arXiv 1905.085482019-05-21math.PRcs.NAmath.NA

针对半群的高阶近似方案的通用构造

A generic construction for high order approximation schemes of semigroups using random grids

Université Paris-Est, Cermics (ENPC), INRIA（巴黎东大学，Cermics（国立公路与桥梁学校），法国国家信息与自动化研究所）；LAMA (UMR CNRS, UPEMLV, UPEC), MathRisk INRIA, Université Paris-Est（LAMA实验室（CNRS联合研究单位，巴黎东马恩拉瓦莱大学，巴黎第十一大学），MathRisk团队，法国国家信息与自动化研究所，巴黎东大学）

Aurélien Alfonsi, Vlad Bally

阅读 PDF

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

AI总结：

本文提出了一种通用方法，用于构造半群的高阶近似方案，通过随机网格实现高阶精度，并展示了其在不同过程中的应用。

摘要：

我们的目标是构造一般线性算子半群 $P_{t},t\geq 0$ 的高阶近似方案。为此，我们固定时间范围 $T $ 和离散化步长 $h_{l}= rac{T}{n^{l}},l\in \mathbb{N}$，并假设我们有一些短时间近似算子 $Q_{l}$，使得 $P_{h_{l}}=Q_{l}+O(h_{l}^{1+α})$ 对于某些 $α>0$。然后，我们考虑随机时间网格 $Π(ω)=\{t_0(ω)=0<t_{1}(ω)<...<t_{m}(ω)=T\}$，使得对于所有 $1\le k\le m$，$t_{k}(ω)-t_{k-1}(ω)=h_{l_{k}}$ 对于某些 $l_{k}\in \mathbb{N}$，并关联近似离散半群 $P_{T}^{Π(ω)}=Q_{l_{n}}...Q_{l_{1}}$。我们的主要结果是：对于任何近似阶数 $ν$，我们能够构造随机网格 $Π_{i}(ω)$ 和系数 $c_{i}$，其中 $i=1,...,r$，使得 \[ P_{t}f=\sum_{i=1}^{r}c_{i}\mathbb{E}(P_{t}^{Π_{i}(ω)}f(x))+O(n^{-ν}) \]% 其中期望涉及随机网格 $Π_{i}(ω)$。此外，$ ext{Card}(Π_{i}(ω))=O(n)$ 且算法的复杂度为阶 $n$，对于任何近似阶数 $ν$。标准例子涉及扩散过程，使用欧拉近似用于~$Q_l$。在这种情况和合适的条件下，我们能够将项合并以产生具有有限方差的 $P_tf$ 估计器。然而，我们方法的重要特征是其普遍性，即它适用于任何一般的半群 $P_{t}$ 和近似方案。此外，具有相同 $α$ 的近似方案导致相同的随机网格 $Π_{i}$ 和系数 $c_{i}$。给出了常微分方程、分段确定性马尔可夫过程和扩散的数值示例。

英文摘要：

Our aim is to construct high order approximation schemes for general semigroups of linear operators $P_{t},t\geq 0$. In order to do it, we fix a time horizon $T $ and the discretization steps $h_{l}=\frac{T}{n^{l}},l\in \mathbb{N}$ and we suppose that we have at hand some short time approximation operators $Q_{l}$ such that $P_{h_{l}}=Q_{l}+O(h_{l}^{1+α})$ for some $α>0$. Then, we consider random time grids $Π(ω)=\{t_0(ω)=0<t_{1}(ω)<...<t_{m}(ω)=T\}$ such that for all $1\le k\le m$, $t_{k}(ω)-t_{k-1}(ω)=h_{l_{k}}$ for some $l_{k}\in \mathbb{N}$, and we associate the approximation discrete semigroup $P_{T}^{Π(ω)}=Q_{l_{n}}...Q_{l_{1}}.$ Our main result is the following: for any approximation order $ν$, we can construct random grids $Π_{i}(ω)$ and coefficients $c_{i}$, with $i=1,...,r$ such that \[ P_{t}f=\sum_{i=1}^{r}c_{i}\mathbb{E}(P_{t}^{Π_{i}(ω)}f(x))+O(n^{-ν}) \]% with the expectation concerning the random grids $Π_{i}(ω).$ Besides, $\text{Card}(Π_{i}(ω))=O(n)$ and the complexity of the algorithm is of order $n$, for any order of approximation $ν$. The standard example concerns diffusion processes, using the Euler approximation for~$Q_l$. In this particular case and under suitable conditions, we are able to gather the terms in order to produce an estimator of $P_tf$ with finite variance. However, an important feature of our approach is its universality in the sense that it works for every general semigroup $P_{t}$ and approximations. Besides, approximation schemes sharing the same $α$ lead to the same random grids $Π_{i}$ and coefficients $c_{i}$. Numerical illustrations are given for ordinary differential equations, piecewise deterministic Markov processes and diffusions.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

相关论文