On nonlocal symmetries for the Krichever--Novikov equation
Petr Vojcak
我们构造新的无限的非局部对称和余对称的Krichever-Novikov方程使用后者的四阶递归算子的逆。
We construct new infinite hierarchies of nonlocal symmetries and cosymmetries for the Krichever--Novikov equation using the inverse of the fourth-order recursion operator of the latter.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Symmetries of the Continuous and Discrete Krichever-Novikov Equation
对一类依赖于9个参数的微分差分方程进行了对称性分类。这些方程的6参数子类是Krichever-Novikov方程的可积离散化。李点对称代数的维数$n$满足$1 \le n \le 5$ .最高的维数，即$n=5$和$n=4$只出现在可积的情况下。
Symmetries and conservation laws of the generalized Krichever-Novikov equation
计算分类的接触对称性和高阶局部对称性，不与$t,x$交换，以及局部守恒密度下不是不变的$t,x$进行广义版本的Krichever-Novikov方程。得到了一些新的结果。首先，Krichever-Novikov方程被明确地证明具有包含$t,x$的局部守恒密度。其次，除了已知的膨胀点对称的特殊情况下的Krichever-Novikov方程及其广义版本，没有其他的局部对称与低微分阶被发现包含$t,x$。第三，利用Krichever-Novikov方程的基本哈密顿结构，将包含$t,x$的局域守恒密度映射为包含$t,x$的非局域对称性.第四，一个递归算子被应用到这个非局部对称性产生一个层次的非局部对称性，有明确的依赖于$t,x$。当逆的哈密尔顿映射应用到这个层次，只有平凡的保守密度。
Lax pair for the Adler (lattice Krichever-Novikov) System
在文献[V. Adler，IMRN { \bf 1}（1998）1- 4]中，构造了Krichever-Novikov方程的格形式。本文给出了它的拉克斯对，并讨论了它的椭圆形式.
Prolongation structure of the Krichever-Novikov equation
在多项式p（u）=4u^3-g_2u-g_3有不同根的情况下，完整地描述了Krichever-Novikov方程u_t= u_{xxx} -3 u_{xx} ^2/（2u_x）+p（u）/u_x+au_x依赖于u，u_x，u_{xx}，u_{xxx}的Wahlquist-Estabrook延拓结构（覆盖）.证明了在仿射椭圆曲线上，存在一个泛延拓代数同构于交换二维代数与sl_2（C）的张量积的某个子代数与正则函数代数的直和.这是通过确定这个延长代数与各向异性的朗道-Lifshitz方程。利用这些结果，我们发现的Krichever-Novikov方程的一个新的零曲率表示，这是多项式的谱参数相比，已知的椭圆。
Bäcklund transformation for the Krichever-Novikov equation
给出了Krichever-Novikov方程$u_t= u_{xxx} - {3/(2u_x)} (u^2_{xx} - r(u)) + cu_x, r^{(5)}=0$的贝克隆变换及其非线性叠加原理。
Lie group analysis of a generalized Krichever-Novikov differential-difference equation
证明了微分差分方程$$\dot u_n = [P(u_n)u_{n+1}u_{n-1} + Q(u_n)(u_{n+1}+u_{n-1})+ R(u_n)]/(u_{n+1}-u_{n-1}),$$的对称代数具有维数$1 \le \mbox{dim}L \le 5$，其中$P$，$Q$和$R$是任意解析函数.当$P$、$Q$和$R$是$u_n$中的特定二阶多项式（取决于6个常数）时，这是Krichever-Novikov方程的可积离散化。我们发现了任意函数不是多项式且对称代数满足$\mbox{dim}L=2$的三种情形。这些情况被证明是不可积的。利用对称代数将方程化为纯差分方程。对称群也被用来施加周期性$u_{n+N}=u_n$，从而减少微分差分方程的$N$耦合的普通三点差分方程的系统。
Difference Krichever-Novikov operators
本文研究了秩为2的交换差分算子。本文介绍了差分算子$L_4=(T+V(n)T^{-1})^2+W(n)$的势$V(n),W(n)$的一个方程和一些附加的数据。借助于这个方程，我们找到了对应于高亏格谱曲线的秩为2的交换差分算子的第一个例子。
Lie point symmetries of differential--difference equations
本文给出了一个确定固定非变换格上微分方程（即包含连续和离散自变量的方程）Lie点对称性的算法。Krichever-Novikov方程、Toda格和Toda场论的特定可积离散的对称性作为一般方法的例子。
A family of integrable evolution equations of third order
我们构造了一族形式为$v_t=f(v,v_x,v_{xx},v_{xxx})$的可积方程，使得$f$是$v,v_x,v_{xx}$中的超越函数.这个族通过微分代换与Krichever-Novikov方程相关。我们构造的可积方程和相应的微分代换涉及到一族亏格为2的曲线及其Jacobian的几何问题。
The non autonomous YdKN equation and generalized symmetries of Boll equations
本文研究了Boll引入的关于立方体的一类非线性非自治四图方程的可积性。我们表明，所有这些方程具有三点广义对称的Krichever-Novikov方程的Yamilov离散或其非自治扩展的子情况。我们还证明了所有这些对称都是可积的，因为它们都通过了代数熵检验。
2D Schrodinger Operator, (2+1) Systems and New Reductions. The 2D Burgers Hierarchy and Inverse Problem Data
基于二维薛定谔算子的（2+1）系统理论是由S.Manakov，B.Dubrovin，I.Krichever和S.Novikov于1976年提出的。由Manakov引入的拉克斯对的类似物具有$L_t=[L,H]-fL$（“$L,H,f$ -三元组”）的形式，其中$L=\partial_x\partial_y+G\partial_y+S$和$H,f$ -一些线性偏微分方程。他们的代数-几何解和完整的高阶解族是由B.Dubrovin，I.Krichever和S. Novikov构造的。椭圆算子$L$的二维逆谱问题理论，其中$x,y$被$z,\bar{z}$取代，是由B.Dubrovin，I.Krichever和S.Novikov开始的：逆谱问题的数据取自由所有布洛赫-弗洛凯本征函数$Lψ=const$组成的复“费米曲线”。后来发现了许多有趣的系统。然而，Manakov提出的第一个系统的具体性质仅用于验证新方法，直到1988年B.Konopelchenko发现了Backund变换的类似物，才对其进行了10多年的研究。事实上，本作者最近发现非常有趣的扩展，减少和应用系统的非线性演化系统的理论（自伴和二维Burgers Hierarhies发明，并相应减少反问题数据发现）和重要的物理算子的谱理论（“PwM磁二维泡利算子”）。我们称这个系统为GKMMN的作者谁研究它的名字。
On recursion operators for elliptic models
对Krichever-Novikov方程和Landau-Lifshitz方程找到了新的拟局部递归算子和Hamilton算子，并证明了这些模型的拟局部递归算子的结合代数是由一个椭圆曲线方程所关联的算子对生成的.这一事实的Landau-Lifshitz方程的理论解释给出相应的Lax结构的乘法器。
On Miura Transformations and Volterra-Type Equations Associated with the Adler-Bobenko-Suris Equations
我们构造了三浦变换，将Adler-Bobenko-Suris（ABS）列表中的可积格点方程的标量谱问题映射为Volterra型方程的离散薛定谔谱问题.我们证明了ABS方程对应于贝克隆变换的离散Krichever-Novikov方程的Yamilov（YdKN方程）的某些特殊情况。这使我们能够构造新的广义对称的ABS方程。汤加、Tsoubelis和Xenitidis对ABS方程的推广也是如此。它们都产生YdKN方程的贝克隆变换。本文构造的高阶广义对称证明了它们的可积性。
Cosymmetries and Nijenhuis recursion operators for difference equations
本文讨论了差分方程的余对称和余递归算子的概念，并给出了Viallet方程的一个余递归算子。我们还发现了一种新的类型的因式分解差分方程的递归算子。这种因式分解使我们能够给出一个优雅的证明，证明arXiv：1004.5346中给出的递归算子确实是Viallet方程的递归算子。此外，我们表明，该运营商是Nijenhuis，从而产生无穷多个交换局部对称。这种递归算子及其分解成哈密尔顿算子和辛算子可以应用于亚米洛夫的离散化的Krichever-Novikov方程。
Why nonlocal recursion operators produce local symmetries: new results and applications
众所周知，（1+1）维的可积族是局部的，而生成它们的递归算子通常包含非局部项。我们解决这个明显的差异，提供简单和普遍的充分条件（非局部）递归算子在（1+1）维生成一个层次的局部对称性。这些条件是满足几乎所有已知的今天递归运算符和更容易验证比那些发现在早期的工作。我们还给出了（1+1）维可积系统的高阶递归算子、Poisson结构和辛结构的非局部部分的显式表达式。利用这两个结果，在一些自然的假设下，我们证明了Maltsev-Novikov猜想：（1+1）维可积系统的高阶Hamilton算子、辛算子和递归算子是弱非局部的，即，这些算子的系数是局部的，并且这些算子在每项中最多包含一个积分算子。
On the recursion operators for integrable equations
众所周知，递归算子是可积性的一个重要组成部分。它允许一个描述在一个紧凑的形式都是层次的广义对称性和无穷级数的局部守恒律。在文献中，我们可以找到几种构造递归算子的方法，其中一些使用Hamilton方法，另一些基于方程的Lax表示。在本文中，我们讨论了另一种方法，建议在\cite{HabKhaTMP18}，这是只与给定方程的前几个广义对称。以KdV、Krichever-Novikov和Kaup-Kupershirt方程和离散模型为例说明了该方法的有效性。
Symmetry algebra of discrete KdV equations and corresponding differential-difference equations of Volterra type
导出了Adler-Bobenko-Suris方程的一系列正则守恒律，并用于构造方程H1-H3，Q1-Q3的主对称族.对于离散势和Schwarzian KdV方程，证明了它们的局部广义对称和非局部主对称在每个格点方向上构成无中心Virasoro型代数.特别地，对于离散势KdV，给出了其对称代数的结构。将方程H1-H3，Q1-Q3的对称性族解释为Krichever-Novikov方程的Yamilov离散化的微分-差分方程，导出了它们相应的等谱和非等谱零曲率表示族.
A pluri-Lagrangian structure is an attribute of integrability for lattice equations and for hierarchies of differential equations. It combines the notion of multi-dimensional consistency (in the discrete case) or commutativity of the flows (in the continuous case) with a variational principle. Recently we developed a continuum limit procedure for pluri-Lagrangian systems, which we now apply to most of the ABS list and some members of the lattice Gelfand-Dickey hierarchy. We obtain pluri-Lagrangian structures for many hierarchies of integrable PDEs for which such structures where previously unk…
Paraxial light in a Cole-Cole nonlocal medium: integrable regimes and singularities
推导了非局域非线性薛定谔方程，作为描述傍轴光在不同非局域度的非线性介质中传输的模型。在Cole-Cole色散定律和沿传播方向的慢相关性的特定假设下，研究了该方程的高频极限。相方程是可积的，它们对应于Veselov-Novikov族的无色散极限。分析了强度定律（强度与折射率的关系）与坡印廷矢量守恒定律的高频极限之间的相容性，揭示了奇异波前的存在。结果表明，光束的特征主要取决于平面的拟共形映射的取向性质。另一类波前，不管是什么强度定律，都由调和极小曲面提供。以螺旋面为例进行了说明。第一和第三度非局部扰动和明确的解决方案的兼容性进行了讨论。
Multi-Lagrangians, Hereditary Operators and Lax Pairs for the Korteweg-de Vries Positive and Negative Hierarchies
我们提出了一种方法来建设的作用原理的微分方程，并将其应用到场论，以系统地构建，可积方程的基础上的Nijenhuis（或遗传）运营商，一个阶梯的作用原理，这是众所周知的多哈密顿制定的补充。我们工作的Korteweg-de Vries（KdV）方程，这是一个成员的正族遗传算子。在场论的背景下，由遗传算子自然地定义了三个负族的（负）发展方程。由作用量原理导出的Euler-Lagrange方程等价于原演化方程+变形，后者由正、负演化向量表示。我们认为Liouville方程、Sinh-Gordon方程、Hunter-Zheng方程和Camassa-Holm方程都是负方程。KdV的阶梯可直接映射到这些负方程和其他正方程（例如，Harry-Dym方程和Krichever-Novikov方程的一个特例）：提出了变形系统Sinh-Gordon +空间平移矢量的一个新的非局部作用量原理。几个不等价的，非局部的时间重新参数化不变的作用原理KdV的构造。哈密顿算子和辛算子的因式分解形式。替代拉克斯对的所有负流构造，使用的流量和遗传算子作为唯一的输入。从这个结果中，我们证明了所有的正，负方程的层次共享相同的本地和非本地常数的运动KdV，这是明确获得使用本地和非本地的作用原理KdV。
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