Shinichiro Kobayashi
In this paper, we consider the Monge optimal transport problem with distance cost. We prove that in some metric spaces, possibly with many branching geodesics, an optimal transport map exists if the first marginal is absolutely continuous. The result is applicable to normed spaces and Hilbert geometries.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Monge problem in metric measure spaces with Riemannian curvature-dimension condition
我们证明了Monge极小化问题的解的存在性，解决了度量测度空间$(X,d,m)$享有黎曼曲率维条件$\RCD(K,N)$，与$N < \infty$。对于第一个边际测度，我们假设$μ_{0} \ll m$。作为推论，我们得到Monge问题和它的松弛形式Monge-Kantorovich问题，达到相同的极小值。证明了$d$ -循环单调集的一个结构定理：当忽略一个零$m$ -测度集时，它们不包含任何分支结构，即它们可以表示为不相交测地线族的象的不相交并.
Interior singularity and branching of geodesics in real-analytic sub-Riemannian manifolds
研究实解析子黎曼流形中严格异常极小测地线的正则性和分支特性，通过构造例子解决长期未解问题，并在 Carnot 组中证明非光滑和分支极小测地线的存在。
In this note, we show that sub-Riemannian manifolds can contain branching normal minimizing geodesics. This phenomenon occurs if and only if a normal geodesic has a discontinuity in its rank at a non-zero time, which in particular for a strictly normal geodesic means that it contains a non-trivial abnormal subsegment. The simplest example is obtained by gluing the three-dimensional Martinet flat structure with the Heisenberg group in a suitable way. We then use this example to construct more general types of branching.
Non-branching RCD(0,N) Geodesic Spaces with Small Linear Diameter Growth Have Finitely Generated Fundamental Groups
本文将Sormani的有限生成结果推广到具有完全支撑测度的无分支$RCD(0,N)$测地空间（特别是Alexandrov空间）.这是Milnor猜想在完备非紧$RCD(0,N)$空间中的一个特例。我们使用的关键工具之一是Gigli-Mosconii获得的非光滑空间的Abresch-Gromoll型超额估计。
Sliced optimal transport: is it a suitable replacement?
本文引入切片Monge--Kantorovich度量族，证明其完备性、对偶性及非测地线性质，并指出在多数情况下与经典度量非双Lipschitz等价，故不适合直接替代经典度量。
Non-branching geodesics and optimal maps in strong CD(K,{\infty})-spaces
我们证明了在度量测度空间中，熵泛函是K-凸沿每个Wasserstein测地线之间的任何最优输运两个绝对连续的措施，有限的二阶矩生活在一个非分支的测地线集。作为推论，我们得到在这些空间中，任何两个具有有限二阶矩的绝对连续测度之间只存在一个最优输运计划，并且该计划由一个映射给出。这些结果适用于Ricci曲率下有界的度量测度空间，特别是Ricci曲率下有界的黎曼流形的Gromov-Hausdorff极限.
Improved geodesics for the reduced curvature-dimension condition in branching metric spaces
本文证明了在满足约化曲率维数条件CD*（K，N）的度量测度空间中，对于中间时刻，在满足CD*（K，N）的临界凸性不等式的概率测度的Wasserstein空间中总是存在测地线，并且沿着这些测地线的测度的密度有一个上界.这个上界依赖于端点测度的密度的界、Ricci曲率的下界K、维数的上界N以及端点测度的支集的并集的直径。
In this paper, we first evaluate topological distributions of the sets of all doubling spaces, all uniformly disconnected spaces, and all uniformly perfect spaces in the space of all isometry classes of compact metric spaces equipped with the Gromov--Hausdorff distance. We then construct branching geodesics of the Gromov--Hausdorff distance continuously parameterized by the Hilbert cube, passing through or avoiding sets of all spaces satisfying some of the three properties shown above, and passing through the sets of all infinite-dimensional spaces and the set of all Cantor metric spaces. Our …
Transport maps, non-branching sets of geodesics and measure rigidity
在本文中，我们研究了具有绝对连续第一边际的最优耦合的迁移映射的一般存在性与Rajala-Sturm（Calc.Var.PDE 2014）引入的称为本质非分支的背景测度的性质之间的关系。特别地，本文证明了Cavalletti-Huesmann（Ann.Inst.H.庞加莱肛门。Non Linèaire 2015）暗示任何本质上无分支的度量测度空间只要初始测度是绝对连续的，就有唯一的迁移映射。这推广了Cavalletti-Mondino（Commun.对流Math.2017）在具有测度压缩条件$\mathsf{MCP}(K,N)$的本质非分支空间上。最后证明了一个测度刚性结果，即在固定的度量空间上，任何两个本质非分支、定性非退化的测度必相互绝对连续. Cavalletti-Mondino在更强的条件下获得了这一结果（Adv.Math. 2016）。它特别适用于度量测度空间的广义有限维里奇曲率有界从下面。
Disintegrated optimal transport for metric fiber bundles
本文提出了一种新的双参数度量族，用于度量纤维束上的概率测度，证明其完备性、分离性和测地性，并展示了其在最优运输中的新贡献。
Fine properties of geodesics and geodesic $λ$-convexity for the Hellinger-Kantorovich distance
本文研究 HK 问题最优势与对偶动态方程的正则性，构造输运–膨胀流刻画测地插值，并给出泛函沿 HK 测地线 $\lambda$-凸的精确条件。
Metric conditions that guarantee existence and uniqueness of Optimal Transport maps
该研究探讨度量空间中Monge问题最优传输映射存在唯一性的度量条件，提出局部度量扭转条件与局部一致非分支假设，分别在对应成本下证明了映射的存在唯一性，拓展了最优传输理论的适用场景。
The geodesic problem in quasimetric spaces
本文研究了广义度量空间中的测地线问题，其中距离函数满足一个松弛的三角不等式$d(x,y)\leq σ(d(x,z)+d(z,y))$，而不是通常的三角不等式，其中对某个常数$σ\geq 1$.这样的空间称为拟度量空间。证明了度量空间中的许多著名结果（如Ascoli-Arzelà定理）在拟度量空间中仍然成立.此外，我们探讨条件下，准度规将导致一个内在的度量。作为一个例子，我们在原子概率测度空间上引入了一族拟度量。由这些拟度规诱导的相关内禀度规与在分支最优输运中出现的分支结构研究中早期研究的$d_α$度规相一致。两个原子概率测度之间的最优输运路径通常具有“树形”分支结构。在这里，我们表明，这些最优输运路径原来是测地线在这些内在的度量空间。
Self-Intersection of Optimal geodesics
设$(X,d,m)$是测地度量测度空间.考虑$L^{2}$ -Wasserstein空间中的测地线$μ_{t}$。然后，当$s$变为$t$时，$μ_{s}$的支撑和$μ_{t}$的支撑必须重叠，只要密度上的上界保持不变。我们给出了一个更精确的制定这个自相交属性。我们认为每个$t$的一组时间的测地线属于支持的$μ_{t}$，我们证明了$t$是一个点的勒贝格密度为1，在积分意义上。我们的结果适用于满足$\mathsf{CD}(K,\infty)$的空间。不需要非支化性质。
We prove that on an essentially non-branching $\mathrm{MCP}(K,N)$ space, if a geodesic ball has a volume lower bound and satisfies some additional geometric conditions, then in a smaller geodesic ball (in a quantified sense) we have an estimate on the isoperimetric constants.
Slopes of Kantorovich potentials and existence of optimal transport maps in metric measure spaces
本文研究了在测地线度量空间中满足适当的无分支假设的二次费用函数的最优运输问题。我们介绍和研究沿曲线和沿测地线的斜率的概念，我们应用后者来证明适当的推广的Brenier定理的最佳映射的存在。
Ramified optimal transportation in geodesic metric spaces
最优输运路径可以被看作是在合适的度量族下的概率测度空间中的测地线。这种测地线可以在许多应用中表现出树形分支结构，例如树木、血管、排水和灌溉系统。本文将概率测度之间分歧最优运输的研究从欧几里得空间推广到测地线度量空间。我们调查的存在性以及最优输运路径的各种性质下的度量，如完整性，加倍，或曲率上界的行为。在完备测地度量空间上引入了概率测度的迁移维数，并证明了概率测度的迁移维数上界为Minkowski维数，下界为测度的豪斯多夫维数.此外，我们还在概率测度空间上引入了一个度量，称为“维数距离”。这个度量给了传输维一个几何意义：关于这个度量，一个概率测度的传输维等于从它到任何有限原子概率测度的距离。
On the existence of $L^p$-Optimal Transport maps for norms on $\mathbb{R}^N$
该研究引入类柱凸函数概念，证明了$\u211d^N$上一类分支度量空间中$p\in(1,\infty)$的$L^p$最优输运映射存在性，涵盖$\u211d^2$所有范数及晶体范数等情形。
Decomposition of geodesics in the Wasserstein space and the globalization property
我们将证明Wasserstein测地线在以下意义下的分解：设$(X,d,m)$是一个验证$\mathsf{CD}_{loc}(K,N)$或等价于$\mathsf{CD}^{*}(K,N)$的无分支度量测度空间。我们证明了$L^{2}$-Wasserstein空间中的每个测地线$μ_{t}$（带有$μ_{t} \ll m$）都可以分解为两个密度的乘积，一个对应于具有余维支持的测地线，一个验证了$\mathsf{CD}^{*}(K,N-1)$，另一个与精确的一维测量相关联，只要长度映射具有局部Lipschitz正则性。我们进行分解的动机是使用像全球化问题中的$\mathsf{CD}^{*}$那样不断演化的组件。对于一个特定的类的最佳运输，我们证明了其他组件的线性时间，因此获得全球$\mathsf{CD}(K,N)$为$μ_{t}$。因此，这个结果可以解释为$\mathsf{CD}(K,N)$在这类最优运输中的一个全球化定理，或者解释为$\mathsf{CD}^{*}(K,N)$的一个"自我改进性质"。假设更多的规则性，即在无限小严格凸度量测度空间的设置中，一维密度是两个微分的乘积，从而对密度分解有更多的了解。
Coefficient groups inducing nonbranched optimal transport
在这项工作中，我们考虑了一个最优输运问题的系数在赋范阿贝尔群$G$，并提取一个纯粹的内在条件$G$，保证最优输运（或相应的最小填充）没有分支。这个条件等价于测地度量空间中极小填充的无分支性。我们完全刻画了无分支生成的赋范群和有限维赋范向量空间的系数，诱导无分支最优输运计划。我们还提供了一个完整的分类，规范组的最优输运计划，除了是nonbranching，有无环的支持。这似乎开始了一个新的几何分类的某些赋范群。在无分支的情况下，我们还提供了一个全球版本的校准，即推广的Monge-Kantorovich对偶。
We prove that on an arbitrary metric measure space a countable collection of test plans is sufficient to recover all $\rm BV$ functions and their total variation measures. In the setting of non-branching ${\sf CD}(K,N)$ spaces (with finite reference measure), we can additionally require these test plans to be concentrated on geodesics.
In (Calc.Var.PDE 2018) Schultz generalized the work of Rajala and Sturm (Calc.Var.PDE 2014), proving that a weak non-branching condition holds in the more general setting of very strict CD spaces. Anyway, similar to what happens for the strong CD condition, the very strict CD condition seems not to be stable with respect to the measured Gromov Hausdorff convergence. In this article I prove a stability result for the very strict CD condition, assuming some metric requirements on the converging sequence and on the limit space. The proof relies on the notions of \textit{consistent geodesic flow} …
The entropy of Gromov-Thurston manifolds and branched coverings
该研究建立局部CAT(k)分支覆盖测地流动力学的一般理论，推导其熵的显式公式，得到熵随分支覆盖片数趋于无穷的渐近及最大熵测度的渐近性质。
This paper contains two contributions in the study of optimal transport on metric graphs. Firstly, we prove a Benamou-Brenier formula for the Wasserstein distance, which establishes the equivalence of static and dynamical optimal transport. Secondly, in the spirit of Jordan-Kinderlehrer-Otto, we show that McKean-Vlasov equations can be formulated as gradient flow of the free energy in the Wasserstein space of probability measures. The proofs of these results are based on careful regularisation arguments to circumvent some of the difficulties arising in metric graphs, namely, branching of geode…
Measure rigidity of Ricci curvature lower bounds
测度压缩性，简称$\mathsf{MCP}$，是度量测度空间的一个弱里奇曲率下界条件.本文的目的是了解这种假设（或甚至更弱的修改）意味着对措施，其支持和测地线的空间的结构属性。我们开始我们的调查从欧几里德的情况下证明，如果一个积极的氡措施$\mathsf{m}$在$\mathbb{R}^{d}$是这样的，$(\mathbb{R}^{d},|\cdot |, \mathsf{m})$验证一个较弱的变体$\mathsf{MCP}$，那么它的支持$\text{spt}(\mathsf{m})$必须是凸的和$\mathsf{m}$必须是绝对连续的相关Hausdorff措施的$\text{spt}(\mathsf{m})$。这个结果，然后被用作一个起点，调查的刚性$\mathsf{MCP}$的度量框架。我们引入了度量空间的$reference \ measure$的新概念，并证明了如果$(X,\mathsf{d},\mathsf{m})$基本上是无分支的，并验证$\mathsf{MCP}$，$μ$是一个基本上无分支的$\mathsf{MCP}$参考措施$(\text{spt}(\mathsf{m}), \mathsf{d})$，那么$\mathsf{m}$是绝对连续的$μ$，在一个反演计划存在的点集。因此，本质上无分支的$\mathsf{MCP}$参考度量具有弱类型的唯一性，直至密度。我们还…
Optimal transport and timelike lower Ricci curvature bounds on Finsler spacetimes
本文利用 q-Lorentz-Wasserstein 最优输运与概率测度 q-测地线，证明 Finsler 时空在加权 Ricci 曲率类时下界条件下满足 TCD_q(K,N)，并导出尖锐类时 Brunn-Minkowski 不等式。
If $u : Ω\subset \mathbb{R}^d \to {\rm X}$ is a harmonic map valued in a metric space ${\rm X}$ and ${\sf E} : {\rm X} \to \mathbb{R}$ is a convex function, in the sense that it generates an ${\rm EVI}_0$-gradient flow, we prove that the pullback ${\sf E} \circ u : Ω\to \mathbb{R}$ is subharmonic. This property was known in the smooth Riemannian manifold setting or with curvature restrictions on ${\rm X}$, while we prove it here in full generality. In addition, we establish generalized maximum principles, in the sense that the $L^q$ norm of ${\sf E} \circ u$ on $\partial Ω$ controls the $L^p$ …
Semilinear metric semilattices on $\mathbb R$-trees
在度量空间上引入度量半格的概念，证明了$\R$ -树是连通测地度量空间$X$的偏序性，使得$X$是半线性度量半格.本文还讨论了局部紧完备$\mathbb R$ -树$X$上定义上半线性度量$\vee$ -半格的序拓扑空间与其度量紧化$\bar{X}_m$之间的同胚关系。作为应用，我们构造了局部完备非齐性相似齐性空间的例子，说明了V.N. Berestovski \v关于这种空间结构的猜想。构造的度量空间是$\mathbb R$ -树，其中每个点都是分支点.它是度量纤维化，但不是与因子$\mathbb R$的拓扑积，不满足Berestovski \v猜想.
The Lott-Sturm-Villani Curvature-Dimension condition provides a synthetic notion for a metric-measure space to have Ricci-curvature bounded from below and dimension bounded from above. We prove that it is enough to verify this condition locally: an essentially non-branching metric-measure space $(X,{\mathsf d},{\mathfrak m})$ (so that $(\text{supp} \; {\mathfrak m},{\mathsf d})$ is a length-space and ${\mathfrak m}(X) < \infty$) verifying the local Curvature-Dimension condition $\mathsf{CD}_{loc}(K,N)$ with parameters $K \in \mathbb{R}$ and $N \in (1,\infty)$, also verifies the global Curvatur…
Isometric Rigidity of Metric Constructions with respect to Wasserstein Spaces
本文研究度量空间关于p-Wasserstein空间的等距刚性，证明可分裂Hilbert空间的空间非刚性，并证明无限射线、紧致非分支测地空间上的无限半柱面及小直径紧致空间的球面纬悬在相应条件下具有等距刚性。
Isometric rigidity of the Wasserstein space over the plane with the maximum metric
本文研究了配备最大范数度量的分支空间上的 $p$-Wasserstein 空间，证明了对所有 $p\geq1$ 这些空间均具有等距刚性，并揭示了其与欧氏度量及一维情况在刚性上的显著差异。
Orientability of metric manifolds and metric spaces with curvature bounds
本文利用局部整数流为度量流形及奇异空间建立可定向性理论，证明定向流边界定理，并揭示定向唯一性排除分支并蕴含Poincaré不等式。
Optimal partial transport for metric pairs
本文将 Figalli-Gigli 最优传输理论推广到度量对，证明测度空间保持完备、可分、测地、非分支及非负曲率等性质，并建立持续同调图空间的等距嵌入，从而统一导出其几何性质。
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