Frequently dense harmonic functions and universal martingales on trees

受约束传输的局部化 II：应用

Localisation for constrained transports II: applications

本文展示了格锥有序概率测度对受约束传输局部化的应用，包括无穷维鞅传输的不可约凸铺砌与Monge--Kantorovich问题局部化等，并刻画逼近鞅传输的极集，对Cox的问题给出否定回答。

鞅的最大$L^p$ -估计

Sharp maximal $L^p$-estimates for martingales

设$X$是从$0$出发的上鞅，它只有非负跳.对于每个$0<p<1$，我们确定最佳常数$c_p$，$C_p$和$\mathfrak{c}_p$，使$$ \,\,\,\,\sup_{t\geq 0}\left|\left|X_t\right|\right|_p\leq C_p\left|\left|-\inf_{t\geq 0}X_t\right|\right|_p,$$ $$ \,\,||\sup_{t\geq 0}X_t||_p\leq c_p\left|\left|-\inf_{t\geq 0}X_t\right|\right|_p$$和$$ ||\sup_{t\geq 0}|X_t|\;||_p\leq \mathfrak{c}_p\left|\left|-\inf_{t\geq 0}X_t\right|\right|_p.$$的估计被证明是尖锐的，如果$X$被假定为停止一维布朗运动。这些不等式是由特殊函数的存在性导出的，具有一定的控制性和凸性。指出了调和函数在欧氏域上的一些应用。

Generalized Harmonic Functions on Trees: Universality and Frequent Universality

Recently, harmonic functions and frequently universal harmonic functions on a tree $T$ have been studied, taking values on a separable Fréchet space $E$ over the field $\mathbb{C}$ or $\mathbb{R}$. In the present paper, we allow the functions to take values in a vector space $E$ over a rather general field $\mathbb{F}$. The metric of the separable topological vector space $E$ is translation invariant and instead of harmonic functions we can also study more general functions defined by linear combinations with coefficients in $\mathbb{F}$. Unlike the past literature, we don't assume that $E$ is…

Weighted square function estimates

The paper contains the proof of $L^p$-weighted norm inequalities for both, martingales square functions and the classical square functions in harmonic analysis of Littlewood-Paley and Lusin. Furthermore, the bounds are completely explicit and are optimal not only on the dependence of the characteristics of the weight but also on the dependance on $p$, as $p\to\infty$. The proof rests on Bellman function method: the estimates are deduced from the existence of an appropriate and rather complicated function of four variables.

Boundary representations of $λ$-harmonic and polyharmonic functions on trees

On a countable tree $T$, allowing vertices with infinite degree, we consider an arbitrary stochastic irreducible nearest neighbour transition operator $P$. We provide a boundary integral representation for general eigenfunctions of $P$ with eigenvalue $λ\in \mathbb{C}$. This is possible whenever $λ$ is in the resolvent set of $P$ as a self-adjoint operator on a suitable $\ell^2$-space and the on-diagonal elements of the resolvent ("Green function") do not vanish at $λ$. We show that when $P$ is invariant under a transitive (not necessarily fixed-point-free) group action, the latter condition h…

关于平方函数的极值不等式及与群度量测度空间相关的定量平均遍历定理

Maximal inequalities for square functions and quantitative mean ergodic theorems associated to group metric measure spaces

本文研究了群度量测度空间中非交换平方函数的极值不等式，并通过这些不等式证明了与群结构相关的定量平均遍历定理。

一般测度空间和零维阿贝尔群上的结合方案

Association schemes on general measure spaces and zero-dimensional Abelian groups

结合方案形成了代数组合学的主要对象之一，经典地定义在有限集合上。在本文中，我们定义了任意的，可能不可数的集合上的结合计划的措施。研究了概型邻接代数的算子实现，并得到了这些代数的简单性质。为了发展一个理论的一般协会计划，我们专注于计划的拓扑阿贝尔群，我们可以采用对偶理论和机械的调和分析。我们构造的翻译协会计划，这样的群体使用的语言谱对偶分区。这样的划分是自然产生的拓扑零维阿贝尔群，例如，康托型群或群的p-adic数。这使我们能够构造大类的对偶对零维群的结合计划关于其Haar测度，并计算其特征值和相交数。我们还推导出无限度量方案的性质，将它们与非阿基米德度量的性质联系起来。追求零维群和调和分析的计划之间的联系，我们表明，特征值有一个自然的解释，在Littlewood-Paley小波基，并在（等价）语言的鞅理论。对于本文构造的一类非度量格式，其特征值与零维群上正交函数的值一致。我们观察到，这些功能，我们称之为Haar-样基地，具有小波的性质，包括在某些特殊情况下的自相似性。这在代数组合学和调和分析之间建立了一个看似新的联系。我们通过研究与结合方案理论相关的经典编码理论的一些类似问题来总结本文。

正定函数的延拓：应用及其调和分析

Extensions of Positive Definite Functions: Applications and Their Harmonic Analysis

本文研究了两类扩张问题及其相互关系：（i）正定（p. d.）定义在局部紧群$G$中的子集上的连续函数;（ii）在李群的情况下，由作用在再生核希尔伯特空间（RKHS）$\mathscr{H}_{F}$中的无界斜厄米特算子表示相关的李代数$La\left(G\right)$。为什么要扩展？在科学中，实验者经常在观测数据有限的情况下收集光谱数据，例如受到仪器精度的限制;或者由于各种其他限制性外部因素。考虑到这一生活事实，从有限或有限的数据中得出可靠的结论既是一门艺术，也是一门科学。在一般意义上，我们的专着涉及数学扩展一些这样的部分数据集从实验中获得。更具体地说，我们关心的问题，扩展可用的部分信息，例如，从采样。在我们的例子中，有限的信息是一个限制，而扩张又是完全正定函数（在对偶变量中）;因此，如果扩张是完全可用的，那么它将是反映数据的精确概率分布的处处定义的生成函数。这种局部信息的扩展（以正定函数的形式）将反过来为我们提供光谱信息。在这种形式下，问题变成了算子扩张问题，涉及到合适的再生核希尔伯特空间（RKHS）中的算子。在我们的介绍中，我们强调了实践的例子。扩张几乎从来都不是唯一的，所以我们既要处理存在性问题，也要处理如果存在扩张，它们如何与初始完备化问题联系起来。