Ramsey-type results for Maker-Breaker games
Hamburg University of Technology（汉堡工业大学）
本文将极小拉姆齐图的概念拓展至Maker-Breaker博弈设定，刻画了存在无穷多极小可胜图的图类，证明了其最小最小度的紧界，揭示了两类设定的异同。
2026-09-03 math.CO
Drawing strategies in Strong Ramsey games for 3-uniform hypergraphs
本文研究强Ramsey游戏，给出无限族3一致超图使得后手玩家有平局策略。
2026-05-28 math.CO
Strong Ramsey Games: Drawing on an infinite board
研究了在无限完全$k$ -一致超图$K^k_{\mathbb{N}}$的边集上的强Ramsey型对策$\mathcal{R}^{(k)}(\mathcal{H}, \aleph_0)$.两个参与者，称为FP（第一个参与者）和SP（第二个参与者），轮流声明$K^k_{\mathbb{N}}$的边，目的是构建某个有限预定$k$ -均匀超图$\mathcal{H}$的副本。第一个复制$\mathcal{H}$的玩家获胜。如果没有一个玩家有策略来确保他在200步中获胜，那么游戏被宣布为平局。本文构造了一个$5$ -一致超图$\mathcal{H}$，使得$\mathcal{R}^{(5)}(\mathcal{H}, \aleph_0)$是一个画.这与在$K^5_n$的边集上进行的相应有限博弈$\mathcal{R}^{(5)}(\mathcal{H}, n)$形成鲜明对比。事实上，使用一个被称为\emph{strategy stealing}的经典博弈论论证和一个拉姆齐型论证，可以证明对于每个$k$ -均匀超图$\mathcal{G}$，存在一个整数$n_0$，使得FP对于每个$n \geq n_0$都有一个$\mathcal{R}^{(k)}(\mathcal{G}, n)$的获胜策略。
2016-05-25 math.CO
Ramsey, Paper, Scissors
我们介绍一个图形拉姆齐游戏称为拉姆齐，纸，剪刀。这个游戏有两个参与者，提议者和决定者。从$n$顶点上的空图开始，在每一轮中，Proposer提出一条潜在的边，而Decider同时决定（不知道Proposer的选择）是否将其添加到图中。Proposer不能提出一个会在图形中创建三角形的边。当提议者没有剩余的合法移动时，游戏结束，并且如果最终图具有至少$s$的独立数，则提议者获胜。我们证明了一个阈值现象存在这个游戏展示随机策略的两个球员是最佳的常数。也就是说，存在常数$0<A<B$，使得（在最佳游戏下）如果是$s<A\sqrt{n}\log{n}$，则提议者以高概率获胜，而如果是$s>B\sqrt{n}\log{n}$，则决定者以高概率获胜。这是$Θ(\sqrt{\log{n}})$的因子，大于来自非对角Ramsey数$r(3,s)$的下界。
2020-06-22 math.CO
Ramsey games with giants
Erdos和Renyi在1960年证明的随机图理论中的经典结果涉及随机图过程中巨分支出现的阈值。我们考虑这个问题的一个变种，与拉姆齐风味。现在，到达轮序列中的每个随机边必须用R种颜色之一着色。目标可以是在每个颜色类中创建一个巨大的组件，或者在每个颜色中避免它。可以分析此问题的离线或在线设置。在本文中，我们考虑所有这些变量，并提供非平凡的上限和下界，在某些情况下（如在线回避），得到的界限是渐近紧。
2009-08-18 math.CO
On Induced Online Ramsey Number of Paths, Cycles, and Trees
一个在线拉姆齐游戏是一个游戏之间的建设者和画家，轮流交替。给出了图$H$和图$G$的一个独立顶点的无限集合。在每一轮中，生成器绘制一条边，绘制器将其着色为红色或蓝色。如果在某个有限回合之后有图形的单色副本$H$，则生成器获胜，否则绘制器获胜。在线Ramsey数$\widetilde{r}(H)$是生成器可以在$G$中强制生成$H$单色副本的最小轮数。这是一个类比的大小拉姆齐数$\overline{r}(H)$定义为最小数，使存在图$G$与$\overline{r}(H)$的边缘，其中任何边缘二着色$G$包含一个单色副本的$H$。本文引入诱导在线Ramsey数的概念：诱导在线Ramsey数$\widetilde{r}_{ind}(H)$是Builder在$G$中可以强制生成$H$的诱导单色副本的最小轮数。我们证明了渐近紧界诱导在线Ramsey数的道路，圈和两个家庭的树。此外，我们还提供了一个类似于Conlon [On-line Ramsey Numbers，SIAM J. Discr. Math.2009]，表明对于$i\ge1$存在树$T_1,T_2,\dots$、$|T_i|<|T_{i+1}|$的无限族，使得\[ \lim_{i\to\infty} \frac{\widetilde{r}(T_i)}{\overline{r}(T_i)} = 0. \]
2019-01-11 cs.DM math.CO
Online Ramsey Games for more than two colors
考虑下面的一个单人游戏，游戏在一个初始为空的图上进行，图中的顶点为$n$。在每一个阶段，随机选择一个新的边缘被添加，玩家必须立即用$r$可用的颜色之一着色边缘。她的目标是在不创建固定图$F$的单色副本的情况下，为尽可能多的边着色。我们使用容器和稀疏正则性技术来证明一个严格的上界上的典型持续时间的游戏与任意的，但固定的，颜色的数量为一个家庭的$2$平衡图。该界证实了Marciniszyn，Spöhel和Steger的猜想，并产生了第一个紧密的结果，在线图形避免游戏超过两种颜色。
2016-03-24 math.CO math.PR
Tight degeneracy bounds in online Ramsey games
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文证明在 $q$-色在线 Ramsey 博弈中，Builder 能以至多 $d$ 的退化度迫使任意 $d$-退化图 $H$ 的单色副本，且该界紧，解决了 Conlon、Fox 和 Sudakov 的问题。
2026-10-02 math.CO
Ramsey Achievement Games on Graphs : Algorithms and Bounds
1982年，Harary在图上引入了Ramsey成就赛的概念。给定一个没有孤立点的图$F$。考虑由两个参与者Alice和Bob在完全图$K_n$上进行的以下游戏。首先，Alice将$K_n$的一条边涂成蓝色，然后Bob将另一条边涂成红色，依此类推。第一个能完成$F$在他的颜色中形成的玩家就是赢家。Alice具有获胜策略的最小$n$是$F$的成就数，用$a(F)$表示。如果我们用完全二部图$K_{n,n}$代替游戏中的$K_n$，我们得到二部成就数，用$\operatorname{ba}(F)$表示。在他的开创性论文中，Harary提出了一个确定树的二分成就数的公开问题。本文将$\operatorname{ba}(mK_2)=m+1$修正为$m$，并反证了Erickson和Harary的$\operatorname{ba}(K_{1,m})=2m-2$，推广了他们关于二部成就数的结果.我们还找到了匹配的成就数的精确值，以及匹配、星和双星上的二部成就数的精确值或上界和下界。我们的上界是通过推导出有效的获胜策略爱丽丝。
2023-03-07 math.CO
Ramsey games near the critical threshold
Rödl和Rucibrski的一个著名结果指出，对于任何图$H$，存在一个常数$C$，使得如果$p \geq C n^{- 1/m_2(H)}$，则随机图$G_{n,p}$是a.a.s.。$H$ -Ramsey，即其边的任何$2$ -着色都包含$H$的单色副本。除了一些简单的例外，相应的$0$ -语句也成立，即存在$c>0$使得每当$p\leq cn^{-1/m_2(H)}$随机图$G_{n,p}$是a.a.s.不是$H$ -拉姆齐。我们表明，在这个阈值附近，即使当$G_{n,p}$不是$H$ -Ramsey，它往往是非常接近被$H$ -Ramsey。更精确地说，我们证明了对任意常数$c > 0$和任意严格$2$ -平衡图$H$，如果$p \geq c n^{-1/m_2(H)}$，则随机图$G_{n,p}$ a.a.s.具有以下属性：在添加$ω(1)$额外随机边缘后，没有$H$单色副本的每个$2$ -边缘着色都不能扩展为无$H$的着色。这推广了Friedgut，Kohayakawa，Rödl，Rucienski和Tetali的结果，他们在2002年证明了三角形的相同陈述，并解决了这些作者提出的问题。我们还推广了他们的一个结果的三色的情况下，并表明，这些定理不需要成立时，$H$是严格的$2$平衡。
2020-10-27 math.CO
Online Ramsey turnaround numbers
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究在线拉姆齐转折游戏，定义并分析了转折数f(n,H)和f(H)，探讨其与极值图论中多项概念的关系。
2025-12-08 math.CO
Online Ramsey Numbers and the Subgraph Query Problem
该$(m,n)$ -在线拉姆齐游戏是一个组合游戏之间的两名球员，建设者和画家。从一组无限的孤立顶点开始，Builder在每个转弯处绘制一条边，Painter立即将其绘制为红色或蓝色。Builder的目标是迫使Painter使用尽可能少的旋转次数创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。在线Ramsey数$\tilde{r}(m,n)$是生成器确保在$(m,n)$ -在线Ramsey游戏中获胜所需的最小边数。通过分析Painter随机博弈的特殊情形，得到了对角在线Ramsey数下界的指数改进\[ \tilde{r}(n,n) \ge 2^{(2-\sqrt{2})n + O(1)} \]，以及非对角情形下相应的改进\[ \tilde{r}(m,n) \ge n^{(2-\sqrt{2})m + O(1)} \]，其中$m\ge 3$是固定的，而$n\rightarrow\infty$ .使用不同的随机画家策略，我们证明了$\tilde{r}(3,n)=\tildeΘ(n^3)$，确定这个函数的多对数因子。我们还改进了非对角情况下的上界$m \geq 4$。在与在线拉姆齐游戏与随机画家，我们研究的问题，找到一个副本的目标图$H$在一个足够大的未知Erdens-Rényi随机图$G(N,p)$使用尽可能少的查询，其中每个查询揭示了是否有一个特定的一对顶点相邻。我们称这个问题为子图查询问题。我们…
2018-11-04 math.CO
Online size Ramsey numbers: Path vs $C_4$
给定两个图$G$和$H$，在$K_\mathbb{N}$的边集上进行一个大小Ramsey对策.在每一轮中，Builder选择一条边，Painter将其涂成红色或蓝色。Builder的目标是强制Painter尽快创建$G$的红色副本或$G$的蓝色副本。在线（大小）拉姆齐数$\tilde r(G,H)$是指建筑师和画家在游戏中最佳发挥的回合数。我们证明了对每个$n\ge 8$，都有$\tilde r(C_4,P_n)\le 2n-2$.上界与J. Cyman，T. Dzido，J. Lapinskas，and A.所以我们得到了$n\ge 8$的$\tilde r(C_4,P_n)=2n-2$。我们对$n\le 13$的证明是计算机辅助的。绑定的$\tilde r(C_4,P_n)\le 2n-2$还解决了$n\ge 8$ $-$的“所有循环与$P_n$“博弈，这意味着需要Builder $2n-2$回合来迫使Painter在$n$顶点或任何红色循环上创建蓝色路径。
2022-12-14 math.CO
Restricted online Ramsey numbers of matchings and trees
考虑一个两人游戏，玩家之间的建设者和画家。Painter通过选择$K_n$边缘的颜色开始游戏，该颜色对Builder隐藏。在每一轮中，Builder指向一条边，Painter显示其颜色。Builder的目标是通过显示尽可能少的边的颜色来定位Painter着色中的特定单色结构。建造者赢得这场比赛所需的最少回合数被称为限制在线拉姆齐数。在本文中，我们考虑的情况下，这个“特定的单色结构”是一个大的匹配或一棵大树。我们表明，在任何$t$着色的$E(K_n)$，Builder可以找到一个单色匹配上至少${n-t+1\over t+1}$边缘揭示最多$O(n\log t)$边缘。我们还表明，在任何$3$着色的$E(K_n)$，Builder可以找到一个单色树上的至少$n/2$顶点，揭示了最多$5n$边缘。
2020-08-19 math.CO
Strong Ramsey game on two boards
本文研究强拉姆齐游戏在双棋盘上的变体，证明存在无穷多个目标图使先手无法在有限步内获胜，为长期未解决问题提供证据。
2025-01-27 math.CO
On the asymptotic behavior of online Ramsey numbers for stars, paths and cycles
Kean University（基恩大学）
研究在线Ramsey数渐进行为，证明对于固定k，某些比值收敛到常数。
2026-04-20 cs.DM math.CO
Two-round Ramsey games on random graphs
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）
研究随机图中拉姆齐性质阈值的尖锐性，分析两轮博弈中扩展无三角形着色的临界密度，发现当p跨越n^{-3/5}时阈值q发生多项式跳跃。
2026-06-23 math.CO
Probabilistic one-player Ramsey games via deterministic two-player games
考虑下面的概率单人游戏：棋盘是一个有$n$顶点的图，它最初不包含边。在每一步中，一条新的边从所有非边中随机均匀地绘制出来，并呈现给玩家，此后称为画家。Painter必须立即为每条边指定一种$r$可用颜色，其中$r \geq 2$为固定整数。一旦创建了某个固定图形$F$的单色副本，游戏就结束了，Painter的目标是在此之前“生存”尽可能多的步骤。我们提出了一种新的技术，用于推导这个游戏的阈值上的上界，即，在典型的步骤数上，Painter将以最优策略生存。更具体地说，我们考虑一个确定性的两个球员的游戏的变化，边不是随机选择的，但由第二个球员的建设者。然而，Builder必须遵守这样的限制：对于某个实数$d$，进化板的所有子图中的边与顶点的比率永远不会超过$d$。我们表明，存在一个获胜的策略，在这个确定性的游戏中的建设者意味着一个上界的$n^{2-1/d}$的阈值，原来的概率游戏。此外，我们表明，最好的界限，可以得出这种方式确实是游戏的阈值，如果$F$是一个森林。我们用几个例子说明我们的技术，并推导出新的明确的界限时，$F$是一个路径的情况。
2009-11-19 math.CO math.PR
On Balanced Coloring Games in Random Graphs
考虑平衡的拉姆齐游戏，其中一个玩家有r种颜色，并且在每一步中，r条随机边出现在n个顶点上的初始空图中。玩家必须立即为每条边分配不同的颜色，她的目标是尽可能长时间地避免创建某个固定图F的单色副本。Achlioptas游戏类似，但玩家只有在创建一个F的副本时才会输。我们表明，有一个无限的家庭的非森林F的平衡拉姆齐游戏有一个不同的阈值比Achlioptas游戏，解决一个悬而未决的问题Krivelevich等人。我们还考虑了自然的顶点模拟这两个游戏，并表明他们的阈值一致的所有图F，在对比我们的结果的边缘的情况下。
2013-04-26 math.CO
Wythoff's Nim with Finite Alterations
本文研究威佐夫尼姆游戏在任意有限个位置被指定为P或N位置后的改动形式，证明改动后游戏的P位置集合与平移后的标准威佐夫游戏高度相似，且重叠比例随堆规模增大趋近于1。
2024-08-07 math.CO
Online size Ramsey number for $C_4$ and $P_6$
本文研究 Builder 与 Painter 在无限团上进行的在线 Ramsey 游戏，证明在线大小 Ramsey 数 $\tilde{r}(C_4,P_6)$ 的精确值为 11，改进了此前 $11\leq\tilde{r}\leq13$ 的界。
2023-05-07 math.CO
Strong Ramsey Games in Unbounded Time
对于两个图$B$和$H$，强拉姆齐博弈$\mathcal{R}(B,H)$在板$B$上并且与目标$H$如下进行。两名玩家交替声称$B$的边缘。第一个复制$H$的玩家获胜。如果没有一个玩家获胜，游戏被宣布为平局。Beck的一个臭名昭著的开放性问题是，在$\mathcal{R}(K_n,K_k)$中，第一个参与者是否有一个获胜策略，就像$n\rightarrow\infty$一样，在有限时间内。令人惊讶的是，在最近的论文Hefetz等人。构建了一个$5$ -均匀超图$\mathcal{H}$，他们证明了第一个球员没有一个获胜的策略，在$\mathcal{R}(K_n^{(5)},\mathcal{H})$在有界时间。他们自然会问，同样的结果是否适用于图。本文在降秩方面作了进一步的研究。在我们的第一个结果中，我们构造了一个图$G$（实际上是$G=K_6\setminus K_4$），并证明了第一个玩家在有界时间内在$\mathcal{R}(K_n \sqcup K_n,G)$中没有获胜策略。作为这个结果的应用，我们推出了第二个结果，在这个结果中我们构造了一个$4$ -一致超图$G'$，并证明了在有界时间内，在$\mathcal{R}(K_n^{(4)},G')$中第一个参与者没有获胜策略.这改进了上述文献中的结果。我们第一个结果的等价公式是博弈$\mathcal{R}(K_ω\sqcup…
2019-10-25 math.CO
On the path-avoidance vertex-coloring game
对于任何图$F$和任何整数$r\geq 2$，表示为$m^*(F,r)$的\emph{online vertex-Ramsey density of $F$ and $r$}是通过确定性两人Ramsey型游戏（Painter vs.\ Builder）。该参数在最近的论文\cite{mrs11}中引入，其中表明在线顶点-拉姆齐密度决定了类似概率单人游戏的阈值（Painter vs.\二项随机图$G_{n,p}$）。对于一个大类的图$F$，包括团，圈，完全二分图，超立方体，车轮，和任意大小的星，一个简单的贪婪策略是最佳的画家和封闭的公式$m^*(F,r)$是已知的。在这项工作中，我们表明，对于$F=P_\ell$是一个（长）路径的情况下，图片是非常不同的。不难看出，对于适当定义的整数$k^*(P_\ell,r)$，$m^*(P_\ell,r)= 1-1/k^*(P_\ell,r)$，贪婪策略给出了$k^*(P_\ell,r)\geq \ell^r$的下界。我们构建和分析画家的策略，提高这个贪婪的下限由一个因子多项式在$\ell$，我们表明，没有超多项式的改善是可能的。
2011-03-29 math.CO math.PR
Online size Ramsey numbers: Odd cycles vs connected graphs
给定两个图族$\mathcal H_1$和$\mathcal H_2$，在$K_\mathbb{N}$的边集上进行一个大小Ramsey对策.在每一轮中，Builder选择一条边，Painter将其涂成红色或蓝色。Builder正在尝试强制Painter尽快从$\mathcal H_1$创建图形的红色副本或从$\mathcal H_2$创建图形的蓝色副本。在线（大小）拉姆齐数$\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)$是游戏中最小的回合数，前提是建筑师和画家最佳地发挥作用。本文证明了：如果$\mathcal H_1$是所有奇圈的族，$\mathcal H_2$是$n$的顶点和$m$的边上的所有连通图的族，则$\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)\ge φn + m-2φ+1$，其中$φ$是黄金比例，对于$n\ge 3$，$m\le (n-1)^2/4$，我们有$\tilde{r}(\mathcal H_1,\mathcal H_2)\le n+2m+O(\sqrt{m-n+1})$ .我们还表明，$\tilde{r}(C_3,P_n)\le 3n-4$的$n\ge 3$。因此，我们为每个$n\ge 3$得到$2.6n-3\le \tilde{r}(C_3,P_n)\le 3n-4$。
2022-11-01 math.CO
Positional Games
位置游戏是组合学的一个分支，研究各种双人游戏，从流行的娱乐游戏，如井字游戏和十六进制游戏，到纯粹的抽象游戏。它与许多其他组合学科如拉姆齐理论、极值图和集合论、概率组合学以及计算机科学密切相关。我们调查该领域的基本概念，它的方法和工具，以及众多的最新进展，悬而未决的问题和有前途的研究方向。
2014-04-10 math.CO
On-line Ramsey numbers of paths and cycles
考虑一个由两个参与者，建筑师和画家，在无限集团的边集上进行的博弈。在每一轮中，Builder选择一条边，Painter将其涂成红色或蓝色。Builder通过为某些固定图形$G$和$H$创建$G$的红色副本或$H$的蓝色副本而获胜。假设两个玩家都玩得很好，Builder可以获胜的最小回合数是在线Ramsey数$\tilde{r}(G,H)$。在本文中，我们考虑的情况下，$G$是一个路径$P_k$。我们证明了对于所有的$\ell \ge 5$，$\tilde{r}(P_3, P_{\ell+1}) = \lceil 5\ell/4 \rceil = \tilde{r}(P_3, C_\ell)$，并确定了$\tilde{r}(P_4, P_{\ell+1}$），直到所有的$\ell \ge 3$的加法常数。我们还证明了$\tilde{r}(P_{k+1},H)$形式的在线Ramsey数的一些一般下界。
2014-10-20 math.CO
Online Ramsey numbers of ordered paths and cycles
本文研究固定有序图G时网络有序拉姆齐数r_o(G,P_n)的增长行为，证明了一般情形下的O(n log₂ n)上界及G为3-色图时的O(n)上界，并部分分类了满足r_o(G,P_n)=n+O(1)的图。
2024-03-28 math.CO
On-line Ramsey numbers
考虑以下两个玩家之间的游戏，建筑师和画家。Builder每次绘制一个边，Painter根据每个边的出现将其着色为红色或蓝色。Builder的目的是迫使Painter绘制固定图G的单色副本。不管Painter的策略如何，Builder必须绘制的最小边数被称为G的在线Ramsey数\tilde{r}（G）。关于\tilde{r}（K_t）= o（\binom{r(t)}{2}）的猜想，我们的主要结果是：存在一个常数c > 1，使得对于无穷多个t值，\tilde{r}（K_t）\leq c^{-t} \binom{r(t)}{2}.我们还证明了这个数的一个更具体的上界，证明了存在一个常数c使得\tilde{r}（K_t）\leq t^{-c \frac{\log t}{\log \log t} } 4 ^t。最后，我们证明了完全二部图K_{t,t}的在线Ramsey数的一个新上界。
2009-02-10 math.CO
Proving the Pressing Game Conjecture on Linear Graphs
黑白图上的按压游戏如下：给定一个图$G(V,E)$，其顶点被着色为黑色和白色，任何黑色顶点$v$都可以被按压，其效果如下：（a）$v$的所有邻居改变颜色，即白色邻居变成黑色，而\emph{vice versa}，（b）$v$的所有邻居对改变连通性，即连接对变成不连接，未连接的顶点变成连接的，（c）最后，$v$变成一个分离的白色顶点。游戏的目的是将$G$转换为一个全白的空图。已知的一个结果是：在压制对策中，如果$G$的每个分支至少包含一个黑顶点，并且对于一个固定图，任何成功的变换都具有相同的压制顶点数，则全白空图是可达的.挤压博弈的猜想是，任何成功的挤压路径都可以通过微小的改变转化为任何其他成功的挤压路径。在这里，我们证明猜想的线性图。连接到基因组重排和排序有符号的排列与逆转也进行了讨论。
2013-03-27 cs.DM math.CO
On the threshold for the Maker-Breaker $H$-game
研究了随机图$G_{n,p}$的边集上的制造者-破坏者$H$ -对策。在这个游戏中，两个玩家，制造者和断路器，交替声称$G_{n,p}$的无人认领的边缘，直到所有的边缘被声称。如果Maker声称拥有固定图$H$的副本的所有边，则他获胜;否则，Breaker获胜。在本文中，我们表明，除了树和三角形，$H$ -游戏的阈值是由相应的拉姆齐性质的阈值$G_{n,p}$关于图$H$。
2014-01-17 math.CO
Off-diagonal online size Ramsey numbers for paths
本文研究路径的非对角在线大小 Ramsey 数，证明 $\tilde{r}(P_k,P_n)\le (5/3+o(1))n$（当 $k=o(n)$），并改进 $\tilde{r}(P_4,P_n)$ 的上界至 $\lceil 7n/5\rceil -1$，验证了相关猜想。
2023-10-13 math.CO
On the two problems in Ramsey achievement games
本文研究广义 Ramsey 达成游戏，证明树的达成数上下界、路径取得最小值并肯定 Harary 猜想第一部分，同时给出星图界及路径第一玩家游戏的等式。
2024-08-02 math.CO
Asymptotic Bounds for Online Ramsey Numbers of Stars versus Long Paths and Cycles
Kean University（基恩大学）；University of Chicago（芝加哥大学）；Cornell University（康奈尔大学）
该研究针对星图与长路、长圈的在线拉姆齐数问题，改进了固定k≥4时两类在线拉姆齐数的渐近上界，将原有的(k+o(1))n提升至更紧的((2k+4)/5+o(1))n，推动了在线拉姆齐理论的定量研究。
2026-08-28 math.CO
Lower bounds for online size Ramsey numbers for paths
本文研究路径的在线大小 Ramsey 数，证明了对无孤立顶点的图 G 的下界，并得出 P_9 与 P_n 的极限比值为 5/3，同时证明了任意固定 k 时极限的存在性。
2025-04-21 math.CO
Online Ramsey numbers of ordered graphs
本文研究有序图的在线 Ramsey 数，利用最大左右度给出新的下界证明，并在圈对完全二部图、树对团两种情形下给出上界。
2024-09-03 math.CO
$H$-games played on vertex sets of random graphs
我们介绍了一种新的类型的位置游戏，发挥了一个顶点集的图。给定一个图$G$，两个参与者声称$G$的顶点，其中游戏的结果由每个参与者（或其中一个）声称的顶点所诱导的$G$的子图决定。我们研究了经典的位置博弈，如制造者-破坏者，避免者-执行者，侍者-客户和客户-侍者博弈，其中博弈的棋盘是二项随机图$G\sim G(n,p)$的顶点集。在这些设置下，我们考虑这些游戏的目标集的顶点集的所有图包含一个副本的固定图$H$，称为$H$ -游戏，并专注于这些情况下，$H$是一个集团或一个循环。我们发现，类似于边缘版本的$H$ -游戏，有一个强有力的连接之间的阈值概率为这些游戏和一个相应的顶点拉姆齐属性（即属性，每个$r$ -顶点着色的$G(n,p)$跨越一个单色副本的$H$）。另一个相似的边缘版本的这些游戏，我们证明，是游戏中，$H$是一个三角形或森林呈现出不同的行为相比，一般情况下。
2019-01-02 math.CO
$\mathcal{R}(K_{\aleph_0}, \hat{K}_{2,3})$ is a win for Player 1
本文研究了强拉姆齐游戏 $\mathcal{R}(K_{\aleph_0}, \hat{K}_{2,3})$，并为玩家 1 提供了一种获胜策略。
2025-12-03 math.CO
