赖于一个特定的放松（抛物线或粘性类型）上执行的原始系统。一阶必要的最优性条件得到的完全放松的系统，在二维和三维的情况下。然后，非松弛模型的最优控制问题是通过渐近参数，通过显示各自的伴随系统的收敛性和最小化问题，作为每一个放松系数消失。这允许获得所需的必要最优性条件，从而解决参数识别问题，对于物理相关的双阱势的情况下的原始PDE系统。
2020-09-23 math.AP math.OC
