规范理论进阶：Higgs丛的数学与物理

Gauge Theories and Fiber Bundles: Definitions, Pictures, and Results

A pedagogical but concise overview of fiber bundles and their connections is provided, in the context of gauge theories in physics. The emphasis is on defining and visualizing concepts and relationships between them, as well as listing common confusions, alternative notations and jargon, and relevant facts and theorems. Special attention is given to detailed figures and geometric viewpoints, some of which would seem to be novel to the literature. Topics are avoided which are well covered in textbooks, such as historical motivations, proofs and derivations, and tools for practical calculations.…

Higgs束和解析连接模空间的拉格朗日对应关系

Lagrangian correspondences for moduli spaces of Higgs bundles and holomorphic connections

本文研究了在高亏格紧连通黎曼面上，Higgs束与解析连接的模空间与点希尔伯特方案之间的拉格朗日对应关系，探讨了其与几何朗兰兹对应关系的联系。

规范理论的准备

Preparation for Gauge Theory

初级研究生水平的课堂讲稿，介绍理解经典规范理论所需的数学背景。涵盖群作用，纤维丛，主丛，连接，规范变换，平行输运，曲率，协变导数，伪黎曼流形，拉格朗日，克利福德代数，自旋丛和狄拉克算子。要求对群、流形、李群、代数和多线性代数有基本的了解。

p-Adic数学物理

p-Adic Mathematical Physics

对p-adic数学物理中的一些选定课题作了简要的评述。

$\infty$-丛

$\infty$-Bundles

本文综述了$\infty$-丛理论，重点介绍主$\infty$-丛及其在几何、拓扑和物理中的应用，并强调其$\infty$-范畴表述可推广到光滑流形和拓扑空间之外的情境。

玻色气体及其凝聚的数学

The Mathematics of the Bose Gas and its Condensation

这本书调查结果有关的量子力学多体问题的玻色气体已经获得了作者在过去的七年。这些主题与当前的超冷气体实验有关;它们在数学上也很严格，使用多年来开发的许多分析技术来处理这些问题。一些主题的处理是基态能量，Gross-Pitaevskii方程，玻色-爱因斯坦凝聚，超流性，一维气体和旋转气体。这本书也为研究生和研究人员提供了一个进入该领域的教学入口。

Maslov反量子化、幂等和热带数学：一个非常简短的介绍

The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: a very brief introduction

本文是对幂等数学及其相关主题的一个非常简短的介绍。

代数分析与数学物理

Algebraic Analysis and Mathematical Physics

本文旨在回顾一个世纪后广义相对论和电磁学的数学基础，根据偏微分方程组和李伪群的形式理论（D. C. Spencer，1970）或代数分析，即微分几何和同调代数的混合（M. Kashiwara，1970）。在所得到的新结果中，我们可以引用：1）仅在4维中，Weyl张量的10个分量所必须满足的9个Bianchi恒等式由一个二阶算子描述，因此与Riemann张量的20个分量的20个一阶Bianchi恒等式无关。这一结果在一个世纪后才被人所知，最近已被A. Quadrat（INRIA）使用新的计算机代数软件包。2)Ricci张量R是对称协变2-张量的Ricci丛的一部分，它是黎曼丛在Weyl丛上的正则投影的核，由经典Killing系统（Poincare群）正则包含到共形Killing系统（Conformal group）中导出。它只与共形Killing系统的二阶喷流（elations）有关，因为任何值在elations丛中的1-形式都可以分解为直和（R，F），其中电磁场F是反对称协变2-张量向量丛的一部分。因此，电磁力和引力只与二阶喷流有关。3)10个线性化的二阶爱因斯坦方程是4个一阶柯西应力方程的参数化，但不能参数化自己。作为这个否定结果的副产品，这4个柯西应力方程与通常由20个Bianchi恒等式通过指数收缩得到的4个发散型方程无关。

数学物理中的全纯方法

Holomorphic Methods in Mathematical Physics

这套课堂讲稿介绍了在数学物理中使用的全纯函数空间。重点是Segal-Bargmann空间和正则对易关系。后面的章节描述了更高级的主题，如紧李群的Segal-Bargmann变换和无限维理论。

纠缠的数学

The Mathematics of Entanglement

这些笔记来自哥伦比亚波哥大的安第斯大学的一系列讲座，内容涉及当前量子信息的一些主题。虽然它们的目标是自成一体，但它们的覆盖面必然是不完整和特殊的。为了更全面地介绍这一主题，我们推荐尼尔森和庄或王尔德的教科书，或者Mermin，Preskill或Watrous的讲义。相比之下，我们的笔记旨在相对快速地介绍这个快速发展的领域中的一些更现代的主题。他们的目的是让高年级的本科生或开始研究生。

Feynman Integrals

This course on Feynman integrals starts from the basics, requiring only knowledge from special relativity and undergraduate mathematics. Topics from quantum field theory and advanced mathematics are introduced as they are needed. The course covers modern developments in the field of Feynman integrals. Topics included in this course are: Representations of Feynman integrals, integration-by-parts, differential equations, intersection theory, multiple polylogarithms, Gelfand-Kapranov-Zelevinsky systems, coactions and symbols, cluster algebras, elliptic Feynman integrals, motives associated to Fey…