A Best Possible Result for the Square of a 2-Block to be Hamiltonian
Jan Ekstein, Herbert Fleischner
它表明，对于四个不同的顶点x_1，.，x_4，则存在一个哈密顿圈，它包含E（G）的四条不同的边xiy_i，其中y_i，i= 1，2，3，4.这是最好的结果。
It is shown that for any choice of four different vertices x_1,...,x_4 in a 2-block G of order p>3, there is a hamiltonian cycle in G^2 containing four different edges x_iy_i of E(G) for certain vertices y_i, i=1,2,3,4. This result is best possible.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Characterizing forbidden pairs for hamiltonian squares
图的平方是通过添加连接原始图中所有距离为2的顶点对的附加边来获得的。特别地，如果$C$是图$G$的哈密顿圈，则$C$的平方称为$G$的哈密尔顿平方。在本文中，我们刻画了4-连通图中所有可能的禁止对，这意味着包含一个哈密尔顿平方。连通性条件是必要的，因为除了$K_3$和$K_4$之外，循环的平方总是4-连通的。
On hamiltonian colorings of block graphs
p阶图G的一个哈密尔顿染色c是G的顶点的颜色分配，使得对于G的每两个不同的顶点u和v，有$D(u,v)+|c(u)-c(v)|\geq p-1$，其中D（u，v）表示u和v之间的迂回距离.图G的Hamilton色数记为hc（G），是G的所有Hamilton染色c上取的min{hc（c）}.本文提出了块图的Hamilton色数的一个下界，并给出了达到该下界的一个充分条件。我们刻画对称块图达到这个下界。提出了对称块图最优哈密尔顿染色的两个算法。
The most general structure of graphs with hamiltonian or hamiltonian connected square
本文刻画使图平方 $G^2$ 为哈密顿图或哈密顿连通图的最一般块-割点结构，并借鉴哈密顿全图的研究思路。
Hamiltonian Cycles in the Square of a Graph
我们证明了在一定条件下，通过用汉密尔顿平方识别两个图中的一个顶点而获得的图的平方也是汉密尔顿的。利用这个结果，我们证明了一个连通图的平方是哈密尔顿的充要条件，使得块图中的每一个度至少为3的顶点对应于一个割点，并且这些顶点中的任何两个顶点的距离至少为4。
Blockers for simple Hamiltonian paths in convex geometric graphs of odd order
设G是一个完全凸几何图，F是G的一族子图。F的一个阻断子是一组可能最小的边，它与F的每个元素都有一条共同的边。在[C. Keller和M. A. Perles，偶阶凸几何图中简单Hamilton路径的阻塞器，Disc。Comput. Geom.，60（1）（2018），pp. 1-8]我们给出了简单家族的所有阻断剂的明确描述（即，非交叉）Hamilton路（SHP）在G中的“偶”情况|V（G）|=2m。原来，所有的障碍物都是某一类简单的毛虫树。在本文中，我们给出了一个明确的描述所有阻滞剂的家庭的SHP在'奇'的情况下|V（G）|=2m-1。在这种情况下，阻断剂的结构更复杂，特别是，它们不一定简单。相应地，证明也更加复杂。
Row-Hamiltonian Latin squares and Falconer varieties
本研究首次构造出仅具备列哈密顿或符号哈密顿性质之一的行哈密顿拉丁方族，并用其构建非平凡反结合迷向$L$-封闭拟群簇，解决了Falconer1970年提出的公开问题。
Blockers for simple Hamiltonian paths in convex geometric graphs of even order
设G是一个顶点数为2 m的完全凸几何图，F是G的一个子图族. F的一个Blocker是满足F的每个元素的一组尽可能小的边。在[C. Keller和M. A. Perles，关于凸几何图中阻塞简单完美匹配的最小集合，Israel J. Math. 187（2012），pp. 465-484]，我们给出了G.在本文中，我们表明，家庭的简单的哈密顿路径（SHP）在G中有完全相同的阻滞剂家庭的SPM。我们的论证相当简短，并为[KP 12]的结果提供了一个简单得多的证明。
Squares of Hamiltonian cycles in 3-uniform hypergraphs
证明了每一个具有$|V(H)|=n$且最小度至少为$(4/5+o(1))n$的$3$ -一致超图$H=(V,E)$都包含一个平方哈密顿圈.这可能被视为迈向超图版本的Pósa-Seymour猜想的第一步。
Sparse recovery guarantees for block orthogonal binary matrices constructed via Generalized Euler Squares
近年来，确定性矩阵的构造作为随机矩阵的替代方案已经得到普及，因为它们为稀疏信号的恢复提供了保证。特别是，二进制矩阵的建设已经取得了意义，由于其潜在的硬件友好的实现和吸引人的应用。我们目前的工作旨在构造非相干二元矩阵的正交块与小块相干。我们证明了由欧拉平方构成的二元矩阵具有块正交性和低块相干性。为了获得更好的长宽比，本文推广了欧拉平方的概念，得到了一类新的确定性二元矩阵。为了实现上述目标，本文首先回顾了有限域理论与欧拉方的联系及其构造。使用所述的连接，工作提出了广义欧拉方（GES），然后提出了一个建设过程。得到了具有一般行大小的低相干性二元矩阵，其列大小为最大可能阶。最后，本文表明，GES所具有的特殊结构有助于产生具有小块相干性的块正交结构，从而支持块稀疏信号的恢复。
Decomposable twofold triple systems with non-Hamiltonian 2-block intersection graphs
二元三元系的2-块交图（2-BIG）是指其顶点集由二元三元系的块组成，且若对应的块恰好相交于两个元素，则两个顶点由一条边连接的图。2-BIG本身是有趣的图：每个分量是立方的和3-连通的，并且当TTS可分解为两个Steiner三元系时，2-BIG是二部的。任何没有Hamilton圈的连通二部2-BIG都是Tutte在1971年提出的一个猜想的反例。我们的主要结果是：存在一个整数$N$，使得对于所有的$v\geq N$，如果$v\equiv 1$或$3\mod{6}$，则存在一个TTS（$v$），其2-BIG是二部连通的，但不是Hamilton的.此外，$13<N\leq 663$。我们的方法是构造一个TTS（$u$），它的2-BIG是二部连通的和非Hamilton的，并将它嵌入到TTS（$v$）中，其中$v>2u$以这样一种方式，在一次交易后，得到的TTS（$v$）的2-BIG是二部连通的和非Hamilton的.
On Block Representations and Spectral Properties of Semimagic Square Matrices
利用半镜像平方分解成相关的和平衡的对称类型作为动机，我们介绍了块结构矩阵的等价表示。这种块表示提供了一种方法来构建这样的矩阵与进一步的对称性和研究他们的代数行为，显着推进和促进这些对称性的理解。除了研究经典的属性，如二面角等价和这些矩阵的谱性质，我们表明，块表示的固有结构有利于低秩半镜像方阵的定义。这是通过张量积块来实现的。此外，我们还研究了这些矩阵的秩和特征向量分解，使得相应的双边特征向量矩阵的建设，在合理的条款，他们的条目。本文最后导出了张量积块表示与高斯型二次型表示之间的对应关系。
Enumeration of nonisomorphic Hamiltonian cycles on square grid graphs
2n × 2n网格上哈密顿圈的计数是组合数学中一个长期存在的问题。以前的工作集中在计算所有周期。目前的工作列举了非同构循环-也就是同构类的数量（直到正方形的所有对称运算）。它示出，以前使用的矩阵方法可以修改为计数周期与反射和180度旋转对称的所有组合。90度旋转对称的周期通过直接搜索来计数，使用Knuth的Dancing Links算法的修改。从这些计数中，计算出n<=10时的非同构圈数。
Revisiting the Hamiltonian Theme in the Square of a Block: The General Case
这是联合研究的第二部分，我们证明了每个$2$ -连通图$G$具有${\cal F}_4$性质。也就是说，给定不同的$x_i\in V(G)$，$1\leq i\leq 4$，在$G^2$中存在一条$x_1x_2$ -哈密顿路径，对于某些$y_3,y_4\in V(G)$，该路径包含不同的边$x_3y_3, x_4y_4\in E(G)$.然而，在\cite [Theorem 2]{cf 1：refer}中已经证明了2-连通DT-图具有${\cal F}_4$性质;基于这个结果，我们将它推广到任意的$2$ -连通图。我们还表明，这些结果是最好的可能。
Hamiltonian chromatic number of block graphs
设$G$是阶为$n$的简单连通图.图$G$的哈密尔顿着色$c$是对$G$的顶点的颜色（非负整数）的分配，使得对于$G$的每两个不同的顶点$u$和$v$，$D(u, v)$ + $|c(u) - c(v)|$ $\geq$ $n - 1$，其中$D(u, v)$表示$G$中$u$和$v$之间的迂回距离，其是$u$和$v$之间的最长路径的长度。哈密顿着色$c$的值\emph{hc(c)}是分配给$G$的顶点的最大颜色。用$hc(G)$表示的哈密顿色数是对$G$的所有哈密顿着色$c$取的min\{ $hc(c)$ \}。本文给出了块图的Hamilton色数达到下界的一个充要条件，该条件在[定理1，关于块图的Hamilton着色，见：Kaykobad，M.，彼得雷奇河，（eds.）WALCOM：Algorithms and Computation，LNCS：9627，28-39，2016]。给出了一类特殊的块图，即$SDB(p/2)$块图的最优Hamilton染色的算法。我们刻画水平明智的定期块图和扩展星的块实现这个下界。
Ore-degree threshold for the square of a Hamiltonian cycle
Dirac在1952年提出的一个经典定理是：每一个最小度至少为n/2的图都包含一个哈密顿圈。1963年，Pósa证明了每一个最小度至少为2n/3的图都包含一个哈密顿圈的平方。在1960年，矿石放宽了度条件的狄拉克定理证明，每一个图与$deg(u) + deg(v) \geq n$的每一个$uv \notin E(G)$包含一个哈密顿圈。最近，Châu使用正则性-爆破方法证明了$n\geq n_0$顶点上图的Pósa猜想的Ore型版本;因此$n_0$非常大（涉及塔函数）。在这里，我们提出了另一个证明，避免使用的正则性引理。除了我们的证明适用于更小的$n_0$这一事实之外，我们相信我们的证明方法将是独立的。
Hamiltonian cycles for the square of the augmentation graphs and Gray codes for restricted permutations and ascent sequences
本文构造了给定大小的扩充图的顶点列表，从而得到了给定大小的扩充图的平方的哈密顿圈.作为应用，我们有一个格雷码的$132$ - $312$避免给定长度的排列，使得两个连续的排列相差最多$2$相邻的换位。对于给定长度的$001$避升序列和$010$避升序列，得到了强距离$2$的Gray码.
The relation between Hamiltonian and $1$-tough properties of the Cartesian product graphs
图的哈密尔顿性与坚韧性之间的关系是一个长期的研究问题。本文研究了图$G_1$和$G_2$的笛卡儿积图$G_1\square G_2$的哈密尔顿性，满足$G_1$是可迹的，且$G_2$与一个路因子连通.设Pn是序$n$的路，$H$是连通的二部图.在一定的$n$要求下，我们证明了以下三个陈述是等价的：（i）$P_n\square H$是Hamilton的;（ii）$P_n\square H$是$1$ -tough的;（iii）$H$有路径因子.
Revisiting the Hamiltonian Theme in the Square of a Block: The Case of DT-Graphs
图G的平方，记为G^2，是由G通过用边连接任意两个有公共邻居的不相邻顶点而得到的图。称图G具有F_k性质，如果对任意k个不同顶点的集合{x_1，x_2，.，x_k}，则G ^2中存在一条从x_1到x_2的Hamilton路，其中包含G的k-2条不同边，形式为x_iz_i，i = 3，.，K.许多年前就证明了2-连通图具有F_3性质。在本文的第一部分中，我们推广了这个结果，证明了每个2-连通DT-图都具有F_4性质（定理2），并在第二部分中证明了这个推广对任意的2-连通图都成立，并且存在对任意自然数k >= 5不具有F_k性质的2-连通图。总之，这肯定地回答了以前提出的一个问题。
Hamiltonian paths in m x n projective checkerboards
对于一个m × n棋盘的任意两个方格A和B，我们确定是否有可能移动一个棋子通过一条从A开始，在B结束的路线，并访问棋盘的每个方格一次。路线的每一步都移动到一个相邻的正方形，或者向东或者向北，并且可以通过在粘合矩形的对边时施加扭曲来以对应于射影平面的通常构造的方式离开板的边缘。这推广了M.H.Forbush等人对于m = n的特殊情况的工作。
A three-factor product construction for mutually orthogonal latin squares
众所周知，相互正交拉丁方，或MOLS，允许（克罗内克）产品的建设。我们表明，在温和的条件下，“三重产品”的MOLS可以导致一个平方的增益。在横截设计方面，该技术是使用罗尔夫里斯的构造两次：一次是获得一个产品后的块的粗略分辨率，然后重新组织类并解决第二个产品的块。作为结果，我们报告了一些改进的MOLS表，并获得了轻微的加强著名的MacNeish定理。
Two-block cycles and chromatic number of Hamiltonian digraphs
研究不含\(C(k,\ell)\)的哈密顿有向图的色数问题，通过证明当\(k + \ell \geq 6\)时色数\(\chi(D) \leq k + \ell - 1\)且此界最优，解决了Addario - Berry等人提出的相关问题。
Cutting a unit square and permuting blocks
本文研究了单位正方形切割排列的极限分布，推导了其最大部分的期望大小，并扩展了Erdős-Turán定律到排列子群。
Uniform semi-Latin squares and their pairwise-variance aberrations
对于整数$n>2$和$k>0$，$(n\times n)/k$半拉丁方是（治疗的）$nk$集合的$k$子集（称为块）的$n\times n$阵列，使得每个治疗在阵列的每行和每列中出现一次.一个半拉丁方是均匀的，如果每对块，而不是在同一行或列，相交在相同的正数的治疗。我们证明了当存在一致$(n\times n)/k$半拉丁方时，Schur最优$(n\times n)/k$半拉丁方恰好是一致的.然后，利用J.P. Morgan为仿射可分解设计引入的成对方差（PV）偏差准则比较均匀半拉丁方，并确定当存在$n$阶的$n-1$相互正交的拉丁方（MOLS）时PV偏差最小的均匀$(n\times n)/k$半拉丁方.当$n=6$时，这些不存在，在这种情况下，最小的均匀半拉丁方的大小为$(6\times 6)/10$。我们提出了一个完整的分类均匀$(6\times 6)/10$半拉丁方，并显示一个最小的PV畸变。当存在$n$阶的$n-1$ MOLS时，我们给出了一个产生均匀$((n+1)\times (n+1))/((n-2)n)$半拉丁方的构造，并确定了这样一个均匀半拉丁方的PV象差.最后，我们描述了某些仿射可分解设计和平衡不完全区组设计（BIBDs）可以从均匀半拉丁方。从均匀的$(6\times 6)/10$半拉丁方，我们分类，我们得到（块设计同构）正好16875仿射可分解设计72治疗的36块…
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