高维 Lagrange 谱中 Hall 射线的存在性
Existence of a Hall ray in higher dimensional Lagrange spectra
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本文证明任意范数下二维 Lagrange 谱含 Hall 射线，结合 Kleinbock 结果，谱呈射线或射线前有稠密部分。
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给定 $\mathbb R^2$ 上的任意范数 $\\|\cdot\\|_{\mathbb R^2}$，我们证明 $2$-向量的 Lagrange 谱包含一条 Hall 射线。等价地，每个充分小的 $\rho\ge0$ 都作为 $\liminf_{q\to\infty}q^{1/2}\min_{p\in\mathbb Z^2}\\|qx-p\\|_{\mathbb R^2}$ 出现，对某个 $x\in\mathbb R^2\setminus\mathbb Q^2$。结合 Kleinbock 最近的结果 \cite{Kleinbock}，这意味着 $2$ 维 Lagrange 谱要么是一条射线，镜像 Dirichlet 谱的行为，要么是一条射线前面紧接一个稠密部分。
英文摘要
Given any norm $\|\cdot\|_{\mathbb R^2}$ on $\mathbb R^2$, we prove that the Lagrange spectrum for $2$-vectors contains a Hall ray. Equivalently, every sufficiently small $ρ\ge0$ occurs as $\liminf_{q\to\infty}q^{1/2}\min_{p\in\mathbb Z^2}\|qx-p\|_{\mathbb R^2} $ for some $x\in\mathbb R^2\setminus\mathbb Q^2$. Combined with a recent result of Kleinbock \cite{Kleinbock}, this implies that the $2$-dimensional Lagrange spectrum is either a ray, mirroring the behavior for Dirichlet spectra, or a ray preceded by a dense part.
发表机构
- Cheung Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
- Department of Mathematics, University of Chicago（芝加哥大学数学系）
- Qiuzhen College, Tsinghua University（清华大学邱成桐数学中心）
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