单位球中自由边界极小曲面：最新进展和问题
Free boundary minimal surfaces in the unit ball : recent advances and open questions
摘要：
本文讨论了欧氏单位球中自由边界极小曲面的一些最新结果。这个问题一直是一个非常活跃的研究领域，在过去几年中，由于开创性的工作弗雷泽和舍恩的极值斯捷克洛夫本征值问题。我们回顾了几种不同的技术构造嵌入自由边界极小曲面在单位球的例子。其次，我们讨论了自由边界极小圆盘的一些唯一性结果和关于临界悬链面唯一性的猜想。我们还讨论了自由边界极小曲面的几种Morse指标估计。此外，我们描述的第一Steklov特征值的估计，这样的自由边界极小曲面和各种光滑紧性的结果。最后，我们还讨论了自由边界极小子流形的一些尖锐的面积界及相关问题。
英文摘要：
In this survey, we discuss some recent results on free boundary minimal surfaces in the Euclidean unit-ball. The subject has been a very active field of research in the past few years due to the seminal work of Fraser and Schoen on the extremal Steklov eigenvalue problem. We review several different techniques of constructing examples of embedded free boundary minimal surfaces in the unit ball. Next, we discuss some uniqueness results for free boundary minimal disks and the conjecture about the uniqueness of critical catenoid. We also discuss several Morse index estimates for free boundary minimal surfaces. Moreover, we describe estimates for the first Steklov eigenvalue on such free boundary minimal surfaces and various smooth compactness results. Finally, we mention some sharp area bounds for free boundary minimal submanifolds and related questions.
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