Topological recursion for monotone orbifold Hurwitz numbers: a proof of the Do-Karev conjecture
Reinier Kramer, Alexandr Popolitov, Sergey Shadrin
证明了Do和Karev关于单调轨道Hurwitz数满足Chekhov-Eynard-Orantin拓扑递归的猜想.
We prove the conjecture of Do and Karev that the monotone orbifold Hurwitz numbers satisfy the Chekhov-Eynard-Orantin topological recursion.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Quasi-polynomiality of monotone orbifold Hurwitz numbers and Grothendieck's dessins d'enfants
证明了单调和严格单调轨道Hurwitz数的拟多项式性。第二个枚举问题也被称为一种特殊的Grothendieck's dessins d 'enfants或$r$ -超映射的枚举。这些声明积极回答了多卡列夫和多马内斯库提出的两个论点。我们也将同样的方法应用于通常的轨道Hurwitz数，并得到了这种情况下拟多项式性的一个新证明。在本文的第二部分中，我们证明了拟多项式的性质在所有这三种情况下等价于$n$ -点母函数在某一代数曲线的$n$ -次卡氏幂上具有自然表示的性质。这些表示是Chekhov-Eynard-Orantin拓扑递归的必要条件。
On ELSV-type formulae, Hurwitz numbers and topological recursion
本文介绍了关于Chiodo类和几类Hurwitz数的ELSV型公式和拓扑递归的一些最新进展。主要结果出现在D. Lewanski，A. Popolitov，S. Shadrin，D. Zvonkine，“Chiodo公式的r-th根和拓扑递归”，Lett。Math. Phys.（2016）.
Recursions, formulas, and graph-theoretic interpretations of ramified coverings of the sphere by surfaces of genus 0 and 1
我们推导出了所有亏格为1的Hurwitz数的封闭表达式，并给出了亏格为0和1的Hurwitz数的一个简单的新的图论解释。（赫维茨数本质上计算球面的不可约亏格g覆盖，在一个点上有任意指定的分支，在其他指定点上有简单分支，没有其他分支。这个问题等价于将置换的传递因式分解计数为置换。）这些结果证明了Goulden和Jackson的一个猜想，推广了Hurwitz等人的结果.
Towards studying the structure of triple Hurwitz numbers
本文研究涉及三个非简单分支点的三重Hurwitz数，通过证明一个蕴含Frobenius恒等式的递推关系，获得了相关Hurwitz数的递推公式与显式公式，并详细探讨了单部拟三重Hurwitz数的降维公式、多项式性及与相交理论的联系。
Topological recursion on transalgebraic spectral curves and Atlantes Hurwitz numbers
本文将拓扑递归扩展至含指数奇点的超代数谱曲线并证明其与量子曲线的对应，进而表明 Atlantes Hurwitz 数满足该扩展递归并构造相应量子曲线。
Towards the topological recursion for double Hurwitz numbers
单个赫尔维茨数列举了黎曼球面上具有特定亏格的分支覆盖，在无穷大上的指定分支，以及在其他地方的简单分支。它们表现出非常丰富的结构。特别是，它们作为曲线的模空间上的相交数出现，并由Chekhov，Eynard和Orantin的拓扑递归所支配。双Hurwitz数的定义类似，但在零和无穷大上都有指定的分支。Goulden，Jackson和Vakil已经证明了双Hurwitz数也作为模空间上的相交数出现。本文将双Hurwitz数重新包装为一类由单项式加权的分支覆盖的枚举，并猜想它们受拓扑递归的支配。相关的量子曲线和低亏格计算的形式提供的证据。此外，我们减少到一个较弱的猜想，关于双Hurwitz数的多项式结构。通过拓扑递归框架，我们的主要猜想应导致一个直接的联系，枚举几何，从而阐明了上述猜想的Goulden，Jackson和Vakil。
The Gromov-Witten potential of a point, Hurwitz numbers, and Hodge integrals
赫维茨数（英语：Hurwitz numbers），计算投影线的某些覆盖（或等价地，置换到转置的因式分解），已经被广泛研究了一个多世纪。曲线模空间上点的Gromov-Witten势F是曲线的Hodge积分的生成级数，一直是Gromov-Witten理论研究的中心对象。我们定义了一个稍微丰富的Gromov-Witten势G（包括包含一个“类”的积分），并证明了在变量的非平凡变量变换后，G=H在正亏格中，其中H是Hurwitz数的生成级数.本文证明了Goulden和Jackson关于高亏格Hurwitz数的一个猜想，它是Itzykson和Zuber关于亏格扩张的一个类似猜想.作为结果，我们有新的组合约束F，和一个更直接的证明的anonymous的Itzykson和Zuber。我们可以为Hurwitz数生成递归和显式公式;给出的算法应该证明“所有”这样的递归。此外，有更多的递归比以前怀疑从几何（事实上，他们应该存在于所有的属）;作为例子，我们提出了令人惊讶的简单的新递归的属3是几何神秘的。正如我们期望本文也是组合学家的兴趣，我们试图使它尽可能独立，包括审查一些结果和定义众所周知的代数和辛几何，和数学物理。
Cut-and-join equation for monotone Hurwitz numbers revisited
我们给出了单调Hurwitz数的割并方程的一个新的证明，该证明首先由Goulden，Guay-Paquet和Novak导出。我们的证明，特别是使用组合技术开发的韩。主要的兴趣在这个特殊的方程是它的密切关系的二次回路方程的理论谱曲线拓扑递归，我们回顾这一动机给予一个新的证明拓扑递归单调Hurwitz数，首先获得的做，戴尔和马修斯。
Failing to keep the balance: explicit formulae and topological recursion for leaky Hurwitz numbers
本文通过热带几何和生成函数学，推导了漏泄Hurwitz数的显式公式，并展示了其与拓扑递归的关系。
$\mathfrak{b}$-Hurwitz numbers from refined topological recursion
本文基于精炼拓扑递归计算$\mathfrak{b}$-Hurwitz数，证明其在有理谱曲线上的解析延拓，并涵盖$\mathfrak{b}$-单调Hurwitz数及非定向曲面地图计数，应用于Gaussian等$β$-ensembles的相关子集计算。
Double Hurwitz numbers: polynomiality, topological recursion and intersection theory
本文通过半无限楔表示分析双重赫尔维茨数，证明其多项式性结构并确认其受拓扑递归支配，进而推导出 ELSV 型公式的初步版本，同时揭示了 Chiodo 类的消失性质。
Weighted Hurwitz numbers and topological recursion
超几何型KP和二维Toda τ-函数作为加权单和双Hurwitz数的生成函数与拓扑递归程序有关。这样的加权赫维茨数的图形表示给出加权星座。相关的经典和量子光谱的光谱曲线的推导，并结合这些解释的图形模型。给出了一种有限的Christoffel-Darboux表示，并给出了多对算子的行列式表达式.的多流扩张器的属扩展所示，以提供生成系列的加权Hurwitz数的固定的分支配置文件的长度。导出了Baker函数的WKB级数，并利用它导出了权函数为多项式时的回路方程和拓扑递推关系。
Elements of spin Hurwitz theory: closed algebraic formulas, blobbed topological recursion, and a proof of the Giacchetto-Kramer-Lewanski conjecture
本文讨论了自旋Hurwitz数的生成函数的性质。特别地，对于具有任意分支轮廓的自旋Hurwitz数，我们构造了由2-分量BKP族的Orlov超几何解给出的加权和。我们推导出与这些τ函数相关的关联函数的封闭代数公式，并在合理的分析假设下证明了回路方程（斑点拓扑递归）。最后，我们证明了一个版本的拓扑递归的自旋Hurwitz数与自旋完成的循环（一个推广版本的Giacchetto-Kramer-Lewaiski猜想）。
Recursion Formulas for Spin Hurwitz Numbers
当曲线具有θ特征时，计算复曲线覆盖数的经典Hurwitz数也有类似之处。Eskin、Okounkov和Pandharipande最近研究的这些“自旋Hurwitz数”本身就很有趣。根据作者以前的工作，它们也与Kahler曲面的Gromov-Witten不变量有关。证明了自旋Hurwitz数的一个递推公式，从而给出了具有正几何亏格的Kahler曲面的零维GW不变量.证明使用退化的自旋曲线，一个不变量定义的频谱流的某些反线性变形的d-酒吧运营商，和一个有趣的本地化现象的特征函数，表明地图甚至分歧点取消对。
Chiodo formulas for the r-th roots and topological recursion
我们分析了Chern类的Chiodo公式，这些公式与曲线的模空间上的典型类的适当扭曲的整数幂的r次根有关。通过Chekhov-Eynard-Orantin拓扑递归，这些类与PSI类的交集数被再生。作为应用，我们证明了Orbifold Hurwitz数的Johnson-Pandharipande-Tseng公式等价于Orbifold Hurwitz数的拓扑递归.特别地，这给出了orbifold Hurwitz数的拓扑递归的一个新的证明。
Polynomiality of orbifold Hurwitz numbers, spectral curve, and a new proof of the Johnson-Pandharipande-Tseng formula
在本文中，我们提出了一个例子的推导ELSV型公式使用的拓扑递归的方法。也就是说，对于orbifold Hurwitz数，我们给出了一个新的证明的谱曲线拓扑递归，在这个意义上的契诃夫，Eynard和Orantin，其中主要的新步骤相比，现有的证明是一个直接的组合证明他们的准多项式。谱曲线拓扑递归根据曲线的模空间的交理论导出了轨道Hurwitz数的一个公式，在这种情况下，它似乎与Johnson-Pandharipande-Tseng公式的一个特例相吻合。
Fermionic approach to weighted Hurwitz numbers and topological recursion
本文用费米子表示统一刻画加权 Hurwitz 数与拓扑递归中的生成函数、关联子及谱曲线，并给出四类特殊情形的具体结果。
Triply mixed coverings of arbitrary base curves: Quasimodularity, quantum curves and a mysterious topological recursions
简单的Hurwitz数枚举具有固定分歧数据的黎曼曲面之间的分支态射。近年来，在文献中出现了几种关于属$0$基曲线的这一概念的变体。其中有所谓的单调Hurwitz数，它与随机矩阵理论中的HCIZ积分有关，以及严格单调Hurwitz数，它计数某些Grothendieck dessins d 'enfants。我们概括的概念，Hurwitz数简单，单调和严格单调的Hurwitz数之间的插值到任何属和任意数量的任意，但固定的衍生配置文件。这产生了几个已知的赫尔维茨数的结果的概括。当目标曲面的亏格为1时，我们证明了这些插值Hurwitz数的生成序列是拟模形式。在所有分歧是简单的情况下，我们通过将这个序列写为对应于由Gromov-Witten不变量加权的热带覆盖的拟模形式的和来改进这个结果。此外，我们推导出一个量子曲线的单调和Grothendieck dessins d 'enfants Hurwitz数为任意的一般和一个任意的，但固定的衍生物配置文件。因此，我们通过半经典极限得到谱曲线作为CEO拓扑递归的输入数据。令人惊讶的是，我们发现严格单调Hurwitz数的亏格$1$谱曲线的CEO拓扑递归计算亏格$0$中的单调Hurwitz数。从而给出了单调Hurwitz数满足CEO拓扑递归的一个新的证明。这表明这些枚举数之间存在未知的关系。最后，专门针对目标表面$\mathbb{P}^1$，我们发现递…
Orbifold Hurwitz numbers and Eynard-Orantin invariants
我们证明了简单Hurwitz数的推广由于约翰逊，Pandharipande和曾满足拓扑递归的Eynard和Orantin。这概括了Bouchard-Marino猜想和地方Hurwitz-Hodge积分，这出现在Gromov-Witten理论的目标曲线与orbifold结构，在Eynard-Orantin拓扑递归的上下文中。
Hurwitz numbers, matrix models and enumerative geometry
我们提出了一个新的，代数递归解决方案的Hurwitz数在所有的一般。这个猜想是基于最近的进展，解决B型拓扑弦理论上的环面卡-丘流形的镜子，我们简要回顾，提供一些背景，我们的猜想。我们特别展示了如何这个B-模型的解决方案，结合镜像对称的一条腿，框架拓扑顶点，导致霍奇积分与三个霍奇类插入的递归关系。我们在赫尔维茨理论中的猜想是从无限框架极限中的框架顶点的递归得出的。
Wall-crossing and recursion formulae for tropical Jucys covers
在最近的工作中，作者导出了单调和严格单调双Hurwitz数的热带解释。在本文中，我们适用于这种解释的热带流的技术，以提供一个新的证明这些枚举不变量的分段多项式。此外，我们还导出了新的跨壁公式。
Weighted Hurwitz numbers and topological recursion: an overview
KP或Toda型超几何$τ$ -函数的多参数族作为加权Hurwitz数的生成函数，提供黎曼球面分支覆盖的加权枚举。一个图形解释的加权给出的星座映射到覆盖面。该理论被放置在拓扑递归的框架内，在${\bf t} ={\bf 0}$的Baker函数满足量子光谱曲线方程，其经典极限是合理的。生成谱变量中形式幂级数空间的基础，该基础适应于与$τ$函数相关联的格拉斯曼元素。多电流放大器的定义方面的$τ$ -功能，并显示提供一个替代的生成函数加权Hurwitz数。费米子VEV表示提供了适应基地，对双折射率和多流双折射率。选择权重生成函数作为多项式，并且将Toda $τ$函数中的非零“第二”KP流参数的数量限制为有限，这意味着有限秩协变导数方程，其具有由自适应基元的有限“窗口”满足的有理系数。对相关器被证明提供了一个Christoffel-Darboux型有限秩可积核，并递归计算相关伴随系统的WKB级数系数，从而得到加权Hurwitz数生成元的拓扑递归关系。
Primary invariants of Hurwitz Frobenius manifolds
赫维茨空间参数化黎曼球面的覆盖可以配备一个弗罗贝纽斯结构。在这篇综述中，我们回顾了这种Hurwitz Frobenius流形的构造以及半单Frobenius流形和拓扑递归形式主义之间的对应关系。然后，我们将此对应Hurwitz Frobenius流形的解释，相应的主要不变量可以获得作为周期的多微分全球定义在一个紧凑的黎曼曲面拓扑递归。最后，我们用这个结构来回答以下问题的一大类情况下：给定一个紧凑的黎曼曲面，什么拓扑递归计算？
Pruned double Hurwitz numbers
Hurwitz数计算了具有固定分支轨迹和固定分歧数据的射影直线的分歧亏格$g$、度$d$覆盖。双Hurwitz数计数这样的覆盖，其中我们固定两个特殊的配置文件在$0$和$\infty$和只有简单的分歧。这些物体的特点是有趣的结构行为和与几何体的连接。本文引入了剪枝双Hurwitz数的概念，推广了\cite{DN13}中剪枝单Hurwitz数的概念.我们证明了修剪双Hurwitz数，类似于通常的双Hurwitz数，满足切割和连接递归和分段多项式的两个特殊的分歧配置文件的条目。此外，双Hurwitz数可以从修剪的双Hurwitz数计算。总而言之，可以说修剪的双Hurwitz数计算了一个相关的覆盖子集，导致了相当小的数字和计算，但仍然具有我们可以观察到的双Hurwitz数的重要性质。
The Laplace transform of the cut-and-join equation and the Bouchard-Marino conjecture on Hurwitz numbers
计算了Goulden，Jackson和Vakil的剪切-连接方程的拉普拉斯变换。其结果是一个多项式方程，其拓扑结构与有边双曲曲面的模空间的Weil-Petersson体积的Mirzakhani递推公式相同。我们发现这个Laplace变换方程通过Lambert W-函数的逆函数的直接映象就是Bouchard和Marino用拓扑弦理论给出的Hurwitz数的拓扑递推公式.
Polynomiality of $\mathbb{Z}_2$ Hurwitz-Hodge Integrals
使用Atiyah-Bott本地化的稳定映射的堆栈商$[\mathbb{P}^1/\mathbb{Z}_2]$的空间中，我们发现递归，确定所有霍奇积分的后代插入在一个标记点上的超椭圆轨迹$\overline{\mathcal{H}}_{g, 2g + 2} \subseteq \overline{\mathcal{M}}_{g, 2g + 2}$。我们的递归所需的初始条件是在一个标记点上的引力下降，该标记点已知为$\frac{1}{2}$。我们发现了一个新的结构，这些相交数：对于一个固定的单项式的$λ$ -类，由此产生的家庭超椭圆霍奇积分是多项式在$g$。我们制定了一个猜想，这些多项式的系数的对数-ε。最后，我们把我们的递归化为一个关于超椭圆Hodge积分的生成函数的非线性偏微分方程组。
Whittaker vectors at finite energy scale, topological recursion and Hurwitz numbers
本文证明Gaiotto向量可解析延拓至有限能量尺度，由半Seiberg--Witten谱曲线上的拓扑递归计算，并推导出与相交理论、Hurwitz数及量子曲线的联系，同时推广至更一般的Whittaker向量。
Localization, Hurwitz Numbers and the Witten Conjecture
本文利用文[3]的方法给出著名的Witten猜想的一个简单证明。将本文中导出的系数与这种方法相结合，可以导出更多的Hodge积分的递推公式。
Descendant Gromov-Witten Invariants, Simple Hurwitz Numbers, and the Virasoro Conjecture for P^1
在这个“实验”研究中，我们使用已知的拓扑递归关系genera-zero，-one，and -two来计算P^1的n点后代Gromov-Witten不变量，对于任意次数和n的低值。所得结果与Virasoro猜想一致，并导出了这两类Hodge积分的显式计算。我们还推导出新的递归关系，简单的Hurwitz数类似的Graber和Pandharipande。
Mirror symmetry for orbifold Hurwitz numbers
我们研究了Orbifold Hurwitz数的镜像对称性。证明了Orbifold Hurwitz数的拉普拉斯变换满足一个微分递推式，并证明了它等价于Eynard和Orantin的积分递推式，其谱曲线由r-Lambert曲线给出.我们认为r-Lambert曲线也出现在轨道Gromov-Witten理论[C3/（Z/rZ）]的无限框架极限中。最后，我们证明了轨道折叠Hurwitz数的镜像模型存在一条量子曲线.
Double Hurwitz numbers and multisingularity loci in genus 0
在CP ^1上具有给定阶极点的有理函数的Hurwitz空间中，研究了多奇异点的轨迹，即具有给定的大于0的分支轮廓的函数的轨迹。我们证明了这些轨迹的Poincare对偶上同调类上的一个递归关系，并推导出了关于Hurwitz数的一个微分方程。
Simple maps, Hurwitz numbers, and Topological Recursion
本文引入完全简单地图并研究其组合学，证明其生成级数由普通地图生成级数的函数反演给出，并与自由累积量、拓扑递归的辛变换及双重单调Hurwitz数建立联系，进而导出类似ELSV的公式。
Mirror curve of orbifold Hurwitz numbers
边收缩运算是解决各种图的计数问题的有效工具，如计算Grothendieck's dessins d 'enfants和简单及双重Hurwitz数.这些计数问题可以通过称为拓扑递归的机制来解决，拓扑递归是对应于这些计数问题的镜像B模型。我们表明，对于orbifold Hurwitz数的情况下，镜像对象，即，谱曲线及其上的微分形式仅由亏格$0$中计数问题的边收缩运算和一个标记点构成。这形成了与Gromov-Witten理论的平行，其中亏格0 Gromov-Witten不变量对应于镜像B模型全纯几何。
Combinatorics of pruned Hurwitz numbers
本文研究剪枝Hurwitz数的组合理论，推导出其基于Hurwitz动形和热带覆叠的两种新组合表达式，为Hurwitz问题核心的计数研究提供新工具。
Quantum curves for simple Hurwitz numbers of an arbitrary base curve
已知射影直线的简单Hurwitz数的各种生成函数满足许多性质。它们包括热方程，Eynard-Orantin拓扑递归，称为量子曲线方程的无限阶微分方程，以及类似薛定谔的偏微分方程。本文将这些性质推广到基曲线为任意的简单Hurwitz数。
Towards the geometry of double Hurwitz numbers
双赫维茨数计算射影线的分支覆盖，分支点固定，除了0和无穷远两点外，其余都需要简单分支，0和无穷远上的分支由度的划分（分别有m和n部分）指定。单个Hurwitz数具有丰富的结构，许多领域的作者都对其进行了探索。ELSV公式将单个Hurwitz数与曲线的模空间上的相交理论联系起来，并导致了许多结果。我们使用几何、代数和表示论来确定双Hurwitz数的结构。我们的动机是几何的：我们给出了强有力的证据，双Hurwitz数是一个普遍的皮卡品种的顶部交叉。特别是，我们证明了一个分段多项式的结果类似于所隐含的ELSV公式。在m=1且n是任意的情况下，我们猜想了一个ELSV型公式，并证明了它在亏格0和亏格1中成立.相应的Witten型相关函数具有比单个Hurwitz数更好的结构，它满足弦方程和Escherton方程等几何性质，并具有类似于Itzykson和Zuber的亏格展开式.给出了双Hurwitz生成级数的对称函数描述，从而给出了给定m和n的双Hurwitz数的显式表达式.在m是固定的，但不一定是1的情况下，我们证明了相应的生成系列，这导致封闭形式的表达式双Hurwitz数和类似的古尔登-杰克逊多项式猜想（早期的代数变体的ELSV公式）的拓扑递归。
One part leaky covers
该研究聚焦于$k$-泄漏双Hurwitz数的单分量版本，推导其递推关系，得到若干无穷族的显式公式与结构结果，推广了双分歧循环的后代积分与相关Hurwitz数。
The Eynard-Orantin recursion and equivariant mirror symmetry for the projective line
研究了等变扰动镜像Landau-Ginzburg模型中的投影线。我们表明，Eynard-Orantin递归在这个模型上编码的所有属所有后代等变Gromov-Witten不变量的射影线。这个结果的非等变极限是Norbury-Scott猜想，而通过取大半径极限，我们恢复了简单Hurwitz数上的Bouchard-Marino猜想。
Symplectic duality for topological recursion
本文证明带任意有理函数与完备循环权重的双 Hurwitz 数所对应微分满足拓扑递归，利用新的 $(m,n)$-关联函数关系部分解决既有猜想，并以辛对偶推广 $x-y$ 对偶。
A new spin on Hurwitz theory and ELSV via theta characteristics
本文利用 BKP tau-函数解释研究 spin Hurwitz 数，给出其多项式性质并提出由谱曲线驱动的新型拓扑递归，且证明该递归等价于含 Chiodo 类与 2-spin Witten 类的 ELSV 型公式。
A refined twist on Hurwitz numbers
本文提出CJT-精细化统一Schur、zonal与Jack作用，解决部分猜想，推导$b$-Hurwitz数的cut-and-join递归及其热带化，并回答其多项式结构问题。
Equivalence of ELSV and Bouchard-Mariño conjectures for $r$-spin Hurwitz numbers
我们提出了两个关于具有完备$(r+1)$ -圈的Huwritz数，或者等价地，关于投射线的某些相对Gromov-Witten不变量的构造。这些猜想类似于ELSV公式和普通赫尔维茨数的Bouchard-Mariño猜想。我们的$r$ -ELSV公式是在$r$ -自旋结构空间上的Hurwitz数和积分之间的等式，该空间是具有典范丛的$r$ th根的稳定曲线空间。我们的$r$ -BM猜想是这样一种说法，即赫尔维茨数的$n$ -点函数满足与谱曲线$x = -y^r + \log y$相关的拓扑递归，这是契诃夫、艾纳德和奥兰廷的观点。我们证明了$r$ -ELSV公式和$r$ -BM猜想是等价的，并为两者提供了一些证据.
The spectral curve of the Eynard-Orantin recursion via the Laplace transform
Eynard-Orantin递推公式为几何中某些计数问题提供了一个有效的工具。该公式需要谱曲线和递归核。我们提出了一个统一的结构的谱曲线和递归内核从不稳定的几何形状的原始计数问题。我们研究这个建设使用四个具体的例子：Grothendieck的dessins d 'enfants（或更高的属类似的加泰罗尼亚数字），相交数重言式余切类的模栈稳定的尖曲线，单一的Hurwitz数，和固定的Gromov-Witten不变量的复杂的投影线。
A new family of weighted double Hurwitz numbers and a new ELSV-type formula with $Ω$-classes
本文研究了一种新的加权双Hurwitz数族，并在此基础上发展了与超几何（Orlov--Scherbin）KP tau函数和曲线模空间的交理论相关的技术，推导出一个新的显式ELSV型公式，该公式涉及所谓的Ω类。
Topological Recursion for the extended Ooguri-Vafa partition function of colored HOMFLY-PT polynomials of torus knots
我们证明了拓扑递归应用于环面结的有色HOMFLY-PT多项式的谱曲线再现了一个特殊的配分函数的n点函数，称为扩展的Ooguri-Vafa配分函数。这推广和改进了Brini-Eynard-Marino和Borot-Eynard-Orantin的结果。我们还讨论了这种情况下谱曲线拓扑递归的表述如何适用于Alexandrov-Chapuy-Eynard-Harnad建立一般加权双Hurwitz数配分函数（a.k.a.超几何型的KP τ-函数）。
Symplectic duality via log topological recursion
本文在对数拓扑递归框架下证明辛对偶可分解为 $x-y$ 对偶复合，并据此统一证明大批加权双 Hurwitz 数满足拓扑递归。
$b$-Hurwitz numbers from Whittaker vectors for $\mathcal{W}$-algebras
本文通过取$\mathcal{W}$-代数类型$A$的Whittaker向量的显式极限，得到带有有理权重的$b$-Hurwitz数，推广了之前关于单调情况及二次、三次多项式权重的结果，并提供了Whittaker向量与广义分支覆盖之间的解释。
Polynomiality of Hurwitz numbers, Bouchard-Mariño conjecture, and a new proof of the ELSV formula
本文给出了ELSV公式的一个新证明。首先，我们改进了Okounkov和Pandharipande的一个论点，以便在不使用ELSV公式的情况下证明Hurwitz数的（准）多项式性（这是在使用ELSV公式之前唯一的方法）。然后，利用这个多项式，我们给出了Bouchard-Mariño猜想的一个新的证明。然后，利用Givental群作用与矩阵模型的拓扑递归之间的对应关系，证明了Bouchard-Mariño猜想与ELSV公式（它是Eynard的一个论证的改进）的等价性.
On some hyperelliptic Hurwitz-Hodge integrals
本文针对超椭圆轨迹上的 Hurwitz-Hodge 单后裔积分，利用自旋结构 Chern 类与 Eynard-Orantin 拓扑递归关系，给出其为 Stirling 数的简洁新证明，并指出三类推广方向。
On discrete surfaces: Enumerative geometry, matrix models and universality classes via topological recursion
在这篇论文中考虑的主要对象被称为地图，一类嵌入在表面上的图。我们的问题有一个强大的相对较新的工具，共同的，所谓的拓扑递归（TR）介绍了契诃夫，Eynard和Orantin。我们称一个地图完全简单，如果它有非自相交的不相交的边界，和普通的，如果没有这样的限制。我们研究了完全简单的和普通的映射与磁盘或圆柱体的拓扑结构，再现的时刻和自由累积量的自由概率的上下文中建立的关系之间的组合关系。我们提出了一个组合的解释TR的交换辛变换。通过外场作用下的形式厄米矩阵模型，给出了完全简单映射的矩阵模型解释，并推导出了完全简单映射的生成序列与普通映射的生成序列之间的普遍关系，其中包含了双单调Hurwitz数.特别地，我们得到了双$2$ -orbifold严格单调Hurwitz数的一个ELSV公式.我们认为普通的地图赋予了一个$O(\mathsf{n})$循环模型，这是一个经典的模型在统计物理学，并确定哪些形状更有可能发生的嵌套属性的循环装饰的地图。我们想研究当顶点数变得任意大时的极限对象，这可以通过研究在主导奇点处的生成级数来完成。我们分析了嵌套统计的随机地图上的任意拓扑结构的存在下，大小边界的$O(\mathsf{n})$循环模型，依赖于以前的结果，磁盘和圆柱体和TR为这个模型。我们研究了实现固定嵌套图的映射的生成序列，并刻画了它们在稠密相和稀疏相的临界行为。
Les Houches lecture notes on topological recursion
本讲座笔记旨在为拓扑递归提供一个基础介绍，帮助理解其在多个理论物理领域中的应用和核心概念。
Spectral curves for hypergeometric Hurwitz numbers
我们考虑多矩阵模型，它是复投影线在$n$不动点$z_i$，$i=1,\dots,n$（广义Grotendieck's dessins d'enfants）上分支的分支覆盖数的生成函数，这些不动点具有固定的亏格、度和在两点$z_1$和$z_n$的分支轮廓.其他$n-2$点的分支输入$z_2$处的轮廓长度和其余$n-3$点处的轮廓总长度之和。我们发现$n=5$模型的谱曲线使用上述生成函数表示为一个链的厄米特矩阵的最近邻相互作用的类型TR $M_iM_{i+1}^{-1}$的循环方程技术。所得到的谱曲线是代数的，并提供了所有必要的成分的拓扑递归过程中产生的所有属项的渐近展开我们的模型在$1/N^2$。我们讨论了我们的模型的辫子群对称性和所提出的方法的观点。
Taking limits in topological recursion
研究拓扑递归在谱曲线族中与极限相容的条件，通过分析全局拓扑递归的解析性，提供非退化曲线的奇点结构条件，并应用到谱曲线变形和Hurwitz数中。
Topological recursion for Kadomtsev-Petviashvili tau functions of hypergeometric type
本文研究超几何型 Kadomtsev-Petviashvili tau 函数的 n 点微分及其 ℏ² 形变，证明高阶圈方程并澄清 ℏ² 形变的作用，从而统一证明 Chekhov-Eynard-Orantin 拓扑递归及多数 ELSV 型公式。
$x-y$ duality in Topological Recursion for exponential variables via Quantum Dilogarithm
本文利用 Faddeev 量子二重对数修改 $n=1$ 部分，将拓扑递归的 $x-y$ 对偶公式从代数曲线推广到指数变量谱曲线，并应用于拓扑顶点曲线等 Gromov-Witten 不变量计算。
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