POD-Galerkin Model Order Reduction for Parametrized Time Dependent Linear Quadratic Optimal Control Problems in Saddle Point Formulation
本文将受偏微分方程约束的参数化时间依赖最优控制问题重构为鞍点形式，提出基于POD-Galerkin的时空降阶方法，并通过Graetz流和Stokes方程实验验证其高效性。
2020-05-06 cs.NA math.NA
POD-Galerkin Model Order Reduction for Parametrized Nonlinear Time Dependent Optimal Flow Control: an Application to Shallow Water Equations
本文提出使用 POD-Galerkin 降阶方法高效求解由浅水方程支配的参数化非线性时变最优控制问题，数值实验表明该方法在保持准确性的同时显著加快了求解速度。
2021-10-10 cs.NA math.NA
Model order reduction for parametrized nonlinear hyperbolic problems as an application to Uncertainty Quantification
Institut für Mathematik（数学研究所）
本文研究了双曲守恒律的降阶建模技术，用于不确定性量化，并结合蒙特卡洛采样方法，采用POD-EIM-Greedy算法处理非线性问题，并提出误差指标作为高保真解与降阶解差的上界。
2018-08-09 cs.NA math.NA
Residual Based Sampling in POD Model Order Reduction of Drift-Diffusion Equations in Parametrized Electrical Networks
University of Hamburg（汉堡大学）
针对参数化电网络中的漂移-扩散方程，采用混合有限元空间离散和POD模型降阶，并通过残差基采样实现自适应降阶，数值验证了二极管网络中的降阶效果。
2010-03-02 cs.NA math.NA
Hyper-reduction for parametrized transport dominated problems via online-adaptive reduced meshes
提出了一种有效的残差最小化技术用于参数化双曲型偏微分方程的非线性模型降阶。我们的非线性逼近空间是在移位空间域上评估的快照的跨度，并且我们通过残差最小化来计算我们的简化逼近。为了加速残差最小化，我们计算并最小化残差的网格（最好是小的）子集，所谓的减少网格。由于我们的近似空间的非线性，我们表明，类似的解决方案，残留也表现出运输型行为。为了解释这种行为，我们引入在线自适应减少网格的“移动”它沿空间域与参数相关的位移。我们还提出了一个扩展我们的方法，空间变换不同的移位。数值实验表明，我们的方法的有效性和非自适应减少网格造成的不准确性。
2021-01-20 cs.NA math.NA
Model order reduction of an ultraweak and optimally stable variational formulation for parametrized reactive transport problems
本文针对参数化对流-反应问题，基于超弱变分形式和对偶解对称重构提出了一种模型降阶方法，证明了指数收敛性并验证了其有效性。
2024-06-28 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Model Order Reduction of Geometrically Parametrized Stokes Equation
本文主要研究斯托克斯方程的几何参数化和降阶建模。我们讨论了参数化几何的概念及其在降阶建模技术中的应用。全阶模型是基于不连续Galerkin方法与内部惩罚制定。我们介绍了破碎的索伯列夫空间以及弱制定所需的仿射参数依赖。利用仿射参数依赖性将算子从固定域变换到参数依赖域。利用适当的正交分解得到降阶模型的函数基。利用Galerkin投影将线性系投影到约化空间上。在此过程中，离线-在线分解用于分离参数相关操作和参数无关操作。最后将该技术应用于障碍物测试问题，给出了数值结果，包括实验误差分析、特征值衰减和在线仿真时间的测量。关键词：间断伽辽金方法，Stokes流，几何参数化，本征正交分解
2020-06-25 cs.NA math.NA
Model Reduction For Parametrized Optimal Control Problems in Environmental Marine Sciences and Engineering
SISSA（的里雅斯特高等研究学院）；National Institute of Oceanography and Experimental Geophysics（海洋学与实验地球物理学国家研究所）
本文提出了一种降阶方法，用于解决由偏微分方程 governed 的参数化最优控制问题，应用于环境海洋科学与工程。通过引入一般的参数化线性二次最优控制问题及其最优系统的鞍点结构，提出了一种POD-Galerkin降阶方法，并在两个环境应用中测试了该方法：意大利特里este湾的污染物控制和大西洋海洋动态的准地转方程的解跟踪。
2018-04-06 cs.NA math.NA math.OC
Feedback control of parametrized PDEs via model order reduction and dynamic programming principle
PUC-Rio（天主教里约热内卢联邦大学）；University of Stuttgart（斯图加特大学）
本文研究了参数化偏微分方程的无限时间最优控制问题，通过动态规划方程实现反馈控制，但动态规划方程受维度灾难限制，因此采用参数化模型降阶技术构建低维子空间，结合新的基函数生成方法和参数划分技术，进一步提出基于统计信息的非均匀网格构造技术，通过数值例子验证方法的有效性。
2018-09-28 cs.NA math.NA math.OC
Projection based semi--implicit partitioned Reduced Basis Method for non parametrized and parametrized Fluid--Structure Interaction problems
提出一种基于半隐式耦合和投影方案的分区模型降阶方法，结合本征正交分解与Galerkin投影，用于求解不可压缩流体与二维线性弹性结构的非参数化及参数化流固耦合问题。
2022-11-03 cs.NA math.NA
MOR-T L : A Novel Model Order Reduction Method for Parametrized Problems with Application to Seismic Wave Propagation
本文提出一种基于 Taylor 多项式展开和 Fréchet 导数构建 ROM 基的新型模型降阶方法，通过多重右端项策略降低计算成本并提高参数更新精度，在二维波动问题中显著提升效率，适用于地震反演。
2025-03-27 cs.NA math.NA
Driving bifurcating parametrized nonlinear PDEs by optimal control strategies: application to Navier-Stokes equations with model order reduction
本研究提出一种非线性最优控制框架，通过改变解的轮廓和稳定性来驱动参数化偏微分方程的分岔解趋向期望分支，并将其应用于Navier-Stokes方程，同时利用降阶模型高效求解参数稳定性分析。
2022-05-02 cs.NA math.NA
Stabilized weighted reduced basis methods for parametrized advection dominated problems with random inputs
SISSA（的里雅斯特高等师范学院）
本文提出了一种稳定且高效的策略，用于解决具有随机输入的参数主导问题，结合了加权减缩基方法与稳定化减缩基方法，通过在RB方法的离线-在线结构中整合经典稳定化方法（SUPG），并引入一种选择性启用在线稳定化的减缩方法，从而在保持高保真解精度的同时显著降低计算成本，通过数值测试案例评估了所提出方法在稳态和非稳态热传递问题中的性能。
2018-11-02 cs.NA math.NA
A Modeling Framework for Efficient Reduced Order Simulations of Parametrized Lithium-Ion Battery Cells
在这方面的贡献，我们提出了一个新的建模和仿真框架参数化锂离子电池。本文首先从非平衡态热力学出发，导出了一个较一般的嵌入式电池单元的新的连续模型。为了有效地计算所得到的参数化非线性偏微分方程系统，采用了缩减基方法。缩减基方法是一种模型降阶技术，基于增量分层近似本征正交分解方法和经验算子插值。建模框架特别适合于调查和量化电池单元的退化影响。几个数值实验证明了建模框架的范围和效率。
2021-10-12 cs.NA math.NA
A posteriori error estimation and adaptive strategy for PGD model reduction applied to parametrized linear parabolic problems
ENS Cachan/CNRS/Université Paris-Saclay（巴黎高等师范学校卡尚分校/CNRS/巴黎萨克雷大学）；Université Paris-Est, Laboratoire Modélisation et Simulation Multi Echelle, MSME UMR 8208 CNRS（巴黎东大学，多尺度建模与模拟实验室，MSME UMR 8208 CNRS）
本文提出一种后验验证方法，用于控制参数化线性抛物问题中PGD降阶技术的误差，通过构造均衡场和误差分割实现自适应优化，提升近似精度。
2018-01-23 cs.NA math.NA physics.class-ph
Finite element based model order reduction for parametrized one-way coupled steady state linear thermomechanical problems
本文提出在有限元框架下，利用POD结合Galerkin投影与人工神经网络，对参数化单向耦合稳态线性热力学问题进行模型降阶，并通过工业案例验证了方法的计算效率与准确性。
2022-06-10 cs.NA math.NA
A Tree-Based Localized Reduced Basis Method for Parametrized Parabolic PDEs
University of Ottawa（渥太华大学）
提出基于层次二叉树参数域划分的局部化降基方法，结合POD-Greedy构造降基空间，推导等价后验误差估计器并用于模态数选择，数值实验验证了收敛性。
2026-09-30 cs.NA math.NA
Two-stage model reduction approaches for the efficient and certified solution of parametrized optimal control problems
针对参数化线性二次最优控制问题，提出结合系统动力学与最优终末时间伴随状态流形降基近似的两阶段降阶模型，推导后验误差估计器并证明可靠性，数值实验验证了模型精度与计算加速效果。
2024-08-28 cs.NA math.NA math.OC
Problem adapted Hierarchical Model Reduction for the Fokker-Planck equation
University of Muenster（明斯特大学）
本文提出了一种新的分层模型降维框架，通过截断基底展开降维，得到空间和时间的双曲方程组，采用问题依赖的基底模拟速度变量的解形貌。
2016-02-01 cs.NA math.NA
A weighted POD-reduction approach for parametrized PDE-constrained Optimal Control Problems with random inputs and applications to environmental sciences
本文针对随机输入下PDE约束的最优控制问题，提出基于加权POD的降阶模型，利用伴随方法证明适定性，指出聚合步骤可跳过以降低在线成本，并在环境科学场景中验证了有效性。
2021-10-19 cs.NA math.NA
Weighted reduced order methods for parametrized partial differential equations with random inputs
SISSA（的里雅斯特国际高等研究院）；New York University（纽约大学）；Universität Zürich（苏黎世大学）
本文提出了一种加权降阶方法，用于求解具有随机输入的参数偏微分方程，通过参数化形式提出高效的降阶模型，并利用随机假设定义合适的权重以驱动降阶过程。
2018-05-02 cs.NA math.NA
Model reduction by separation of variables: a comparison between Hierarchical Model reduction and Proper Generalized Decomposition
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Bordeaux（波尔多大学）；SISSA（的里雅斯特国际高等研究学院）
本文通过对比Hierarchical Model reduction和Proper Generalized Decomposition两种方法，在标准椭圆问题上展示变量分离在模型降维中的应用，从方法论和数值角度分析两者的优缺点。
2018-11-28 cs.NA math.NA
Deep-HyROMnet: A deep learning-based operator approximation for hyper-reduction of nonlinear parametrized PDEs
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
为了加速参数化微分问题的解决方案，多年来已经开发了降阶模型（ROM），包括基于投影的ROM，例如缩减基（RB）方法，基于深度学习的ROM以及通过机器学习方法获得的代理模型。由于其基于物理的结构，通过使用全阶模型（FOM）到线性低维子空间上的Galerkin投影来确保，RB方法产生满足手头物理问题的近似。然而，为了使ROM的组装独立于FOM维度，通常需要侵入性和昂贵的超简化阶段，例如离散经验插值方法（DEIM），从而使得这种策略对于以（高阶多项式或非多项式）非线性为特征的问题不太可行。为了克服这个瓶颈，我们提出了一种使用深度神经网络（DNN）学习非线性ROM算子的新策略。由此产生的由深度神经网络增强的超降阶模型，我们称之为Deep-HyROMnet，是一个基于物理的模型，仍然依赖于RB方法，但是一旦执行了Galerkin投影，就使用DNN架构来近似减少的残差向量和雅可比矩阵。非线性结构力学快速模拟的数值结果表明，Deep-HyROMnets比POD-Galerkin-DEIM ROM快几个数量级，保持相同的精度水平。
2022-02-05 cs.LG cs.NA math.NA
A graph convolutional autoencoder approach to model order reduction for parametrized PDEs
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本研究提出基于图卷积自编码器的非线性模型降阶框架GCA-ROM，非侵入式数据驱动，适配非结构网格，小数据下泛化性强，可高效评估各类参数化偏微分方程。
2023-11-07 cs.LG cs.NA math.NA
Data-Driven Learning of Reduced-order Dynamics for a Parametrized Shallow Water Equation
本文讨论了一种非侵入式数据驱动的模型降阶方法，学习参数化浅水方程的低维动力学模型。我们考虑非传统形式的浅水方程（NTSWE）。我们专注于以非侵入式的方式学习低维模型。这意味着，我们假设不能以任何形式访问NTSWE的离散形式。相反，我们有使用黑盒求解器获得的快照。因此，我们的目标是只从快照中学习降阶模型。准确地说，通过在低维子空间中求解适当的最小二乘最优化问题来学习降阶模型。此外，我们讨论了计算的挑战，特别是从最优化问题是病态的。此外，我们扩展了非侵入式模型降阶框架的参数的情况下，我们利用参数依赖的偏微分方程的水平。我们说明了所提出的非侵入性方法构建降阶模型NTSWE的效率，并将其与侵入性方法（适当的正交分解）进行比较。我们还讨论了两种模型在训练数据范围之外的预测能力。
2020-08-04 cs.NA math.NA
Spatio-temporal Latent Denoising Diffusion Probabilistic Models for Reduced-order Modeling of Parametrized Dynamical Systems
University of Twente（特温特大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）
提出一种基于潜空间去噪扩散概率模型的非侵入式降阶建模方法，生成参数化动力系统的时空解，在二维绕流问题上验证了准确性、泛化性和时间外推能力。
2026-09-17 cs.NA math.NA
Reduced basis approaches for parametrized bifurcation problems held by non-linear Von Kármán equations
本文基于降阶方法和谱分析，对含参数的Von Kármán板方程的屈曲现象进行了检测和分岔分析。计算复杂性-由于四阶导数项、非线性和参数依赖性-提供了一个有趣的基准，以测试在通过改变参数构造分叉图期间计算减少策略的重要性。为此目的，连同状态方程，我们也进行了分析的线性化本征值问题，使我们能够更好地了解附近的物理行为的歧点，在那里我们失去了唯一性的解决方案。
2019-06-22 cs.NA math.NA
Reduced order methods for parametrized non-linear and time dependent optimal flow control problems, towards applications in biomedical and environmental sciences
本文提出采用POD-Galerkin降阶方法求解偏微分方程控制的参数化非线性与时间依赖最优流动控制问题，以显著降低计算开销，并在Stokes和Navier-Stokes方程的边界控制问题上验证了该方法的有效性。
2020-05-25 cs.NA math.NA
Advanced Modeling of Rectangular Waveguide Devices with Smooth Profiles by Hierarchical Model Reduction
本文提出了一种分析矩形波导中平滑渐变渐变锥形、过渡区和滤波器的新方法。有了这个目标，我们应用分层模型（HiMod）减少矢量亥姆霍兹方程。我们利用一个合适的坐标变换，并先后，我们使用的波导模式作为HiMod扩展的基础。我们表明，准确的结果可以得到一个令人印象深刻的加速因子相比，标准的商业代码的基础上的三维有限元离散。
2023-02-01 cs.NA math.NA
Approximation of skewed interfaces with tensor-based model reduction procedures: application to the reduced basis hierarchical model reduction approach
在这篇文章中，我们介绍了一个程序，它允许恢复潜在的非常好的近似性能的张量为基础的模型简化程序的解决方案的偏微分方程中存在的接口或强梯度的解决方案是倾斜的坐标轴。两个关键思想是通过求解低维偏微分方程或使用数据函数来确定界面的位置，以及随后通过选择确定的界面作为提升函数来去除解的界面。狄利克雷边界条件。我们在线性椭圆型方程的数值实验和减少的基础层次模型降阶方法，所提出的程序定位接口以及产生显着改善的收敛行为，即使在我们只考虑一个近似的接口的情况下。
2016-05-27 cs.NA math.NA
Reduced Order Isogeometric Analysis Approach for PDEs in Parametrized Domains
在这方面的贡献，我们耦合到降阶建模技术，以提供一个计算有效解的参数域的等几何分析。具体而言，我们采用自由变形方法来获得域的参数化形式，并采用适当的正交分解和插值来减少模型的计算量。该技术通过组合多个解决方案来提供任何参数的实时解决方案，在这种情况下，使用对域的不同几何配置的等几何分析来计算，适当地映射到参考配置。我们强调，这种降阶模型只需要全阶的解决方案，使这种方法的非侵入性。在这项工作中，我们提出了这种方法的应用结果的热传导问题内的变形收集管。
2020-06-19 cs.NA math.NA
Non-intrusive data-driven reduced-order modeling for time-dependent parametrized problems
本文提出一种纯数据驱动的非侵入式降阶建模方法，利用卷积自编码器降维和高阶动态模式分解建模潜在空间轨迹，结合插值技术，快速准确预测时间相关参数化问题（含输运主导问题）的新解。
2023-03-06 cs.NA math.NA
Hierarchical model reduction of nonlinear partial differential equations based on the adaptive empirical projection method and reduced basis techniques
Institute for Applied Mathematics, University of Münster（明斯特大学应用数学研究所）
本文提出基于降阶技术的分层降维框架，通过自适应经验投影法对非线性偏微分方程进行降维，结合降阶基函数和正交基函数构建降阶空间，实现高效求解。
2016-01-12 cs.NA math.NA
Optimal piecewise linear data compression for solutions of parametrized partial differential equations
在过去的二十年里，模型降阶已经得到了广泛的研究。基于投影的方法，如适当的正交分解和减少的基础方法享有的重要优势的Galerkin方法的推导减少的问题，但限于线性数据压缩，减少的解决方案是寻求作为一个线性组合的空间模式。非线性数据压缩必须使用时，解决方案的流形不是嵌入在一个低维子空间。早期的方法涉及分段线性数据压缩，通过构建一个字典的降阶模型定制的解决方案流形的分区。在这项工作中，我们介绍了最佳分区的概念的解决方案流形的归一化Kolmogorov宽度，并证明了最佳分区可以找到一个基于代表的聚类算法使用正弦相异性措施的解决方案流形。
2021-08-27 cs.NA math.NA
A reduced-order model for parametrized Optimal Transport problems
CERMICS, CNRS, ENPC, Institut Polytechnique de Paris（法国国立路桥学校）；Inria Saclay（法国国家信息与自动化研究所）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；Laboratoire de mathématiques d’Orsay（奥赛数学实验室）；Institut Universitaire de France (IUF)（法国高等研究院）
本文提出一种降维模型，通过在高保真模型的 primal 和 dual 版本中加入非负子锥约束，解决参数化最优传输问题，采用后验误差估计和 EIM 方法验证有效性。
2026-04-10 cs.NA math.NA math.OC
A POD-selective inverse distance weighting method for fast parametrized shape morphing
SISSA（的里雅斯特高等研究学院）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）
本文提出了一种基于几何准则选择控制点的改进反距离加权方法，并结合降维技术以减少计算成本，用于高效参数化形状变形。
2018-11-02 cs.NA math.NA
High-order empirical interpolation methods for real time solution of parametrized nonlinear PDEs
本文提出结合降阶基空间、Galerkin投影和高阶经验插值的模型降阶方法，通过高阶偏导数构造基函数与插值点，并开发后验误差估计与贪婪采样策略，实现参数化非线性PDEs的高效实时求解。
2024-10-02 cs.NA math.AP math.NA
POD-DL-ROM: enhancing deep learning-based reduced order models for nonlinear parametrized PDEs by proper orthogonal decomposition
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
最近已经提出了基于深度学习的降阶模型（DL-ROM），以克服传统降阶模型（ROM）所共有的共同限制，例如，通过适当的正交分解（POD）-当应用于非线性时间依赖的参数化偏微分方程（PDE）。这些可能与（i）需要处理到高维线性近似试验流形上的投影，（ii）昂贵的超约简策略，或（iii）用模式的线性叠加处理物理复杂性的内在困难有关。当采用DL-ROM时，避免了所有这些方面，DL-ROM通过依赖于深度（例如，前馈、卷积、自动编码器）神经网络。虽然在测试时非常有效，但在评估任何新测试参数实例的PDE解决方案时，DL-ROM需要昂贵的训练阶段，因为要估计的网络参数数量非常大。在本文中，我们提出了一种可能的方法来避免DL-ROM的昂贵的训练阶段，通过（i）通过POD执行先验降维，以及（ii）依赖于多保真度预训练阶段，其中可以有效地组合不同的物理模型。所提出的POD-DL-ROM在几个（标量和矢量，线性和非线性）时间相关参数化PDE（例如，线性对流-扩散-反应、非线性扩散-反应、非线性弹性动力学和Navier-斯托克斯方程），以显示该方法的通用性及其显著的计算节省。
2021-01-28 cs.LG cs.NA math.NA
A Reduced Order Approach for the Embedded Shifted Boundary FEM and a Heat Exchange System on Parametrized Geometries
SISSA, International School for Advanced Studies（国际高等研究院）；Duke University（杜克大学）
本文提出了一种结合降阶模型的嵌入边界有限元方法，用于解决参数化热传导问题，通过精细的背景网格处理参数化几何，并利用移位边界方法避免切割单元，从而提高计算效率和稳定性。
2018-12-17 cs.NA math.NA
Hierarchical model reduction driven by machine learning for parametric advection-diffusion-reaction problems in the presence of noisy data
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）
我们提出了一种新的方法来产生一个可靠的降阶模型的参数椭圆问题，在存在噪声的数据。参考模型降阶过程是定向HiPOD方法，该方法根据离线/在线范例将分层模型降阶与标准本征正交分解相结合。在本文中，我们表明，定向HiPOD损失的准确性时，问题数据受到噪声的影响。这是由于插值驱动在线阶段，因为它复制了噪声趋势。为了克服这一限制，我们用机器学习拟合模型代替插值，更好地区分数据中的相关物理特征和不相关的非结构化噪声。数值评估虽然是初步的，但证实了新方法的潜力。
2022-04-01 cs.LG cs.NA math.NA
Space-time reduced basis methods for parametrized unsteady Stokes equations
本文研究参数化非定常 Stokes 方程的时空降阶方法，提出 ST-GRB 和 ST-PGRB 两种方法，在保证稳定性的同时显著降低计算成本，ST-PGRB 表现最佳。
2023-10-25 cs.NA math.NA
Long-time prediction of nonlinear parametrized dynamical systems by deep learning-based reduced order models
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
最近已经提出了基于深度学习的降阶模型（DL-ROM），以克服传统ROM所共有的共同限制，例如，专门通过适当的正交分解（POD）-当应用于非线性时间相关的参数化偏微分方程。特别是，POD-DL-ROM可以在训练阶段实现极高的效率，并且在测试时比实时性能更快，这要归功于通过POD和基于DL的预测框架进行的先验降维。尽管如此，它们与常规ROM共享关于时间外推任务的差性能。这项工作旨在通过引入$μt$ -POD-LSTM-ROM框架，进一步使用DL算法对参数化偏微分方程进行有效的数值逼近。这种新技术通过利用长短期记忆（LSTM）单元添加双重架构来扩展POD-DL-ROM框架，最终允许对复杂系统的演化进行长期预测，相对于训练窗口，对于看不见的输入参数值。数值结果表明，这种递归架构使外推的时间窗口比训练时域大15倍，并实现了更好的测试时间性能，相对于已经闪电般快速的POD-DL-ROM。
2022-01-25 cs.LG cs.NA math.NA
Error estimates for POD-DL-ROMs: a deep learning framework for reduced order modeling of nonlinear parametrized PDEs enhanced by proper orthogonal decomposition
本文对 POD-DL-ROMs 进行误差分析，揭示采样、POD 维度和神经网络复杂度对精度的影响，推导实用误差估计，并从理论上证明其在模型复杂度上优于其他深度学习方法，最后通过数值实验验证。
2023-05-08 cs.NA math.NA
POD-Galerkin reduced-order modeling with adaptive finite element snapshots
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文提出一种基于自适应有限元快照的POD-伽辽金降阶建模方法，解决不同有限元空间快照的计算与理论问题，并分析其对线性椭圆边界值问题误差评估的影响。
2016-08-22 cs.NA math.NA
Isogeometric Hierarchical Model Reduction for advection-diffusion process simulation in microchannels
本文针对S形微通道中被动标量输运模拟，验证了分层模型降阶（HiMod）方法的可靠性，该方法将三维问题转化为一维耦合问题，在未知数大幅减少的同时保持了与高保真模型相当的精度。
2022-05-17 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Non intrusive reduced order modeling of parametrized PDEs by kernel POD and neural networks
我们提出了一个非线性减少基方法的有效逼近参数化偏微分方程（PDE），利用核适当的正交分解（KPOD）的降阶空间和神经网络的降阶近似的评估。特别是，我们使用KPOD代替更经典的POD，对手头问题的一组高保真解决方案提取一个简化的基础。这种方法提供了一个更准确的近似的快照的集合，具有较低的维度，同时保持相同的效率，POD。神经网络（NN），然后使用以下的监督学习范式，找到减少的基础上的系数，并示出是有效的学习时间/参数值和高保真快照到减少的空间上的投影之间的映射。在这个神经网络中，隐藏层的数量和神经元的数量都根据手头的微分问题的内在维度和减少的空间的大小而变化。这种自适应构建的神经网络在学习和测试阶段都取得了良好的性能。我们的方法，然后测试两个基准问题，一维波动方程和二维非线性盖驱动腔问题。最后，我们建议KPOD-NN技术与POD-NN策略进行比较，表明KPOD允许减少必须保留的模式的数量，以达到给定的精度在减少的基础近似。因此，与POD-NN策略中使用的NN相比，为找到KPOD展开的系数而构建的NN更小、更容易并且对训练的计算要求更低。
2021-03-31 cs.NA math.NA
Model Reduction by Rational Interpolation
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文综述了插值模型降阶方法，涵盖基本原理到近期发展，包括加权降阶和基于广义互质表示的结构保持方法，并通过数值例子支持讨论。
2014-09-07 cs.NA cs.SY eess.SY
Depth separation for reduced deep networks in nonlinear model reduction: Distilling shock waves in nonlinear hyperbolic problems
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
经典的降阶模型是一种使用固定基的低秩近似，旨在实现大规模系统的降维。在这项工作中，我们引入了简化的深度网络，这是经典降阶模型的推广，被公式化为深度神经网络。我们证明深度分离的结果表明，减少深网络近似解的参数化双曲型偏微分方程的近似误差$ε$与$\mathcal{O}(|\log(ε)|)$自由度，即使在非线性设置的解决方案表现出冲击波。我们还表明，经典的降阶模型实现指数差的逼近率，通过建立相关的Kolmogorov $N$ -宽度的下界。
2020-07-28 cs.LG cs.NA math.NA
Randomized residual-based error estimators for parametrized equations
University of Twente（特温特大学）；Univ. Grenoble Alpes, Inria, CNRS, Grenoble INP, LJK（格勒诺布尔阿尔卑斯大学、法国国家信息与自动化研究所、法国国家科学研究中心、格勒诺布尔国立理工学院）；Department of Mechanical Engineering, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院机械工程系）
本文提出了一种随机后验误差估计器，用于参数化（偏）微分方程的降阶近似。该估计器具有接近单位的有效性，具有指定高概率下的下界和上界；不需要计算稳定性（协方差性，或inf-sup）常数；在线计算后验误差估计器的成本与寻找降阶近似解的成本相当；概率界可扩展到多个查询，仅需适度增加成本。通过蒙特卡洛估计器使用高斯随机向量估计误差范数，然后引入随机右端的对偶问题，其解允许将误差估计器表示为原方程残差。为了快速评估估计器，可以使用模型降阶方法近似随机对偶解。本文提出了一种贪心算法，由依赖于误差估计器的标量量度引导。多参数亥姆霍兹问题的数值实验表明，该策略产生较低维的降阶对偶空间。
2018-12-23 cs.NA math.NA
A Reduced Basis approach for PDEs on parametrized geometries based on the Shifted Boundary Finite Element Method and application to a Stokes Flow
SISSA, International School for Advanced Studies（国际高等研究院）；Duke University（杜克大学）
本文提出一种将移位边界法与POD-伽辽金策略结合的模型降阶技术，用于高效解决复杂参数化域的PDE问题，通过引入近似替代边界避免重 meshing 和切割单元的繁琐处理，同时通过POD-伽辽金方法进一步降低计算成本，提升降阶基的稳定性和性能。
2019-01-10 cs.NA math.NA
Data-Driven Model Order Reduction for Problems with Parameter-Dependent Jump-Discontinuities
针对具有参数依赖跳跃不连续性的参数化偏微分方程，提出了一种数据驱动的模型降阶（MOR）方法。这样的问题在线性空间中具有差的可逼近性，因此对于标准MOR技术是具有挑战性的。我们建立在通过回归近似参数域和缩减基的扩展系数之间的映射的方法上。在线阶段查询回归模型的展开系数，并恢复解的简化近似。我们建议将这种技术应用到一个变换的解决方案，结果组成的解决方案与空间变换。与（未变换的）解不同，它沿参数域是充分正则的，因此在低维线性空间中是很好的逼近。为了恢复（未变换的）解决方案的近似，我们提出了一种在线的有效的基于回归的技术，近似逆空间变换。我们的方法具有解耦的在线和离线阶段，和基准问题，包括双曲和抛物型方程证明了其有效性。
2021-05-02 cs.NA math.NA
Rank-adaptive structure-preserving model order reduction of Hamiltonian systems
针对有限维参数化哈密顿系统的非耗散现象，提出了一种自适应保结构模型降阶方法.为了克服缓慢衰减的Kolmogorov宽度典型的运输问题，完整的模型近似的本地减少空间，适应在时间上使用动态低秩近似技术。约化动力学通过将切空间中的哈密顿向量场的辛投影近似到局部约化空间来描述。这确保了在约化过程中保持哈密顿动力学的正则辛结构。此外，精确的近似与低秩约化的解决方案，通过允许减少空间的尺寸在时间演化过程中的变化。每当减少的解决方案的质量，通过误差指标评估，是不令人满意的，减少的基础上增加的参数方向是最差的近似由当前的基础。涉及波的相互作用，非线性输运问题，和Vlasov方程的广泛的数值试验表明，优越的稳定性和相当大的运行时加速所提出的方法相比，全球和传统的减少基础的方法。
2022-02-01 cs.NA math.NA
Adaptive model reduction of high-order solutions of compressible flows via optimal transport
提出基于最优传输的r-自适应网格方法，结合高阶离散与非侵入式降阶，构建可压缩流高阶解的降阶模型，并在超声速/高超声速案例中验证。
2023-10-12 cs.NA math.NA
Manifold Approximations via Transported Subspaces: Model reduction for transport-dominated problems
本文提出了一种构造参数化非线性标量守恒律大系统的在线有效降阶模型的方法。由输运主导的问题（如双曲守恒律）引起的解流形通常表现出非线性结构，这意味着基于线性逼近的传统模型降阶法在应用于这些问题时是低效的。与此相反，在这项工作中引入的方法推导出减少近似，是非线性的，明确组成全球运输动力学与局部线性逼近的解决方案流形。一个时间步长的计划发展的非线性降阶模型，通过运输的局部近似空间沿特征曲线的控制方程。所提出的计算过程允许离线/在线分解，并且在精确地对非线性降阶模型进行时间步进的复杂性独立于完整模型的复杂性的意义上是在线高效的。通过非均匀介质和Burgers方程的输运数值实验表明，与传统的线性降阶模型和完整模型相比，基于输运子空间的非线性降阶模型的速度提高了几个数量级。
2020-12-31 cs.NA math.NA
