Dynamical characterization of initial segments of the Markov and Lagrange spectra
我们证明了，对于每一个$k\ge 4$，集合$M(k)$和$L(k)$，这是马尔可夫和拉格朗日动力学谱有关的保守的马蹄形和相关的连分数与系数有界的$k$与经典的马尔可夫和拉格朗日谱与$(-\infty, \sqrt{k^2+4k}]$的交叉点重合。我们还观察到，尽管相应的陈述对于$k = 2$也是真的，但对于$k = 3$是假的。
2020-10-29 math.DS math.NT
The Lagrange and Markov spectra from the dynamical point of view
这篇文章是我在2016年10月17日和19日在研究学校“遍历论在数论中的应用“中发表的4小时迷你课程的课堂笔记-与Mariusz Lemaitczyk和Sébastien Ferenczi的Jean-Molet椅子项目有关的活动-在CIRM实现，马赛，法国。本文的主题与我的微型课程相同，即所谓的拉格朗日和马尔可夫谱的结构（特别强调C。G. Moreira）。
2017-03-06 math.DS
Phase Transitions on the Markov and Lagrange Dynamical Spectra
马尔可夫和拉格朗日动力学谱，介绍了莫雷拉和共享几个几何和拓扑方面的经典。然而，与双曲集相关的一般动力学谱的一些特征可以在动力学情形下得到证明，而我们不知道它们在经典情形下是否成立。它们可以是关于经典谱的自然描述的一个很好的来源：人们很自然地猜想，与双曲映射相关的一般动力学谱的某些性质也适用于经典的马尔可夫谱和拉格朗日谱。本文证明了，对于与马蹄铁相关的一般动力学谱，存在一个跃迁点α，使得对于任何$δ> 0$，谱与$(a-δ; a)$的交集是一个具有小于1的豪斯多夫维数的Cantor集的可数并，而谱与$(a; a + δ)$的交集具有非空内部.这对于经典的马尔可夫谱和拉格朗日谱仍然是开放的。
2019-10-08 math.DS
On the graph of the dimension function of the Lagrange and Markov spectra
CNRS & École Polytechnique（法国国家科学研究中心与巴黎综合理工学院）；CNPq, FAPERJ, and INCTMAT project of J. Palis（巴西国家科学技术发展委员会、里约热内卢州研究资助基金会及J·帕里斯INCTMAT项目）；EPSRC grant EP/T001674/1（英国工程与物理科学研究委员会EP/T001674/1号基金）；School of Mathematical Sciences, Nankai University（南开大学数学科学学院）；IMPA（巴西纯粹与应用数学研究所）；Department of Mathematics, University of Surrey（萨里大学数学系）
本文研究了维度函数d(t)的图形，通过动态Cantor集的Hausdorff维度变化确定了十二个非平凡平台，并利用数值方法近似了这些平台之间的d(t)图形，证明了最大的十个非平凡平台长度超过0.005。
2026-04-23 math.DS math.NT
Continuity of Hausdorff dimension across generic dynamical Lagrange and Markov spectra
设$φ_0$是紧致曲面$M$的保面积光滑同态，$Λ_0$是$φ_0$的马蹄形，且豪斯多夫维数严格小于1.给定一个光滑函数$f:M\to \mathbb{R}$和$φ_0$的一个小的保面积光滑扰动$φ$，分别设$L_{φ, f}$和$φ_0$的一个小的保面积光滑扰动$φ$. $M_{φ, f}$分别是拉格朗日方程。马尔可夫谱的渐近最高，分别。$f$沿$φ$的最高值-通过$Λ_0$的双曲延拓获得的马蹄形$Λ$中的点的轨道。我们发现，对于$φ$和$f$的泛型选择，集合$L_{φ, f}\cap (-\infty, t)$的豪斯多夫维数随$t\in\mathbb{R}$连续变化，而且对于所有$t\in\mathbb{R}$，$M_{φ, f}\cap (-\infty, t)$具有与$L_{φ, f}\cap (-\infty, t)$相同的豪斯多夫维数。
2018-04-11 math.DS
Hausdorff dimension of Gauss--Cantor sets and two applications to classical Lagrange and Markov spectra
本文研究了实数直线的两个著名子集，即Lagrange谱$L$和Markov谱$M$ .我们的第一个结果，定理2.1，提供了对最小值$t_1$的严格估计，使得马尔可夫谱$(-\infty,t_1)\cap M$的部分具有豪斯多夫维数$1$。我们的第二个结果定理3.1给出了集差$M\setminus L$的豪斯多夫维数的一个新的上界。我们的方法结合了新的事实结构的经典谱与更精细的估计的豪斯多夫维数的高斯-康托集的连分数扩展，其条目满足适当的限制。
2022-08-30 math.DS math.NT
Continuity of fractal dimensions in conservative generic Markov and Lagrange dynamical spectra
SUSTech International Center for Mathematics（南方科技大学国际数学中心）；IMPA（巴西国家纯数学与应用数学研究所）
本文研究了保守泛动力学谱中分形维度的连续性，证明了在泛泛选择下，拉格朗日谱和马尔可夫谱的豪斯多夫维数相等，并推广了Cerqueira-Matheus-Moreira定理。
2025-11-24 math.DS
Markov spectrum near Freiman's isolated points in $M\setminus L$
弗赖曼在1968年证明，拉格朗日和马尔可夫谱不符合展出可数无限收集$\mathcal{F}$孤立点的马尔可夫谱不属于拉格朗日谱。本文描述了包含$\mathcal{F}$的最大区间$(c_{\infty}, C_{\infty})$中马氏谱的元素的结构，避免了拉格朗日谱。特别是，我们计算最小的已知元素$f$的$M\setminus L$，我们表明，豪斯多夫维数维数的部分之间的马尔可夫谱$c_{\infty}$和$C_{\infty}$是$> 0.2628$。
2018-07-10 math.DS math.NT
Continuity of Hausdorff Dimension Across Generic Dynamical Lagrange and Markov Spectra II
设$g_0$是完备曲面$N$上的光滑捏负曲黎曼度量，$Λ_0$是$g_0$的测地流的基本双曲集，其豪斯多夫维数严格小于2.给定$g_0$的小光滑扰动$g$和$N$关于$g$的单位切丛上的光滑实值函数$f$，分别设$L_{g,Λ,f}$，$M_{g,Λ,f}$分别是拉格朗日方程。马尔可夫谱的渐近最高，分别。在$Λ_0$的双曲延拓$Λ$中，$f$沿测地线的最高值。我们证明了，对于$g$和$f$的泛型选择，集合$L_{g,Λ, f}\cap (-\infty, t)$的豪斯多夫维数随$t\in\mathbb{R}$连续变化，而且，对于所有$t\in\mathbb{R}$，$M_{g,Λ, f}\cap (-\infty, t)$具有与$L_{g,Λ, f}\cap (-\infty, t)$相同的豪斯多夫维数。
2017-11-10 math.DG math.DS
On the classical Lagrange and Markov spectra: new results on the local dimension and the geometry of the difference set
本文研究经典 Lagrange 谱与 Markov 谱的局部 Hausdorff 维数及差集几何，构造使局部维数非递减的区间，刻画两谱局部维数，并给出差集最大已知元素与两个新最大间隙。
2025-05-13 math.DS math.NT
Hausdorff dimension estimates applied to Lagrange and Markov spectra, Zaremba theory, and limit sets of Fuchsian groups
本文给出了一种简单实用的方法，用以确定某些一维Markov迭代函数格式极限集的豪斯多夫维数的严格界。一般的问题已经引起了相当大的注意，但我们特别关心的作用，价值的豪斯多夫维数的解决方案和问题，在其他领域的红色的数学。作为我们的第一个应用程序，我们确认，并经常加强，在丢番图分析，这出现在工作的Matheus和Moreira arXiv：1803.01230拉格朗日谱和马尔可夫谱的差异说明。作为第二个应用程序，我们（重新）验证和改进与数论中的扎伦巴猜想有关的估计，这些估计用于Bourgain-Kontorovich arXiv：1107.3776 v2，Huang arXiv：1310.3772 v4和Kan arXiv：1604.04884的工作。作为第三个更多的几何应用，我们严格约束的无限大面积表面的拉普拉斯算子的频谱的底部，如麦克马伦研究的一个例子所示。在所有估计极限集维数的方法中，都存在关于算法效率、所需计算量和边界的严格性的问题。我们使用的方法具有简单高效的优点，我们在第3节中以一种易于实现的方式介绍了它。
2022-01-17 math.DS math.NT
Hausdorff dimension of some subsets of the Lagrange and Markov spectra near $3$
本文研究了接近 $3$ 的经典 Lagrange 和 Markov 谱子集的 Hausdorff 维数，构造了递减序列以分析特定子集的维数性质，并给出了 $\mathcal{M}\setminus\mathcal{L}$ 的 Hausdorff 维数上界估计。
2025-04-28 math.DS
Concentration of dimension in extremal points of left-half lines in the Lagrange spectrum
本文证明在马尔可夫谱与拉格朗日谱内部闭包中，丢番图逼近常数不超过η与恰好等于η的无理数集合具有相同豪斯多夫维数，且该维数随η在谱内部严格递增。
2024-03-27 math.DS
The Markoff and Lagrange spectra on the Hecke group H4
Dongguk University - Seoul（东国大学首尔校区）；Samsung Advanced Institute of Technology（三星先进技术研究所）
本文研究Hecke群H4上的Markoff谱和Lagrange谱，发现其在第一个积累点后具有正Hausdorff维数，并确定了谱中的间隙及Hall射的界。
2026-02-11 math.DS math.NT
Lagrange Spectra in Teichmüller Dynamics via renormalization
本文引入SL（2，R）在平移曲面的模空间上作用的闭不变轨迹的Lagrange谱，推广了经典的Lagrange谱，并利用重整化技术对它们进行了分析.根据Rauzy-Veech归纳法建立了这类谱的值的计算公式，并证明了任何不变轨迹都有闭合的Lagrange谱，且对应于伪Anosov元的值是稠密的.此外，我们表明，拉格朗日谱算术Teichmüller光盘包含霍尔射线，通过第二个公式，它使用经典的连分数算法给出了明确的限制。此外，我们证明了有界Teichmüller测地线和有界型区间交换变换的几种定义的等价性，并证明了Rauzy-Veech归纳法中关于模空间到边界的偏移的正矩阵范数的定量估计.
2013-07-01 math.DS math.NT
Fractal dimensions of the Markov and Lagrange spectra near $3$
该研究针对3附近拉格朗日谱与马尔可夫谱的半直线交集豪斯多夫维数$d(3+\varepsilon)$，给出含Lambert函数的渐近近似式，并证明该近似在$C^2$函数逼近意义下的最优性。
2023-11-05 math.DS math.NT
Persistent Hall rays for Lagrange spectra at cusps of Riemann surfaces
研究了有限面积黎曼曲面尖点的Lagrange谱。这些谱是描述测地线在尖点处的渐近穿透深度的穿透谱。他们的研究是特别动机的丢番图逼近的富克斯群。在经典的情况下，模块化的表面和经典的丢番图逼近，霍尔证明了在1947年，经典的拉格朗日谱包含一个半线，被称为霍尔射线。我们把这个结果推广到了富克斯群上的尖点Riemann曲面和丢番图逼近。人们可以测量相对于自然高度函数或更一般地相对于任何适当函数的尖点的偏移。我们证明了存在一个霍尔射线的拉格朗日谱的任何非co-compact，有限covolume的富克斯群关于任何给定的尖点，无论是当渗透是由高度引起的虚部函数，以及由任何适当的功能接近它的Lipschitz规范。这表明霍尔射线在（Lipschitz）扰动下是稳定的。作为主要工具，我们使用Bowen和Series开发的边界展开来编码测地线并产生几何连分数样展开，并模仿Hall原始论证中的关键思想。一个关键因素的证明结果适当的职能是一个推广霍尔定理的总和康托集，我们认为这是小扰动的函数的Lipschitz规范的总和。
2017-10-05 math.DS math.NT
The Lagrange spectrum of a Veech surface has a Hall ray
研究了Veech平移曲面的Lagrange谱，它是经典Lagrange谱的推广。我们表明，任何这样的拉格朗日谱包含霍尔射线。作为一个主要工具，我们使用的边界展开开发的Bowen和系列编码测地线在相应的Teichmüller磁盘和证明一个公式，它允许表达大值的拉格朗日谱作为康托集的总和。
2015-11-06 math.DS math.NT
On the geometry of the second Lagrange spectra
IMPA（巴西国家数学研究所）；SUSTech International Center for Mathematics（南方科技大学国际数学中心）
研究第二拉格朗日谱的几何性质，证明其豪斯多夫维数函数的连续性与不连续性。
2026-02-09 math.DS math.NT
Lagrange approximation of transfer operators associated with holomorphic data
我们表明，全纯数据给出的转移算子的谱数据可以近似使用一个有效的数值方案的基础上拉格朗日插值。特别是，我们证明了对于满足某些复收缩性质的一维系统，逼近式的谱数据以指数速度收敛于转移算子的谱数据，其指数速度由底层系统各自的复收缩比确定。我们证明了该计划的有效性，数值计算所产生的转移算子的特征值的区间和圆映射，以及李雅普诺夫指数的（正）随机矩阵产品和迭代函数系统，从文献中的例子的基础上。
2020-04-07 cs.NA math.DS math.NA
Existence of a Hall ray in higher dimensional Lagrange spectra
Cheung Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）；Department of Mathematics, University of Chicago（芝加哥大学数学系）；Qiuzhen College, Tsinghua University（清华大学邱成桐数学中心）
本文证明任意范数下二维 Lagrange 谱含 Hall 射线，结合 Kleinbock 结果，谱呈射线或射线前有稠密部分。
2026-09-22 math.DS math.NT math.SP
The Lagrange spectrum of some square-tiled surfaces
定义了平移曲面的模空间中在SL（2，R）作用下不变的闭子流形的Lagrange谱。我们考虑标准环面的一个特定的7次覆盖所生成的闭轨道，它是H（2）层的一个元素。我们给出了一个明确的公式，在频谱中的值，在一个上循环的经典连分数。从经典的情况下，模块化的表面，其中的拉格朗日谱的最低部分是离散的，我们发现一个孤立的最小值，和一个集与丰富的结构就在它上面。
2016-02-05 math.DS math.NT
On the Markoff spectrum on the Hecke group of index six
本文研究了索引六的海克群上在最小积累点之后的马尔科夫和拉格朗日谱，证明了其正的哈代维度并发现最大间隙和孤立点。
2026-01-22 math.DS math.NT
$HD(M\setminus L)<0.986927$
我们表明，补充$M\setminus L$的拉格朗日谱$L$在马尔可夫谱$M$的几个部分可以看作是康托集的算术和控制豪斯多夫维数的子集。特别地，我们证明了$M\setminus L$的豪斯多夫维数严格小于1.
2019-10-03 math.DS
Concentration of dimension in the Lagrange spectrum
针对紧致曲面的光滑保守微分同胚及其混合马蹄，定义了丢番图逼近最佳常数的推广形式，研究了其逆像维数相等的点集，并描述了动力拉格朗日谱的局部豪斯多夫维数，且对经典拉格朗日谱得到相同结果。
2024-11-25 math.DS math.NT
Markov spectra for modular billiards
我们介绍了一些类似的马尔可夫谱定义的模块台球，并考虑问题的特点，低于最低极限点的频谱的一部分。
2018-03-14 math.DS math.NT
Intrinsic Diophantine approximation on circles and spheres
本文提出统一框架，将六个圆和球面上的内蕴丢番图逼近的拉格朗日谱与实数域和复数域的谱关联，从而完整确定各谱的最小聚点及初始离散部分。
2023-08-31 math.DS math.NT
Mixed multifractal spectra of Birkhoff averages for non-uniformly expanding one-dimensional Markov maps with countably many branches
对于具有可数个分支和可数个中性周期点的区间或圆的Markov映射，利用不变概率测度的豪斯多夫维数，建立了可数个观测量Birkhoff平均的混合重分形谱的条件变分公式.利用我们的结果，我们能够表现出新的分形几何结果向后连分数扩展的实数，特别是回答一个问题的波利科特。此外，我们还建立了由抛物元生成的自由富克斯群的Bowen级数映射的多尖点缠绕谱公式。
2020-06-29 math.DS
On fast Lyapunov spectra for Markov-Rényi maps
本文提出几何方法研究Markov-Rényi映射的快速Lyapunov谱，证明其为分段常数且可能在无穷远不连续，推广了Gauss映射的既有结果。
2025-06-19 math.DS
Dynamical spectra for skew products with unit circle fiber
IMPA, Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西国家纯粹与应用数学研究所）；Shenzhen International Center for Mathematics, Southern University of Science and Technology（南方科技大学深圳国际数学中心）
本文研究单位圆纤维斜积的动力Markov谱和Lagrange谱，证明其与经典谱的相似性，如非空内部及与半直线交集的连续函数性质。
2026-05-26 math.DS
Weak rigidity of entropy spectra
本文研究了拓扑马尔可夫位移的熵谱。证明了如果两个具有Hölder连续势的Gibbs测度的保测度动力系统同构，则它们的熵谱相同.这个结果引起了一个新的刚性问题。我们称这个问题为弱刚性问题，与Barreira和Saraiva提出的强刚性问题形成对比。本文给出了非周期转移阵为2的拓扑马氏位移上马尔可夫测度的弱刚性问题的完整答案。
2020-09-25 math.DS
