We study the Veronese web equation $u_y u_{tx}+ λu_xu_{ty} - (λ+1)u_tu_{xy} =0$ and using its isospectral Lax pair construct two infinite series of nonlocal conservation laws. In the infinite differential coverings associated to these series, we describe the Lie algebras of the corresponding nonlocal symmetries. Finally, we construct a recursion operator and explore its action on nonlocal shadows. The operator provides a new shadow which serves as a master-symmetry.
Non-Abelian covering and new recursion operators for the 4D Martínez Alonso-Shabat equation
我们提出了4D Martínez Alonso-Shabat方程$u_{ty} = u_z u_{xy} - u_y u_{xz}$的（非局部阴影）对称性的新递归算子，我们证明了它们的作用可以产生新的对称性，这些对称性不包含在[I.S.Krasil'shchik，P.Vojčák，On the algebra of nonlocal symmetries for the 4D Martínez Alonso-Shabat equation. J. of Geom. and Phys.163，（2021），104122，（arXiv：2008.10281v1）]。为此，我们构造了一个非阿贝尔覆盖的方程的问题，使用拉克斯对与两个不可移动的参数。
The Sasa--Satsuma (complex mKdV II) and the complex sine-Gordon II equation revisited: recursion operators, nonlocal symmetries, and more
我们发现了一个新的辛结构和一个递归算子的Sasa-萨摩方程广泛应用于非线性光学，$$ p_t=p_{xxx}+6 p q p_x+3 p (p q)_x,\quad q_t=q_{xxx}+6 p q q_x+3 q (p q)_x, $$连同一个积分-微分替代连接这个系统的三阶广义对称的复杂sine-Gordon II系统$$ u_{xy}=\frac{v u_x u_y}{u v + c} + (2 u v + c)(u v + c) k u,\qquad v_{xy}=\frac{u v_x v_y}{u v + c} + (2 u v + c)(u v + c) k v, $$，其中$c$和$k$是任意常数。结合这两个结果产生一个高度非局部的遗传递归算子和更高的哈密顿结构的复杂sine-Gordon II系统。我们还证明了Sasa-Satsuma方程和复sine-Gordon II系统的三阶演化对称流都是双Hamilton系统，并为这些系统构造了几个局部和非局部对称性的谱系.
On construction of symmetries and recursion operators from zero-curvature representations and the Darboux-Egoroff system
具有任意个数$n\ge 3$的Darboux-Egoroff偏微分方程系统在描述Egoroff型和Frobenius流形的$n$维平坦对角度量问题中起着重要作用.我们构造了Darboux-Egoroff系统对称性的递归算子及其逆算子，并描述了由这些算子生成的一些对称性。所构造的递归算子不是伪微分算子，而是线性化系统的Backlund自变换，其解对应于Darboux-Egoroff系统的对称性.对于其他一些偏微分方程，Papachristou、Guthrie、Marvan、Poboril和Sergyeyev以前考虑过类似类型的递归算子。在所得到的Darboux-Egoroff系统的三阶和五阶对称的结构中，可以找到$(n-1)$分量向量修正的KdV体系的三阶和五阶流。构造的递归算子也产生无限多的非局部对称。特别是，我们得到了一个简单的建设的非局部对称性，研究了Buryak和Shadrin的上下文中的无穷小版本的Givental-van de Leur扭曲的循环群作用在空间上的半单Frobenius流形。我们得到这些结果，而一般的方法，只使用零曲率表示所考虑的偏微分方程。
Explicit Flow Equations and Recursion Operator of the ncKP hierarchy
导出了非对易Kadomtsev-Petviashvili（ncKP）族流方程的显式表达式.与KP族的流方程相比，我们的结果表明ncKP族的流方程中的附加项确实由动力学坐标\{ $u_i$ \}的分解子组成.给出了流动方程在$n$ -约化下的递推算子。此外，根据2-减少，我们计算一个非局部递归算子$Φ(2)$的非交换Korteweg-de Vries（ncKdV）的层次结构，它产生一个层次结构的本地，高阶流。因此，我们解决了由P. J. Olver和V. V. Sokolov（Commun.Math. Phys.193（1998），245-268）提出的公开问题。
(Non)local Hamiltonian and symplectic structures, recursions, and hierarchies: a new approach and applications to the N=1 supersymmetric KdV equation
利用数学方法DG/0304245和[I. S. Krasil'shchik和P. H. M. Kersten，古典和超对称微分方程的对称性和递归算子，Kluwer，2000]，我们完成了N=1超对称Korteweg-de Vries方程的广泛研究。结果包括：描述当地和非当地的哈密顿和辛结构，五个层次的对称性，相应的层次的守恒定律，递归算子的对称性和生成函数的守恒定律。我们强调，本文的重点不仅仅是对super-KdV方程本身的结果，而仅仅是对几何方法和基于它的计算算法的有效性的阐述。
