A note of values of minors for Hadamard matrices
Yongbin Li, Junwei Zi, Yan Liu, Xiaojun Zhang
本文给出了$n$阶Hadamard矩阵的$(n-j)\times(n-j)$子式的所有可能值的计算公式。
In this note we present a formulae for all possible values of $(n-j)\times(n-j)$ minors of an Hadamard matrix of order $n$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Bounds on minors of binary matrices
证明了{+1，-1}矩阵的子式平方和的一个上界。阿达玛矩阵的界是尖锐的，这是de Launey和Levin（2009）的结果，但我们的证明更简单。给出了与Hadamard矩阵的子式有关的几个推论，推广了Turan关于随机{+1，-1}矩阵行列式的一个结果.
On minors of maximal determinant matrices
根据Cohn（1965）的一个旧结果，n阶Hadamard矩阵不存在m > n/2阶的真Hadamard子矩阵。我们将这一结果推广到Hadamard矩阵的最大行列式子矩阵，并证明了长度渐近等于n/2的区间被排除在允许的顺序之外。本文对极大行列式矩阵的子式平方和的一个下界提出了一个猜想，并给出了支持这个猜想的证据。我们给表的值所采取的所有最大的行列式矩阵的订单，并包括21和一些意见的数据。最后，我们描述了用于计算表的算法。
Note on a double binomial sum relevant to the Hadamard maximal determinant problem
我们证明了一个双二项和等式，它与大多数二项和等式的不同之处在于被加数涉及绝对值函数。该恒等式是有趣的，因为它可以用于证明Hadamard极大行列式问题的下界。我们的身份证明使用了两个变量的方法的伸缩总和的变体。
Hadamard matrices of order $36$ formed by codewords in some ternary self-dual codes
本文研究了在长度为$36$的三元近极值自对偶码中，由权为$36$的码字构成的$36$阶Hadamard矩阵的存在性.
On Generalized Hadamard Matrices and Difference Matrices: $Z_6$
我们给出了一些非常有趣的矩阵，这些矩阵在群上是正交的，据我们所知，有参考文献，但实际上没有文献。本说明不打算出版，但可供存档。
A note on minor antichains of uncountable graphs
Komjáth的结果，对每一个不可数基数$κ$，有$2^κ$图的大小$κ$没有一个是另一个的一个小的。
A note on regular subgroups of the automorphism group of the linear Hadamard code
我们考虑线性Hadamard码的自同构群的正则子群。这些子群对应于$GA(r,2)$的正则子群，其中$n=2^r-1 $是Hamadard码的长度。我们证明了二面体群$D_{2^{r-1}}$是$GA(r,2)$的正则子群，仅当$r=3$。按照\cite{M}的方法，我们研究了由长度为15的Hadamard码的自同构群的正则子群得到的Hamming码的正则子群。
Hadamard Products of dual Jacobi-Trudi matrices
研究Jacobi-Trudi矩阵阿达马乘积的正性性质，证明类带状斜形状下其Temperley-Lieb不变量为Schur正，肯定Sokal关于该类子式的猜想，提供表示论证明及Schur展开。
Exotic complex Hadamard matrices, and their equivalence
在本文中，我们使用设计理论的方法来构建新的，以前未知的复杂阿达玛矩阵。我们的方法推广和扩展了de la Harpe-Jones和Munemasa-Watatani的早期结果，并为现有文献中存在的一些零星的复Hadamard矩阵的例子提供了理论解释。由于不等价矩阵之间的区分越来越困难，我们提出了一种新的不变量，复Hadamard矩阵的指纹。作为一个附带结果，我们反驳了Koukouvinos等人关于实Hadamard矩阵的（n-8）x（n-8）次项的一个猜想.
A Note on Approximate Hadamard Matrices
本文指出，基于平坦 Littlewood 多项式的存在性，对于所有 $n \geq 1$ 均存在循环近似 Hadamard 矩阵。
A note on the edge choosability of $K_{5}$-minor free graphs
对于可平面图$G$，Borodin指出$G$是$(Δ+1)$ -edge-choosable的，如果$Δ\geq9$，后来Bonamy证明$G$是$9$ -edge-choosable的，如果$Δ=8$。同时，Borodin等人证明了如果$Δ\geq12$，则$G$是$Δ$ -边可选择的。本文将这些结果推广到$K_5$ -子自由图。
A note on Hadwiger's conjecture: Another proof that every 4-chromatic graph has a $K_4$ minor
本文针对哈德维格猜想的第一个非平凡情形，给出一种新证明，通过利用图的子图的正常3-染色来构造$K_4$子式，从而证明每个色数至少为4的图都含有$K_4$子式。
Generalization of Scarpis's theorem on Hadamard matrices
本文将Scarpis关于利用n=1+p（p为满足p≡3 mod 4的素数）阶Hadamard矩阵构造pn阶Hadamard矩阵的定理推广到p为素数幂q的更一般情形。
A note on the connectivity of 2-polymatroid minors
Brylawski和Seymour分别证明了：如果$M$是一个连通拟阵，它有一个连通子阵$N$和$e \in E(M) - E(N)$，则$M \backslash e$或$M / e$是连通的，它有$N$作为子阵。本文证明了关于$2$ -多拟阵的一个类似但较弱的结果。具体地说，如果$M$是一个连通的$2$ -多拟阵，它具有一个真连通的子阵$N$，那么存在$E(M) - E(N)$的一个元素$e$，使得$M \backslash e$或$M / e$以$N$作为子阵被连通。我们还考虑了可以说的唯一性的方式，其中$E(M) - E(N)$的元素可以被删除，使连接性始终保持。
Some new symmetric Hadamard matrices
本文构造了阶数508和764的首批对称Hadamard矩阵，采用propus构造法，并验证了相关猜想对v=55,57,59,61,63成立。
Bounded Ratios of Products of Principal Minors of Positive Definite Matrices
考虑了在所有正定矩阵上有界的主子式乘积比的乘法半群。历史悠久的文献确定了这个半群的各种元素，所有这些元素都位于由Hadamard-Fischer不等式生成的子半群中。利用锥理论技巧和正半定矩阵的零性模式，给出了一个包含所有有界比的半群。这使得完全确定的半群的有界比率为4 × 4正定矩阵，其46个发电机包括比率不暗示阿达玛-菲舍尔和比率不受1。当n > 4时，证明了半群的包容性是严格的，但给出了零型模式的一个推广，并给出了一个例子，证明了所有有界比的有限决定.
A Note on Hadwiger's Conjecture
Hadwiger猜想指出，每个无$K_{t+1}$ -子图都是$t$ -列图.它被广泛认为是图论中最重要的理论之一。如果每个无$K_{t+1}$ -minor图的最小度至多为$δ$，则每个无$K_{t+1}$ -minor图都是用最小度贪婪算法求出的$(δ+1)$ -列.本文的目的是证明一个稍微好一点的上界。
The codes and the lattices of Hadamard matrices
阿斯穆斯和基在对24阶阿达玛矩阵进行完全分类后发现，24阶阿达玛矩阵H的二进制码的极值等价于H^T的三进制码的极值。在本文中，我们提出了这一事实的两个证明，这两个都不依赖于分类。一个是阿达玛矩阵的码的对偶的最小权的一个更一般的结果的后果。另一个关系到从二进制码和三进制码得到的格。这两个证明都是在更大的一般性，包括更高的订单。特别地，后一种方法也被用来显示（i）的极值的三进制码，（ii）的极值的Z_4-码，（iii）的极值从一个Hadamard矩阵的48阶得到的格。
A note on extendable sets of colorings and rooted minors
本文将 DeVos 和 Seymour 关于平面图中 3-着色可扩展集合的结果推广到无 $K_{k+2}$ 子式且以 $X$ 为根的无 $K_{k+1}$ 子式图上的 $k$-着色情形。
A note on circular chromatic number of graphs with large girth and similar problems
在这个简短的说明中，我们扩展了Galluccio，Goddyn和Hell的结果，该结果指出，不包括一个未成年人的大围长图几乎是二分的。我们还证明了一个类似的结果，为定向色数，其中特别是，图的大围长不包括一个小有定向色数最多$5$，并为$p$第色数$χ_p$，其中特别是，图$G$的大围长不包括一个小有$χ_p(G)\leq p+2$。
On the existence of flat orthogonal matrices
本文研究了平坦正交矩阵的存在性，即所有元素的绝对值都接近于$\frac{1}{\sqrt{n}}$的实正交矩阵. $\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$的正交矩阵对应于Hadamard矩阵，因此平坦正交矩阵的存在性问题可以看作是Hadamard问题的一个松弛.
A note on Fiedler value of classes with sublinear separators
一类图$\mathcal C$的$n$阶Fiedler值是具有$n$顶点的图$G\in\mathcal C$的最大第二特征值$λ_2(G)$.在这篇文章中，我们将这个值与浅子图联系起来，作为推论，我们确定了一些小闭图类（包括可平面图类）的$n$ -th Fiedler值的正确顺序。
A note on the existence of BH(19,6) matrices
在这篇笔记中，我们利用一个非平凡的块的方法，由于M。Petrescu展示了一个Butson型复杂的阿达玛矩阵的顺序19，组成的第六根的单位。
Detecting minors in matroids through triangles
本文研究了拟阵次结构的一些结果。特别是，我们提出了充分条件，在{ \em三角形}，为拟阵有$U_{2,4}$或$F_7$或$M(K_5)$作为一个小的。
Minor exclusion in quasi-transitive graphs
本文证明了局部有限拟传递图是树的拟等距图当且仅当与它们拟等距的所有其它局部有限拟传递图都是小图。这推广了Ostrovskii和Rosenthal以及Khukhro关于群的未成年人排斥的结果。
Note on the treewidth of graphs excluding a disjoint union of cycles as a minor
本文研究了不包含离散环联合作为小世界的图的树宽界限，证明了其与图顶点数和环数的关系，并得出最优结果。
A note on highly connected $K_{2,\ell}$-minor free graphs
本文证明最小度至少为4的3-连通$K_{2,\ell}$-无minor图的最大度至多$7\ell$，并由此推出最小度至少5且无5度双胞胎的此类图有界大小，证明使用Steiner树和嵌套割，不依赖Ding的刻画。
A note on cover free families
设N（（r，w;d），t）表示具有t个块的（r，w;d）-无覆盖族中的最小点数。Hajiabolhassan和Moazami（2012）[6]证明了Hadamard猜想等价于确认N（（1，1;d）4d-1）=4d-1。因此，确定N（（r，w;d），t）的精确值是一个具有挑战性和有趣的问题。本文确定了N（（r，w;d），t）对任意r，w的精确值，其中r+w<t+1，且d为一定值.
A note on Ramsey numbers for minors
本文研究了图的Ramsey数，确定了对于任意图F，R_h(F;2)的表达式，并给出了关于k的Ramsey数的渐进行为。
Boxicity, poset dimension, and excluded minors
在这篇短文中，我们将图的盒性（以及偏序集的维数）与它们的广义着色参数联系起来。特别是，与已知的估计，我们的结果意味着，任何图没有$K_t$ -小可以表示为$O(t^2\log t)$区间图的交集（提高以前的界限$O(t^4)$），并作为$\tfrac{15}2 t^2$圆弧图的交集。
General lower bounds on maximal determinants of binary matrices
本文给出了n乘n {+1，-1}-矩阵的极大行列式的一般下界，包括Hadamard猜想的假设和不假设.我们的界改进了de Launey和Levin（2010）的早期结果，对于n mod 4的某些同余类，改进了Koukouvinos，Mitrouli和Seberry（2000）的结果。在附录中，我们使用Jacobi行列式恒等式给出了Szölllossi（2010）关于Hadamard矩阵的子式的一个结果的新证明。
Complex Hadamard matrices and the Spectral Set Conjecture
通过分析复Hadamard矩阵与谱集之间的关系，证明了对任意有限阿贝尔群中大小不超过5的集合A，谱集猜想的方向是“谱->瓦”.然后将这个结果推广到任意维d的无限网格$\Z^d$，最后推广到欧几里得空间。陶最近指出，对于群$\Z_3^5$中的|A| =6，相应的陈述失败了，这个观察很快导致了$\R^5$（陶）和随后的$\R^4$（马托尔奇）中谱集猜想的失败。在本说明的第二部分中，我们进一步降低了这个维度，表明谱集猜想的方向"谱->瓦“在3维中已经是假的。在计算搜索低维（1和2）的反例时，人们至少需要能够有效地判定一个集合是否是一个瓦片（比如说，在一个循环群中）以及它是否是谱的。然而，这种有效的程序是缺乏的，我们提出了一些意见的计算复杂性的一些相关问题。
Skew-symmetric matrices and their principal minors
设$V$是非空有限集，$A=(a_{ij})_{i,j\in V}$是元素在域$\mathbb{K}$中的矩阵.对于$V$的子集$X$，我们用$A[X]$表示在$X$中具有行和列索引的$A$的子矩阵。我们研究以下问题。给定一个正整数$k$，两个矩阵$A=(a_{ij})_{i,j\in V}$，$B=(b_{ij})_{i,j\in V}$与$\mathbb{K}$中的条目之间的关系是什么，并且对于任何$V$的子集$X$，$\det(A\left[ X\right])=\det(B\left[ X\right])$的大小最多为$k$？本文得到的定理是R. Loewy [5]对于所有非对角元非零的斜对称矩阵。
Butson full propelinear codes
本文研究了Butson-Hadamard矩阵，以及由这些矩阵生成的对数形式的有限环上的BH-码。通过对数形式的矩阵上的广义Gray映射，我们引入了Butson-Hadamard矩阵的一个新的态射，它与最近的一个注记中给出的态射类似.也就是说，我们展示了如何，如果给定一个Butson Hadamard矩阵的$k^{\rm th}$单位根，我们可以构建一个更大的Butson矩阵的$\ell^{\rm th}$单位根的任何$\ell$除$k$，提供任何素数$p$除$k$也除$\ell$。证明了一个以$p$为素数的$\mathbb{Z}_{p^s}$ -可加码与$\mathbb{Z}_{p^s}$上的BH-码作为一个群同构，并且这个BH-码在Gray映射下的像是$\mathbb{Z}_p$（$p=2$的二进制Hadamard码）上的BH-码.此外，我们调查固有的propelinear结构的这些代码（和他们的图像）时，Butson矩阵是上循环的。研究了这些码的一些结构性质，并给出了算例。
A Note on Graphs of Linear Rank-Width 1
本文证明了一个连通图的线性秩宽为1当且仅当它是一个距离遗传图且它的分裂分解树是一条路.一个直接的结果是，我们可以在线性时间内判定一个图的线性秩宽是否至多为1，如果不是，则给出一个障碍.其他直接的结果是线性秩宽为1的图的几个特征。特别地，一个连通图具有线性秩宽1当且仅当它局部等价于一个毛毛虫当且仅当它是一条路的顶点子图[O-juanKwon and Sang-il Oum，Graphs of small rank-width are approximates-minor of graphs of small tree-width，arxiv：1203.3606]当且仅当它不包含co-K_2图、Net图和5-圈图作为顶点子图[Isolde Adler，Arthur M. Farley和Andrzej Proskurowski，线性秩宽度至多为1的障碍，arxiv：1106.2533]。
Notes on Graph Product Structure Theory
最近证明了每一个可平面图都是路与有界树宽图的强积的子图。本文调查概括这一结果的图形表面，小封闭类，各种非小封闭类，和图类多项式增长。然后，我们探讨如何图形产品结构可能适用于更广泛定义的图形类。特别地，我们讨论了当一个图类定义的一个carnival或强产品有界或多项式扩展。然后，我们探索各种几何定义的图形类的图形产品结构定理，并提出了几个开放的问题。
A note on dilation coefficient, plane-width, and resolution coefficient of graphs
本文研究并比较了与平面图的“紧性”有关的三个图不变量：膨胀系数，定义为最长边与最短边的最小可能商，平面宽度，定义为任意两点之间的最大距离与最短边的最小可能商;和分辨率系数，最长边长度和任意两点之间的最小距离之间的最小可能商。这三个不变量对于完全图是一致的。我们证明了具有大膨胀系数或大平面宽度的图有一个大效价的顶点，但存在具有任意大分辨系数的三次图。令人惊讶的是，这三个不变量的一维类似物允许我们重新审视三个众所周知的图形参数：圆色数，色数和带宽。我们还研究了有界分辨率系数和小闭图类之间的联系。
Notes on Tree- and Path-chromatic Number
树-色数是树宽的一个色版本，其中树分解中袋的成本由其色数而不是其大小来度量。路-色数的定义类似.这些参数由Seymour（JCTB 2016）引入。本文综述了树色数和路色数的所有已知结果，并给出了一些新的结果和定理。特别地，我们提出了树-色数的Hadwiger猜想。为了证明我们的猜想可能比Hadwiger猜想更容易处理，我们给出了一个简短的证明：每个$K_5$ -minor free图最多有树色数$4$，避免了四色定理.我们也给出了计算树和路的色数的一些困难结果和图解.
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