Vanishing of Tor over fiber products

Tor的消失，以及我们为什么关心它

Vanishing of Tor, and why we care about it

给定局部环$R$上有限生成模$M$和$N$，张量积$M\otimes_RN$通常具有非零挠率。实际上，张量积无挠的假设影响了所有$i\geq 1$的模$\Tor^R_i(M,N)$的结构和消失。进而，$\Tor^R_i(M,N)$的消失对模块$M$和$N$的深度属性施加限制。这些联系首次出现在Auslander的1961年论文“Modules over unramified正则局部环“中。我们将调查这些主题的文献，重点是在过去二十年的进展。

Tor_1^R（R^+，k）的零表示R是正则的

The vanishing of Tor_1^R(R^+,k) implies that R is regular

设（R，m，k）是具有正素特征的优良局部环.证明了若Tor_1^R（R^+，k）= 0，则R是正则的.这改进了Schoutens的一个结果，在Schoutens的证明中需要附加一个假设，即R是一个孤立奇点。

On modules with self Tor vanishing

The long-standing Auslander and Reiten Conjecture states that a finitely generated module over a finite-dimensional algebra is projective if certain Ext-groups vanish. Several authors, including Avramov, Buchweitz, Iyengar, Jorgensen, Nasseh, Sather-Wagstaff, and Şega, have studied a possible counterpart of the conjecture, or question, for commutative rings in terms of vanishing of Tor. This has led to the notion of Tor-persistent rings. Our main result shows that the class of Tor-persistent local rings is closed under a number of standard procedures in ring theory.

关于绝对整闭包的Tor为零

On the vanishing of Tor of the absolute integral closure

设$R$是一个具有正特征的优良局部区域，其剩余域为$k$，$R^+$是它的绝对整闭包.如果$\text{Tor}^R_1(R^+,k)$为零，则$R$是Cohen-Macaulay、正规的、F-有理数和F-纯的。如果$R$至多有一个孤立奇点或维数至多为2，则$R$是正则的。

复曲面纤维积产品与Segre产品

Toric fiber products versus Segre products

复曲面纤维积是将关于仿射幺半群的分次是齐次的两个理想组合的运算。Segre积是一个相关的构造，它结合了两个多阶环。由两个理想的复曲面纤维积构成的商环是Segre积的子环，但一般来说这种包含是严格的。我们对比了这两种结构，并表明，任何Segre产品可以作为一个环面纤维积，而不改变所涉及的商环。这使得以前的结果复曲面纤维积的研究Segre产品。给出了两个仿射环面簇的Segre积在其环面纤维积中稠密的判别准则，以及从Segre积到环面纤维积的映射是有限的判别准则.我们给出了一个例子，证明了正规理想的复曲面纤维积的商环不一定是正规的。在环的Veronese型分次，我们发现的例子环面纤维积，总是Segre产品，我们表明，迭代环面纤维积的Veronese理想在Veronese环是正常的。

曲线上$SL_2(\C)$拟抛物主丛和复曲面纤维积模的坐标环

Coordinate rings for the moduli of $SL_2(\C)$ quasi-parabolic principal bundles on a curve and toric fiber products

我们继续在\cite{M1}开始的程序，以了解组合交换代数的投影坐标环的模堆叠$\mathcal{M}_{C, \vec{p}}(SL_2(\C))$准抛物$SL_2(\C)$主丛上的通用标记射影曲线。我们发现一般的界限多项式的程度需要提出这些代数通过研究他们的环面退化。特别是，我们表明，任何有效的线丛的平方模栈产生一个Koszul投影坐标环。这导致我们形式化的性质的多面体用于证明我们的结果，通过构建一个类别的多面体与术语的订单。我们证明了$\mathcal{M}_{C, \vec{p}}(SL_2(\C))$的射影坐标环上的许多结果都是从这一范畴关于纤维积的封闭性得到的。

纤维锥良好过滤的Castelnuovo-Mumford规则性

Castelnuovo-Mumford Regularity of the Fiber Cone for good filtrations

本文证明了在好滤子情形下，表征Rees代数的局部上同调齐零的不变量与相应的分次环之间有密切的关系.得到了纤维锥的Castelnuovo-Mumford正则性、伴随的分次环、Rees代数与好滤子的约化数之间的关系。

某些Cohen-Macaulay模的性质测试及局部环的判别准则 via Ext或Tor有限消失

Test properties of some Cohen-Macaulay modules and criteria for local rings via finite vanishing of Ext or Tor

本文通过Ext或Tor的有限消失性质，测试Cohen-Macaulay模的特性，并用于刻画局部环，验证了Auslander-Reiten猜想的扩展结果。

Tor映射的消失猜想及其派生分裂

The vanishing conjecture for maps of Tor and derived splinters

我们称一个优良的局部域$(S,n)$满足Tor映射的消失条件，如果对每个具有$A$正则和$A\to R$模有限无挠扩张的$A\to R\to S$，以及每个$A$ -模$M$，映射$Tor^A_i(M, R)\to Tor_i^A(M, S)$对每个$i\geq 1$为零. Hochster-Huneke猜想（等特征定理）因此指出正则环满足这样的消失条件。本文的主要定理表明，在等特征下，满足Tor映射消失条件的环是Bhatt意义下的正导分裂环。特别地，特征$0$中的有理奇点满足消失条件。这大大推广了Hochster-Huneke的结果和Boutot定理。此外，这导致了一个新的（和令人惊讶的）表征有理奇点的分裂模有限扩张。

提升马尔可夫基与高余维复曲面纤维积

Lifting Markov Bases and Higher Codimension Toric Fiber Products

我们研究如何提升马尔可夫基和Gröbner基沿线性映射的格。我们给出了一个提升算法，允许计算这样的基地迭代提供了一定的相关半群是正常的。我们的主要应用是复曲面理想的复曲面纤维积，其中提升给出了满足相容投影性质的因子理想的马尔可夫基。我们说明了技术计算马尔可夫基的各种无限家族的层次模型。该方法也意味着新的有限性迭代复曲面纤维积的结果。

环面簇的局部消没

Local vanishing for toric varieties

本文研究了环面簇的局部消没问题，建立了特定层的消没与非消没结果，推广了已有定理，并据此提出了环面簇具有k-有理奇点的判据。

Big Cohen-Macaulay algebras and the vanishing conjecture for maps of Tor in mixed characteristic

We prove a version of weakly functorial big Cohen-Macaulay algebras that suffices to establish Hochster-Huneke's vanishing conjecture for maps of Tor in mixed characteristic. As a corollary, we prove an analog of Boutot's theorem that direct summands of regular rings are pseudo-rational in mixed characteristic. Our proof uses perfectoid spaces and is inspired by the recent breakthroughs on the direct summand conjecture by André and Bhatt.

有限域上退化环面上的完全交消失理想

Complete intersection vanishing ideals on degenerate tori over finite fields

研究有限域上退化环面消失理想的完全交性质，建立其与数值半群环面理想的对应，并给出次数和正则指数的公式。